Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

1 / 331 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

УДК 539.12:530.145.6

Плетюхов, В. А. Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы / В. А. Плетюхов, В. М. Редьков, В. И. Стражев. – Минск : Беларуская навука, 2015. – 326 с. – ISBN 978-985-08-1886-7.

В книге изложены основные положения теории релятивистских волновых уравнений с расширенным (включая кратные) набором неприводимых представлений группы Лоренца. На основе развитого подхода рассматривается возможность описания внутренних степеней свободы, а также структуры элементарных частиц. Исследованы способы совместного описания частиц с ненулевой и нулевой массой в рамках не распадающихся по группе Лоренца уравнений. Приведена схема вторичного квантования РВУ с внутренними степенями свободы, соответствующими некомпактным группам симметрии. Существенное внимание уделено уравнениям дираковского типа, в первую очередь уравнению Дирака–Кэлера, причем не только в континууме, но и в решеточном пространстве. В книгу включены необходимые сведения из теории РВУ в подходе Гельфанда – Яглома и ковариантные методы Ф. И. Федорова.

Предназначена для научных работников и аспирантов, занимающихся вопросами физики элементарных частиц, классической и квантовой теории поля. Может быть использована в качестве учебного пособия.

Табл. 2. Библиогр.: 175 назв.

Р е ц е н з е н т ы:

доктор физико-математических наук М. И. Левчук,

доктор физико-математических наук, профессор И. Д. Феранчук

ISBN 978-985-08-1886-7 © Плетюхов В. А., Редьков В. М.,

Стражев В. И., 2015

«Беларуская навука», 2015

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1. Релятивистские волновые уравнения с минимальным на-

бором представлений группы Лоренца

1.1. Основные положения теории РВУ . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Релятивистские волновые уравнения для частиц с низшими

спинами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3. К теории частиц со спином 3/2. . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4. Релятивистское волновое уравнение для частицы со спи-

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

ном 2

1.5. Частицы с переменным спином и составная структура адронов

2. Релятивистские волновые уравнения с кратными представ-

лениями группы Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

. . . . . . . . . . . . 9

2.1. Анализ условий распадения РВУ с кратными представлениями

2.2. РВУ с кратными представлениями для частиц со спинами 0 и 1

2.3. О физической неэквивалентности различных РВУ для

частиц со спинами 0 и 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.4. Волновые уравнения для спина 1/2 . . . . . . . . . . . . . 70

2.5. РВУ с кратными представлениями для частицы со спином

3/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.6. РВУ с кратными представлениями для S = 2 . . . . . . . . 82

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 В.А. Плетюхов, В.М. Редьков, В.И. Стражев

3. Кратные представления и внутренние степени свободы частиц

3.1. Диракоподобные уравнения, поля с переменным спи-

3.2. Уравнение Дирака – Кэлера как РВУ с кратными представле-

3.3. Об описании дираковских частиц с внутренними степеня-

3.4. Вещественное поле Дирака – Кэлера и дираковские час-

3.5. Обобщения уравнения Дирака – Кэлера . . . . . . . . . . . 117

3.6. Тензорная формулировка полевых систем с набором спи-

3.7. Об алгебраических обобщениях уравнения Дирака –

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

ном . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

ниями

ми свободы посредством тензорных полей

тицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

новых состояний 1, 2 и 0, 1, 2

Кэлера

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

. . . . . . . . . 104

. . . . . . . . . . . . . . . . 127

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.8. Внутренние степени свободы в теории частиц со спином

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

3/2

4. Безмассовые калибровочно-инвариантные массивные поля

в теории обобщенных РВУ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.1. О совместном описании безмассовых полей с различными

спиральностями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.2. Безмассовые поля в теории Дирака – Кэлера . . . . . . . . 172

4.3. Массивные калибровочно-инвариантные поля в теории

РВУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

4.4. Совместное описание массивных и безмассовых полей.

Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

4.5. Механизм Кальба – Рамонда и теория РВУ . . . . . . . . . 193

5. О связи спина и статистики в теории РВУ с внутренними

степенями свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

5.1. К вопросу о вторичном квантовании РВУ с использованием

индефинитной метрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Релятивистские волновые уравнения … 5

5.2. Вторичное квантование РВУ с внутренними степенями

свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

5.3. Вероятностная интерпретация теории. . . . . . . . . . . . 215

5.4. Квантование SU(1, 1)-инвариантных дираковского и скалярного полей

5.5. Квантование SU(2, 2)-инвариантного дираковского поля

и поля Дирака – Кэлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

5.6. Квантовая формулировка алгебраических обобщений

уравнения Дирака – Кэлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

6. Геометрические фермионы на решетке . . . . . . . . . . . . 241

6.1. Решеточное описание набора антисимметричных тензорных полей

6.2. Симметрийные свойства дирак-кэлеровского решеточного

лагранжиана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

6.3. Редукция решеточного лагранжиана и интерпретация внутренних степеней свободы

