Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы
.pdf
Ãëàâà 5.
Î ñâÿçè спина è ñòàтистики
â теории ÐÂÓ ñ âíóòренними
степенями ñâîáîäû
5.1. Ê âопросó î âòоричноì квантîвании ÐÂÓ
ñ èñïîëüçîванием èíäåфинитной ìåòðèêè
Ïîñëåäîâàтельная ðåàлизация рассмоòренногî â ãëàâå 3 ãåîìåòðèçî-
âанногî ïîäõîäà ê îïèñàíèþ частиц ñ ïîлуцелым спиноì, îáладающих
âíóòренними степенями ñâîáîäû, ïîñðåäñòâîì òåíçорных ïîëåé ïðåä-
ïîлагает âîçìîæíîñòü êâàíòîâàíèÿ ýòèõ òåíçорных ïîëåé ïî ñòàтистикå
ÔåðмиДиракà (ÔÄ). Êàçàëîñü áû, òàêîå допущение ïðîòèâîðå÷èò èç-
âåстной теореме Ïàóëè î ñâÿçè спина è ñòàтистики [139]. Îäíàêî ýòî íå
ñîâñåì òàê. Åùå â ðàáîòàõ [140, 141] íà примере ïðîстейших уравнений
äëÿ частиц ñ целым è ïîлуцелым спиноì áûëî ïîêазано, ÷òî ïðè èñïîëü-
çîâàíèè èíäåфинитной ìåòðèêè â гильбåðòîâîì ïðîñòранствå ñîñòîÿíèé
допускàåòñÿ êâàíòîâàíèåïî àíîìàльной (èíâерсной) ñòàтистикå:ïîëóöå-
ëûé ñïèí ïî ñòàтистикå БозеЭйнштейна (ÁÝ), целый ïî ñòàтистикå
ÔÄ. Íî ïðè ýòîì â теории ïîÿâëÿþòñÿ íåóñòранимые îòðèöàтельные âå-
ðîÿòíîñòè.
Ñóùåñòâåííî èíàÿ ñèòóàöèÿ âозникàåò ïðè рассмоòрении ïîлевых ñè-
ñòåì ñ расширенным набороì ïðåäñòàâлений è, êàê ñëåдствие, äîïîëíè-
201
202 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
тельными степенями ñâîáîäû, описываемыми íåêîìïàêтными ãðуппами
âíóòренней симметðèè. Â òàêèõ теориях èìåþò ìåñòî äîïîлнительные
çàêîíû ñîхранения (правила çàïðåòà), исключающие îòðèöàтельные âå-
ðîÿòíîñòè ïðè êâàíòîâàíèèïî àíîìàльной â âûøåóêазанноì смысле ñòà-
тистикå [114, 142144].
Рассмоòðèìýòîò âîïðîñ áîëååïîдробно.Êàê èçâåñòíî, ïðè âòоричноì
êâàíòîâàíèè ïîлевых систем обычно òðåáóåòñÿ âûïîлнение ñëåдующих
условий [139]:
(I) âàêóóì ÿâëÿåòñÿ ñîñòîянием ñ наинизшей энергией;
(II) операòîðû íàáëþдаемых физичеñêèõ âеличин â äâóõ òî÷êàõ, ñâÿ-
занныхïðîñòранствåííî-ïîдобныминтервàëîì,êîммутирóþòäðóã ñ äðó-
ãîì (принцип причинноñòè);
(III) ìåòðèêà гильбåðòîâà ïðîñòранствà êâàíòîâûõñîñòîÿíèéÿâëÿåòñÿ
ïîëîжительно îïðåделенной.
Ïðè ýòîì ïîñëåäíèé ïîñòóëàòñâÿçûâàåòñÿñ òребованием ïîëîжитель-
íîñòè çíàчений физичеñêèõ âåðîÿòíîñòåé.
