Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы
.pdf
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 11
Íàãлядноåèçображåíèå ïðåäñòàâленияTîñóùåñòâëÿåòñÿ ïîñðåäñòâîì
òàê называемой ñõåìû зацеплений, â êîòîðîé зацепляющиеñÿ непривîäè-
ìûåêîмпонентыτñîåдиняюòñÿ÷åðòîé, è ïðè ýòîì любыеäâà ïðåäñòàâëå-
íèÿ (êîмпонентыT) могут áûòü ñîåдинены öåïî÷êîé èç зацепляющихñÿ
ïðåäñòàâлений, ñîдержащихñÿ âT. Åñëè â èñïîëüçóåìîé ñõåìå зацепле-
íèé õîòÿáû îäíî непривîäèìîå ïðåäñòàâление âñòðå÷àåòñÿ äâà èëè áîëåå
ðàç, òî ãîâîðÿò îá ÐÂÓ ñ êðàтными (ïîâòоряющимися) ïðåäñòàâлениями
ãðóïïû Ëоренца.
Основную ðîëü â ÐÂÓ (1.1), (1.2) играюò ìàòðèöû
÷òî ìàòðèöû
Γi(i = 1, 2, 3)
выражаюòñÿ ÷åðåç
Γ4è áóñòû
Γ4è
Γ0; íàïîìíèì,
Ji4лоренцев-
ñêèõ преобразîâàíèé â ïðîñòранствå ïðåäñòàâленияT:
Γi= [Ji4, Γ4].
(1.3)
Äëÿ óñòàíîâления ñïåêòðà âîçìîæíûõ çíàчений ìàññû è спиновых
õàðàêтеристик частицы, описываемогî уравнением (1.2), óдобно èñïîëü-
çîâàòü базис ÃельфандаЯгëîìà, â êîòîðîì ìàòðèöà
Γ4имеет âèä
Çäåñü
Γ4= ⊕
I
åдиничная клеткà ðàçмерноñòè
2s+1
Cs⊗ I
s
.
2s+1
2s + 1;Cs òàê называемый
(1.4)
спиновый áëîê.
Áëîê
Csñîñòîèò èç ýлементîâ
s
c
;
τ, τ′ непривîдимые ïðåäñòàâëå-
′
ττ
íèÿ, êîòîðûå âõîäÿò âT; âîçìîæíûå çíàченияsóäîâëåòâîðÿþò условиям
| l1− l2|≤ s ≤ l1+ l2, | l
Ïðè ýòîì ýлементы
ñòàâлений
τ, τ′. Ïðî ïðåäñòàâления, óäîâëåòâоряющие условиям (1.5),
s
c
îòличны îò íóëÿòîëüêî äëÿ зацепляющихñÿ ïðåä-
′
ττ
1
− l
ãîâîðÿò, ÷òî îíè ôîðìèðóþò спиновый áëîê
′
|≤ s ≤ l
2
Cs. Очевидно, ÷òî â èñïîëü-
′
1
+ l
′
.
2
(1.5)
′
çóåìîé ñõåìå зацеплений ïðè îïèñàíèè спинаsäîëæíî áûòü, êàê ìèíè-
ìóì, äâà зацепляющихñÿ непривîдимых ïðåäñòàâления, ôîðìèðующих
áëîê
Cs.
Âîçìîæíûåçíàчения ìàññû частицы
m
è êîðíè
±λ
(s)
k
áëîêà
Csñîãласно ôîðìóëå
(s)
выражаюòñÿ ÷åðåç параметð
m
k
m
(s)
k
=
| λ
m
(s)
k
.
(1.6)
|
12 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
′
−
s
c
ττ
= l−,
Òребовàíèå (a) íàлагает ñëåдующие ограничения íà ýлементы
s
c
= c
′
ττ
s
c
= c
′
ττ
′
(s + l++ 2)(s − l+− 1),
ττ
′
(s + l−+ 1)(s − l−),
ττ
s
c
′
ττ
= c
ττ
′
(s +
åñëè
åñëè
1
),
åñëè
2
′
l
+
′
l
= l++ 1, l
+
′
l
= l+, l
+
= l+, l
′
−
= l−,
′
= l−+ 1,
−
ãäå
′
′
′
′
′
1
− l
′
|;
2
çäåñü
l+= l1+ l2, l−=| l1− l2|, l
′
c
произвîльные (îòличные îò íóëÿ) êîмплекñíûå числа äëÿ
ττ
= l
+ l
, l
+
1
2
−
=| l
зацепляющихñÿ ïðåäñòàâлений è íóлевые âî âñåõ îñòàльных случаях.
