Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы
.pdf
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 71
между êðàтными ïðåäñòàâлениями, ñîдержащимися â ñõåìå (2.91), âñåãäà
ìîæåò áûòü ðàçîðâàíî ñ ïîмощью допустимогî преобразîâàíèÿ.
Òàêèì образîì, íà îñíîâå (2.91) ìîæåò áûòü ïîñòðîåíî òîëüêî òàêîå
уравнение, íå ñ÷èòàÿ уравнения Диракà, êîòîðîå óíèòàðíî эквивàлентно
системе äâóõ íåзацепляющихñÿ уравнений Диракà.
2.
1
(
, 1) − (1,
2
1
)
2
| |
1
(0,
2
) − (
1
, 0).
2
Ââåäåì íóмерацию непривîдимых êîмпонент â ñõåìå (2.92)
1
(0,
) ∼ 1 , (1,
2
Äëÿ спиновых áëîêîâ
Γ4= (C
C
1/2
, C
1
) ∼ 2 , (
2
3/2
ìàòðèöû
1/2
⊗ I2) ⊕ (C
1
, 0) ∼ 3, (
2
3/2
⊗ I4)
1
, 1) ∼ 4.
2
ïîлучаем выражåíèÿ
C
1/2
=
C
0 0 c
0 0 c
1/2
c
31
1/2
c
41
3/2
=
1/2
c
32
1/2
c
42
0 c
3/2
c
42
1/2
13
1/2
23
0 0
0 0
3/2
24
0
1/2
c
14
1/2
c
24
,
.
(2.92)
(2.93)
Собственные çíàчения áëîêà
âàтельно, íàäî ïîëîæèòü
Íî òîãäà â ñèëó (1.7)
3/2
C
äîëæíû áûòü равны íóëþ, ñëåäî-
3/2
c
24
1/2
c
24
= c
= c
3/2
42
1/2
42
= 0.
= 0.
72 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Èç условий (1.8) вытекàþò ðàâенствà
1/2
c
13
= c
1/2
31
, c
1/2
14
= c
1/2
32
, c
1/2
23
= c
1/2
41
.
Òребовàíèåâîçìîæíîñòè ïîлучения ÐÂÓ èç èíâариантнойôункцииЛагран-
æà (ñì. (1.14)) äàåò
1/2
∗
1/2
c
14
.
c
1/2
−
âåùåñòâåííîå
13
, c
1/2
23
=
η
42
1/2
η
13
Ââîäÿ äëÿ óдобствà обозначения
1/2
1/2
c
13
= c1, c
1/2
14
ïîлучим ñëåдующий âèä áëîêà
1/2
C
=
fc
= c2,
C
0 0 c1c
0 0 fc
c1c
∗
2
η
42
1/2
η
13
1/2
:
0 0
2
0 0 0
= f (f = ±1),
2
∗
0
2
.
(2.94)
Äëÿ òîãî ÷òîáû õàðàêтеристичеñêîå уравнение ìàòðèöû
λ4− λ2(c
2
+ 2f | c2|2)+ | c2|4= 0
1
C
1/2
имело îäèí, ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà, íåíóëåâîé êорень, íóæíî ïîëîæèòü
| c2|= 0
ñõåìà (2.92) распадаетñÿ íà äâà îòдельных ôðàãìåíòà
(1, 1/2) − (1/2, 1)
.
Äðугими ñëîâàìè, íàäî ðàçîðâàòü зацепления
.
1 − 4è2 − 3
(0, 1/2) −(1/2, 0)
. Ïðè ýòîì
Íà îñíîâå ïåðâîãî èç íèõ ñòðîèòñÿ уравнение Диракà.
Âòîðîé âариант ïðèâîäèò ê ÐÂÓ ñ переменным спиноì
äâóìÿ ìàññàìè è ìàòрицей
Γ4, ïðèâîдимой ê äèàãîíàëüíîìó âèäó. Заряд
1/2 − 3/2
è энергия äëÿ òàêîãî ÐÂÓ íå ÿâëÿþòñÿ äåфинитными.
3.
1
(
, 1) − (1,
2
1
)
2
è
,
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 73
| |
2(0,
1
) − 2(
2
1
2
, 0).
(2.95)
Допустимым преобразîâанием ýòà ñõåìà зацеплений ìîæåò áûòü ïðè-
âåäåíà ê âèäó
1
(0,
2
)′− (
1
2
, 0)
′
| |
1
(
, 1) − (1,
2
1
)
2
| |
1
(0,
2
) − (
1
2
, 0).
