Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы
.pdf
Ãëàâà 6.
Ãåîìåòðè÷åñêèå ôåðмионы íà
решеткå
6.1. Ðåøåòî÷íîå îïèñàíèå íàáîðà антисиммет-
ричных òåíçорных ïîëåé
Ðåøåòî÷íàÿ ôîðìóлировкà êâàíòîâîé õðîìîдинамики ÿâëÿåòñÿ îä-
íèì èç âажных íàïðàâлений â теории êàлибровî÷íûõ ïîëåé. Íî âî-
ïðîñ î выборе èñõîäíîãî уравнения äëÿ îïèñàíèÿ êâàðêîâ â решетî÷íîì
ïðîñòранствевремени îñòàåòñÿ, ïî-ñóùåñòâó, îткрытым. Èñïîëüçîâàíèå
äëÿ ýòîé öåëè уравнения Диракà ïðèâîäèò ê физичеñêè неинтерпрети-
ðóåìîìó óâеличению числа ñîñòîÿíèé. Èçâåстные â литераòóðå ïîäõîäû
[158160]ê решению данной ïðîáëåìû îñíîâàíûíà ìîдификацияхðåøå-
òî÷íîãî уравнения Диракà, ñíèìающих óêазанноå âûðîждение, êîòîðûå,
îäíàêî, íå ñâîáîäíû îò âíóòренних ïðîòèâîðå÷èé [161].  ôîðìóлировкå
Вильсона [158], íàпример, пропадает êèðàльная симметðèÿ, à â ïîäõîäå
ÊîãóòаСасскинда [159, 160] íå óäàåòñÿ ïîëíîñòüþ óñòранить ïîÿâление
лишних решений. Êðîìå òîãî, îòñóòñòâóþò êàêèå-ëèáî êонцептóàльные
îáîñíîâàíèÿ òàêèõ ìîдификàöèé, çà исключением îчевидногî òребовà-
íèÿ, ÷òîáû ïðè ïåðåõîäå â êонтинууì ïîëó÷àëñÿ обычный âèä уравнения
Диракà.
Ãåîìåòðèçîâанный æå ñïîñîá îïèñàíèÿ êâàðêîâ ïîñðåäñòâîì òåíçîð-
íîé системы ÄÊ ñâîáîäåí îò ýòèõ òðóäíîñòåé [85, 162166], ïîñêîëüêó
åå решениям íå ñâойствåííî äîïîлнительноå (ïî сравнению ñ êонтинуу-
241
242 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
ìîì)расщепление энергетичеñêîãîñïåêòðà íà решеткå.Êàê åñòåñòâåííîå
развитие è обобщение данногî ñïîñîáà äëÿ óêазанной öåëè могут áûòü
èñïîëüçîâàíû рассмоòренные â ðàçделах 3.5 è 3.6 òåíçорные ïîлевые
системы (32- è 48- êîмпонентные), êîòîðûå îáладаюò òåìè æå преиму-
ùåñòâàìè, ÷òî è уравнение ÄÊ, íî ïîçâîëÿþò áëàãîäàðÿ áîльшей ðàçìåð-
íîñòè òðàêòîâàòü ñ åдиных позиций áîльшее число âíóòренних степеней
ñâîáîäû êâàðêîâ, âêëþ÷àÿ ñþäà è êàлибровî÷íûå.
Òåíçорная çàïèñü уравнения ÄÊ â êонтинууìå имеет âèä (4.185)
(4.189) (áåðåì áåçìассовый случай (4.184)). Êаждая èç ñîдержащихñÿ â
ýòîì уравнении 16 ïîлевых êîмпонент óäîâëåòâоряет ñâîáîäíîìó óðàâ-
нению Äàëàìáåðà.
