Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы
.pdf
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 251
Óсловие (6.53) äàåò äëÿ ìíîжителяaâ (6.54) çíàчения
íàпример,
a = 1
, ïîлучим
R = γ5⊗ γ5.
±1
. Выбирая,
(6.55)
ÌàòðèöàR(6.55) имеет îдинакîâóþ êðàòíîñòü собственных çíàчений
±1
(ïî âîñåìü). Ïîýòîìóðåдукция, ðåàëèçóåìàÿ ñ ïîмощью ïðîåêтивных
операòîðîâ(6.51),ïðèâîäèò ê äâóì8-êîмпонентным системàì уравнений.
Îñóùåствим данную ðåдукцию ÿâíî. Ââåäåì â рассмоòрение ôункции
ψ±= P±ψ, ψ±= ψP±, (ψ = ψ++ ψ−),
(6.56)
смысл êîòîðûõ îчевиден. Преобразóåì лагранжиан (6.19):
L = −ψˆKψ = −(ψ++ ψ−)ˆK(ψ++ ψ−) =
= −ψ
ˆ
Kψ+− ψ
+
 ñèëó условия антикîììóòàöèè
ˆ
Kψ−− ψ
+
RˆK = −ˆKR
ˆ
P
K =ˆKP∓,
±
ˆ
Kψ+− ψ
−
−
имеем
ˆ
Kψ−.
(6.57)
(6.58)
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ïåðâîå è ÷åòâåðòîå слагаемые â ïðàâîé части âûðà-
æåíèÿ (6.57) равны íóëþ:
ˆ
ψ
Kψ±= ψ±P
±
ˆ
KP±ψ = ψˆKP∓P±ψ = 0 .
±
Òàêèì образîì, лагранжианL(6.57) принимàåò âèä
L = −ψ
Îí ñîñòîèò èç äâóõ слагаемых
ˆ
Kψ−− ψ
+
L1= −ψ
ˆ
Kψ+.
−
ˆ
Kψ−è
+
L2= −ψ
(6.59)
ˆ
Kψ+, ñîïî-
−
ñòàâляемых 8-êîмпонентным решетî÷íûì уравнениям
ˆ
Kψ−= 0,ˆKψ+= 0.
(6.60)
Äëÿ óñòàíîâления òåíçорной ôîðìû ïîлученных уравнений перейдем
ñ ïîмощью преобразîâàíèé [150]
1
U′=
×
2
252 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
1 1 −1 −1
1 1 1 −1 −1
1 1 1 1 1
−i i 1 i −i
−i i 1 −i i
1 −1 −1 1
1 −1 1 −1
−i −i i i
−i −i −i −i
1 1 1 1
−i i i −i
−i i −i i
1 −1 −1 1
1 −1 1 −1
−i −i i i
−i −i −i −i
èç ôåðмионногî базисà â базис (6.5). Â ðåçóëüòàòå äëÿ ìàòðèöûRïîлучим
выражåíèå
R = −I4⊗ γ5.
(6.61)
Применяя операòîðû (6.51), (6.61) ê âîëíîâîé ôункции (6.5), ïðèõîäèì ê
заключению, ÷òî ôункции
ψ−= {˜ψ1, ψ1,˜ψ2, ψ2,˜ψ3, ψ3, ψ4,˜ψ4},
ψ+= {ψ
[23]
, ψ
[14]
ψ
+
, ψ
,
ψ
ñîдержаò ñëåдующие êîмпоненты:
−
, ψ
, ψ
, ψ
[31]
[24]
[12]
, ψ0,˜ψ0}.
[34]
(6.62)
(6.63)
Îòñþäà вытекàåò, ÷òî ìàòричные уравнения (6.60) действительно ñîîò-
âåòñòâóþò òåíçорной системе (6.4).
