Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы
.pdf
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 81
îòêóäà вытекàåò, ÷òî условие (2.139) âûïîлняетñÿ.
Òеперь рассмоòðèì âòîðîé, íå ñâîдимый ê (2.126), (2.137) âариант
выбора ýлементîâ ìàòðèöû билинейной ôîðìû:
f1= −1, f2= 1,
èëè
1/2
η
14
= −η
1/2
25
= −η
1/2
36
= η
3/2
36
= 1.
Системà (2.125) â ýòîì случае принимàåò âèä
1
c1+ c2+
= 0,
2
1
−
+ c1c2+ | c3|2− | c4|2= 0,
4
c1c
2
−
− c2| c3|2+c1| c4|2= 0.
2
Èç уравнения (2.142) ïîлучаем
1
c2= −c1−
.
2
Ïîäñòàâëÿÿ (2.145) â уравнения (2.143), (2.144), íàõîäèì
(2.140)
(2.141)
(2.142)
(2.143)
(2.144)
(2.145)
3
c
| c3|2=
1
,
(2.146)
2c1+ 1/2
3
| c4|2=
c
1
2c1+ 1/2
1
−
4
− c1(c1+
1
).
(2.147)
2
Èç (2.146), (2.147) вытекàþò ñëåдующие неравенствà:
3
c
1
2c1+ 1/2
1
>
4
+ c1(c1+
1
),
2
3
c
1
2c1+ 1/2
> 0
(2.148)
(сравн. ñ (2.130)). Неравенствàì (2.148) ìîæíî óäîâëåòâорить, ïîлагая,
íàпример,
c1= −
3
, c2= −
8
1
.
(2.149)
2
82 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Èç ôîðìóë (2.146), (2.147) âûâîäÿòñÿ çíàчения ýлементîâ
c3è
c4(опять-
òàêè ñ îïðåделенным произвîëîì) явные выражåíèÿ äëÿ спиновîãî áëîêà
1/2
C
è ìàòðèöû
Γ4. Âèä ìàòðèöûηñëåäóåò èç (2.141):
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 −1 0
0 0 0 0 0 −1
1/2
η
=
1 0 0 0 0 0
0 −1 0 0 0 0
, η
3/2
=
0 1
1 0
.
(2.150)
0 0 −1 0 0 0
Важно ïîдчеркнуть, ÷òî îáласти çíàчений параметðà
c1, óäîâëåòâî-
ряющегî неравенствàì (2.130) è (2.148), íå перекрывàþòñÿ. Ýòî îçíà÷àåò
íåñâîäèìîñòü äðóã ê äðóãó ìàòðèö
Γ4îáñóждаемых ÐÂÓ äëÿ спина
3/2
c расширенным набороì ïðåäñòàâлений ãðóïïû Ëоренца. Вопроñ î ôè-
çè÷åñêîé неэквивàëåíòîñòè óêазанных ÐÂÓ è уравнения ФирцаПаóëè,
ïîдробно рассмоòðåí â [20].
2.6. ÐÂÓñêðàтными ïðåäñòàâлениямиäëÿS=2
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ÐÂÓ äëÿ частицы ñî спиноì 2 è расширенным ïî
сравнению ñ (1.79) набороì непривîдимых ïðåäñòàâлений ãðóïïû Ëî-
ренца рассмоòðèì ñõåìó зацеплений
3
3
(
,
)
2
2
|
3
1
(
,
) − (1, 1) − (
2
2
1
1
(
,
) (
2
2
1
3
,
)
2
2
(2.151)
1
1
′
,
)
2
2
(0,0)
,
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 83
â êîòîðîé âåêòîðíîå ïðåäñòàâление
(1/2, 1/2)
ÿâëÿåòñÿ äâóêðàòíûì, çíàê
øòðèõà ââåäåí äëÿ èõ различения (ñì., íàпример, [75]).
Ñëåäóÿ ìåòîäèêå, èñïîëüçóåìîé â ïðåдыдущем ðàçäåëå, ñíà÷àëà ïðî-
íóìåðóåì непривîдимые êîмпоненты, êîòîðûå ñîдержаòñÿ â (2.151):
1
Ìàòðèöà
(0, 0) ∼ 1, (
,
2
2
) ∼ 2, (
(3,3) ∼ 5, (3,1) ∼ 6, (1,3) ∼ 7 .