Áóäåì рассмàòðèâàòü четырехмерную евклидовóгиперкóáè÷åñêóþ ðå-
øåòêó ñ øàãîì
îñóùåñòâëÿåòñÿ путем замены êонтинуàльных произвîäíûõ
òî÷íûå
∇µ. Ïðè ýòîì â принципе âîçìîæíû òðè òèïà решетî÷íûõ произ-
a = 1
. Êàê èçâåñòíî, ïåðåõîä ê решетî÷íîìó îïèñàíèþ
∂µíà ðåøå-
âîäíûõ
∇
f(x) = f (x + eµ) − f(x),
µ(+)
∇
f(x) = f (x) − f (x − eµ),
µ(−)
(6.1)
(6.2)
1
∇
f(x) =
µ(±)
ãäå
eµ åдиничный âåêòîð, ñîåдиняющий äâà ñîñåäíèõ óçëà решетки â
íàïðàâленииµ. Операòîð Äàëàìáåðà
ñëåдующих ñïîсобов:
∇
[f(x + eµ) − f(x − eµ)],
2
= ∂
2
µ(+)
2
,
∇
µ(−)
2
,
∇
µ(±)
2
ìîæåò áûòü задан îäíèì èç
µ
,
∇
µ(+)∇µ(−)
.
(6.3)
Àíàëèç энергетичеñêîãî ñïåêòðà решетî÷íîãî уравнения Äàëàìáåðà
äëÿ решений òèïà
), ÷òî ïðè выборе äàëàìáåðтиана ñïîñîáîì
ψ(x) ∼ exp(ipµxµ)
ïîêàçûâàåò (ñì., íàпример, [167]
∇
2
µ(+)
èëè
∇
2
çàêîíû äèñ-
µ(−)
персии ïðèâîäÿò ê мнимым çíàчениям энергии è, ñëåäîâàтельно, физиче-
ñêè áåññîдержательны. Операòîðó
∇
2
îòâå÷àåò расщепление ñïåêòðà
µ(±)
(óäâîåíèå ñîñòîÿíèé). Âåùåñòâенные çíàчения энергии áåç расщепления
ñïåêòðà ïîлучаюòñÿ òîëüêî ïðè выборе
= ∇
µ(+)∇µ(−)
.
Ñîîòâåòñòâующаяуравнениям (4.185)(4.189) решетî÷íàÿсистемà ïåð-
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 243
âîãî порядкà принимàåò â ýòîì случае âèä
−∇
µ(+)
1
ε
µναβ
2
∇
µ(−)
ψν+ ∇
∇
ν(−)ψ[µν]
∇
ν(+)ψ[αβ]
ψµ= 0, ∇
ψµ+ ε
ν(+)
+ ∇
+ ∇
µναβ
∇
µ(+)
µ(−)
µ(+)
α(−)
ψ0= 0,
˜
ψ0= 0,
˜
ψµ= 0,
˜
ψβ= 0.
(6.4)
Системà(6.4) ìîæåòáûòü âûâåäåíà òàêæå èçôîðìóлировкиуравнения
ÄÊ â òåðминах внешних äèôференциальных ôîðì, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ
правилами, ñôîðìóлированными â ðàáîòå [168].
Операòîðпроизвîäíîé
∂µîáладает,êàê èçâåñòíî, òакими æå лоренцев-
скими òðàíñôîðìационными ñâойствàìè, ÷òî è 4-âåêòîð. Ïîýòîìó гради-
åíò
∂µψ0îò ñêàлярной ôункции
ψ
, ñîïîñòàâляемой узлам решетки, åñòå-
0
ñòâåííî рассмàòðèâàòü êàê âåêòîð, ñîïîñòàâляемый åå ребрам; антисим-
ìåòричный òåíçîð âòîðîãî ранга ñîîòâåòñòâóåò граням решетки, 3-âåêòîð
ïñåâäîâåêòîðó, 4-âåêòîð îáúåìó. Ðåøåòî÷íûå àíàлогии произвîäíûõ
îò òåíçорных ôункций îïðåделяюòñÿ по-разноìó â зависимоñòè îò òîãî,
повышаюò îíè ðàíã òåíçîðîâ èëè понижаюò. Åñëè повышаюò, òî íàäî
применять решетî÷íóþ произвîäíóþ
∂
, åñëè понижаюò
µ(+)
∂
µ(−)
. Â ñî-
îòâåòствии ñ этими правилами è îïðåделяетñÿ системà (6.4) (íàïîìíèì,
˜
÷òî ïîä
ψ
˜
è
ψ
µ
íàäî понимàòü òåíçîðû äóàльные
0
ψ
[ναβ]
è
ψ
[µναβ]
).