Îáñóäèì ñíà÷àëà случай êâàíòîâàíèÿ произвîльногî целогî (ïîëóöå-
ëîãî) спина ïî ñòàтистикå ÔÄ (ÁÝ) ïðè условии îòêàçà îò äåфинитно-
ñòè ìåòðèêè äëÿ ïîëåé áåç âíóòренних степеней ñâîáîäû. Ñëåäóÿ ðàáîòå
+
+
[139], ïîñòóëèðóåì äëÿ операòîðîâ ðîждения
a
,
è уничтîæåíèÿ
b
a, b
ïå-
ðåñòàíîâî÷íûå ñîîтношения
ak(p) ,
bk(p) ,
+
a
+
′
b
k
′
k
(p′)
(p′)
∓
∓
= δ
= −δ
′
δ (p − p′) ,
kk
′
δ (p − p′) ,
kk
(5.1)
(5.2)
ãäå êîììóòàòîð (антикîììóòàòîð) îòâå÷àåò ïîлуцелоìó (öåëîìó) спину, à
âñå îñòàльные êîììóòàòîðû (антикîììóòàòîðû) равны íóëþ. Çäåñü îáî-
çíàчения
a, b
îòíîñÿòñÿ ê ñîñòîяниям частицы è античастицы ñîîòâåò-
ñòâåííî, индекñkõàðàêтеризóåò спиновîå ñîñòîÿíèå ïðè заданноì èì-
ïóëüñåp.
Ñîîтношения (5.1), (5.2) îòличаюòñÿ îò обычных ïåðåñòàíîâî÷íûõ
ñîîтношений неправильным çíàêîì â ïðàâîé части (5.2), êîòîðûé è îáó-
ñëîâëèâàåò íåîáõîäèìîñòü ââåдения èíäåфинитной ìåòðèêè â ïðîñòðàí-
ñòâå ñîñòîÿíèé äëÿ îáåñïåчения ïîëîжительной îïðåделенноñòè энергии
âî âòорично-квàíòîâанной теории.
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 203
Èñïîëüçóÿ ñòандарòíûå разлоæåíèÿ âîлновых ôункций
ψ(x)
è¯ψ(x)
ïî ïëîñêèì âîëíàì
ψ(x) = (2π)
¯
ψ(x) = (2 π)
3
−
2
k
3
−
2
k
ak(p)ψk(p)e
+
a
k
(p)¯ψk(p)e
+
ipx
+
(p)ψk(−p)e
b
k
−ipx
+ bk(p)¯ψk(−p)e
−ipx
ipx
d3p,
d3p,
(5.3)
(5.4)
ñ ïîмощью ñîîтношений (5.1), (5.2) вычислим выражåíèÿ
ψα(x′),¯ψβ(x′′)
≡ψ(x′) ·¯ψ(x′′)
∓
,
∓
(5.5)
ãäå òî÷êà обозна÷àåò прямоå (диадноå) произвåдение.  ðåçóëüòàòå ïîëó-
÷èì
= (2π)
−3
k
ψα(x′) ,¯ψβ(x′′)
ψk(p) ·¯ψk(p)e
⇒ψ (x′) ·¯ψ (x′′)
∓
ipx
±ψk(−p) ·¯ψk(−p)e
=
∓
−ipx
d3p,
(5.6)
ãäå
x = x′− x′′.
Ïðè выборе íîðмировки ïî заряду
¯
ψΓ4ψ = ±1
(5.7)
имеем äëÿ целогî è ïîлуцелогî спинов ñîîòâåòñòâåííî
m
|p0|
m
|p0|
(±)
τ
(ˆp) ,
k
(±)
τ
(ˆp) ,
k
(5.8)
(5.9)
ãäå
ψk(±p) ·¯ψk(±p) =
ψk(±p) ·¯ψk(±p) = ±
(±)
τ
(ˆp) = τ±(ˆp)βk ïðîåêтивный операòîð, выделяющий ñîñòîÿíèå c
k
данным èìïóëüñîì, çíàêîì ìàññû è ïðîекцией спина1. Ïîäñòàâëÿÿ ôîð-
ìóëû (5.8), (5.9) â (5.6) è учитывàÿ îáñóждаемоå ñîîòâåòствие çíàêîâ â
ýòèõ ôîðìóëàõ õàðàêòåðó спина частицы (öåëîчисленноñòü ëèáî ïîëóöå-
ëîчисленноñòü), ïîлучим â обоих случаях îдинакîâîå выражåíèå
ψ(x′) ·¯ψ(x′′)
1
Ïîдробнее ñì. â ãëàâå 8
= (2π)−3m
∓
d3p
τ+(ˆp) e
ipx
− τ−(ˆp) e
−ipx
.