Ìàòричноå ïðåäñòàâление рассмàòðèâаемых 8-êîмпонентных систем
ñóùåñòâåííî îáлегчает óñòàíîâление èõ симметрийных ñâойств. Ïðîåê-
тивные операòîðû
îòðàæåíèé
S(Pµ)
(6.39), íî êîммутирóþò ñ преобразîâанием ïåðåñòàíîâîê
êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ êîмбинацией преобразîâàíèé
P±(6.51), (6.55) íå êîммутирóþò ñ преобразîâаниями
(6.29), ïîâîðîòîâ
S(P
0
)
(6.37) è òрансляций (6.38),
µν
S(Pµν)
◦
S(P
)èS(Pµ)
µν
. Ñëåäîâà-
(6.35),
тельно, èç ãåîìåòðè÷åñêèõ симметðèé, ïðèñóùèõ 16-êîмпонентной ðåøå-
òî÷íîé теории ÄÊ, ó ðåдуцированных 8-êîмпонентных ïîдсистем îñòà-
åòñÿ òîëüêî симметðèÿ ïåðåñòàíîâîê.
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 253
Îäíàêî ýòî îáñòîятельствî íå препятñòâóåò èõ рассмоòрению â êà÷å-
ñòâå ñàìîñòîятельных уравнений, åñëè ïðè ïåðåõîäå â êонтинууì íåîá-
õîдимые ãåîìåòðè÷åñêèå симметðèè âîññòàíàâëèâàþòñÿ.Êонтинуàльные
òåíçорные àíàëîãè (4.185), (4.186) è (4.187) (4.189) ìàòричных решетî÷-
íûõ уравнений óêазанноìó условию óäîâëåòâîðÿþò. Âìåñòå ñ òåì ìîæíî
óòâерждаòü, ÷òî минимàльная ðàçмерноñòü диракîïîдобных ÐÂÓ, íå ïðè-
âîдящих ê расщеплению ñïåêòðà ñîñòîÿíèé è îáладающих ñòандарòíûì
набороì ãåîìåòðè÷åñêèõ симметðèé íà решеткå, равна 16.
Îáñóäèì åùå âîçìîæíîñòü ðåдукции 8-êîмпонентныхрешетî÷íûõ ñè-
ñòåì íà 4-êîмпонентные. Ïîñêîëüêó ìàòðèöàR(6.55), антикîммутирóþ-
ùàÿ ñ операòîðîìˆK
, ÿâëÿåòñÿ (ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîжителя) åдинственной,
òî äðóãèõ ïðîåêтивных операòîðîâ êðîìå (6.51), (6.55), êîòîðûå óäîâëå-
òâоряли áû ñôîðìóлированнымòребованиям, ïîñòроить нельзя. Ñëåäîâà-
тельно, âîçìîæíîñòü îáñóждаемой ðåдукции îòñóòñòâóåò. Â òî æå время
â êонтинууìå системà (4.185) (4.189) ñ ïîмощью ïîäñòàíîâîê (3.80)
ìîæåò áûòü преобразîâàíà ê âèäó
−∂µΨν+ ∂νΨµ+ iε
−∂µΦν+ ∂νΦµ+ iε
∂νΨ
∂νΦ
µναβ∂αΨβ
+ ∂µΨ0= 0,
[µν]
+ ∂µΦ0= 0,
[µν]
µναβ∂αΦβ
= 0, ∂µΨµ= 0,
= 0, ∂µΦµ= 0,
(6.64)
(6.65)
(6.66)
(6.67)
îçíàчающемулоренц-инвариантноå распадение áåçìассовîéсистемы ÄÊ
â êонтинууìå íà четыре 4-êîмпонентные ïîдсистемы (6.64)(6.67).
Причину òàêîãî íåñîîòâåòствия ñâойств 8-êîмпонентных решетî÷íûõ
ôîðìóлировîê è èõ êонтинуàльных àíàëîãîâ íåñëîæíî понять, åñëè ïî-
ïûòàòüñÿ ïðîäåëàòü ñ решетî÷íîé системой (6.4) òå æå преобразîâàíèÿ
(îíè íîñÿò îчевидный õàðàêòåð), êîòîðûå ïðèâîäÿò уравнения (4.185)
(4.189) ê âèäó (6.64) (6.67). Распадение íà 4-êîмпонентные ôðàãменты
ïðè ýòîì íå ïîлучитñÿ, òàê êàê ïðè ôункциях
ψ
˜
,
ψ
0
0
˜
,
ψ
µ
˜
,
ψ
,
ψ
[µν]
ñòîÿò
µ
разные решетî÷íûå произвîäíûå. Òàêèì образîì, ó êонтинуàльных 4-
êîмпонентных систем уравнений (6.64)(6.67) îòñóòñòâóþò êоррекòíûå,
ò. å. íå ïðèâîдящие ê расщеплению ñïåêòðà, решетî÷íûå àíàëîãè.