Çàпишем решетî÷íóþ систему (6.4) â ìàòричной ôîðìå. Äëÿ ýòîãî
ââåäåì â рассмоòрение äâå ÷åòâåðêè ìàòðèö
Γ
µ(+)
è
Γ
, êîòîðûå â
µ(−)
базисå
ψ = {˜ψ1, ψ1, ψ
˜
ψ3, ψ3, ψ
[12]
, ψ
[34]
, ψ
[23]
, ψ4,˜ψ4, ψ0,˜ψ0} −
èìåþò âèä
Γ
Γ
µ(+)
µ(−)
= eµ0+ e
= e0µ+ e
[λµ],λ
λ,[λµ]
+
+
Òîãäà системà (6.4) принимàåò ôîðìó
(Γ
µ(+)∇µ(+)
+ Γ
µ(−)∇µ(−)
,˜ψ2, ψ2, ψ31, ψ24,
[14]
1
ε
˜
λ,[ρω]
e
2
1
ε
[ρω],˜λ
e
2
)ψ= 0
ñòîëáåö (6.5)
˜
0˜µ
+ e
+ e
.
˜
µ˜0
,
.
(6.6)
(6.7)
(6.8)
244 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Çäåñü, êàê è â êонтинуàëüíîì случае, îсновная физичеñêàÿ инфор-
ìàöèÿ ñîдержитñÿ â числовых ìàòрицах
Γ
µ(+)
,
Γ
, ÷òî ïîçâîëÿåò ïðè
µ(−)
ïîлучении динамичеñêèõ ñëåдствий применять ìåòîäû, развитые â êîí-
тинууìå. Основные ñâойствà ìàòðèö
Γ
µ(+)
Γ
+ Γ
µ(+)
µ(−)
,
Γ
µ(−)
= Γµ,
òàêîâû:
Γ
µ(+)Γν(+)
Γ
µ(−)Γν(−)
Γ
µ(+)Γν(−)
+ Γ
+ Γ
+ Γ
ν(+)Γµ(+)
ν(−)Γµ(−)
ν(−)Γµ(+)
= 0,
= 0,
= δµν.
(6.9)
Èñïîëüçóÿ ñîîтношения (6.9), ïîêàæåì, ÷òî äëÿ êîмпонент âîëíî-
âîé ôункцииψ, ïîдчиняющейсяуравнению (6.8), ïîлучаетñÿ правильноå
уравнение âòîðîãî порядкà
∇
µ(+)∇µ(−)
Äëÿ ýòîãî ïîдействóåì íà (6.8) операòîðîì
(Γ
ν(+)∇ν(+)
= (Γ
+Γ
= (Γ
ν(+)∇ν(+)Γµ(−)∇µ(−)
+ Γ
ν(−)∇ν(−)
ν(+)∇ν(+)Γµ(+)∇µ(+)
ν(−)∇ν(−)Γµ(+)∇µ(+)
ψ = 0 .
Γ
ν(+)∇ν(+)
)(Γ
µ(+)∇µ(+)
+ Γ
+ Γ
ν(−)∇ν(−)Γµ(−)∇µ(−)
+ Γ
ν(−)∇ν(−)Γµ(+)∇µ(+)
+ Γ
ν(+)∇ν(+)Γµ(−)∇µ(−)
+ Γ
µ(−)∇µ(−)
)ψ = 0.
ν(−)∇ν(−)
)ψ =
+
)ψ =
(6.10)
:
(6.11)
Çäåñü учтено, ÷òî
Γ
ν(+)∇ν(+)Γµ(+)∇µ(+)
ψ = Γ
ν(−)∇ν(−)Γµ(−)∇µ(−)
ψ = 0,
(6.12)
ïîñêîëüêó произвåдения
èçâåдения
∇
ν(+)∇µ(+)
Γ
,
∇
ν(−)∇µ(−)
ν(+)Γµ(+)
ïîñëåäíåãî èç условий (6.9) имеем
Γ
ν(+)∇ν(+)Γµ(−)∇µ(−)
= (δµν− Γ
µ(−)Γν(+))∇ν(+)∇µ(−)
= ∇
Ïîäñòановкà (6.13) â (6.11) äàåò
(∇
µ(+)∇µ(−)
− Γ
µ(−)Γν(+)∇ν(+)∇µ(−)
,
Γ
ν(−)Γµ(−)
антисимметричны, à ïðî-
симметричны ïî индекñàìµ,ν. Â ñèëó
= Γ
ν(+)Γµ(−)∇ν(+)∇µ(−)
µ(+)∇ν(−)
+ Γ
− Γ
µ(−)Γν(+)∇ν(+)∇µ(−)
ν(−)Γµ(+)∇ν(−)∇µ(+)
=
)ψ = 0.