Òребовàíèå(b) èíâариантноñòè ÐÂÓîòíîсительнооперации ïðîñòðàí-
ñòâенногî îòðàæåíèÿ íàлагает íà числа
s
c
ττ
s
c
′
ττ
= c
′
= ±c
s
,
,
åñëè˙τ = τ,
åñëè˙τ = τ,
′
˙τ˙
τ
s
′
˙τ˙
τ
′
c
ограничения:
ττ
˙
τ′= τ′;
˙
τ′= τ′,
:
′
(1.7)
(1.8)
˙
τ′= τ′.
Çíàê
ëèáî˙τ = τ,
(+)
âî âòîðîì условии (1.8) (äëÿ îïðåделенноñòè ñ÷èòàåì, ÷òî˙τ =
τ,˙τ′= τ′) áåðåòñÿ òîãäà, êîãäà операòîð ïðîñòранственногî îòðàæåíèÿ
′
P
действóåò â ïîäïðîñòранствàõ
τ
à çíàê
P ξ
(−)
выбираетñÿ, åñëè
P ξ
τ
sm
sm
= (−1)
= (−1)sξ
Ôàêòè÷åñêè, äâå âîçìîæíîñòè
τ
sm
s+1ξτ
, P ξ
, P ξ
sm
(±)
ренней четноñòè типами частиц. Ïðè
òîãäà, êîãäà операòîðPдействóåò îдинакîâî â ïðîñòранствàõ
Äðóãèõ ограничений íà числа
c
ττ
τ
Rτ, R
ïî ôîðìóëàì
′
τ
= (−1)sξ
sm
′
τ
= (−1)sξ
sm
˙
τ
sm
′
τ
sm
,
′
˙
.
ñâязаны ñ различающимися ïî âíóò-
τ =˙τ, τ′=˙τ′имеем
′
c
= 0
ττ
Rτ, R
′
â ýòîì случае íå накладывàåòñÿ.
(1.9)
(1.10)
ëèøü
τ
Ïðè ïîñòðîåíèè лагранжиана
L = −¯ψ (Γµ∂µ+ m) ψ,
(1.11)
′
.
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 13
èç êîòîðîãîìîæåòáûòü ïîлученоÐÂÓ(1.2), èñïîëüçóåòñÿ лоренц-инвàðè-
антная âåùåñòâенная ôîðìà¯ψψ = ψ
+
ηψ
, ãäåη ìàòðèöà билинейной
ôîðìû. Â базисå ÃельфандаЯгëîìà ìàòðèöàηимеет ñòðóêòóðó, àíàëî-
гичную (1.4):
η = ⊕
s
ηs⊗ I
2s+1
.
(1.12)
 áëîêàõ
s
η
îòличными îò íóëÿ ÿâëÿþòñÿ ëèøü ýлементы
s
η
τ˙τ
= η
s
ττ
˙
= −η
s±1
τ˙τ
.
s
η
, причем
τ˙τ
(1.13)
Ïîñêîëüêóобщий ìíîжитель ïðè ìàòðèöåηфизичеñêîãî смысла íå èìå-
åò, òî, íå óменьшая общноñòè, ìîæíî íîðмировàòü åå òàê, ÷òî â áëîêàõ
η
áóäóò âñòðå÷àòüñÿ òîëüêî числа±1.
Òребовàíèå (c) âîçìîæíîñòè лагранжåâîé ôîðìóлировки уравнения
(1.2) ïðèâîäèò ê условию
s
s
c
η
′
′
˙
ττ
τ
τ
Минимàльный ïîëèíîì ìàòðèöû
= (c
′
s
τ
˙
′
τ
)∗η
˙
s
.