(2.96)
Îòличие ñõåìû (2.96) îò (2.95) ñîñòîèò â òîì, ÷òî зацепления между
êðàтными êîмпонентàìè â (2.96) ðàçîðâàíû, íî áåç ущерба äëÿ общноñòè
рассмоòрения.
1/2
Спиновые áëîêè
C
, C
3/2
ìàòðèöû
Γ4â базисå ÃельфандаЯгëîìà
èìåþò âèä
C
1/2
=
0 0 0 c
0 0 0 0 c
0 0 0 c
1/2
c
41
0 c
1/2
c
61
c
C
0 c
1/2
52
1/2
62
3/2
=
1/2
43
1/2
c
53
1/2
c
63
1/2
0 c
14
1/2
25
1/2
1/2
c
34
35
− 0 0
0 0 0
0 0 0
3/2
0 c
36
3/2
c
63
0
1/2
16
1/2
c
26
1/2
c
36
,
,
(2.97)
ãäå èñïîëüçîâàíà íóмерация непривîдимых ïðåäñòàâлений
1
(0,
) ∼ 1, (0,
2
1
(
, 0) ∼ 4, (
2
1
)′∼ 2, (1,
2
1
, 0)′∼ 5, (
2
1
) ∼ 3 ,
2
1
, 1) ∼ 6.
2
(2.98)
74 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Очевидно, ÷òî äëÿ исключения спина
3/2
c
36
= c
3/2
63
= 0,
3/2
íàäî ïîëîæèòü
îòêóäà â ñèëó (1.7) ñëåäóåò
1/2
c
36
= c
1/2
63
= 0.
Выбор (2.99), (2.100) îçíà÷àåò, ÷òî èñõîäíàÿ ñõåìà зацеплений (2.96)
òðàíñôîðìèðóåòñÿ ê âèäó
1
(0,
2
)′− (
1
2
, 0)
′
| |
1
(
, 1) (1,
2
1
)
2
| |
1
(0,
2
) − (
1
, 0).
2
Óсловия (1.8) äàþò
(2.99)
(2.100)
(2.101)
1/2
c
14
1/2
c
26
= c
= c
1/2
41
1/2
53
, c
, c
1/2
25
1/2
34
= c
= c
1/2
52
1/2
61
, c
, c
1/2
16
1/2
35
= c
= c
1/2
43
1/2
62
,
.
Âîçìîæíîñòü лагранжåâîé ôîðìóлировки теории ïðèâîäèò ê ограни-
чениям
1/2
c
1/2
c
34
=
63
1/2
η
14
1/2
η
Ñ ó÷åòîì условий (2.98), (2.99), (2.102), (2.103) äëÿ áëîêà
1/2
, c
−
14
1/2
c
16
âåùåñòâенные
25
∗
, c
1/2
35
=
;
1/2
η
63
1/2
η
25
c
1/2
26
∗
.
1/2
C
÷àåòñÿ выражåíèå
C
1/2
=
0 C
C 0
, C =
c
0 c2c
f1c
0 c
1
∗
∗
f2c
3
4
3
,
4
0
(2.102)
(2.103)
ïîëó-
(2.104)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 75
ãäå äëÿ óдобствà çàïèñè èñïîëüçîâàíû обозначения
c
1/2
14
= c1, c
f1=
1/2
= c2, c
25
1/2
η
63
1/2
η
14
1/2
16
, f2=
= c3, c
1/2
η
63
.
1/2
η
25
1/2
26
= c4,
(2.105)
Характеристичеñêîå уравнение äëÿ ìàòðèöûC(2.104) имеет âèä
λ3− λ2(c1+ c2) + λ(c1c2− f1| c3|2−f2| c4|2)+
+f1c2| c3|2+f2c1| c4|2= 0.
(2.106)
×òîáû ïîлучить îäíî çíàчение ìàññû частицы, íàäî íàëîæèòü условия
c1c2− f1| c3|2−f2| c4|2= 0,
f1c2| c3|2+f2c1| c4|2= 0.
Ïðè ýòîì íåíóëåâîåсобствåííîå çíàчениеìàòðèöûC, равноå
(2.107)
λ = c1+c2,
íå óменьшая общноñòè, ìîæíî выбраòü
c1+ c2= 1.