Ïðîделанный àíàëèç ïîçâîëÿåò ïðîâåñòè äèôференциацию âíóòðåí-
íèõ степеней ñâîáîäû решетî÷íûõ дирак-кýлеровñêèõ ôåðмионов. Âîñü-
ìèêîмпонентные уравнения (6.60) èìåþò â êà÷åñòâå êонтинуàльных ïðå-
254 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
делов òåíçорные системы (4.185), (4.186) è (4.187) (4.189), íå распада-
þùèåñÿ ïî ïîëíîé ãðóïïå Ëоренца. Â ñîîòâåòствии ñ îсновными ïîëî-
æениями теории ÐÂÓ íå распадающееñÿ â лоренц-инвариантноì смысле
уравнение описывàåò åдиный ýлементарный îáúåêò. Â данноì случае â
êà÷åñòâå òàêîãî îáúåêòà öåëåсообразно рассмàòðèâàòü ïîêîление частиц.
Óäâîенный æå набор ñîñòîÿíèé,ïðèñóùèé êàæäîìóèç íå распадающихñÿ
íà решеткå уравнений (6.60), åñòåñòâåííî ñâÿçàòü ñ àðîìàòîâîé степенью
ñâîáîäû âíóòðè îäíîãî ïîêîления. Òàêèì образîì, решетî÷íîå îïèñà-
íèå ïîëÿ ÄÊ различает степени ñâîáîäû ïîêîлений è àðîìàòîâ. Ñëåäóåò
îтметить, ÷òî ïðè ââåдении ìàññû решетî÷íûå уравнения (6.60), êàê è
èõ òåíçорные àíàëîãè (6.4), ñòàíîâÿòñÿ зацепляющимися (ïîдробнее ýòîò
âîïðîñ áóäåò çàòронут â ðàçäåëå 6.6). Äðугими ñëîâàìè, ìåõàíèçì, ïðè-
âîдящий ê ïîÿâлению ìàññû ó дирак-кýлеровñêèõ ôåðмионов, òðåáóåò
ñîâìåстногî рассмоòрения íå òîëüêî àðîìàòîâ, íî è ïîêîлений частиц.
6.4. Î решетî÷íîéôîðìå16-êîмпонентнойòåî-
ðèè Диракà
Òеперьпроанализирóåì âîçìîæíîñòüрешетî÷íîãîîïèñàíèÿ ôåðìèî-
íîâ,опирающуюся íàèñïîëüçîâàíèåâ êà÷åñòâåèñõîäíîé16-êîмпонентной
áåçìассовîé теории Диракà. Ñîîòâåòñòâующая системà уравнений â êîí-
тинууìå имеет âèä
γµ∂µψr= 0,
ãäå
ψr≡ ψ
r
ñîâîêóïíîñòü четыреõ диракîâñêèõ биспиноров,r ñâî-
α
áîäíûé нелоренцевñêèé (неевклидовый) индекñ, ïðîáегающий çíàчения
îò 1 äî 4.