(5.10)
|p0|
204 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Ñóììà ïîkâ (5.10) исклю÷åíà âñëåдствие ðàâенствà
βk= 1 .
k
Ñîîò-
ношение (5.10) â òî÷íîñòè совпадает ñ ôîðìóëîé (33.45) â ðàáîòå [57] è,
ñëåäîâàтельно, ïðèâîäèòñÿ ê âèäó (ñì. òàì æå ôîðìóëû (33.46) è (33.47))
ψ(x′) ·¯ψ(x′′)
= 2im τ
∓
ˆ
∇∆0(x),
+
(5.11)
ãäå
ˆ
∇ = Γµ∂
µ
è
∆0(x) = (2π)
−3
|p0|
ipx
e
sin |p0|x
0
(5.12)
d3p
èíâариантная äåëüòà-ôункция.
Òàêèì образîì, ïðè êâàíòîâàíèè произвîльногî целогî (ïîлуцелогî)
спина ïî ñòàтистикå ÔÄ (ÁÝ) ñ ïîмощью условий (5.1), (5.2) äëÿ опера-
òорных âîлновых ôункций ïîлучаюòñÿ причинные ïåðåñòàíîâî÷íûå ñî-
îтношения, ò.å. îáåñïå÷èâàåòñÿ âûïîлнение ïîñòóëàòà (II). Ìîæíî òàêæå
ïîêàçàòü (ïîдробнее ñìîòðè â ñëåдующем ðàçäåëå), ÷òî ïðè ñîîòâåòñòâó-
þùåì задании операòîðîâ числа частиц ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîтношения
(5.1), (5.2) ïðèâîäÿò ê ñîãласию è ñ ïîñòóëàòîì (I).
 òî æå время, êàê óæå îòìå÷àëîñü âûøå, âñëåдствие неправильногî
çíàêà â ïðàâîé части (5.2) âåêòîðû ñîñòîÿíèé античастицы áóäóò иметь
îòðèöàтельную íîðìó. Иными ñëîâàìè, рассмоòренная процеäóðà êâàí-
òîâàíèÿ ïðåäïîлагает разбиение гильбåðòîâà ïðîñòранствà ñîñòîÿíèé
íà ïîäïðîñòранствà
стицы è античастицы ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ïîëîжительно (
è îòðèöàтельно (
ýлемент
M
ïåðåõîäà между ñîñòîяниями èç
H+è
||h|| < 0
H−, â êîòîðûõ íîðìû âåêòîðîâ ñîñòîÿíèé ÷à-
||f|| > 0
) îïðåделенными. Ïîýòîìó, åñëè ìàòричный
H+è
H−îòличен îò íóëÿ
H
(÷òî, íàпример, â случае ýëåêòðîìагнитногî взаимодействия имеет ìåñòî
äëÿ òàêèõ процеññîâ, êàê аннигиляция, ôîòîðîждение ïàðû è ò. ï.), òî
âозникàþò îòðèöàтельные âåðîÿòíîñòè
)
2
Wfh=
|M|
.
(5.13)
||h||||f||
 òàêîì случае теория ÿâëÿåòñÿ âíóòренне ïðîòèâîðå÷èâîé è физичеñêè
неприемлемà.
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 205
5.2. Âòоричноеквантîвание ÐÂÓñ âíóòренни-
ìè степенями ñâîáîäû
Îáðàтимся теперь ê ÐÂÓ общегî âèäà (1.2), èëè â èìïóльсноì ïðåä-
ñòàâлении
(ˆp + m) ψ(p) = 0 (ˆp = iˆpµΓµ) ,
äëÿ частицы, îáладающей âíóòренними степенями ñâîáîäû è, âообще
ãîâîðÿ,набороì спинов. Äëÿ ïðîñòîòûáóäåì рассмàòðèâàòüслучай îäíîé
ìàññû.