Γ4â данноì случае áóäåò ñîñòîÿòü èç четыреõ спиновых
1
1
1
,
)′∼ 3, (1, 1) ∼ 4,
2
2
(2.152)
áëîêîâ
3
èç êîòîðûõ áëîê
Γ4= ⊕
C3òривиаëüíî ðàâåí íóëþ, à îñòàльные â ñàìîì общем
s=0
Cs⊗ I
2s+1
,
(2.153)
случае çàпишутñÿ òàê:
C0=
0 c
0
c
21
0
c
31
0 c
0
12
0 0 c
0 0 c
0
42
0 0 0 c
0
c
0 0
13
0
24
0
34
0
c
0 c
43
0
54
0
,
0
0
45
(2.154)
0
C1=
C2=
0 0 c
0 0 c
1
1
c
c
42
43
0 0 c
0 0 c
0 0 c
0 c
2
c
54
2
c
64
2
c
74
1
0 0 0
24
1
0 0 0
34
1
0 c
1
54
1
64
1
74
2
45
c
45
0 0 0
0 0 0
0 0 0
2
c
c
46
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1
46
2
47
1
c
47
,
.
(2.155)
(2.156)
84 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Óсловиерелятивистñêîé èíâариантноñòè (1.7) ïðèâîäèòê ñëåдующим
ñâÿçÿì между ýлементàìè ìàòðèö
C0, C1, C2:
=
2
0
c
, c
24
3
1
c
24
=
c
2
=√3 c
46
5
0
45
, c
1
46
1
54
, c
c
6
1
c
45
1
42
=
2
64
=
5
6
=√3 c
2
0
42
, c
1
64
, c
, c
2
45
1
34
2
47
=
c
3
0
c
54
2
=
3
1
√
2
=√3 c
0
c
, c
34
0
45
, c
1
, c
47
2
54
c
1
=
43
=
2
=√3 c
74
√
2
0
c
43
3
1
0
c
,
54
2
1
.
74
Òребовàíèå èíâариантноñòè ÐÂÓ îòíîсительно операции ïðîñòðàí-
ñòâенногî îòðàæåíèÿ (1.8) äàåò
1
47
= c
1
46
c
, c
1
74
= c
1
64
, c
2
47
= c
2
46
, c
2
74
= c
2
64
.
Íàêîíåö, применяя условие (1.14) âîçìîæíîñòè ïîлучения ÐÂÓ èç
èíâариантной ôункции Лагранжа, ïîлучим
c
0
c
43
0
= f1(c
21
= f4(c
0
)∗, c
12
0
)∗, c
34
0
54
0
31
= f2(c
= f5(c
0
)∗, c
13
0
)∗, c
45
0
42
1
= f6(c
64
= f3(c
1
46
0
24
)∗,
)∗,
,
(2.157)
(2.158)
(2.159)
ãäå äëÿ êðàòêîñòè ââåäåíû обозначения
f1=
f4=
0
η
22
0
η
11
0
η
44
0
η
33
, f2=
, f5=
0
η
33
0
η
11
0
η
55
0
η
44
, f3=
, f6=
0
η
44
,
0
η
22
1
η
67
.
1
η
44
(2.160)
Êàê óæå îòìå÷àëîñü â ðàçäåëå 1.1, ìàòðèöà билинейной лоренц-инвà-
риантной ôîðìûηâ базисå ÃельфандаЯгëîìà имеет áëî÷íóþ ñòðóêòóðó,
àíàлогичную ñòðóêòóðå ìàòðèöû
η = ⊕
Γ4, ò. å. â данноì случае
3
ηs⊗ I
s=0
2s+1
.
(2.161)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 85
Áëîêè
η0=
Èïîñêîëüêó ýлементы
равными±1, òî òàêèå æå çíàчения принимàþò числа
s
η
èìåþò çäåñü âèä
0
η
11
0
η
22
η2=
η
0
33
, η1=
0
η
44
2
η
44
0
η
55
2
η
55
η
2
η
67
s
η
могутáûòü выбраныáåç óменьшенияобщноñòè
τ˙τ
2
67
1
η
22
η
, η3= η
1
33
33
55
1
η
33
0 η
η
.
fi(2.160).
1
67
Ñîîтношения (2.157)(2.159) îçíà÷àþò, ÷òî èç 26 íåíóлевых ýлемен-
òîâ ìàòðèöû
c
Γ4íåзависимыми ÿâëÿþòñÿ òîëüêî øåñòü, íàпример:
0
= c1, c
12
0
= c2, c
13
0
= c3, c
24
0
= c4, c
34
0
= c5, c
45
1
46
= c6.
1
67
0
(2.162)
(2.163)
,
Ñ ó÷åòîì (2.157)(2.159) è обозначений (2.163) äëÿ áëîêîâ
ïîлучаюòñÿ выражåíèÿ
C0=
0 c
f1c
f2c
0 f3c
1
∗
0 0 c
1
∗
0 0 c
2
∗
3
0 0 0 f5c
c
f4c
0 0
2
3
4
∗
0 c
4
0
,
0
5
∗
0
5
C1=
(2/3)f3c
0 0 (2/3)c
0 0 (2/3)c
∗
(2/3)f4c
3
∗
4
0 (5/6)c5c6c
0 0 (5/6)f5c
0 0 f6c
0 0 f6c
∗
6
∗
6
3
4
∗
5
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
C0, C1, C
(2.164)
6
(2.165)
2
,
86 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
C2=
(1/√2)f5c
√
√
0 (1/√2)c
3f6c
3f6c
∗
5
∗
6
∗
6
0 0 0
0 0 0
0 0 0
√
5
3c
√
6
3c
6
.