(6.13)
.
(6.14)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 245
Âòîðîé è òретий члены â ëåâîé части уравнения (6.14) îдинакîâû (áåç
ó÷åòà çíàêîâ), â ÷åì ëåãêî óáåдиться, переобозна÷èâ индекñû ñóммиро-
âàíèÿ
µ ν
â îäíîì èç íèõ. Â ðåçóëüòàòå èç (6.14) ñëåäóåò уравнение
(6.10), ÷òî è òребовàëîñü ïîêàçàòü.
Èç (6.9) вытекàåò òàêæå, ÷òî операòîðû
Γ
µ(+)
∂µè
Γ
∂µÿâëÿþòñÿ
µ(−)
прямыми ìàòричными àíàлогами операòîðîâdèδ, ââîдимых â àппараòå
внешних äèôференциальных ôîðì è èñïîëüçóåìûõ äëÿ çàïèñè êонтину-
àльногî уравнения ÄÊ. Ïîдчеркнем, ÷òî äëÿ ìàòðèö Диракà ðàçмерноñòè
4 × 4
íå ñóùåñòâóåò ïðåäñòàâления ñî ñâойствàìè (6.9).
 ôåðмионноì базисå, êîòîðûé õàðàêтеризóåòñÿ òåì ÷òî, ÷òî âîëíî-
âàÿ ôункция ïîëÿ ÄÊ рассмàòðèâàåòñÿ â íåì êàê диракîâñêèé биспинор
âòîðîãî ранга, ìàòðèöû
Γ
µ(+)
,
Γ
ìîæíî ïðåäñòавить â âèäå
µ(−)
Γ
=
µ(+)
ãäå
Γµîïðåделяюòñÿ ñîãласно (3.40) è
(Γµ+ Γµ), Γ
2
Γµ= iγ
T
⊗ γ5;
µ
çäåñü è äàëåå â ýòîé ãëàâå äëÿ ìàòðèö
1
(1.49), (1.50). Ïðè ýòîì ìàòðèöû
Γµè
Γµóäîâëåòâîðÿþò условиям
µ(−)
1
=
(Γµ− Γµ),
2
γ
èñïîëüçóåòñÿ ïðåäñòàâление
µ
ΓµΓν+ ΓνΓµ= −2δµν,
ΓµΓν+ ΓνΓµ= 0.
Ñîîòâåòñòâующий уравнению (6.8) лагранжиан имеет âèä
L = −ψ(x)(Γ
µ(+)∇µ(+)
Ââîäÿ â рассмоòрение операòîðû
h
f(x) = f (x + eµ), h
µ(+)
êîòîðûå ñâязаны ñ произвîдными
∇
µ(+)
= h
− 1, ∇
µ(+)
h
∇
+ Γ
µ(+)
µ(+)
µ(−)∇µ(−)
,
h
µ(−)
f(x) = f (x − eµ),
µ(−)
,
∇
µ(−)
µ(−)
)ψ(x).
ñîîтношениями
= 1 − h
µ(−)
(6.15)
(6.16)
(6.17)
(6.18)
(6.19)
(6.20)
,
лагранжиан (6.19) ìîæíî переписàòü â ôîðìå
L = −ψ(x)
1
Γµ(h
2
µ(+)
− h
µ(−)
) +
1
Γµ(h
2
µ(+)
+ h
− 2)ψ(x),
µ(−)
(6.21)
óдобной äëÿ исслеäîâàíèÿ симметрийных ñâойств решетî÷íîé теории
ДиракàÊýëåðà.
246 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
6.2. Симметрийные ñâойства дирак-кýëåðîâ-
ñêîãî решетî÷íîãî лагранжиана
Ñíà÷àëà îñòановимся íà дискретных ãåîìåòðè÷åñêèõ симметðèÿõ,
çàòрагивающих ïðîñòранственные êîîðäèíàòû. Ê íèì îòíîñÿòñÿ îòðàæå-
íèÿ, ïåðåñòановки, ïîâîðîòû íà
Операция îòðàæåíèÿ
Pµâäîëü îñèµзадаетñÿ ñëåдующим образîì:
Pµeν= (−1)
(çäåñü è äàëåå â данноì ðàçäåëå ñóммировàíèå ïî ïîâòоряющимся индек-
ñàì íåïîäðàçóìåâàåòñÿ).Äëÿ èíâариантноñòè лагранжиана (6.21) îòíîñè-
тельно преобразîâàíèé (6.22) ñîîòâåòñòâующие преобразîâàíèÿ ôункций
90◦, òрансляции.
