Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы
.pdf
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 141
ãäå
ψ
(0, 1/2)è(1/2, 0);ψ
òретьегî ранга, ñîïîñòàâляемые ïðåäñòàâлениям
σ
ìàòðèöû Ïàóëè,
k
˙a
è
ψ
a
спиноры ïåðâîãî ранга, ñîîòâåòñòâующие ïðåäñòàâлениям
(˙b ˙c)
a
˙a
è
ψ
(bc)
σ4= iI
симметричные ïî äâóìиндекñàì спиноры
(1, 1/2)è(1/2, 1)
∂
= −i∂µ(σµ)
˙ab
. Верхние знаки â (3.179) îòâå÷àþò ïåðâîìó
2
,
˙ab
;
âариантó, à нижние âòîðîìó. Äëÿ êðàòêîñòè îáà уравнения çàïèñàíû ñ
èñïîëüçîâанием îäíèõ è òåõ æå обозначений спинорных ôункций. Î÷å-
видно, ïðè èõ ñîâìåñòíîì рассмоòрении íåîáõîäèìî ââåñòè âòîðîé набор
спиноров
φa, φ˙a, φ
(˙b ˙c)
a
, φ
˙a
(bc)
.
Êàê óæå îòìå÷àëîñü, îáà îáñóждаемых ÐÂÓ äëÿ спина 3/2P-неинвà-
риантны. Îäíàêî îíè ïåðåõîäÿò äðóã â äðóãà ïðè операции ïðîñòðàí-
ñòâенной èíâерсии, êîòîðàÿ задаетñÿ дискретными преобразîâаниями
b
←→ ∂
˙c
˙ab
, ∂
c
, ∂
˙
b
∂
a˙b
←→ ∂
∂
ψa←→ ψ˙a, ψ
φa←→ φ˙a, φ
(˙b ˙c)
a
(˙b ˙c)
a
←→ ∂
˙
dc
˙
b
a
←→ ψ
←→ φ
←→ ∂
˙a
(bc)
d ˙c
˙a
(bc)
,
˙a
,
b
(3.180)
,
,
äîïîлненными переобозначениями
ψa←→ φa, ψ˙a←→ φ˙a,
ψ
(˙b ˙c)
a
←→ φ
(˙b ˙c)
, ψ
a
˙a
(bc)
←→ φ
˙a
(bc)
.
(3.181)
Ýòè преобразîâàíèÿ ìîæíî рассмàòðèâàòü êàê îïðåделение операцииP-
èíâерсии â ïðîñòранствå, ñîîòâåòñòâующем ñõåìå зацеплений
1
2(
, 1) − 2(1,
2
| |
1
2(0,
2
) − 2(
1
)
2
(3.182)
1
, 0).
2
Ïðè òàêîì îïðåделении 32-êîмпонентная системà, ÿâляющаяся ïðÿ-
ìîé ñóììîé ïîдсистем âèäà (3.179) ñ разными çíàêàìè,P-èíâариантна.
Èíâариантен îòíîсительно преобразîâàíèé (3.180), (3.181) òàêæå è åå
лагранжиан
L =
1
[ψa∂
2
a˙b
ψ
˙
b
+ ψ˙a∂
˙ab
ψb+ ψ
(bc)
˙a
(∂
(˙d ˙a)
ψ
˙
db
+ ∂
c
dc
(˙d ˙a)
)+
ψ
˙
b
142 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
+ψ
+
a
(∂
˙
b ˙c
1
2√6
d˙bψ˙c
[ψ
(da)
(bc)
˙a
+ ∂
(∂
b
d ˙c
ψ
˙a
ψc+ ∂
˙
b
(da)
˙a
ψb) + ψ
c
−mψaψa+ ψ˙aψ˙a+ ψ
ãäå
Lφимеет âèä,P-сопряженный â смысле (3.180), (3.181) ê выражåíèþ,
)] +
(bc)
˙a
ψ
√
1
˙a
(bc)
6
(ψa∂
a
(˙b ˙c)
+ ψ
(∂
a
(˙b ˙c)
b
˙c
ψ
˙c
(ab)
˙
b
ψ˙c+ ∂
a
ψ
(˙b ˙c)
a
− ψ˙a∂
˙
˙c
b
ψ
a
+ Lφ,
c
˙
b
)]−
ψ
( ˙a˙b)
c
)+
(3.183)
ñòîящему â ïðàâîé части (3.183) â фигурных ñêîáêàõ.