(2.108)
Òàêîé выбор ïðèâîäèò ê минимàльным ïîëèíîìàì ìàòðèöûCè спино-
âîãî áëîêà
Îñòàåòñÿ íàëîæèòü условие äåфинитноñòè заряда (1.17) ïðè
1/2
C
ñîîòâåòñòâåííî
C2(C − 1) = 0,
1/2)2
(C
(C
1/2)2
− 1= 0.
(2.109)
(2.110)
n = 2
Îíî ñâîäèòñÿ â данноì случаем ê неравенствó
Sp(C
1/2)3η1/2
= 0,
(2.111)
ãäå
1/2
η
14
1/2
η
25
=
0 η
1/2
η
′
, η′=
η′0
.
1/2
η
36
(2.112)
.
76 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Ïîäñòàâëÿÿ выражåíèÿ (2.104), (2.112) â (2.111), ïðèõîäèì ê неравåí-
ñòâó
1/2
η
c
14
3
1
+ η
1/2
25
3
c
2
+ (2η
1/2
63
+ η
1/2
)c1| c3|2+
14
+(2η
1/2
63
+ η
1/2
)c2| c4|2= 0.
25
(2.113)
Óсловиям (2.107), (2.108), (2.113) ìîæíî óäîâëåòâорить различными
ñïîсобами. Ïîëîæèì, íàпример,
√
c1=
1/2
η
14
ÌàòðèöûC(2.114) è
1
, c2=
3
= −1, η
′
η
2
, c3=
3
1/2
25
2
, c4=
3
= 1, η
1/2
36
2
;
3
= 1.
(2.114)
(2.115)
(2.112) ñ ýлементàìè (2.114),(2.115) èìåþò явный
âèä
√
2/3
, η′=
−1
.
1
(2.116)
1
C =
1/3 0
0 2/3 2/3
−√2/3 2/3 0
Òàêèì образîì, 20-êîмпонентноå уравнение ñî ñõåìîé зацеплений
(2.101), ìàòрицей
Γ4ñ íåíóлевым спиновым áëîêîì
1/2
C
(2.104), (2.116)
èìàòрицей èíâариантнойбилинейной ôîðìûη(2.112),(2.116) описывàåò
частицу ñî спиноì 1/2 è óäîâëåòâоряет âñåì ñòандарòíûì òребованиям
теории ÐÂÓ.
Êàê вытекàåò èç (2.110), ìàòðèöà
Γ4ýòîãî уравнения имеет минимàëü-
íûé ïîëèíîì
2
2
Γ
(Γ
4
− 1) = 0,
4
(2.117)
ò. å. íåäèàãîíàлизирóåìà. Ñëåäîâàтельно, îáñóждаемоå ÐÂÓ è уравнение
Диракà íå ÿâëÿþòñÿ óíèòàðíî эквивàлентными.
20-êîмпонентноå âîëíîâîå уравнение äëÿ спина 1/2 ñî ñõåìîé зацеп-
лений (2.95) è íåäèàãîíàлизирóåìîé ìàòрицей
Γ4áûëî впервые ïðåäëî-
æåíîâ ðàáîòå Ïåòðàøà[26]. Çàòåì îíî рассмàòðèâàëîñü â ðàáîòàõ [27, 28],
ãäåáûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî íîâîå уравнение описывàåò частицу ñ àíîìàëü-
íûì ìагнитным ìîìåíòîì. Â [29] ïîêазано, ÷òî âñå решения уравнения
Ïåòðàøà âî внешнем ýëåêòðîìагнитноì ïîëå íîñÿò причинный õàðàêòåð.