δ
µν
eν, Pµh
µ(±)
= h
µ(∓)
(6.22)
ψ(x) → S(P )ψ(x), ψ+(x) → ψ+(x)S+(P ),
(6.23)
äîëæíû óäîâëåòâорять условиям
S+(Pµ)ηΓµS(Pµ) = −ηΓµ,
S+(Pµ)ηΓνS(Pµ) = ηΓν, (ν = µ),
S+(Pµ)ηΓνS(Pµ) = ηΓν, (ν = µ, ν = µ).
(6.24)
(6.25)
(6.26)
Òеперь îáðàòèì âíèìàíèå íà ñëåдующее îáñòîятельствî. Ïðè ïåðå-
õîäå ê решетî÷íîé ôîðìóлировкå ïðèõîäèòñÿ иметь äåëî ñ евклидовîé
ìåòðèêîé, â êîòîðîé êîîðäèíàòà
x4ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâенной. Ãðóïïå Ëî-
ренца ïðè ýòîìñîïîñòàâëÿåòñÿ ãðóïïà четырехмерных вращений SO(4), à
ìàòðèöàбилинейной лоренц-инвариантной ôîðìûηìîæåòáûòü выбрана
åдиничной:
η = I .
(6.27)
Òîãäà ñîîтношения (6.24)(6.26) ñîâìåñòíî ñ òребованием óíèòàðíîñòè
S+(P ) = S−1(P )
(6.28)
îднозна÷íî ïðèâîäÿò ê ñëåдующему âèäó ìàòðèöû
базисå:
S(Pµ) = γ5⊗ γµγ5.
S(Pµ)
â ôåðмионноì
(6.29)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 247
Операция ïåðåñòановки
Pµνâ ïëîñêîñòè
µν
задаетñÿ ñîãласно îïðå-
делению
Pµνeµ= eν, Pµνeν= eµ,
Pµνh
µ(±)
= h
, Pµνh
ν(±)
ν(±)
= h
µ(±)
.
(6.30)
Ãенерирóåìûåïåðåñòановкàìè(6.30)преобразîâàíèÿ ôункций ïîëÿ(6.23)
îáåñïå÷èâàþò èíâариантноñòü лагранжиана (6.21) ïðè выборе условий
S+(Pµν)ηΓµS(Pµν) = ηΓν,
S+(Pµν)ηΓµS(Pµν) = ηΓν,
S+(Pµν)ηΓλS(Pµν) = ηΓλ(λ = µ, ν),
S+(Pµν)ηΓλS(Pµν) = ηΓλ(λ = µ, ν).
Óсловия(6.31)(6.34) ñîâìåñòíî ñ (6.27), (6.28) ïðèâîäÿòê ìàòðèöå
(6.31)
(6.32)
(6.33)
(6.34)
S(Pµν)
âèäà
1
T
S(Pµν) =
(γ
2
µ
T
− γ
) ⊗ (γµ− γν)γ5.
ν
(6.35)
Преобразîâàíèÿ
◦
P
ïîâîðîòîâ íà
µν
90◦ÿâëÿþòñÿ произвåдением îïå-
раций ïåðåñòàíîâîê è îòðàæåíèé
◦
P
= PµνPµ, S(P
µν
◦
) = S(Pµν)S(Pµ).
µν
(6.36)
Îòñþäà ñ ó÷åòîì выражåíèé (6.29), (6.35) ïîлучаем
S(P
◦
) = −
µν
1
T
µ
T
− γ
)γ5⊗ (1 + γµγν).
ν
(6.37)
(γ
2
Àíàлогичным образîìíàõîäèòñÿâèä преобразîâàíèé âîëíîâîé ôóíê-
öèè, îáåñïå÷èâающих èíâариантноñòü лагранжиана (6.21) îòíîсительно
операции òрансляций:
ψ(x) →
1
+
2
x → x + eµ,
1
T
(γ
γ5⊗ I4− γ5⊗ γµ)ψ(x) +
µ
2
T
(γ
γ5⊗ I4+ γ5⊗ γµ)ψ(x + eµ).