Èòàê, èñõîäÿ èç äâóõP-сопряженных äðóã äðóãó 16-êîмпонентных
ÐÂÓ, êàæäîå èç êîòîðûõ ñòðîèòñÿ íà îñíîâå ñõåìû зацеплений (1.57),
ìîæíî ïîлучитьP-èíâариантноå 32-êîмпонентноå ÐÂÓ äëÿ частицы ñî
спиноì 3/2 è óäâîенным набороì ñîñòîÿíèé.
Îòличие данной теории îò теории, базирующейся íà прямой ñóììå
äâóõ уравнений ФирцаПаóëè, заклю÷àåòñÿ â ñëåдующем. Åñëè çàïèñàòü
îáñóждаемоå ÐÂÓ â ñòандарòíîé ôîðìå (1.2) â спинорноì базисå
˙a
ψ =ψa, ψ˙a, ψ
(bc)
, ψ
(˙b ˙c)
a
, φa, φ˙a, φ
˙a
(bc)
, φ
(˙b ˙c)
a
,
(3.184)
òî åãî ìàòðèöû
ãäå
Γ
Îдновременно ñ ìàòрицами
Γµáóäóò иметь âèä
Γµ=
√
1
2
1
(σµ)
(±)
µ
= −i
±
6
+(σµ)
+(σµ)
a˙b
e
b
˙c
(˙b ˙c)
(σµ)
˙a
e
˙c
( ˙a ˙c)
⊗ e
c
˙
b
e
⊗ e
˙ab
( ˙a˙b)
˙a
d
(ad)
(+)
Γ
µ
0 Γ
˙
0
e
⊗ e
˙a
⊗ e
b
− (σµ)
0
+ (σµ)
0
(−)
µ
0
+ (σµ)
b
0
− (σµ)
c
˙ab
,
⊗ e
(bc)
c
a
(ab)
a
0
+
±
+
.
˙
b
e
˙
a˙b
0
b
˙c
e
⊗ e
˙
˙c
0
˙
˙
b
0
˙
b
( ˙a˙d)
˙
d
⊗ e
⊗ e
(ac)
c
e
a
e
Γµê âèäó, àíàлогичноìó (3.185), ïðèâî-
(3.185)
(3.186)
äÿòñÿ ãенераòîðû собственной ãðóïïû Ëоренца è ìàòðèöà билинейной
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 143
ôîðìûη, ÷åãî нельзя, îäíàêî, ñêàçàòü îá операòîðåP-èíâерсии, êîòî-
ðûé â ñîîòâåòствии ñ îïðåделением (3.180), (3.181) имеет â базисå (3.184)
áëî÷íóþ ñòðóêòóðó
P =
o P
P
16
16
.
(3.187)
0
ßâíîå выражåíèå äëÿ
P16íåòðóäíî óñòановить, èñõîäÿ èç (3.180). Îò-
ñþäà вытекàåò, ÷òî îáñóждаемоå 32-êîмпонентноå ÐÂÓ íå распадаетñÿ â
смысле ïîëíîé ãðóïïû Ëоренца.
Спинорную ôîðìó уравнения ФирцаПаóëè ìîæíî ïîлучить, ñîâåð-
øàÿ â (3.179) ïðè выборе âерхних (нижних) çíàêîâ замену
ψ˙a−→ −ψ˙a, (ψa−→ −ψa).