Развитàÿ â ðàçäåëå 6.1 процеäóðà ïåðåõîäà ê решетî÷íîìó îïèñàíèþ
ïîëÿ ÄÊ применимà è â данноì случае, ïîñêîëüêó îíà опираетñÿ, ïî-
ñóùåñòâó, ëèøü íà àëãебраичеñêèå ñâойствà ìàòðèö
Γ
µ(+)
,
Γ
è èõ ðàçмерноñòü. Очевидно, ÷òî системà (6.68) допускàåò çàïèñü â ñòàí-
äàðòíîé ìàòричной ôîðìå
Γµ∂µψ = 0 ,
µ(−)
,
Γµ,
(6.68)
Γ
(6.69)
µ
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 255
ãäå ìàòðèöû
ψ
ψ
˙a
,
ψ
a
(
Γµâ базисå
r
α
= {ψ
1
, ψ
a
˙a1
, ψ
2
, ψ
a
˙a2
, ψ
3
, ψ
a
˙a3
, ψ
4
, ψ
a
˙a4
}
(6.70)
äâóõêîмпонентные спиноры) èìåþò ñòðóêòóðó (3.40). Ïîâòîðÿÿ
выкладки, ïðîâåденные â ðàçäåëå 6.1, ìû придем ê решетî÷íîé ôîðìó-
лировкå 16-êîмпонентной теории Диракà, â òî÷íîñòè совпадающей ïî
âèäó ñ уравнением (6.8), â êîòîðîì ìàòðèöû
Γ
µ(+)
,
Γ
,
Γµîïðåделяюò-
µ(−)
ñÿ ñîãласно (6.15), (6.16). Åå симметрийные ñâойствà íå áóäóò îòëè÷àòüñÿ
îò ñâойств решетî÷íîé теории ÄÊ, ïîñêîëüêó âèä операòîðîâ ãåîìåò-
ðè÷åñêèõ симметðèé îднозна÷íî îïðåделяетñÿ условиями (6.24)(6.26),
(6.31)(6.34). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî между решетîчными ðåàлизациями îá-
ñóждаемых êонтинуàльных ïîлевых систем íåò íèêàêîé разницы, ò. å.
ôàêòè÷åñêè íàäî ãîâорить îá îäíîé 16-êîмпонентной ñâîáîäíîé áåçìàñ-
ñîâîé решетî÷íîé теории è åå äâóõ âîçìîæíûõ êонтинуàльных интер-
ïðåòациях òåíçорной (ïîëå ÄÊ) è спинорной (16-êîмпонентная теория
Диракà).
Èíàÿêàðòèíàïîлучаетñÿ, åñëè îáðàтиться êðåдуцированным8-êîìïî-
нентным решетî÷íûì уравнениям (6.60). Óñòановим èõ êонтинуàльные
àíàëîãè, ïîäðàçóìåâàÿ спинорную интерпретàöèþ. Âîлновые ôункции
ψ
,
ψ
+
, выделяемые èç ôункции (6.70) ïðîåêтивными операòорами
−
P
(6.51), (6.55), ñîдержаò ñëåдующие спинорные êîмпоненты:
±
ψ+: ψ
ψ−: ψ
1
a
˙a1
, ψ
, ψ
2
, ψ
a
˙a2
, ψ
˙a3
, ψ
3
, ψ
a
˙a4
4
.
a
(6.71)
Êонтинуàльные спинорные àíàëîãè ðåдуцированных решетî÷íûõ ñè-
ñòåì (6.60) èìåþò, ñëåäîâàтельно, âèä
∂
∂
∂
a˙b
a˙b
∂
˙abψ1
ψ
ψ
˙abψ3
= 0, ∂
b
˙
b3
= 0, ∂
˙
b1
= 0, ∂
= 0, ∂
b
˙abψ2
a˙b
a˙b
˙abψ4
ψ
ψ
˙
b4
˙
b2
b
b
= 0,
= 0;
= 0,
= 0.
(6.72)
(6.73)
Системы (6.72), (6.73)P-сопряжåíû äðóã äðóãó, à çíà÷èò, êаждая èç
íèõ íå ÿâëÿåòñÿ èíâариантной îòíîсительно ïðîñòранственных îòðàæå-
íèé. Иными ñëîâàìè, â ðàìêàõ спинорной интерпретàöèè симметðèÿ îò-
ðàæåíèé ó ðåдуцированных 8-êîмпонентных систем â êонтинуàëüíîì
256 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
ïðåäåëå íå âîññòàíàâëèâàåòñÿ, ò. å. òàêàÿ интерпретàöèÿ íå äàåò âîç-
ìîæíîñòè различаòü степени ñâîáîäû ïîêîлений è àðîìàòîâ. Ðàçóìååòñÿ
ìîæíî переопределить операциюP-èíâерсии â êонтинууìå òàê, ÷òîáû
системы (6.72), (6.73) ñòàëèP-èíâариантными, íî ýòî ïðèâåäåò ê íàðóøå-
íèþ íåãåîìåòðè÷åñêîãî (нелоренцевñêîãî) ñòàòóñà индекñàr, ïîñêîëüêó
êîмпоненты âîëíîâîé ôункции, îòâåчающие различным åãî çíàчениям,
áóäóò перемешивàòüñÿ этими преобразîâаниями.