Íàñ интереñóåò уравнение äëÿ частицы ñî спиноì 2, ñëåäîâàтельно,
âñå собственные çíàчения áëîêîâ
левые êîðíè áëîêà
C2, êàê обычно, ïîлагаем равными±1.
C0è
C1äîëæíû áûòü íóлевыми. Íåíó-
Характеристичеñêèåуравнения äëÿíàõîжденияêорнейспиновых áëî-
êîâ
C0(2.164),
λ5− λ
C1(2.165),
3
f1| c1|2+f2| c2|2+f3| c3|2+f4| c4|2+f5| c5|
C2(2.166) èìåþò ñîîòâåòñòâåííî âèä
2
+λf1f4| c1|2| c4|2+f2f3| c2|2| c3|2+f1f5| c1|2| c5|2+
+f2f5| c2|2| c5|2−f1f3c
2
λ6− λ
4
f3| c3|2+
3
2
f4| c4|2+
3
∗
∗
c
c2c4− f2f4c1c3c
1
3
5
f5| c5|2+2f6| c6|
6
∗
∗
c
= 0,
2
4
2
= 0,
(2.166)
+
(2.167)
(2.168)
λ4− λ
1
2
f5| c5|2+6f6| c6|
2
= 0.
2
Îòñþäà â ñèëó âûøåñêазанногî вытекàþò ðàâенствà
f1| c1|2+f2| c2|2+f3| c3|2+f4| c4|2+f5| c5|2= 0,
f1f4| c1|2| c4|2+f2f3| c2|2| c3|2+f1f5| c1|2| c5|2+
∗
+f2f5| c2|2| c5|2−f1f3c
2
f3| c3|2+
3
2
f4| c4|2+
3
∗
c
c2c4− f2f4c1c3c
1
3
5
f5| c5|2+2f6| c6|2= 0,
6
1
f5| c5|2+6f6| c6|2= 1.
2
(2.169)
∗
∗
c
= 0,
2
4
(2.170)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 87
Ñ ó÷åòîì ñîîтношений (2.170) íåòðóäíî óáåдиться, ÷òî минимàльные
ïîëèíîìû áëîêîâ
(C0)5= 0, (C1)4= 0, (C2)
C0, C1, C2è ìàòðèöû
5
2
Γ
Γ
− 1= 0.
4
4
Γ4(2.153) èìåþò âèä
2
(C2)2− 1= 0,
(2.171)
(2.172)
Системà (2.170) имеет ìíîæåñòâî решений: äâà параметðà èç øå-
ñòè îñòàþòñÿ â îïðåделенных ïðåделах произвîльными. Ïîñêîëüêó âû-
áîð ýòèõ параметðîâ íå âлияет íà âèä минимàльных ïîëèíîìîâ áëîêîâ
C0, C1, C2è ìàòðèöû
ðîâàííîì выборе ÷èñåë
Γ4, òî âñå âарианты ïîлучающихñÿ ÐÂÓ ïðè ôèêñè-
fi(ìàòðèöû билинейной ôîðìû) ÿâëÿþòñÿ óíè-
òàðíî эквивàлентными.
Возьмем, íàпример,
0
η
11
1
η
22
= −1, η
= 1, η
0
22
1
33
2
η
44
= −1, η
= −1, η
= 1, η
0
33
1
= −1, η
44
2
= −1, η
55
= 1, η
2
67
0
44
1
= 1, η
55
= 1,
= 1, η
1
67
0
55
= −1,
= −1,
(2.173)
÷òî ñîîòâåòñòâóåò числам
f1= 1, f2= −1, f3= −1, f4= 1, f5= −1, f6= 1.
Параметðû
ciâûáåðåì ñëåдующим образîì
c1= −
c4=
2
, c2=
3
3
, c5=
2
√
√
1
1
, c3=
6
, c6=
2
1
2
3
,
2
5
.
6
(2.174)
(2.175)
Íåòðóäíî видеть,÷òî выбор (2.174), (2.175) óäîâëåòâоряет условиям (2.170).