(3.188)
Îòñþäàñëåäóåò, ÷òî ïðè îäíîìè òîìæå выборе базисà (3.184) â ïðîñòðàí-
ñòâå, ñîîòâåòñòâующем ñõåìå зацеплений (3.182), ìàòðèöû
Γµ(3.185),
(3.186) исслеäóåìîãî ÐÂÓ è прямой ñóììû äâóõ уравнений ФирцаПаóëè
ñâязаны преобразîâанием ïîдобия. Òî æå ñàìîå îòíîñèòñÿ è ê ìàòðèöåη.
×òî æå êàñàåòñÿ операòîðà ïðîñòранственногî îòðàæåíèÿ, òî äëÿ прямой
ñóììû уравнений ФирцаПаóëè îí имеет ñòðóêòóðó
P = I2⊗ P
16
(3.189)
è íå ïðèâîäèòñÿ ïîñðåäñòâîì óêазанногî преобразîâàíèÿ ê âèäó (3.187).
Ïîñêîëüêó ðàñ÷åò ñåчений òåõ èëè èíûõ процеññîâ взаимодействия
частиц ìîæíî ñâåñòè, êàê правило, ê вычислению ñëåäîâ îò различных
произвåдений ìàòðèö
Γµ, à преобразîâàíèÿ ïîдобия íå èçменяюò ñëå-
äîâ ìàòðèö, òî äëÿP-èíâариантных взаимодействий îáå теории äîëæíû
äàâàòüîдинакîâûåфизичеñêèå ñëåдствия. Â òî æå время, òàê êàê операòî-
ðû ïðîñòранственной èíâерсии íå ñâязаны преобразîâанием ïîдобия, òî
äëÿP-неинвариантных взаимодействий ñëåдствия, вытекающие èç äâóõ
ïîäõîäîâ, äîëæíû áûòü, âообще ãîâîðÿ, различными.
Äîïîлнительноå êâàíòîâîå число, êîòîðîå описывàåò äâóêðàòíîå âû-
ðîждение ñîñòîÿíèé â îáñóждаемой 32-êîмпонентной теории спина 3/2 è
ñâязаноñ òàêîé ãåîìåòðè÷åñêîé операцией êàêP-èíâерсия, ñîîòâåòñòâóåò
понятию êèðàëüíîñòè â теории диракîâñêèõ частиц. Íî åñëè â ïîñëåäíåé
äëÿ ââåдения ýòîãî понятия äîñòàòî÷íî ïðåäñòàâлений
(0, 1/2)è(1/2, 0)
,
144 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
òî â случае спина
s > 1 /2
â ðàìêàõ ïîäõîäà теории ÐÂÓ ïåðâîãî порядкà
íåîáõîäèìî óæå èñïîëüçîâàíèå êðàòíûõ ïðåäñòàâлений [118]. Óравнения
ñ àíàлогичными ñâойствàìè äëÿ частицы ñ íåíóëåâîé ìассой è спиноì 1
рассмàòðèâàþòñÿ â разных ïîäõîäàõ â ðàáîòàõ [119, 120].