6.5. Ìàòричная ôîðìà òåíçорных îáобщений
уравнения ДиракàÊýëåðà â решетî÷íîì
пространстве
Рассмоòренная â ïðåдыдущих ðàçделах данной ãëàâû процеäóðà çà-
ïèñè íà решеткå диракîïîдобных ÐÂÓ è применительно ê антисиммет-
ричным òåíçорным ïîëÿì â òî÷íîñòè ñîîòâåòñòâующая àëãоритму, ñôîð-
ìóлировàííîìó â ðàáîòå [168] èç ÷èñòî ãåîìåòðè÷åñêèõ соображåíèé,
íîñèò äîñòàòî÷íî óíèâåðñàльный õàðàêòåð. Èñïîëüçîâàíèå ìàòричногî
ïîäõîäà ïîçâîëÿåò распроñòранить åå è íà íåêîòîðûå äðóãèå ïîëÿ, äëÿ
êîòîðûõ àëãоритм ðàáîòû [168] íå срабаòûâàåò. Ñêазанноå îòíîñèòñÿ, íà-
пример, ê 32- è 48-êîмпонентным òåíçорным системàì (3.157) è (3.167),
âозникающим ïðè ìàêñèìàëüíîì àëãебраичеñêîì обобщении уравнения
ÄÊ, ограниченноì ðàçмерноñòüþ ïðîñòранствавремени.
Системы (3.157), (3.167) ïðè
íîé ôîðìå (6.69) ÐÂÓ диракîâñêîãî òèïà. Çäåñü ìû äëÿ óдобствà áóäåì
ïîëüçîâàòüñÿвидоизмененным ôåðмионным базисоì, â êîòîðîììàòðèöû
Γµèìåþò âèä
m → 0
могут áûòü çàïèñàíû â ìàòðè÷-
Γµ= γµ⊗ I4n= γµ⊗ I4⊗ I
ãäå
n = 2
системàì. Â òàêîì базисå äëÿ ìàòðèöû билинейной ôîðìûηêонтинуàëü-
íîãî лагранжиана âìåñòî (6.42) ïîлучаетñÿ ñòðóêòóðà
Îïðåделение æå (6.27) îñòàåòñÿ, ðàçóìååòñÿ, áåç èçменения.
ñîîòâåòñòâóåò 32-êîмпонентîé è
η = γ5⊗ γ5⊗ In.
n
(n = 2, 3),
n = 3
48-êîмпонентной
(6.74)
(6.75)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 257
Ñëåäóÿ ìåòîäèêå, èçëîæенной â ðàçäåëå 6.1 äëÿ ïîëÿ ÄÊ, ââåäåì ÷åò-
âåðêó ìàòðèö
Γµ= ıγ5⊗ γµ⊗ In,
(6.76)
êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîтношениям (6.17), (6.18).
Çàòåì ïî ôîðìóëàì (6.15) ñîñòàâëÿåì линейные êîмбинации
Γ
µ(+)
,
Γ
µ(−)
óäîâëåòâоряющие ñîîтношениям (6.9). Ïîñòðîèì ñ èõ ïîмощью уравне-
íèå âèäà (6.8) è лагранжиан (6.21). Ýòî è áóäåò ìàòричная ôîðìóлировкà
îáñóждаемых ïîëåé â решетî÷íîì ïðîñòранствå. Äîêàçàтельствî îòñóò-
ствия расщепления ñïåêòðà ñîñòîÿíèé çäåñü ïðîâîäèòñÿ òî÷íî òàê æå, êàê
è â случае уравнения ÄÊ.