6.4. О решеточной форме 16-компонентной теории Дирака . . 254

6.5. Матричная форма тензорных обобщений уравнения Дира-

ка – Кэлера в решеточном пространстве . . . . . . . . . . . 256

6.6. Геометризованное введение массы и калибровочного взаимодействия в решеточной модели

7. Подход Гельфанда – Яглома в теории РВУ . . . . . . . . . . . 271

7.1. Уравнения, инвариантные относительно собственной

груп пы Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

7.2. Уравнения, инвариантные относительно полной группы

Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

7.3. Лагранжева формулировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

7.4. Масса и спин частицы, РВУ и структура матрицы Г4 . . . 291

7.5. Два типа уравнений для полей с нулевой массой . . . . . . 294

7.6. 2-компонентное уравнение для поля с нулевой массой,

анализ в подходе Гельфанда – Яглома . . . . . . . . . . . . 297

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

. . . . . . . . . . . . . 264

6 В.А. Плетюхов, В.М. Редьков, В.И. Стражев

8. Метод проективных операторов Ф. И. Федорова . . . . . . . 301

8.1. Усеченные минимальные полиномы . . . . . . . . . . . . . 301

8.2. Проективные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

8.3. Дефинитность энергии и заряда . . . . . . . . . . . . . . . 307

8.4. Расчет вероятности перехода частицы из одного состояния

в другое . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

Ïðåдислоâèå

Óравнение Íüþòîíà, уравнения Ìàêñâåëëà, уравнение Эйнштейна,

уравнение Øðåäèíãåðà, уравнение Диракà, уравнения ЯнгаМиллсà.

Êàæäîå èç вышеперечисленных уравнений ÿâëÿëîñü ïî-ñâîåìó ýïî- õàльным событием â физикå. Óравнение Íüþòîíà ïîëîæèëî íà÷àëî òåî- ретичеñêîé физикå. Ñ уравнениями Ìàêñâåëëà ñâязано ââåдение ïðèí- ципиаëüíî íîâîãî физичеñêîãî понятия ïîëÿ, îáúåдинение ýëåêòðè÷å- ñêèõ è ìагнитных ÿâлений, ïðåäñêазание ñóùåñòâîâàíèÿ ýëåêòðîìагнит- íûõ âîëí. Óравнение Эйнштейна ñîåдинило âîåäèíî ñâойствà ìàтерии è ïðîñòранства-времени, ñîçäàëî îñíîâó äëÿ îïèñàíèÿ Âñеленной êàê åäè- íîãî физичеñêîãîîáúåêòà. Óравнение Øðåäèíãåðà ïðèâåëî ê понимàíèþ âåðîÿòíîстногî õàðàêòåðà физичеñêèõ ÿâлений. Óравнение Диракà, âåð- øèíà êâàíòîâî-ìåõаничеñêîãî îïèñàíèÿ физичеñêèõ процеññîâ, ñîçäàëî îñíîâó äëÿ êâàíòîâîé теории ïîëÿ, ïðåäñêàçàëî ñóùåñòâîâàíèå íîâîãî âèäà ìàтерии (античастиц). Óравнения ЯнгаМиллсà ëåæàò â ôундамен- òå åдиной теории слабых è ýëåêòðîìагнитных взаимодействий, теории êàлибровî÷íûõ ïîëåé. Âûâîä îá îãðîìíîé çíà÷èìîñòè ýòèõ уравнений â îòûñêàíèè è îáъяснении физичеñêèõ çàêîíîâ прироäû îчевиден. Êðîìå уравнений Íüþòîíà è Øðåäèíãåðà, âñå îíè ÿâëÿþòñÿ примерами ðåëÿ- тивистñêèõ âîлновых уравнений. Óравнение Диракà ïîñëóæèëî îäíî- временно è примероì äëÿ ïîñòðîåíèÿ теории релятивистñêèõ âîлновых уравнений â ìàòричной ôîðìå (ÐÂÓ), îñíîâîé êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ взаимо- ñâÿçü уравнения ñ ñîîòâåòñòâующими ïðåäñòàâлениями ãðóïïû Ëоренца.