τ˙τ
Γ4(à çíà÷èò, è âñåõ
(1.14)
Γµ) â уравнении
(1.2), описывающем частицы ñ íåíóëåâîé энергией è íåíóлевым зарядоì,
äîëæåí иметь ñëåдующий âèä:
n
2
2
2
4
− λ
2
)... = 0,
2
(1.15)
ãäå âñå
Γ
(Γ
− λ
4
4
λ
âåùåñòâåííû è различны, ànìîæåò áûòü любым целым
k
) (Γ
1
ïîëîжительным числоì, âêëþ÷àÿ íóëü.
Äëÿ äåфинитноñòè энергии è заряда íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîë-
нения ñîîòâåòñòâåííî неравенств
s
Ìàòðèöà
(−1)
(−1)
n+1
Sp
(Γ
n
Sp
(Γ
n+1
4
n+1
4
η)
η)
2
− (Sp(Γ
2
− (Sp(Γ
Γ0ïðèâîäèìà ê äèàãîíàëüíîìó âèäó è ïðè ýòîì ñîñòîèò èç
n
4
n
4
η))
η))
2
2
> 0,
> 0.
(1.16)
(1.17)
íåзависимых ñêàлярных áëîêîâ,îòâåчающих непривîдимымïðåäñòàâëå-
íèÿìτ. Â случае, êîãäà
det Γ0= 0
, часть ýòèõ áëîêîâ ÿâëÿþòñÿ íóлевыми.
14 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Èç условия (b) ñëåäóåò, ÷òî íåíóлевые ýлементы
aτìàòðèöû
Γ0óäîâëå-
òâîðÿþò ðàâенствó
aτ= a
.
˙
τ
(1.18)
Óсловие (c) ïðèâîäèò опять-тàêè ê ñîîтношению (1.18). Важно îтметить,
÷òî â ñòандарòíîé теории ÐÂÓ уравнение (1.1) ñ îñîáенной ìàòрицей
Γ
ассоциирóåòñÿ ñ îïèñанием исключительно áåçìассовых частиц.
Êàêóæåîòìå÷àëîñü â ïðåдисловии, õàðàêтернойîñîáåííîñòüþнаибо-
ëååèçâåстныхÐÂÓâèäà(1.2) (уравнение Диракàäëÿ спина
1/2
,уравнение
ÄàôôèíàÊеммера äëÿ спинов0è1, уравнение ФирцаПаóëè äëÿ спина
3/2
) ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òîâ íèõ èñïîëüçóåòñÿ набор непривîдимых ïðåäñòàâëå-
íèé ãðóïïû Ëоренца, минимàëüíî íåîáõîдимый äëÿ ïîñòðîåíèÿ теории
данногî спина.
Попытки применения êðàòíûõ ïðåäñòàâлений â теории ÐÂÓ ïðåäïðè-
íèìàëèñü различными àâòорами. Ïðåäëîæенный â ðàáîòàõ [3, 13] ñïîñîá
óñòранения òðóäíîñòåé â теории ДиракаФирцаПаóëè [13], êîòîðûé
заклю÷àåòñÿ âî ââåдении â лагранжиан äîïîлнительных ñïèí-òåíçîðîâ,
åñòü, ïî-ñóùåñòâó, íè ÷òî èíîå êàê ââåдение êðàòíûõ ïðåäñòàâлений.
Впервые ïðåäëîæåííîå Ãèíçáóðãîì [14], çàòåì спустÿ 10 ëåò переоòêðû-
òîå Áàáà [15] è ïîдробно èçученноå âïîñëåдствии Файнбåðãîì [16] è
Ëîáêî [17] уравнение äëÿ частицы ñ переменным спиноì
1/2, 3/2
áàçè-
ðóåòñÿ íà наборе непривîдимых ïðåäñòàâлений ãðóïïû Ëоренца
0
1
2(0,
) ⊕ 2(
2
Çäåñü непривîдимые êîмпоненты
1
, 0) ⊕ (
2
1
, 1) ⊕ (1,
2
(0, 1/2)è(1/2, 0)
1
).
2
èìåþòêðàòíîñòü, ðàâ-
(1.19)
íóþ äâóì2. Ýòîò æå набор впервые áûë ïðåäëîæåí äëÿ îïèñàíèÿ частиц
ñî спиноì 3/2 Фрадкиным [13].