Ввиду ãðîìîçäêîñòè явную òåíçорную ôîðìó ïîлученных ìàòричных
систем íå ïðèâîäèì, ïîñêîëüêó фигурирующие â íèõ òåíçîðû òретьегî
è ÷åòâåðòîãî ðàíãîâ íå принадлежаò ïîëíîìó наборó антисимметричных
òåíçорных ïîëåé è, êàê ñëåдствие, решетî÷íûåпроизвîäíûå
∇
µ(+)
,
∇
µ(−)
сопрягаюòñÿíå ñ чистыми êîмпонентàìèýòèõ òåíçîðîâ, à ñèõ линейными
êîмбинациями.
Óñòановим ñâойствà симметðèè îáñóждаемых решетî÷íûõ уравне-
íèé. Прежде âñåãî, ñëåäóåò îтметить, ÷òî â îòличиеîò решетî÷íîãî óðàâ-
ненияÄÊ îíè îáладаюò âíóòренней симметðèåé,преобразîâàíèÿ êîòîðîé
â èñïîëüçóåìîì базисå описывàþòñÿ ìàòрицами
,
Q = I16⊗ qn,
ãäå
qn произвîльная óíèòарная унимоäóлярная ìàòðèöà ðàçмерноñòè
n × n
. Преобразîâàíèÿ (6.77) образóþò ãðóïïó
SU(n)
è íå зависят îò
(6.77)
выбора ìàòðèöû билинейной ôîðìûηñïîñîáîì (6.75) èëè (6.27), ò. å. îò
êîìïàêòíîñòè èëè íåêîìïàêòíîñòè ãðóïïû âíóòренней симметðèè êîí-
òèíóàльногî эквивàëåíòà теории.
Преобразîâàíèÿ îòðàæåíèé (6.23), óäîâëåòâоряющие условиям òèïà
(6.24)(6.26) è îñòàâляющие èíâариантным лагранжиан (6.21), задаюòñÿ
ìàòрицами
S(Pµ) = γµγ5⊗ γ5⊗ α
ïðè заданииηâ âèäå (6.27). Äëÿ операòîðîâ
n
S(Pµν)
, êîòîðûå ñîïîñòàâëÿ-
(6.78)
þòñÿ ïåðåñòановкàì (6.30) è ïîдчиняюòñÿ условиям (6.31)(6.34), ïîëó-
258 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
÷àåòñÿ выражåíèå
S(Pµν) =
Операòîðû ïîâîðîòîâ íà
S(P
0
) = −
µν
1
2
1
(γµ− γν)γ5⊗ (γ
2
90◦S(P
µν
0
)
(1 + γµγν) ⊗ (γ
T
T
− γ
µ
) ⊗ βn.
ν
(6.79)
ñ ó÷åòîì ñâÿçè (6.36) принимàþò âèä
T
T
− γ
µ
)γ5⊗ βnαn.
ν
(6.80)
Симметðèÿ òрансляций описывàåòñÿ преобразîâанием
ψ(x) →
(I4⊗ γ
2
1
1
+
(I4⊗ γ
2
 ôîðìóëàõ (6.78)(6.81)
ñòè
n⊗n
. Èõ ïîÿâление îòражает ïðèñóùóþ решетî÷íûìôîðìóлировкàì
T
γ5⊗ τn− γµ⊗ γ5⊗ τn)ψ(x) +
µ
T
γ5⊗ τn+ γµ⊗ γ5⊗ τn)ψ(x + eµ).
µ
α
,
β
,
τ
n
óíèòарные ìàòðèöû ðàçмерно-
n
n
(6.81)
рассмàòðèâаемых систем âíóòреннюю симметðèþ, описываемую ìàòðè-
öàìè
qnâ (6.77) è заданными â òîì æå ïîäïðîñòранствå, ÷òî è ìàòðèöû
α
,
β
,
τ
n
. Ïîýòîìó äëÿ собствåííî преобразîâàíèé ãåîìåòðè÷åñêèõ ñèì-
n
n
ìåòðèé ìîæíî, íå óменьшая общноñòè, ïîëîæèòü â (6.78)(6.81)
αn, βn, τn= In.