Ïîлучаем явный âèä спиновых áëîêîâ ìàòðèö
0 −2/3 1/√6 0 0
−2/3 0 0
C0=
−1/√6 0 0
0 −3/2
3/2 0 1/√2
Γ4èη:
3/2 0
3/2 0
,
(2.176)
0 0 0 −1/√2 0
88 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
C1=
0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0
−
0 0 −
0 0
0 0
1 1 0
1
2
1
2
1
2
C2=
5/3 0 0 0
5/6 0 0 0
5/6 0 0 0
−
2√2
2√2
1
2
125
0
1
0 0 0
2
5
0 0 0
5
0 0 0
5/3
2√252√2
1
2
−1
η0=
−1
1
1
−1
5/6
5/6
,
(2.177)
(2.178)
(2.179)
1
2
,
,
1
η1=
−1
−1
1
0 −1
,
−1 0
1
η2=
−1
0 1
.
1 0
Îñòàåòñÿ ïðîâерить, âûïîлняетñÿ ëè äëÿ ïîлученных ÐÂÓ условие
äåфинитноñòè энергии (1.16), êîòîðîå â рассмàòðèâàåìîì случае (
принимàåò âèä
Sp
(Γ
2
6
η)
>Sp
4
(Γ
2
5
η)
.
4
(2.180)
(2.181)
n = 5
(2.182)
)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 89
Ïîäñòановкà явных выражåíèé äëÿ ìàòðèö
Sp
(Γ
6
4
η) =
25
2
,
Sp
Γ4èηäàåò
5
(Γ
η) = 0,
4
ò. å. условие (2.182) âûïîлняетñÿ.
 заключение ïðèâåäåì òåíçорную ôîðìó 50-êîмпонентногîÐÂÓäëÿ
частицы ñî спиноì 2:
1
(∂µψν+ ∂νψµ−
2
3
+
2
1
5
∂νψ
4
2
∂λψ
(µλ)
2
√
√
2√3
(µνλ)
− ∂λψ
(−∂µψµ+
3
1
∂µψ0+ 2∂νψ
3
1
∂µψ0+ 2∂νψ
1
δµν∂λψλ) −
2
5
+
(∂λψ
2
+
(µν)
1
2
µ[νλ]
1
δµλ∂ρψ
3
′
∂µψ
) + mψ0= 0,
µ
+ mψµ= 0,
(νµ)
+ mψ
(νµ)
1
(∂µψ
2
+ ∂λψ
−
(ρν)
′
+ ∂νψ
ν
ν[µλ]
1
3
′
= 0,
µ
′
µ
) + mψ
δµν∂ρψ
−
(µν)
(ρλ)
1
δµν∂λψ
2
= 0,
+ ψ
µ[νλ]
(2.183)
′
)+
λ
(2.184)
= 0,
1
(∂µψ
2√6
(νλ)
+ ∂λψ
1
−
δµλ∂ρψ
3
ψ
0
ïîëíîñòüþ симметричный òåíçîð òретьегîранга (причем
(µνλ)
), îòâåчающий ïðåäñòàâлению
(ρν)
(µν)
1
−
δνλ∂ρψ
3
(3/2, 3/2)
+ ∂νψ
(ρµ)
(λµ)
−
) + mψ
.
1
δµν∂ρψ
3
(µνλ)
)ρλ)
= 0;
−
ψ
(µµλ)
=
 ðàáîòàõ [7577] áûëè исслеäîâàíû минимàльная è расширенная
системы уравнений äëÿ ïîëÿ ñî спиноì 2 â ïðèñóòствии внешних грави-
òационных ïîëåé.
 частноñòè, 30-êîмпонентноå уравнение 1-ãî порядкà äëÿ частицы
ñî спиноì 2 обобщаетñÿ íà случай îдновременногî ïðèñóòствия âíåø-
íåãî ýëåêòðîìагнитногî ïîëÿ è фоновîé искривленной ïðîстранствåííî-
временной ãåîìåòðèè. Ïîêазано, ÷òî â ïîлученноì общекîâариантноì
âîëíîâîì уравнении äëÿ частицы ñî спиноì 2 èçíà÷àëüíî ïðèñóòñòâóåò
90 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
íåîáõîдимый набор äîïîлнительных условий, óñòраняющих âñå ëèø-
íèå степени ñâîáîäû, ñâязанные ñ ïðèñóòствием сопутñòâующих ïîëåé
спинов 0 è 1. Â случае расширенной (50-êîмпонентной) теории частицы
ñî спиноì 2 ïîлучен òåíçорный àíàëîã системы спинорных уравнений
â произвîëüíîì ïñåâдоримàíîâîì ïðîñòранствевремени. Óñòàíîâëåíî,
÷òî â ïðèñóòствии внешнегî ïîëÿ ýòà 50-êîмпонентная ìîäåëü описывàåò
частицу ñ äîïîлнительной ýëåêòðîìагнитной õàðàêтеристикîé (àíîìàëü-
íûì ìагнитным ìîìåíòîì), взаимодействующей неминимàльным îáðà-
çîì ñ внешним ãåîìåòðè÷åñêèì ôîíîì ÷åðåç òåíçîðû Ðèìàíà è Риччи.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]