Ïîêàæåì åùå, ÷òî ÐÂÓ äëÿ êèðàльной частицы ñ íåíóëåâîé ìассой è
спиноì 3/2 ìîæåò áûòü ïîлучено è íà îñíîâå áîëåå ïðîñòîé, ÷åì (3.182),
ñõåìû зацеплений
1
2(
, 1) − 2(1,
2
1
)
2
| |
1
(0,
) − (
2
íî òàêæå ñîдержащей êðàòíûå ïðåäñòàâления
1
2
, 0),
(1/2, 1), (1, 1/2)
(3.190)
. Êàê è
ранее, ââåäåì íóмерацию непривîдимых êîмпонент, âõîдящих â ñõåìó
(3.190)
1
(0,
) ∼ τ1∼ 1, (
2
1
(
, 0) ∼ τ4∼ 4, (
2
1
, 1) ∼ τ2∼ 2, (1,
2
1
, 1)′∼ τ5∼ 5; (
2
1
) ∼ τ3∼ 3,
2
1
, 1)′∼ τ6∼ 6;
2
(3.191)
øòðèõè çäåñü íóæíû äëÿ различения êðàòíûõ ïðåäñòàâлений. Òîãäà ìàò-
ðèöà
Γ4ñòðîÿùåãîñÿ ÐÂÓ â базисå ÃельфандаЯгëîìà áóäåò иметь ñòðóê-
òóðó (1.58), ãäå
C
1/2
=
C
3/2
0 c
1/2
c
21
0 c
1/2
c
41
0 c
1/2
c
61
=
1/2
12
0 c
1/2
32
0 c
1/2
52
0 c
0 c
3/2
c
32
3/2
c
52
0 c
1/2
0 c
14
1/2
0 c
23
1/2
0 c
34
1/2
0 c
43
1/2
0 c
54
1/2
0 c
63
3/2
3/2
c
23
25
0 0 c
0 0 c
3/2
3/2
c
63
65
0 c
1/2
25
0 c
1/2
45
0 c
1/2
65
0
3/2
36
3/2
56
0
1/2
16
0
1/2
36
0
1/2
56
0
,
.
(3.192)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 145
Òребовàíèå èíâариантноñòè ÐÂÓ îòíîсительно преобразîâàíèé ñîá-
ñòâенной ãðóïïû Ëоренца íàлагает â данноì случае ñëåдующие ограни-
1/2
чения íà ýлементы спиновых áëîêîâ
C
, C
3/2
:
3/2
c
23
3/2
c
25
= 2c
= 2c
1/2
23
1/2
25
, c
, c
3/2
32
3/2
52
= 2c
= 2c
1/2
32
1/2
52
, c
, c
3/2
36
3/2
56
= 2c
= 2c
1/2
36
1/2
56
, c
, c
3/2
63
3/2
65
= 2c
= 2c
1/2
63
1/2
65
,
.
(3.193)
Операциюïðîñòранственногîîòðàæåíèÿäëÿ ñõåìû зацеплений (3.190)
зададим òàê, ÷òî
˙
τ2= τ5,
˙
τ3= τ6.
(3.194)
Òîãäà èç условияP-èíâариантноñòè теории вытекàþò ñîîтношения
1/2
c
14
1/2
c
21
1/2
c
34
= c
= c
= c
c
2/3
23
c
1/2
41
1/2
54
1/2
61
3/2
32
, c
, c
, c
3/2
= c
56
3/2
= c
65
1/2
= c
12
1/2
= c
23
1/2
= c
32
, c
, c
1/2
45
1/2
56
1/2
65
3/2
25
3/2
36
, c
, c
, c
3/2
= c
52
3/2
= c
63
,
.
1/2
16
1/2
25
1/2
36
= c
= c
= c
1/2
43
1/2
52
1/2
63
,
,
,
(3.195)
Òребовàíèå âîçìîæíîñòè лагранжåâîé ôîðìóлировки теории ïðèâî-
äèò ê ðàâенствàì
c
1/2
54
= (c
1/2
)∗f1, c
12
1/2
65
= (c
1/2
)∗f2, c
23
1/2
34
= (c
1/2
16
)∗f1f2,
ãäå èñïîëüçîâàíû обозначения
f1=
1/2
η
25
, f2=
1/2
η
14
1/2
η
36
, f1f2=
1/2
η
25
1/2
η
36
.
1/2
η
14
Ñîâìåñòíîå применение условий (3.193), (3.195), (3.196) îñòàâëÿåò ó
1/2
спиновых áëîêîâ
C
, C
3/2
øåñòü íåзависимых параметðîâ, â êà÷åñòâå
êîòîðûõ могут ñëóæèòü, íàпример, ýлементы
c
1/2
12
, c
1/2
14
, c
1/2
16
, c
1/2
23
, c
1/2
25
, c
1/2
36
.
(3.196)
(3.197)
146 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Рассмоòðèì âариант ÐÂÓ ïðè выборе
1/2
c
12
= c
1/2
16
= c
1/2
25
= c
1/2
36
= 0.