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 77
Ïîдробноåисслеäîâàíèåуравнения Ïåòðàøàâ гравитационных ïîëÿõ
ïðîâåäåíî â ðàáîòàõ [72, 73]. Äàíî обобщение ýòîãî уравнения íà ñëó-
÷àé произвîльной ïñåâдоримàíîâîé ñòðóêòóðû ïðîñòранствавремени
â ðàìêàõ òåòрадногî рецептà Òåòðîде-ВейляФокàÈâаненкî. Äîêазана
êоррекòíîñòü ïîñòðîенногî уравнения ñ òî÷êè зрения òребовàíèé îá-
ùåé êîâариантноñòè è ëîêàльной êàлибровî÷íîé симметðèè îòíîситель-
íî ãðóïïû Ëоренца. Ïîêазано, ÷òî ïîñòðîенные уравнения èíâариантны
îòíîсительно операции òåòрадногîP-îòðàæåíèÿ. Найдены выражåíèÿ
äëÿ общекîâариантной ìàòðèöû èíâариантной билинейной ôîðìû 20-
êîмпонентногî ïîëÿ è äëÿ ñîхраняющегîñÿ òîêà. Ïîêазано, ÷òî ïîñëå
исключения äîïîлнительногî âåêòор-биспинора âîëíîâîå уравнение äëÿ
îсновногî биспинора ñâîäèòñÿ ê общекîâариантноìó уравнению Äèðà-
êà, ñîдержащему, ïîìèìî минимàльногî è ïàóëèåâñêîãî членов âçàè-
ìîдействий, äîïîлнительноå взаимодействие частицы ñî спиноì 1/2 ñ
внешним гравитационным ïîëåì, îñóùåñòâляемоå ÷åðåç ñêàлярную êðè-
визну
R(x)
. Â ðàáîòå [74] ïîлучено уравнение äëÿ частицы Ïåòðàøà â
ïðèáëèæåíèè Ïàóëè íà ôîíå ïñåâдоримàíîâîé ãåîìåòðèè ïðîñòранствà
времени.
2.5. ÐÂÓ ñ êðàтными ïðåäñòàâлениями äëÿ ÷à-
стицы ñî спиноì 3/2
 êà÷åñòâå èñõîäíîé опять âозьмем ñõåìó зацеплений (2.96), êîòî-
1/2
ðîé ñîîòâåòñòâóåò наибоëåå общий âèä спиновых áëîêîâ
ìàòðèöû
Γ4â базисå ÃельфандаЯгëîìà. Çäåñü ìû ñîхраняем прежнюю
C
íóмерацию непривîдимых êîмпонент (2.98).
Óсловия (1.7) релятивистñêîé èíâариантноñòè äàþò
c
3/2
36
= 2c
1/2
36
, c
3/2
63
= 2c
1/2
63
.
Èíâариантноñòü ÐÂÓ îòíîсительно ïðîñòранственных îòðàæåíèé, ïîìè-
ìî (2.102), ïðèâîäèò ê ñîîтношениям
1/2
c
36
= c
1/2
63
, c
3/2
36
= c
3/2
63
,
Óсловия (2.103) äîïîëíÿþòñÿ ограничением
1/2
c
−
âåùåñòâåííîå
36
.
, C
3/2
(2.97)
(2.118)
(2.119)
(2.120)
78 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Ïîñêîëüêó íàñ интереñóåò ñïèí 3/2, íå óменьшая общноñòè, ïîëîæèì
3/2
c
36
Ïðè òàêîì выборе собственные çíàченияáëîêà
±1
.
Óсловия (2.118)(2.121) ïðèâîäÿò ê áëîêàì
C
1/2
=
0 C
C 0
3/2
C
3/2
= c
63
, C =
=
= 1.
0 1
c
1
0 c
∗
f1c
3
,
3/2
C
ïîлучаюòñÿ равными
1/2
C
, C
0 c
c
2
∗
f2c
1/2
4
1 0
ãäå èñïîëüçîâàíû обозначения (2.104).
Характеристичеñêîå уравнение äëÿ ìàòðèöûCимеет âèä
λ3− λ2(c1+ c2+
1
) + λ(
2
1
c1+
2
1
c2+ c1c2−
2
3
4
3/2
âèäà
(2.121)
,
(2.122)
(2.123)
−f1| c3|2−f2| c4|2) −
c1c2+ f1c2| c3|2+f2c1| f4|2= 0.
(2.124)
2
Äëÿ исключения ñîñòîÿíèé частицы ñî спиноì 1/2 íàäî, ÷òîáû âñå ñîá-
1
ñòâенные çíàчения áëîêà
1/2
C
áûëè равными íóëþ. Ýòî òребовàíèå ïðè-
âîäèò ê условиям
1
c1+ c2+
= 0,
2
1
2
c1+
1
c2+ c1c2− f1| c3|2−f2| c4|2= 0,
2
1
−
c1c2+ f1c2| c3|2+f2c1| c4|2= 0.
(2.125)
2
Числа
f1, f2íåзависимо äðóã îò äðóãà могут принимàòü çíàчения±1.