 ðàáîòàõ [18, 19] исслеäîâàëàñü ñõåìà зацеплений
3
γ(0,
) − β(
2
2
Áëàãîäàðÿ ýòîìó обобщению, óäàåòñÿ частично решить ïðîáëåìó ðàñõîäèìîñòè â
ïåðâîì íåèñ÷åзающем ïðèáëèæåíèè теории âîçмущений [16].
1
2
| |
1
α(0,
2
, 1) − β(1,
1
) − α(
2
, 0)
1
) − γ(
2
3
, 0)
2
(1.20)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 15
íà ïðåäìåò ïîñòðîåíèÿ âñåâîçìîæíûõ ÐÂÓ ñ îäíèì çíàчением спина
1/2
èëè
3/2
, óäîâëåòâоряющих ñòандарòíûì физичеñêèì òребованиям
(
α, β, γ
Ïîдробно рассмàòðèâàëîñü 40-êîмпонентноå уравнение äëÿ спина
êðàòíîñòè ñîîòâåòñòâующихнепривîдимых êîмпонентâ (1.20)).
3/2
Òîò æå ñïèí, описываемый 52-êîмпонентной âîëíîâîé ôункцией, èçó-
÷àëñÿ â ðàáîòå [20]. Óравнение äëÿ частицы ñî спиноì 2 è расширенным
набороì непривîдимых ïðåäñòàâлений, âêëþ÷àÿ êðàòíûå, ïðåдлагаëîñü
â [21].
Общее исслеäîâàíèå ñõåì зацеплений ñ êðàтными ïðåäñòàâлениями
äëÿ частиц ñ проивîльным высшим спиноì â ïîäõîäå ÃельфандаЯгëîìà
ïðîâîäèòñÿ â ðàáîòàõ Êàïðè [22, 23], Àìàðà è Доццио [24, 25].
 ðàáîòå [22] теория ïîлуцелогî спина
s + 1/2
ñòðîèòñÿ íà îñíîâå
набора непривîдимых ïðåäñòàâлений
s
s + 1
(
,
2
2
s−2
⊕
j=0
) ⊕ (
αj(
s + 1
2
j
,
2
s
,
2
j + 1
2
) ⊕ (
) ⊕ αj(
s − 1
2
s
,
2
j + 1
2
) ⊕ (
j
,
2
s
2
),
s − 1
,
) ⊕
2
(1.21)
.
ãäåêðàòíîñòè
α
ïîдбираюòñÿòàê, ÷òîáû îáåñïå÷èòü âíóòреннюю непро-
j
òèâîðå÷èâîñòü уравнений, â частноñòè, äåфинитноñòü ìåòðèêè ïðè êâàí-
òîâàíèè. êà÷åñòâåпримера рассмàòðèâàåòñÿÐÂÓäëÿ спина
3/2ñα0= 2
 [23] òîò æå ïîäõîä èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ïîлучения ÐÂÓ ñ заданным ñïåê-
òðîì ìàññ è спинов, причем â îòличие îò ìåòîäà Áàáà [4] áåç æåñòêîé
взаимоñâÿçè между ïîñëåдними. Äëÿ целогî спина àíàлогичные иссле-
äîâàíèÿ ïðîâîäÿòñÿ â ðàáîòàõ [24, 25].
Ñëåäóåò, îäíàêî, îтметить, ÷òî ìåòîäèêà Êàïðè, Àìàðà è Доццио îá-
ладает ÷ðåçмерной общноñòüþ, çàòðóдняющей åå ïðàêòè÷åñêîå примене-
íèå. Îòñóòñòâóþò êàêèå-ëèáî êонкретные ðåêîмендации äëÿ выбора ÷è-
ñåë
α
â (1.21), ïîýòîìó ïîñòðîåíèå ÐÂÓ ñ заданными õàðàêтеристикàìè
j
òðåáóåò óòîмительногî перебора различных âариантîâ.