Минимàльные ïîëèíîìû спиновых áëîêîâ
è ñàìîé ìàòðèöû
çíàêà) íåíóëåâîé êорень±1. Íàличие æå ó частицы âíóòренних степеней
ñâîáîäû выражаетñÿ â òîì, ÷òî â õàðàêтеристичеñêèõ ïîëèíîìàõ áëî-
êîâ
Cs(ïî крайней ìåðå, îäíîãî è íèõ) êорень
(ïîâòоряющимся). Ýòèì степеням ñâîáîäû ìîæíî ñîïîñòавить íåêîòî-
ðûé операòîðˆΠ
4-èìïóëüñàˆp, êâàäðàòà спинаˆS2è ïðîекции спинаˆSnè образующий
âìåñòå ñ íèìè ïîëíûé набор переменных äëÿ данногî классà ÐÂÓ. Åñëè
преобразîâàíèÿQãðóïïû âíóòренней симметðèè êîммутирóþò ñ лорен-
öåâскими ãенераòорами
èëè æå ÿâëÿåòñÿ общим ýлементîì àëãåáðû Ëè ýòîé ãðóïïû. Â ïðîòèâ-
íîì случае äëÿ релятивистñêè-êîâариантногî îïðåделения операòîðàˆΠ
íåîáõîäèìî âûõîäèòü çà рамки преобразîâàíèé âíóòренней симметðèè.
×òîáû íå ñóæàòü общноñòü рассмоòрения, ограничимся çäåñü âûøå-
ïðèâåденными çàìåчаниями îòíîсительно ñâойств операòîðàˆΠ
íèâ èõ ëèøü åñòåñòâенными òребованиями åãî äèàãîíàлизирóåìîñòè è
âåùåñòâåííîñòè собственных çíàчений, à òàêæå условием
Γ4òàêèõ ÐÂÓ ñîдержаò òîëüêî îäèí (ñ òî÷íîñòüþ äî
(îäèí èëè íåñêîëüêî), êîммутирующий ñ операòорами
Ji4, òî операòîðˆΠ
Csìàòðèöû
±1
ÿâëÿåòñÿ êðàòíûì
ñîдержитñÿ ñðåäè ãенераòîðîâ
Γ4, à çíà÷èò,
(5.14)
, äîïîë-
ˆ
Π η = ηˆΠ
ïî àíàлогии ñ ñîîòâåòñòâующими ñâойствàìè операòîðîâˆS2èˆSn. Áîëåå
äåòàëüíî процеäóðà óñòàíîâления âèäà операòîðàˆΠ
лированных соображåíèé áóäåò ïðîдемонстрировàíà â ðàçäåëå 5.4 íà
êонкретных примерах.
+
íà îñíîâå ñôîðìó-
(5.15)
206 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Собственные çíàчения операòîðàˆΠ
, êîòîðûå â äàльнейшем, ñëåäóÿ
òåðìèíîлогии ðàçäåëå 1.5, áóäåì назывàòüΠ-четноñòüþ, обозна÷èì ÷å-
ðåç
λ
(индекñiíóìåðóåò âîçìîæíûå çíàченияΠ-четноñòè). Ïîñêîëüêó
i
êðàòíîñòü íåíóëåâîãî êîðíÿ â разных спиновых áëîêàõ ìîæåò áûòü ðàç-
íîé,ýòî îçíà÷àåò,÷òîôèêсировàííîå çíàчениеΠ-четноñòè íåîáÿçàтельно
ïðèñóùå âñåì спиновым ñîñòîяниям, ò. å. êàæäîìó çíàчению спина îò-
âå÷àåò, âообще ãîâîðÿ, ñâîé набор çíàченийΠ-четноñòè. Ìîæíî òðàêòî-
âàòü данную ñèòóàöèþ è èíà÷å: ñ÷èòàòü, ÷òî ñîñòîÿíèþ ñ ôèêсированной
Π
-четноñòüþ ñîîòâåòñòâóåò îïðåделенный ñïåêòð спиновых ñîñòîÿíèé.
 äàльнейшем áåç ущерба äëÿ ñóùåñòâà âîïðîñà áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî
операòîðΠ-четноñòè íå зависит îò спина, ò. å. êâàíòîâîå числоiïðîáегает
îäèí è òîò æå ðÿä çíàчений äëÿ âñåõ спиновs.