Рассмоòðèì случай, êîãäà
f
1
=−1
, f
=−1
2
.
(2.126)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 79
Èç уравнения (2.125) òîãäà ïîлучаем
c2= −c1−
,
(2.127)
2
1
3
c
| c3|2=
1
,
(2.128)
2c1+ 1/2
3
c
1
2c1+ 1/2
.
(2.129)
c1наклады-
| c4|2=
1
+ c1(c1+
4
1
) −
2
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî íà ñâîáîäíûé âåùåñòâенный параметð
âàþòñÿ ограничения, îáусловленные неравенствàìè
1
+ c1(c1+
4
1
) >
2
3
c
1
2c1+ 1/2
> 0.
(2.130)
Неравенствàì (2.130) ìîæíî óäîâëåòâорить ìíîæåñòâî ñïîсобов. Âîçü-
ìåì, íàпример,
1
c1=
.
(2.131)
2
Òîãäà
3
c
1
2c1+ 1/2
=
1
12
,
1
+ c1(c1+
4
1
2
) =
3
,
(2.132)
4
ò. å. неравенствà (2.130) âûïîëíÿþòñÿ. Числа
принимàþò çíàчения
1
c2= −1, | c3|=
, | c4|=
2√3
Выбирая числа
ñëåдующий явный âèä спиновîãî áëîêà
c3, c4âåùåñòâåнными è ïîëîжительными, ïîлучаем
1/2
C
:
0 0 0 1/2 0 1/2√3
C
1/2
=
0 0 0 0 −1
0 0 0 −1/2√3 −2/3 1/2
1/2 0 1/2√3 0 0 0
0 −1
2/3 0 0 0
−1/2√3 −2/3 1/2 0 0 0
c2, | c3|, | c4|
2
.
3
ïðè ýòîì
(2.133)
2/3
(2.134)
.
80 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Êàê óæå îòìå÷àëîñü, задание áëîêà
1/2
C
â âèäå (2.134) íå ÿâëÿåòñÿ
åдинствåííî âîçìîæíûì. Çäåñü, âо-первых, ñóùåñòâóåò îïðåделенный
произвîë â выборе параметðà
îñòàåòñÿ íåîднозна÷íîñòü â выборе ÷èñåë
минимàльные ïîëèíîìû äëÿ спиновых áëîêîâ
c1, è, âî-âòîðûõ, ïðè ôèêсировàííîì
c3, c4. Îäíàêî âî âñåõ случаях
1/2
, C
3/2
è ìàòðèöû
C
c
Γ
èìåþò îäèí è òîò æå âèä
(C
1/2)3
= 0, (C
3
Γ
Γ
4
3/2)2
2
− 1= 0,
4
− 1 = 0,
(2.135)
(2.136)
÷òî свидетельствóåò îá óíèòарной эквивàлентноñòè ñîîòâåòñòâующих
ÐÂÓ.
Òàêèì образîì, íà îñíîâå ñõåìû зацеплений (2.96) ïðè выборе ïàðà-
ìåòðîâ
äî эквивàлентноñòè) ÐÂÓ äëÿ частицы ñî спиноì 3/2 è ìàòрицей
новые áëîêè êîòîðîé
f1, f2ñîãласно(2.126) ìîæíî ïîлучить åдинствåííîå (ñ òî÷íîñòüþ
1/2
C
Çíàчениям параметðîâ
3/2
, C
èìåþò âèä (2.123), (2.134).
f1, f2(2.126) ñîîòâåòñòâóåò ñëåдующий выбор
Γ4, ñïè-
ýлементîâ ìàòðèöû билинейной ôîðìû è явные выражåíèÿ äëÿ åå áëîêîâ
1/2
, η
3/2
:
η
1
4
1/2
η
14
= η
1/2
25
= −η
1/2
36
= η
3/2
36
= 1,
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 −1
1/2
η
=
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
, η
3/2
=
0 0 −1 0 0 0
Óсловие äåфинитноñòè заряда (1.17) â данноì случае (
ìàåò âèä
Sp
Èñïîëüçóÿ явный âèä ìàòðèö
Sp
(γ
(γ
2
4
η)
−Sp
4
Γ4èη, ïîлучаем
4
η) = 0,
4
(Γ
Sp
3
4
η)
(γ
2
3
4
< 0.
η) = 8,
0 1
1 0
.
n = 3
(2.137)
(2.138)
) прини-
(2.139)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]