Äëÿ частиц ñ низшими спинами çàäà÷à ïîлучения ÐÂÓ ñ расширен-
íîé ñòðóêòóðîé ïðåäñòàâлений ÿâëÿåòñÿ íå менее интереñíîé, ÷åì äëÿ
высших, òåì áîëåå ÷òî íà òàêèõ уравнениях проще èçó÷àòü ìåõàíèçì
âлияния êðàòíûõ ïðåäñòàâлений íà физичеñêèå ñâойствà частиц. Òåì íå
менее óêазанных уравнений ñóùåñòâóåò ê íàñòîящему времени сравни-
тельно немногî.
.
16 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Äëÿ спина
набороì ïðåäñòàâлений (1.19) áûëî ïðåäëîæåíî â ðàáîòå Ïåòðàøà [26].
Åãî ïîдробноå исслеäîâàíèå ïðîâåäåíî â ðàáîòàõ Óëåãëà [27] è Ôîðìàíå-
êà [28], ãäå óñòàíîâëåíî, ÷òî íîâîå уравнение описывàåò частицу ñ àíî-
ìàльным ìагнитным ìîìåíòîì. Ïîçæå ýòî уравнение переоткрывàåòñÿ â
ðàáîòå Õàëèëà [29], â êîòîðîé ïîêазано, ÷òî, íåñìîòðÿ íà íåäèàãîíàëèçè-
ðóåìûé õàðàêòåð ìàòðèöû
нитноì ïîëå íîñÿò причинный õàðàêòåð. ÐÂÓ, описывающее ñïèí
îñíîâå ïðåäñòàâления
рассмàòðèâàåòñÿ â ðàáîòå [30].
Неэквивàлентные уравнениям ÄàôôèíàÊеммера ÐÂÓ äëÿ частиц ñ
îäíèì çíàчением ìàññû è спинами0è1ñ èñïîëüçîâанием êðàòíûõ ïðåä-
ñòàâлений ãðóïïû Ëоренца впервые áûëè ïîлучены â ðàáîòàõ [31, 32]. Â
ðàáîòå [33] ïðåäëîæåíû äâà уравнения äëÿ частицы ñî спиноì0, опира-
þùèåñÿ íà набор ïðåäñòàâлений
1/2
, íàпример, îòличающееñÿ îò уравнения Диракà ÐÂÓ ñ
Γ4, âñå åãî решения âî внешнем ýëåêòðîìàã-
1
3(0,
2
) ⊕ (
1
, 1) ⊕ (1,
2
1
) ⊕ 3(
2
1
, 0),
2
1/2
íà
1
(0, 0) ⊕ 2(
âòîðîå èç íèõ эквивàлентно уравнению, рассмоòренноìó â [31].
 ðàáîòàõ [34, 35] проанализировàíû различные классы ñõåìзацепле-
íèé, ñîдержащих äî четыреõ неэквивàлентных непривîдимых ïðåäñòàâ-
лений ãðóïïû Ëоренца произвîльной êðàòíîñòè, ñ òî÷êè зрения âîçìîæ-
íîñòè ïîñòðîåíèÿ íà èõ îñíîâå ÐÂÓ ñ îäíèì низшим спиноì è îäíîé
ìассой. Òàì æå ïðèâåäåíî íåñêîëüêî êонкретных уравнений, áîльшин-
ñòâî èç êîòîðûõóæå рассмàòðèâàëîñü â óïîмянутых âûøå ðàáîòàõ äðóãèõ
àâòîðîâ. Ïîäõîäó, èñïîëüçóåìîìó â [34, 35], â çíàчительной степени ïðè-
ñóùè íåäîñòàòêè, ñâойственные ðàáîòàì [2225].
1
,
) ⊕ (0, 1) ⊕ (1, 0);
2
2
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 17
1.2. Ðелятивистñêèå âîëíîâûå уравнения äëÿ
частиц ñ низшими спинами
Рассмоòðèì ñõåìóзацеплений непривîдимых ïðåäñòàâлений ãðóïïû
Ëоренца
1
(0, 0) − (
1
,
),
2
2
(1.22)
ãäå ïðåäñòàâление
âåêòорной ôункции
(0, 0)
ñîîòâåòñòâóåò ñêàлярной ôункции
ψ
. Ìàòðèöà
µ
Γ4ÐÂÓ, ñòðîÿùåãîñÿ íà îñíîâå ñõåìû
ψ
,
(1/2, 1/2)
0
(1.22), â базисå ÃельфандаЯгëîìà имеет âèä
Çäåñü
0
Γ4=
C
C1⊗ I
C0è
C1 áëîêè, îòâåчающие спинам 0 è 1.