µ
(6.38)
(6.39)
248 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Ïîìèìî ïðîñòранственных симметðèé лагранжиан (6.21) èíâариан-
òåí òàêæå îòíîсительно преобразîâàíèé
ψ(x) → e
iφH
, ψ(x) → ψ( x)e
iφH
,
(6.40)
ãäå ìàòðèöàHимеет â èñïîëüçóåìîì ôåðмионноì базисå âèä
H = iγ5⊗ γ5.
(6.41)
Заметим, ÷òî â îòличие îò обычной êèðàльной симметðèè, êîòîðàÿ íà-
ðушаетñÿ ïðè ââåдении ìàññû, преобразîâàíèå (6.40), (6.41) îñòàâëÿåò
ìассовый ÷ëåí â лагранжиане èíâариантным.
Ðåøåòî÷íàÿ теория áåçìассовîãî ïîëÿ ÄÊ допускàåò ïîìèìî (6.27)
выбор ìàòðèöû билинейной ôîðìûηè äðугими ñïîсобами. Íàпример,
η = γ5⊗ γ5.
(6.42)
 ýòîì случае äëÿ операòîðîâ âûøå рассмоòренных ãåîìåòðè÷åñêèõ ñèì-
ìåòðèé â ôåðмионноì базисå ïîлучаюòñÿ выражåíèÿ
S(Pµν) =
◦
S(P
µν
) = −
S(Pµ) = I4⊗ γµ,
1
T
µ
− γ
T
− γ
) ⊗ (γµ− γν)γ5,
ν
T
) ⊗ (1 + γµγν)γ5.
ν
(γ
2
1
T
(γ
µ
2
(6.43)
(6.44)
(6.45)
Проанализирóåì рассмоòренные âûøå дискретные решетî÷íûå ñèì-
ìåòðèè ñ òî÷êè зрения èõ êорреляции ñ êонтинуàльными симметриями
теории ÄÊ. Êàê óæå îòìå÷àëîñü â ðàçäåëå 3.3, преобразîâàíèÿQãðóïïû
âíóòренней симметðèè êонтинуàльногî лагранжиана ïîëÿ ÄÊ, переме-
øèâàÿ êîмпоненты âîëíîâîé ôункции, îòíîсящиеñÿ ê различным непри-
âîдимым ïðåäñòàâлениям ãðóïïû Ëоренца, образóþò ïîлупрямоå ïðî-
èçâåдение ñ лоренцевскими преобразîâаниями. Íî ïðè ýòîì îíè êîììó-
òèðóþò ñ операòорами ïðîñòранственно-временных òрансляций
dµ[169].
Áëàãîäàðÿ ïîñëåднему îáñòîятельствó наряду ñ разлоæением
àëãåáðû
ëîæåíèå
AR= {Jµν} ⊎ ({dµ} ⊕ {Q})
(6.46)
ARãðóïïû ïîëíîé èíâариантноñòè теории âîçìîæíî òàêæå ðàç-
AR={ˆJµν} ⊎ {dµ}⊕ {Q},
(6.47)
ãäå
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 249
ˆ
Jµν=
1
Γ[µΓν]=
4
1
I4⊗ γ[µγ
4
ν]
(6.48)
è ñèìâîë⊎îçíà÷àåò ïîлупрямую ñóììó.
 ñîîòâåòствии ñ разлоæением (6.47) àëãåáðû
ARпреобразîâàíèå
(6.29) ïðåäñòàâëÿåò собой прямоå произвåдение èçâåстногî преобразîâà-
íèÿ îòðàæåíèÿ
ðàçîâàíèÿ
γµγ
диракîâñêîãî биспинора è äîïîлнительногî преоб-
5
γ
â ïîäïðîñòранствå àðîìàòîâ. Åñëè æå переписàòü операòîð
5
(6.29) â òîæäåñòâенной ôîðìå
T
S(Pµ) = γ
T
γ
γ5⊗ γµγ5,
µ
µ
(6.49)
òî åãî ìîæíî òðàêòîâàòü è êàê ðåçóëüòàò произвåдения операòîðà îòðà-
æåíèÿ
T
γ
γ5⊗ γµγ
µ
â разлоæåíèè (6.47) è îäíîãî èç ãенераòîðîâ
5
T
γ
⊗ I
µ
преобразîâàíèé ãðóïïû âíóòренней симметðèè êонтинуàльногî уравне-
íèÿ ÄÊ.