(6.82)
Ïðè выборе ìàòðèöû билинейной ôîðìû ñïîñîáîì (6.75) äëÿ преоб-
ðàçîâàíèé îòðàæåíèé, ïåðåñòàíîâîê è ïîâîðîòîâ íà
90◦ñ ó÷åòîì (6.82)
ïîлучаюòñÿ выражåíèÿ
S(Pµν) =
0
S(P
) = −
µν
S(Pµ) = γµ⊗ I4n= γµ⊗ I4⊗ In,
1
(γµ− γν)γ5⊗ (γ
2
1
(1 + γµγν) ⊗ (γ
2
T
µ
T
µ
− γ
− γ
T
) ⊗ In,
ν
T
) ⊗ In.
ν
(6.83)
(6.84)
(6.85)
Ñëåäóåò ïîдчеркнуть, ÷òî преобразîâàíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ симметðèé
(6.78) (6.85) è âíóòренней симметðèè (6.77) действóþò â îðòîãîíàльных
ïðîñòранствàõ è, ñëåäîâàтельно, êîммутирóþò äðóã ñ äðóãîì, â òî время
êàê èõ êонтинуàльные àíàëîãè образóþò ïîлупрямоå произвåдение è íå
êîммутирóþò.
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 259
Íàêîíåö, ìàòðèöàHêèðàльноподобных преобразîâàíèé (6.40), àíòè-
êîммутирующая ñ ìàòрицами
Γµ(6.74) è
Γµ(6.76), имеет âèä
H = γ5⊗ γ5⊗ tn,
ãäå
tn произвîльная ìàòðèöà ðàçмерноñòè
n×n
. Â евклидовîì ïðîñòðàí-
(6.86)
ñòâå лагранжиан (6.21) èíâариантен îòíîсительно преобразîâàíèé (6.40),
(6.86) ïðè условии, ÷òî ìàòðèöàH антиэрìèòîâñêàÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
íà ìàòðèöó
tnâ (6.86) òàêæå накладывàåòñÿ условие антиэрìèòîâîñòè.
Проанализирóåìтеперь óñòàíîâленные решетî÷íûå симметðèè ñ òî÷-
êè зрения èõ ñîîòâåòствия симметðèÿì êонтинуàльной теории. Íàïîì-
íèì, ÷òî èñïîëüçóåìûé â данноì ðàçäåëå ôåðмионный базис ïðåäïîëà-
ãàåò разлоæåíèå
ôункцииψ, ãäå
ïðîñòранствî ïðåäñòàâления ãðóïïû Ëоренца
n = 2
è ïðåäñòàâления
R
= R4⊗ R4nïðîñòранствà ïðåäñòàâления âîëíîâîé
16n
R4 ïîäïðîñòранствî диракîâñêîãî биспинора,
(0, 3/2) ⊕ (3/2, 0)
(1/2, 1) ⊕ (1, 1/2)
ïðè
n = 3
.
R4n ïîä-
â случае
Возьмем,íàпример, преобразîâàíèÿ ïîâîðîòîâ(6.80).Учитывàÿ(6.82),
перепишем èõ â òîæäåñòâенной ôîðìå
0
S(P
µν
ãäå
Oµν⊗ In ìàòðèöà êонтинуàльных евклидовых вращений â ïîäïðî-
ñòранствå
R4n, ñîîòâåòñòâующая ïîâîðîòàì íà
òèòü, ÷òî, âо-первых, ïî îтношению ê ãðóïïå
ñòàâления
(0, 3/2),(3/2, 0)
âî-âòîðûõ, ìàòðèöû
íûå ïðåäñòàâления ãðóïïû
1
) =
(1 + γµγν)OµνO
2
Oµνÿâëÿþòñÿ óíèòарными, ïîñêîëüêó êîíå÷íîìåð-
, à òàêæå
SO(4)
óíèòàðíû.