.
3
(1.23)
Ââåäåì äëÿ óдобствà äàльнейших обозначений íóмерацию непривî-
димых êîмпонент, ñîдержащихñÿ â (1.22):
1
(0, 0) ∼ 1, (
Òîãäà äëÿ спиновых áëîêîâ
C0=
C0, C1ïîлучим
0
0 c
12
0
c
0
21
1
,
) ∼ 2.
2
2
, C1= 0.
(1.24)
Ïðè ýòîì íåòðóäíî видеть, ÷òî условия (1.8) (1.10) íèêàêèõ ограниче-
0
íèé, êðîìå âåùåñòâåííîñòè, íà числа
Ýлементы
s
η
ìàòðèöû лоренц-инвариантной билинейной ôîðìûη,
ij
0
c
, c
12
íå накладывàþò.
21
êîòîðàÿ â базисå ÃельфандаЯгëîìà имеет àíàлогичную (1.23) спиновóþ
ñòðóêòóðó
η =
η
0
η1⊗ I
, η0=
3
âûáåðåì ñëåдующим образîì:
0
η
= η
11
0
22
= −η
0
η
11
0 η
1
= 1.
21
0
0
22
, η1= η
1
22
,
(1.25)
(1.26)
18 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Òàêîé выбор ïðè íàëîæåíèè условия (1.14) ïðèâîäèò ê ограничению
0
21
= c
0
12
,
(1.27)
c
ãäå учтено, ÷òî
íûé íåзависимый параметð ìàòðèöû
0
c
ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâенным числоì. Ïîлагая åдинствåí-
12
Γ4(1.23), (1.24) равным 1 (
ïîлучим îêîí÷àтельно
0 1 0 0 0
C0=
0 1
1 0
, Γ4=
1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
.
0 0 0 0 0
Ëåãêîóáåдиться,÷òî минимàëüíîå уравнение ìàòðèöû
Γ4(1.28) имеет
âèä
2
Âèä îñòàльных ìàòðèö
Γ4(Γ
Γi(i = 1, 2, 3)
− 1) = 0.
4
íàõîäèòñÿ èç ñîîтношений (1.3).
Äëÿ äåфинитноñòè энергии íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî â данноì случае
âûïîлнения неравенствà (ñì. (1.16))
(−1)
2
Sp
(Γ
2
2
η)
4
− (Sp(Γ4η))
2
> 0,
0
c
12
= 1
(1.28)
(1.29)
(1.30)
),
справåäëèâîñòü êîòîðîãî àâòîìàòè÷åñêè вытекàåò èç выражåíèé (1.25),
(1.26), (1.28) äëÿ ìàòðèöηè
Γ4.
Èç уравнений (1.28), (1.29) ñëåäóåò, ÷òî ñîñòîяниям ñî спиноì 0 ñî-
îòâåòñòâóåò îäíî (ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà) çíàчение ìàññû, à ñîñòîÿíèÿ
ñî спиноì 1 îòñóòñòâóþò. Òàêèì образîì, ïîñòðîåííîå âûøå â ïîäõîäå
ÃельфандаЯгëîìà ÐÂÓ описывàåò частицу ñ íåíóëåâîé ìассой è спиноì
0.  литераòóðå åãî обычно назывàþò уравнением ÄàôôèíàÊеммера äëÿ
спина 0 (ñì., íàпример, [36]), ïîñêîëüêó впервые áûëî ïðåäëîæåíî â ðà-
áîòàõ [37, 38].
Òåíçорная ôîðìóлировкà уравнения ÄàôôèíàÊеммера äëÿ спина 0
имеет âèä
∂µψµ+ mψ0= 0, ∂µψ0+ mψµ= 0.
(1.31)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 19
Èç системы (1.31) ìîæíî ïîлучить уравнение КлейнаФокàÃîðäîíà
äëÿ ñêàлярной ôункции
( − m2)ψ0= 0,
(1.32)
ïîäòâерждающее, ÷òî системà действительно описывàåò ìассивную ÷à-
стицу ñî спиноì 0.