Применение ìåòîäà ïðîåêтивных операòîðîâ ê исслеäóåìîìó классó
уравнений òðåáóåò ïîìèìî операòîðîâ
ˆ
τ±(p)èβ
, îïðåделяемых ñîãëàñ-
k
íî ñîîтношениям
P±(ˆp)
τ±(ˆp) =
, (ˆp ∓ m)P±(ˆp) ≡ P ( ˆp) = 0,
(5.16)
P±(±m)
βk=
, (ˆSn− k)Qk(ˆSn) ≡ Q(ˆSn) = 0
(5.17)
Qk(k)
è выделяющих ñîñòîÿíèÿ ñ данным èìïóëüñîì, çíàêîì ìàññû è ïðîåêöè-
åé спина, ââåдения ïðîåêтивных операòîðîâ àáñîëþòíîé âеличины ñïè-
Qk(ˆSn)
2
íà
σ
èΠ-четноñòè
s
π
, âûðåзающих ñîîòâåòñòâåííî ñîñòîÿíèÿ ñ данным
i
спиноì èΠ-четноñòüþ.
Операòîðû
π
2
è
σ
i
ïî àíàлогии ñ (5.16), (5.17) задаюòñÿ ñëåдующим
s
образîì:
πi= P
2
σ
=
s
ˆ
ΠPi(λi),
i
Qs(ˆS2)
Qs[s(s + 1)]
,
ˆ
Π − λ
ˆ
P
i
Π≡ P
i
ˆ
Π= 0,
ˆ
S2− s(s + 1)Qs(ˆS2) ≡ Q(ˆS2) = 0.
(5.18)
(5.19)
 îïðåделениях (5.16)(5.19)
ˆ
(
P(ˆp), P
Π)
, Q
(ˆS2)
, Q
(ˆSn)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 207
минимàльные ïîëèíîìû операòîðîâ
ˆp,ˆΠ,ˆS2,ˆSnè
P ±(ˆp), Pi(ˆΠ), Qs(ˆS2), Qk(ˆSn)
èõ óñåченные минимàльные ïîëèíîìû. Ïðîåêтивные операòîðû
2
σ
òàê æå, êàê è
s
β
, óäîâëåòâîðÿþò îчевидным ñîîтношениям
k
i
πi=
s
2
σ
=
s
βk= I,
k
π
s
(5.20)
причем îтметим, ÷òî äëÿ âûïîлнения условий (5.20) ñóùåñòâенным ìî-
ìåíòîì ÿâëÿåòñÿ ïðèâîäèìîñòü операòîðîâ спина, ïðîекции спина èΠ-
четноñòè ê äèàãîíàëüíîìó âèäó.
Ïðîåêтивный операòîð, выделяющий åдинствåííîå ñîñòîÿíèå ñ ôèê-
сированными çíàчениями 4-èìïóëüñà, çíàêà ìàññû,Π-четноñòè, спина è
åãî ïðîекции áóäåò иметь âèä
(±)
τ
(ˆp) = τ±(ˆp) πiσ
isk
2
s
βk.
(5.21)
Знаки ïëîòíîñòè энергии è заряда классичеñêîé ïîëåâîé системы ïðè
âûïîлнении условия (5.15) îïðåделяюòñÿ ñîîòâåòñòâåííî çíàêàìè âûðà-
æåíèé
è
Sp
(τ
(±)
isk
η),
Sp
(Γ4τ
(±)
isk
η),
(5.22)
вычисленными â системе ïîêîÿ. Àíàëèç ýòèõ выражåíèé äëÿ ÐÂÓ, îïè-
ñûâающих частицу ñ îäíèì çíàчением спина è áåç âíóòренних степеней
ñâîáîäû, ïîêàçûâàåò, ÷òî знаки ïëîòíîñòè энергии (заряда), âо-первых,
íå зависят îò çíàчения ïðîекции спина è, âî-âòîðûõ, â ïîëîжительно-
÷àñòîòíûõ è îòðèöàтельно-частîòíûõ ñîñòîяниях знаки óêазанных âåëè-
÷èí îдинакîâû â случае целогî (ïîлуцелогî) è ïðîòèâîïîëîæíû â случае
ïîлуцелогî (целогî) спина.