−1
µν
⊗ (γ
T
ν
− γ
T
)γ5⊗ In,
µ
90◦. Çäåñü ñëåäóåò îòìå-
SO(4)
(1/2, 1)è(1, 1/2)
(6.87)
лоренцевñêèå ïðåä-
неразличимы è,
Операòîð (6.87) ìîæíî рассмàòðèâàòü êàê произвåдение óíèòарных
операòîðîâ
) =
1
√
(1 + γµγν) ⊗ Oµν⊗ I
2
n
(6.88)
J(P
µν
0
è
1
−1
T
Qµν= I4⊗
√
O
(γ
µν
2
Первый èç íèõ ñîîòâåòñòâóåò евклидовым ïîâîðîòàì íà
íîì ïðîñòранствå
R
. Операòîð æå (6.89) ñîдержитñÿ ñðåäè преобразî-
16n
ν
− γ
T
)γ5⊗ In.
µ
(6.89)
90◦â непрерыв-
âàíèé ãðóïïû âíóòренней симметðèè êонтинуàльной теории, êîòîðûå â
260 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
рассмàòðèâàåìîì ôåðмионноì базисå èìåþò âèä
Q = I4⊗ q4n,
ãäå
q4n произвîльная óíèòарная ìàòðèöà ðàçмерноñòè
4n ×4n
(6.90)
. Äðугими
ñëîâàìè, решетî÷íûå преобразîâàíèÿ (6.80) (ñ ó÷åòîì (6.82)) вписывà-
þòñÿ â êà÷åñòâå дискретной ïîäãðóïïû â ãðóïïó ïîëíîé èíâариантно-
ñòè èñõîäíîé êонтинуàльной ôîðìóлировки òåíçорной теории, êàê ýòî
è äîëæíî áûòü ïðè êоррекòíîì ïåðåõîäå èç êонтинууìà íà решеткó è
îáðàòíî.
Îäíàêî допустимà è èíàÿ òðàêòîâêà операòîðà (6.87) ïðè ïðåдельноì
ïåðåõîäå â êонтинууì. Åãî ìîæíî рассмàòðèâàòü êàê прямоå произвåäå-
íèå преобразîâàíèÿ
O
евклидовых ïîâîðîòîâ íà
′
µν
1
√
=
(1 + γµγν)
2
90◦â (ôåðмионноì) ïîäïðîñòранствå
(6.91)
R4äèðà-
êîâñêîãî биспинора è преобразîâàíèé
=
√
1
T
ν
− γ
T
)γ5⊗ I
µ
n
(6.92)
(γ
2
O
′
µν
â ïîäïðîñòранствå
íîãî нелоренцевñêîãî (неевклидовîãî) индекñà
R4n, интерпретирóåìîì óæå êàê ïðîñòранствî ñâîáîä-
r (r = 1 ÷4n)
, êîòîðûì
ñíàáæåíà âîëíîâàÿ ôункция уравнения Диракà. Ïðè òàêîé òðàêòîâêå îïå-
ðàòîðà (6.87) преобразîâàíèÿ решетî÷íûõ ïîâîðîòîâ íà
â êà÷åñòâå дискретной ïîäãðóïïû ãðóïïû ïîëíîé симметðèè
90◦âûñòóïàþò
SU(4n)
èíâариантной теории Диракà.
Àíàлогичная êàðòèíà имеет ìåñòî è äëÿ îñòàльных ãåîìåòðè÷åñêèõ
симметðèé. Ñëåäîâàтельно, îáñóждаемые 32- è 48-êîмпонентные ðåøå-
òî÷íûå теории èìåþò äâà непрерывных ïðåäåëà: òåíçорный (системы
(3.157) è (3.167)) è диракîâñêèé (4n-êîмпонентная (
n = 2, 3
) теория Äè-
ðàêà). Ýòîò ðåçóëüòàò äàåò îñíîâàíèå интерпретировàòü òåíçорные ñè-
стемы (3.157) è (3.167) â êà÷åñòâå ìîделей ãåîìåòðèçîâанногî îïèñàíèÿ
âíóòренних степеней ñâîáîäû ôåðмионов â решетî÷íîì ïðîñòранствå.
Äàльнейшее развитие ïðåдлагаемой решетî÷íîé ìîäåëè âîçìîæíî íà
îñíîâå äâóõ ïîäõîäîâ:
-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]