Òеория релятивистñêèõ âîлновых уравнений ïåðâîãî порядкà, çàïè- ñанных â ìàòричной ôîðìå, ïðåäïîлагает â ñâîåé èñõîäíîé ôîðìóлиров- êå âîçìîæíîñòü îïèñàíèÿ òîëüêî îäíîé, спиновîé, âíóòренней степени ñâîáîäûýлементарныхчастиц. Ìàòåìàòè÷åñêèìîòðàæениемýòîãîîáñòî- ятельствà ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå минимàльногî набора непривîдимых

8 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ

ïðåäñòàâлений ãðóïïû Ëоренца, êîòîðûé íåîáõîäèì äëÿ îïèñàíèÿ части- öû ñ заданным çíàчением спина (уравнение Диракà äëÿ спина 1/2, óðàâ- нения ÄàôôèíàÊеммера äëÿ спинов 0 è 1, уравнение ФирцаПаóëè äëÿ спина 3/2). Îäíàêî â 19551957 ãã. Ïåòрашем è Óëåãëîé áûëî ïîñòðîåíî уравнение äëÿ частицы ñî спиноì 1/2 è àíîìàльным ìагнитным ìîìåí- òîì, êîòîðîå âозникàåò çà ñ÷åò ïðèâëåчения äîïîлнительных ïî îòíî- шению ê биспинорó непривîдимых êîмпонент â ïðîñòранствå ïðåäñòàâ- лений âîëíîâîé ôункции частицы. Åùå ранее, â 1928 ãîäó, àíãлийским физикîì Дарвиноì áûëî ïðåäëîæåíî уравнение (âïîñëåдствии ïîлучив- øåå íàçâàíèå уравнения ДиракàÊýëåðà), êîòîðîå ñîдержит äâóêðàòíûå ñêàлярную è âåêòорную êîмпоненты. Данноå уравнение допускàåò òðàê- òîâêó êàê ÐÂÓ äëÿ спина 1/2 è äîïîлнительной âíóòренней степенью ñâîáîäû. Óравнения ДиракàÊýëåðà è ÏåòðàøàÓëåãëû ìîæíî ñ÷èòàòü первыми ÐÂÓ, êîòîðûå âûõîäÿò çà рамки ñòандарòíûõ ïîëîæåíèé теории ïîëÿ. Îíè ïðîдемонстрировàëè, ÷òî â ïîäõîäå теории ÐÂÓ ïðè îòêàçå îò условия минимàëüíîñòè èñïîëüçóåìîãî набора ïðåäñòàâлений ãðóïïû Ëоренца ìîæíî описывàòü âíóòреннюю ñòðóêòóðó частиц, âêëþ÷àÿ äî- ïîлнительные степени ñâîáîäû. Ñ êîíöà 1960-õ  íà÷àëà 1970-õ ãîäîâ данноå íàïðàâление íàчинает àêтивно развивàòüñÿ â нашей ðåñïóáëèêå ñ ðàáîò àêадемикà Ô. È. Ôåдоровà è åãî ученикîâ À. À. Богуша, Ñ. È. Ëîáêî, Â. À. Плетюõîâà, Â. È. Ñòðàæåâà, Â. Â. Êèñåëÿ, Ñ. È. Êðóãëî- âà è äð. Çà прошеäøèå äåсятилетия áûë íàêоплен áîãàòûé ìàтериаë ïî развитию теории релятивистñêèõ âîлновых уравнений ñ расширенны- ìè наборами непривîдимых ïðåäñòàâлений ãðóïïû Ëоренца. Â ðàáîòå áóäåò ïîêазано, ÷òî îòêàç îò òребовàíèÿ минимàëüíîñòè èñïîëüçóåìûõ наборов ïðåäñòàâлений ãðóïïû Ëоренца ñóùåñòâåííî расширяет âîç- ìîæíîñòè ìåòîäà релятивистñêèõ âîлновых уравнений ñ òî÷êè зрения ïðîñòранственно-временногî îïèñàíèÿ êàê âíóòренней ñòðóêòóðû, òàê è èçîспиновых степеней ñâîáîäû частиц. Ïîлучение новых уравнений ñ áîëåå áîãàòîé ñòðóêòóðîé äëÿ частицы ñ заданным спиноìsâîçìîæíî ëèáî çà ñ÷åò âêëþчения ïðåäñòàâлений ñ áîëåå высокими спинами, ëèáî çà ñ÷åò èñïîëüçîâàíèÿ ïîâòоряющихñÿ (êðàòíûõ) ïðåäñòàâлений ãðóï- ïû Ëоренца. Книга ïîäâîäèò îïðåделенный èòîã ðàáîòå, ïðîделанной â ýòîì íàïðàâлении áåëîðóññêîéøêîëîé теоретичеñêîéфизики, è ÿâëÿåòñÿ данью памяти нашему учителю àêадемикó Ô. È. Ôåдоровó.

Ãëàâà 1.