(3.198)
Ââîäÿ ñ целью óдобствà çàïèñè äëÿ îñòавшихñÿ íåíóлевых ýлементîâ
обозначения
1/2
c
= a, c
12
ïîлучим ñëåдующий âèä спиновых áëîêîâ ìàòðèöû
1/2
23
= b,
(3.199)
Γ4:
0 a 0 0 0 0
C
1/2
=
∗
f1a
0 b 0 0 0
0 f2b∗0 0 0 0
0 0 0 0 a 0
0 0 0 f1a
∗
0 b
,
0 0 0 0 f2b∗0
0 2b 0 0
C
3/2
2f2b∗0 0 0
=
0 0 0 2b
.
(3.200)
0 0 2f2b∗0
Äëÿ îáåñïåчения âåùåñòâåííîñòè собственных çíàчений áëîêà
раметð
f2äîëæåí áûòü ïîëîжительным, è, íå óменьшая общноñòè, åãî
ìîæíî выбраòü
f2= 1.
Äâóêðàòíî âûðîжденный êорень
λ
(3/2)
= ±1
ó ýòîãî áëîêà ïîлучитñÿ,
åñëè ïîëîæèòü
1
b =
.
2
Ïðè задании параметðîâ
f2èb, ñîãласно (3.201) è (3.202), äëÿ áëîêà
áóäåì иметь îêîí÷àтельноå выражåíèå
0 1 0 0
C
3/2
=
1 0 0 0
0 0 0 1
.
0 0 1 0
3/2
C
(3.201)
(3.202)
C
(3.203)
ïà-
3/2
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 147
Спиновый áëîê
1/2
C
ïðè ýòîì принимàåò âèä
0 a 0 0 0 0
C
1/2
f1a∗0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
=
0 0 0 0 a 0
0 0 0 f1a∗0 1
.
0 0 0 0 1 0
Óсловием обращения â íóëü âñåõ êорней данногî áëîêà ÿâëÿåòñÿ ðà-
âенствî
1
f1| a |2+
= 0,
4
êîòîðîìó ìîæíî óäîâëåòâорить, íàпример, ïîлагая
1
f1= −1, a =
.
2
 ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê выражåíèþ
0 1 0 0 0 0
C
1/2
−1 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
=
0 0 0 0 1 0
0 0 0 −1 0 1
.
0 0 0 0 1 0
(3.204)
(3.205)
(3.206)
(3.207)
Выбор (3.201), (3.206) параметðîâ
f2, f1ñ ó÷åòîì обозначений (3.197)
îçíà÷àåò задание íåíóлевых ýлементîâ ìàòðèöûηñïîñîáîì:
−η
1/2
14
= η
1/2
25
= η
1/2
16
= −η
3/2
25
= −η
3/2
36
= 1.
(3.208)
Òàêèì образîì, ÐÂÓ ïåðâîãî порядкà ñî ñõåìîé зацеплений (3.190)
è ìàòрицей
Γ4ñî спиновыми áëîêàìè
C
3/2
(3.203) è
C
1/2
(3.207) ïðè
выборе ìàòðèöû билинейной ôîðìûηâ ñîîòâåòствии ñ (3.208) описы-
âàåò частицу ñî спиноì 3/2 è äâóêðàòíûì âûðîждением ñîñòîÿíèé ïî
íåêîòîðîìó äîïîлнительноìó êâàíòîâîìó числу. Âèä óêазанных спино-
âûõ áëîêîâ îçíà÷àåò, ÷òî ñõåìà зацеплений (3.190) распадаетñÿ â смысле
собственной ãðóïïû Ëоренца íà ôðàãменты
1
(0,
2
) − (
1
, 1) − (1,
2
1
),
(3.209)
2
148 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
1
(
, 0) − (1,
2
1
, )′− (
2
1
2
, 1)′.