Äðугими ñëîâàìè, äëÿ целогî спина энергия äåфинитна, заряд èí-
äåфинитен, à äëÿ ïîлуцелогî наобороò энергия èíäåфинитна, заряд
äåфинитен. Â случае æå уравнений äëÿ частиц ñ набороì спинов è âíóò-
ренними степенями ñâîáîäû знаки ïëîòíîñòè энергии è заряда óæå могут
зависåòü îò êâàíòîâûõ ÷èñåëiès, ò. å. энергия è заряд òàêèõ частиц áóäóò,
âообще ãîâîðÿ, èíäåфинитны.
208 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
×òîáû îòразить данноå îáñòîятельствî, ââåäåì íîðмировî÷íóþ ïåðå-
менную
(±)
g
, çíàчения êîòîðîé ñîîòâåòñòâóþò çíàêó ïëîòíîñòè энергии
il
â ñîñòîÿíèè
ψil(±p) ≡ ψ
(±)
il
(p)
è вычисляюòñÿ â системе ïîêîÿ частицы ïî ôîðìóëå
(±)
g
=
SignSp
il
(τ
(±)
il
η).
(5.23)
Çäåñü è äàëåå â данной ãëàâå ïîä индекñîìläëÿ óдобствàïîäðàçóìåâàåòñÿ
îáúåдиненныйиндекñsk,õàðàêтеризующийспиновые ñîñòîÿíèÿчастицы
êàê â смысле àáñîëþòíîé âеличины, òàê è ïðîекции спина. Ïðè ýòîì
âàæíî заметить, ÷òî зависимоñòü ïëîòíîñòè энергии îò êâàíòîâîãî числа
i
îçíà÷àåò, собствåííî, íåêîìïàêòíîñòü ãðóïïû âíóòренней симметðèè,
ïðèñóùåé лагранжåâîé ôîðìóлировкå теории.
Принципиаëüíî ñóùåñòâенным ìîìåíòîì ÿâëÿåòñÿ òàêæå è òî, ÷òî
äëÿ рассмàòðèâаемогî классà ÐÂÓ теряетñÿ ñòðîãî îïðåделенноå ñîîòâåò-
ствие между çíàêàìè ïëîòíîñòè энергии (è заряда) â ïîëîжительно- è
îòðèöàтельно-частîòíûõ ñîñòîяниях, ñ îäíîé ñòороны, è öåëîчисленным
ëèáî ïîлуцелочисленным õàðàêòåðîì спина, ñ äðóãîé.
Òàê, â зависимоñòè îò òèïà уравнения è ñïîñîáà задания операòîðà
ˆ
Π
äëÿ ïëîòíîñòè энергии â случае целогî спина наряду ñ обычным (ò. å.
ñâойственнымтеориям áåçâíóòренних степеней ñâîáîäû)ñîîòâåòствием,
êîãäà
(+)
g
il
= g
(−)
il
,
(5.24)
ìîæåò âûïîлняться ñîîтношение
g
(+)
il
= −g
(−)
il
.
(5.25)
Àíàлогично äëÿ ïîлуцелогî спина âîçìîæíî âûïîлнение êàê условия
(5.25), òàê è (5.24). Ïëîòíîñòü заряда имеет (äëÿ любогî õàðàêòåðà спина)
ïðîòèâîïîëîæíûå знаки â ñîñòîяниях
ψ
+
il
−
è
ψ
â случае (5.24) è îäèíà-
il
êîâûå â случае (5.25).
Îñòановимся ñíà÷àëà íà ñèòóàöèè, êîãäà äëÿ целогî спина âûïîлняет-
ñÿ условие (5.24), à äëÿ ïîлуцелогî (5.25). Ââîäÿ äëÿ упрощения çàïèñè
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 209
обозначение
(+)
g
≡ gil, ïðåäñòàâèì ïîлучающееñÿ ïðè ýòîì ñîîòâåòствие
il
çíàêîâ ïëîòíîñòè энергии è заряда различным ñîñòîяниям частицы ñ ïî-
мощью Òàáë. 1
Òàáëèöà 1.