Òåíçорная системà (1.31) ìîæåò áûòü çàïèñàíà â ìàòричной ôîðìå
(1.2), ãäå ìàòðèöû
Γµâ базисå
ψ = ( ψ0, ψµ)
выражаюòñÿ ÷åðåç ýлементы
ïîëíîé ìàòричной àëãåáðû
eAB, (eAB)
= δAMδBN, eABeCD= δBCe
MN
AD
ñëåдующим образîì [39]:
Γµ= e0µ+ eµ0.
(1.33)
Èñïîëüçóÿ (1.33), ïðèõîäèì ê ñîîтношению
ΓµΓνΓλ+ ΓλΓνΓµ= δµνΓλ+ δλνΓµ,
(1.34)
êîòîðîå îïðåделяет àëãåáðó ìàòðèö ÄàôôèíàÊеммера.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðîстейшегî ÐÂÓ äëÿ частицы ñî спиноì 1 è íåíó-
ëåâîé ìассой áóäåì èñõîäèòü èç набора непривîдимых ïðåäñòàâлений
ãðóïïû Ëоренца
1
1
(
,
) ⊕ (0, 1) ⊕ (1, 0),
2
2
образующих ñõåìó зацеплений
1
1
,
2
2
) − (1, 0).
(1.35)
îòâå÷àåò антисимметричноìó òåíçîðó
Γ4â базисå ÃельфандаЯгëîìà â данноì
Çäåñü ïðåäñòàâление
âòîðîãî ранга
ψ
[µν]
(0, 1) − (
(0, 1) ⊕ (1, 0)
. Ìàòðèöà
случае имеет по-прежнему áëî÷íóþ ñòðóêòóðó (1.23). Обозна÷àÿ ïðåä-
ñòàâления, âõîдящие â (1.35), â ñîîòâåòствии ñ íóмерацией
1
1
(
,
) ∼ 1, (0, 1) ∼ 2, (1, 0) ∼ 3,
2
2
20 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
ïîлучим äëÿ спиновых áëîêîâ
C1=
C0, C1выражåíèÿ
1
0 c
1
c
21
1
c
31
c
12
0 0
0 0
1
13
, C0= 0.
(1.36)
Èíâариантноñòü ñòðîÿùåãîñÿ ÐÂÓ îòíîсительно преобразîâàíèéñîá-
ñòâеннойãðóïïû Ëоренца (ôîðìóëû(1.7)), êàêè â случае спина 0,íèêàêèõ
ограничений íà числа
1
c
íå накладывàåò.Èíâариантноñòü æå îòíîситель-
ij
íî ïðîñòранственных îòðàæåíèé ïðèâîäèò ê условиям (ñì. (1.8))
1
c
12
= ±c
1
13
, c
1
21
= ±c
1
31
.
(1.37)
Òребовàíèåâîçìîæíîñòè ïîлучения ÐÂÓ èç èíâариантнойôункцииЛагран-
æà (ôîðìóëà (1.14)) îçíà÷àåò, ÷òî
1
η
=
11
1
(c
)∗.
31
1
η
23
(1.38)
1
c
12
Íåíóлевые ýлементы ìàòðèöû билинейной ôîðìû
η =
η
0
η1⊗ I
η1=
3
1
η
0 0 η
0 η
, η0= η
0 0
1
23
1
0
32
0
11
,
(1.39)
âûáåðåì ñëåдующим ñïîñîáîì:
0
η
11
= η
1
11
= ±η
1
23
= ±
1
32
= 1.
Òîãäà èç ñîîтношения (1.38) ñ ó÷åòîì (1.37) ïîлучим условие
 èòîãå, ïîлагая
1
c
12
1
c
12
1
= (c
)∗, c
21
= 1/√2
1
= (c
13
, äëÿ áëîêà
1
)∗.
31
C1ïîлучим îêîí÷àтельноå
выражåíèå
C1=
√
1
2
0 1 ±1
1 0 0
±1 0 0
,
(1.40)
(1.41)
(1.42)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]