(3.210)
Ïðè ýòîì â ñîîòâåòствии ñ заданием операции ïðîñòранственной èí-
âерсии ñîãласно (3.194) ôðàãменты (3.209), (3.210) ÿâëÿþòñÿP-сопря-
æенными äðóã äðóãó. Â ñòðóêòóðå спиновых áëîêîâ
C
3/2
(3.203),
C
1/2
(3.207) данноå îáñòîятельствî îòðàæåíîòåì, ÷òî êаждыйèç íèõ ïðåäñòàâ-
ëÿåò собой прямую ñóììóäâóõîдинакîâûõêëåòîê,îòíîсящихñÿ ê ñõåìàì
зацеплений (3.209), (3.210). Ñëåäîâàтельно, âíóòренне êâàíòîâîå число,
различающее êðàòíûå êîðíè áëîêà
3/2
C
, описывàåòP-сопряженные ñî-
ñòîÿíèÿ, ò. å. ïðåäñòàâëÿåò собой êèðàëüíîñòü.
Заметим çäåñü, ÷òî îïèñàíèå áåçìассовых частиц, îáладающих êè-
ðàëüíîñòüþ, â случае произвîльногî спинаsîсновывàåòñÿ òîëüêî íà
ïðåäñòàâлениях
(0, s)ès, 0)
, причем понятия êèðàëüíîñòè è спираëüíî-
ñòè (ïðîекции спина íà íàïðàâление èìïóëüñà), ïî-ñóùåñòâó, совпадаюò.
Äëÿ частиц ñ íåíóëåâîé ìассой ýòî, îчевидно, óæå íå òàê.
Минимàльныйïîëèíîììàòðèöû
1/2
C
(3.207) имеет âèä
Γ
3
(Γ
4
Γ4ñîспиновыми áëîêàìè
2
− 1) = 0
4
C
3/2
(3.203),
(3.211)
è îòличаетñÿ îò минимàльногî ïîëèíîìà
2
2
Γ
(Γ
4
− 1) = 0
4
(3.212)
äëÿ уравнения ФирцаПаóëè, à çíà÷èò è рассмоòренногî âûøå 32-êîìïî-
нентногî ÐÂÓ, базирующегîñÿ íà ñõåìå зацеплений (3.182). Ýòî îáñòî-
ятельствî óêàçûâàåò íà физичеñêóþ неэквивàлентноñòü ïðåäëîæенных
ôîðìóлировîê è, ñëåäîâàтельно, íà âîçìîæíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ различ-
íûõ типов êèðàльных частиц ñî спиноì 3/2 è íåíóëåâîé ìассой.
Ãëàâà 4.
Áåçìàññîâûå
êàлиброâîчно-инвариантные
ìассивные ïîëÿ â теории
îáобщенных ÐÂÓ
4.1. Î ñîâìåñòíîì îïèñàíèè áåçìàññîâûõ ïî-
ëåé ñ различными спиральностÿìè
Ïðè îïèñàíèè частицы ñ целым спиноìsè íåíóëåâîé ìассой íà
îñíîâå уравнений âòîðîãî порядкà â теории ïîëÿ обычно èñïîëüçóåòñÿ
ïîëíîñòüþ симметричный òåíçîð
ùèé уравнению КлейнаФокàÃîðäîíà
A
(µ1µ2...µs)
рангаs[2], óäîâëåòâîðÿþ-
( − m2)A
è äîïîлнительным условиям
∂
A
µ
(µ1µ2...µs)
1
Îïèñàíèå частиц ñ íóëåâîé ìассой â данноì ôîðìàëèçìå îñóùåñòâëÿ-
åòñÿ путем ïðåдельногî ïåðåõîäà
íû уравнения КлейнаФокàÃîðäîíà íà уравнение Äàëàìáåðà. Ïðè ýòîì
áåçìассовый ïðåäåë (àíàëîã) èñõîäíîé ìассивной частицы ñî спиноì
(µ1µ2...µs)
= 0, A
m → 0
149
= 0
(µ1µ1...µs)
= 0.