Ðелятивистñêèå âîëíîâûå уравнения ñ минимàльным íàáîðîì ïðåäñòàâлений ãðóïïû Ëоренца

1.1. Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ теории ÐÂÓ

Îäíèì èç наибоëåå распроñòраненных è общих ñïîсобов îïèñàíèÿ ýлементарных частиц â классичеñêîé è êâàíòîâîé теории ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ теория релятивистñêèõ âîлновых уравнений (ÐÂÓ),îсновы êîòîðîéáûëè çàëîæåíû Диракîì [1], Фирцем è Ïàóëè [2, 3], Áàáà [4, 5], Хариш-Чандра [6, 7], Ãельфандоì è ßãëîìîì [8, 9], Ôåдоровым [10, 11].

Ñôîðìóëèðóåì â ñæàòîì âèäå îсновные ïîëîæåíèÿ данной теории, ñîдержащиеñÿ â óïîмянутых ðàáîòàõ. Â äàльнейшем теорию, базирóþ- щуюся íà ýòèõ ïîëîæениях, áóäåìназывàòü ñòандарòíîé теорией ÐÂÓ. Åå ïîäõîä заклю÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îïèñàíèå частиц (ïîëåé) êàê ñ íåíóëåâîé, òàê è íóëåâîé ìассой âñåãäà ìîæåò áûòü ñâåäåíî ê системе äèôферен- öèàльных уравнений ïåðâîãî порядкà ñ ïîñòîянными êîýôфициентàìè, ïðåäñòавимой â ìàòричной ôîðìå

(Γµ∂µ+ Γ0)ψ = 0 (µ = 1, ..., 4).

Çäåñüψ ìíîãîêîмпонентная âîëíîâàÿ ôункция,

Γµè

Γ0 êâàäðàòíûå

(1.1)

10 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ

ìàòðèöû; выбрана ìåòðèêà êîãäà ìàòðèöà óìíîæением íà

Γ0 íåîñîáенная

−1

mΓ

ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê âèäó

gµν=

diag

(1, 1, 1, 1),x4= ict

(det Γ0= 0

(Γµ∂µ+ mI)ψ = 0,

. Â случаях,

), системà уравнений (1.1)

(1.2)

ãäåm ñêàлярный параметð, ñâязанный ñ ìассой,I åдиничная ìàòðèöà (êàê правило îíà опускàåòñÿ).

Обычно íà системы (1.1) è (1.2) накладывàþòñÿ ñëåдующие îáÿçà-

тельные òребовàíèÿ:

(a) èíâариантноñòü îòíîсительно преобразîâàíèé собственной ãðóï-

ïû Ëоренца;

(b) èíâариантноñòü îòíîсительно ïðîñòранственных îòðàæåíèé; (c)âîçìîæíîñòü лагранжåâîé ôîðìóлировкиíà îñíîâåâариационногî

принципа.

Системы âèäà (1.2), óäîâëåòâоряющие условиям (a)(c), назывàþòñÿ релятивистскими âîлновыми уравнениями; системы âèäà (1.1), ãäå ìàò- ðèöà

Γ0ìîæåò áûòü êàê íåîñîáенной, òàê è îñîáенной, â òîì числе íóëå-

âîé, ïðè âûïîлнении òåõ æå условий (a)(c) назывàþòñÿ обобщенными релятивистскими âîлновыми уравнениями. ÐÂÓ (1.2) описывàþò части- öû ñ íåíóëåâîé ìассой, обобщенные ÐÂÓ (1.1) могут описывàòü частицы (ïîëÿ) ñ íåíóëåâîé è íóëåâîé ìассой.

Â ñòандарòíîé теории ÐÂÓ ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ýлементарная частица êàê åдиный îáúåêò äîëæíà описывàòüñÿ íå распадающимися ïî ïîëíîé ãðóï- ïå Ëоренца уравнениями. Òîãäà èç условия (a) вытекàåò, ÷òî âîëíîâàÿ ôункция äîëæíà преобразîâûâàòüñÿ ïî íåêîòîðîìó ïðèâîäèìîìó ïðåä- ñòàâлениюTãðóïïû Ëоренца, ñîñòîящему èç зацепляющихñÿ непривî- димых ïðåäñòàâлений.

′

Íàïîìíèì1,÷òî непривîдимые ïðåäñòàâления назывàþòñÿ зацепляющимися, åñëè

′

= l1± 1/2, l

τ ∼ (l1, l2)èτ′∼ (l

′

= l2± 1/2

(причем

′

, l

знаки+è−могут íå êоррелировàòü). Èç условия (b) ñëåäóåò òàêæå, ÷òî â ïðåäñòàâленииTнаряду ñ êаждым непривîдимым ïðåäñòàâлением

(l1, l2)

äîëæíî ïðèñóòñòâîâàòü сопряжåííîå ïðåäñòàâление˙τ ∼ (l2, l1)

τ ∼

)

Ïîëüçóåìñÿ обозначениями непривîдимых ïðåäñòàâлений ãðóïïû Ëоренца, приня-

òûìè â [12]

1 / 331 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]