Дискретноå преобразîâàíèå ïîâîðîòîâ íà
90◦(6.37) òàêæå ìîæíî ðàñ-
ñìàòðèâàòü, ñ îäíîé ñòороны, êàê прямоå произвåдение преобразîâàíèÿ
ïîâîðîòîâ
1
√
(1 + γµγν)
2
4
диракîâñêîãî биспинора è äîïîлнительногî преобразîâàíèÿ
1
T
−
√
(γ
2
µ
− γ
T
)γ
5
ν
â ïîäïðîñòранствå àðîìàòîâ. Ñ äðóãîé ñòороны, ïðèâåäÿ операòîð (6.37)
ê òîæäåñòâåííîìó âèäó
S(P
µν
◦
) =
(1 + γ
2
T
T
T
γ
)γ
µ
γ5⊗ (1 + γµγν),
ν
µ
(6.50)
1
åãî ìîæíî òðàêòîâàòü êàê произвåдение преобразîâàíèÿ ïîâîðîòîâ
1
√
(1 + γ
2
òåíçорногî ïîëÿ ÄÊ è ãенераòîðà
T
T
γ
) ⊗ (1 + γµγν)
µ
ν
T
γ
γ
5
µ
ãðóïïû åãî âíóòренней симмет-
ðèè.
250 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Àíàлогичноå ïîëîæåíèå имеет ìåñòî è äëÿ âñåõ îñòàльных симмет-
ðèé, â òîì числе è задаваемых ñîãласно îïðåделениям (6.43)(6.45). Òà-
êèì образîì, ðåçþìèðóÿ, ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî симметðèè îáñóæäà-
åìîé решетî÷íîé ôîðìóлировки ïîëÿ ÄÊ ÿâëÿþòñÿ дискретными ïîä-
ãðуппами àëãåáðû
ARãðóïïû ïîëíîé èíâариантноñòè теории ÄÊ, êàê
ýòî è äîëæíî áûòü ïðè êоррекòíîì ïåðåõîäå îò êонтинуàльногî îïèñàíèÿ
ê решетî÷íîìó.
6.3. Ðåдукциярешетî÷íîãî лагранжиана è èí-
терпретàöèÿ âíóòренних степеней ñâîáî-
äû
16-êîмпонентная òåíçорная системà (6.4), описывающая áåçìассовîå
ïîëå ÄÊ íà решеткå распадаетñÿ (ðåдуцирóåòñÿ) íà äâå 8-êîмпонентные
ïîдсистемы. Èõ êонтинуàльным àíàлогам ïðèñóùè âñå обычные ãåîìåò-
ðè÷åñêèå симметðèè (вращения, îòðàæåíèÿ è ò. ä.).
 ðàìêàõ ìàòричногî ïîäõîäà äëÿ ðåдукции решетî÷íîãî уравнения
ÄÊ íàäî ââåñòè ïðîåêтивные операòîðû
P±=
(1 ± R),
(6.51)
2
ãäå ìàòðèöàRäîëæíà êîммутировàòü ëèáî антикîммутировàòü (ïîñëåä-
íåå допустимо òîëüêî â áåçìассовîì случае) ñ операòîðîì
1
ˆ
K = Γ
µ(+)∇µ(+)
+ Γ
µ(−)∇µ(−)
,
(6.52)
âõîдящим â уравнение (6.8) è лагранжиан (6.19). Минимàльный ïîëèíîì
ìàòðèöûRäîëæåí иметь âèä
R2− 1 = 0.
(6.53)
Êàê óæå îòìå÷àëîñü â ðàçäåëå 6.2, ìàòðèöà, êîммутирующая ñî âñåìè
ìàòрицами
ìîæíîñòü îòûñêàíèÿ ìàòðèöû, антикîммутирующей ñ операòîðîìˆK
Γ
µ(+)
,
Γ
, êðàòíà åдиничной. Ïîýòîìó îñòàåòñÿ ëèøü âîç-
µ(−)
. C
òî÷íîñòüþ äî ìíîжителя òàêàÿ ìàòðèöà совпадает ñ ìàòрицейH(6.41)
êèðàльноподобных преобразîâàíèé, ò. å.
R = aγ5⊗ γ5.
(6.54)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]