â уравнении (4.1), ò. å. çàìå-
(4.1)
(4.2)
s
150 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
îáладает спираëüíîñòüþ±s; ïðîмежутî÷íûå æå çíàчения спираëüíîñòè
±(s − 1), ..., 0
выпадаюò.
 ðàáîòå [121] äëÿ ïîñòðîåíèÿ теории частиц ñ íóëåâîé ìассой ïðåä-
лагаетñÿ èñïîëüçîâàòü íå òîëüêî ïîëíîñòüþ симметричные òåíçîðû, íî
è òåíçîðû различных ðàíãîâ, симметðèçîâанные ïî äðóãèì ñõåìàì Þí-
ãà è ïîдчиняющиеñÿ уравнениям âòîðîãî порядкà ñ äîïîлнительными
условиями. Â случае спираëüíîñòè0, íàпример, â ðàáîòå [121] рассмàò-
ðèâàåòñÿ системà уравнений
ãäå
ψ
ψ
антисимметричный òåíçîð âòîðîãî ранга.
[µν]
= 0, ∂νψ
[µν]
[µν]
= 0,
(4.3)
 современных теоретикî-ïîлевыхìîделях âозникàåò íåîáõîäèìîñòü
ñîâìåстногî îïèñàíèÿ áåçìассовых ïîëåé ñ различными çíàчениями ñïè-
ðàëüíîñòè (ñì., íàпример, [122, 123]). Â íàñòîÿùåé ãëàâåìû ïîêàæåì,÷òî
óêазанноå îïèñàíèå допустимо â ðàìêàõ теории обобщенных ÐÂÓ ïåð-
âîãî порядкà (1.1) ñ êðàтными ïðåäñòàâлениями ãðóïïû Ëоренца; îíî
заклю÷àåòñÿ â ïîñòðîåíèè òàêîé ñõåìû ïåðåõîäà îò ÐÂÓ (1.2) ê (1.1)
ñ îñîáенной ìàòрицей
Γ0, êîòîðàÿ îáåñïå÷èâàåò ïîлучение уравнений
äëÿ áåçìассовых частиц íå òîëüêî ñ ìàêñèìàльной, íî è ïðîмежутî÷íû-
ìè çíàчениями спираëüíîñòè, âêëþ÷àÿ íóëåâóþ. Ïðè îáðàòíîì ïåðåõîäå
(
Γ0=⇒ mI
) êàæäîå èç ýòèõ уравнений, íåзависимо îò спираëüíîñòè,
òðàíñôîðìèðóåòñÿ â îäíî è òî æå èñõîäíîå ÐÂÓ äëÿ частицы ñ íåíóëåâîé
ìассой, ïîñêîëüêó âèä ìàòðèö
Ïðîдемонстðèðóåì âûøåñêазанноå íà примере частиц ñ
Γµïðè òàêèõ ïåðåõîäàõ íå çàòрагивàåòñÿ.
s = 1
. Äëÿ
ýòîãî рассмоòðèì ñõåìó зацеплений непривîдимых ïðåäñòàâлений ãðóï-
ïû Ëоренца (1.35). Наибоëåå общий âèä ñîîòâåòñòâующей системы ëè-
нейных äèôференциальных уравнений ïåðâîãî порядкà, çàïèñанной â
òåíçîðíîì ôîðìàëèçìå è óäîâëåòâоряющей òребованиям, ïðåäúÿâëÿå-
ìûì ê ÐÂÓ, òàêîâ:
∂νψ
−∂µψν+ ∂νψµ+ bψ
+ aψµ= 0,
[µν]
[µν]
= 0,
(4.4)
(4.5)
ãäåaèb произвîльныеïîñòîянныеêîýôфициенты.Ýòîé системе ìîæíî
ñîïîñòавить òðè различных íå ñâîдимых äðóã êäðóãó è íå распадающихñÿ
ïî ãðóïïå Ëоренца ÐÂÓ.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]