Ñîîòâåòствие çíàêîâ энергии è спина, первая
âîçìîжность
Ñîñòîÿíèå Целый ñïèí Ïîлуцелый ñïèí
энергия | заряд энергия | заряд
(+)
ψ
ψ
il
(−)
il
gil|
g
il
|
g
il
−g
gil|
g
il
−gil|
il
g
il
Íîðмировкà ïî заряду â ýòîé òàáлицей õàðàêтеризóåòñÿ ñîîтношениями
ψ
(±)
¯
il
Γ4ψ
(±)
il
= gil,
ψ
(±)
¯
(±)
ψ
il
il
=
m
|p0|
g
il
(5.26)
â случае целогî спина è
ψ
(±)
¯
il
Γ4ψ
(±)
il
= gil,
ψ
(±)
(±)
¯
ψ
il
il
= ±
m
|p0|
g
il
(5.27)
äëÿ ïîлуцелогî.
Возвращаясь теперь ê ïðîåêтивноìó операòîðó (5.21), перепишем åãî
â âèäå
(±)
τ
(ˆp) = c ψ
il
Учитывàÿ условия (5.26), (5.27), à òàêæå òî, ÷òî Sp
(±)
il
(p) ·¯ψ
(±)
il
(p).
(±)
τ
= 1, (gil)2= 1
il
(5.28)
найдем íîðмировî÷íûé ìíîжительcâ (5.28), à çíà÷èò, è выражåíèå äëÿ
ìàòðèö-äèàä
ψ·¯ψ
÷åðåç ïðîåêтивный операòîð
(±)
τ
, êîòîðûå понадобÿòñÿ
il
íàì â äàльнейшем :
=
m
|p0|
m
|p0|
gilτ
(±)
gilτ
(±)
il
(целый ñïèí)
il
(ïîлуцелый ñïèí)
,
.
(5.29)
(5.30)
ψ
(±)
il
·¯ψ
ψ
(±)
il
(±)
il
·¯ψ
= ±
(±)
il
Ñ ó÷åòîì êâàíòîâîãîчислаi, õàðàêтеризующегîΠ-четноñòü, разлоæå-
íèå операòорныхâîлновых ôункцийψ(x)
ψ(x
,
¯
ïðè ïåðåõîäå ê âòорично-
)
,
210 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
êâàíòîâанной теории çàпишетñÿ òàê:
il
(p)¯ψ
(+)
il
(+)
il
(p)e
(p)e
ail(p)ψ
l
+
a
l
ipx
−ipx
+
+
b
il
+ bil(p)¯ψ
(p)ψ
(−)
il
(p)e
(−)
il
ψ(x) = (2 π)
¯
ψ(x) = (2 π)
3
−
2
3
−
2
i
i
Ïîäñòàâëÿÿ разлоæåíèÿ (5.31), (5.32) â выражåíèÿ äëÿ заряда
Q =ρd3x = e
¯
ψ(x)Γ4ψ(x)d3x
è энергии
−ipx
(p)e
ipx
d3p,
(5.31)
d3p.
(5.32)
(5.33)
E =ωd3x =p
¯
ψ(x)Γ4ψ(x)d3x,
0
(5.34)
ïîлучаем
Q = e
E =
i
i
l
l
+
a
il
+
a
ilail
ail|p0|
(+)
¯
ψ
Γ4ψ
il
(+)
¯
ψ
Γ4ψ
il
(+)
il
(+)
il
i
+
i
−
+
b
b
il
l
+
bilb
il
l
il
|p0|
ψ
(−)
¯
Γ4ψ
il
(−)
¯
ψ
Γ4ψ
il
(−)
il
(−)
il
,
(5.35)
.
(5.36)
Îòñþäà, учитывàÿ íîðмировî÷íûå ñîîтношения (5.26),(5.27), ïðèõîäèì
ê ñëåдующим выражениям äëÿQèE:
Q = e
E =
i
i
l
p0>0
l
g
p0>0
il
+
a
+
a
g
il
ilail
ilail|p0
| ±
i
∓
i
l
l
p0<0
p0<0
gilb
gilb
il
il
+
b
+
b
il
il|p0
,
|.
(5.37)
(5.38)
 ôîðìóëàõ (5.37), (5.38) âерхние знаки ñîîòâåòñòâóþò öåëîìó, à нижние
ïîлуцелоìó спину.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]