Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы
.pdf
ôîðìóëó
E =
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 171
1
2
k
ω
λ=1,2,4
(c
kλ
+
+
c
kλ
+
+
c
kλckλ
) + (b
k
+
+
b
b
k
kbk
),
(4.115)
â êîòîðîé учтено, ÷òî
Âòоричноåêâàíòîâàíèåîñóùåñòâëÿåòñÿ путем замены амплитóä
+
bk,
íà операòîðû, óäîâëåòâоряющие ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîтношениям
b
k
[ckλ,
N = 1/√2V ω(V
+
′
c
]−= δ
k′λ
kk
′
δ
[bk,
λλ
íîðмировî÷íûé îáúåì).
′
(λ, λ′= 1, 2, 4),
+
b
k]−
= δ
kk
′
+
c
ckλ,
(4.116)
(4.117)
èâñå îñòàльные êîììóòàòîðû равны íóëþ.Èçусловий êâàíòîâàíèÿ(4.116),
+
(4.117) ñëåäóåò, ÷òî собственными çíàчениямиопераòîðà
c
kλckλ
ÿâëÿþòñÿ
целые ïîëîжительные числа èëè íóëü.
Óравнение (4.89), âõîдящее â рассмàòðèâаемую систему êàê ñîñòавная
часть, äëÿ êâàíòîâанногî ïîëÿ ñôîðìóëèðóåì â âèäå условия, наклады-
âаемогî íå íà операòîðû
ˆ
ψµ,ˆψ
, à íà âîлновые ôункцииΨ, описывàþ-
0
ùèå ñîñòîÿíèÿ áåçìассовîãî ïîëÿ, íà êîòîðûå действóþò ýòè операòîðû.
Именно áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî
ãäå∂
ˆ
ψµ(x) +ˆψ0(x)
µ
ˆ
∂
ψµ(x) +ˆψ0(x)
µ
(+)
часть операòîðà∂
(+)
Ψ = 0 ,
ˆ
ψµ(x) +ˆψ0(x)
µ
(4.118)
, ñîäåð-
жащая òîëüêî ïîëîжительные ÷àñòîòû. Èç условия (4.118) вытекàåò ðà-
âенствî
ω(bk− ck4)e
k
ikx
Ψ = 0,
(4.119)
kλ
,
êîòîðîå, â ñâîþ î÷åðåäü, îçíà÷àåò, ÷òî ôункцияΨïðè âñåõkäîëæíà
óäîâëåòâорять условию
Учитывàÿ, ÷òî операòîðû
(bk− ck4)Ψ = 0 .
+
bkè
, à òàêæå
b
k
ck4è
(−
+
c
)
, ýðìèòîâî сопря-
k4
(4.120)
æåíû, наряду ñ (4.120) имеем
+
+
Ψ∗(
c
+
b
k
) = 0.
k4
(4.121)
172 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Èç условий (4.120), (4.121) ïîлучаем
Ψ, (
+
+
c
−
b
k
)(bk− ck4)Ψ+Ψ, (
k4
+
+
c
+
b
k
)(bk+ ck4)Ψ= 0,
k4
ò. å.
Ψ, (
+
b
kbk
+
+
c
k4ck4
)Ψ= 0.
(4.122)
Áëàãîäàðÿ ñîîтношению (4.122) èñ÷åçàþò ñðåäíèå çíàчения òîé части
операòîðàэнергии, êîòîðûå ñâязаны ñî ñêàлярным ïîтенциаëîì
лярной ñîñòàâляющей âåêòîð-ïîтенциаëà
ψ
. Òàêèì образîì, îñòàþòñÿ
µ
ψ
è ñêà-
0
òîëüêî попере÷íûå êîлебания, è äàльнейшая процеäóðà âòоричногî êâàí-
òîâàíèÿîñóùåñòâëÿåòñÿ â ïîëíîì ñîîòâåòствии ñ êâàíòîâанием обычногî
ýëåêòðîìагнитногî ïîëÿ. Ñëåäîâàтельно, системà (4.89)(4.91) описывà-
åò ýëåêòðîìагнитноå ïîëå, à ñêàлярный ïîтенциаë
ψ
играет â íåì ðîëü
0
êàлибровî÷íîé ôункции.
Заметим åùå, ÷òî различие между физичеñêèì ñîдержанием ñêàëÿð-
íûõ ïîтенциаëîâ
ψ
â системàõ (4.83)(4.85) è (4.89)(4.91) ìîæíî óñòà-
0
новить êîñâенным путем è íà классичеñêîì уровне, åñëè ââåñòè â óðàâ-
нения äâèæåíèÿ (4.84), (4.90) èñòî÷íèê
(∂µjµ= 0)
, äëÿ âеличин
ψµ, ψ
â ïåðâîì случае ïîлучим уравнения äâè-
0
jµ. Ñ÷èòàÿ òîê
jµñîхраняющимся
æåíèÿ âòîðîãî порядкà
ψµ− ∂µψ0= −jµ, ψ0= 0,
(4.123)
à âî âòîðîì случае
ψµ= −jµ, ψ0= 0.
Óравнения (4.124) ïîêàçûâàþò, ÷òî ñêàлярная ôункция
ψ
íèêàê íå ñâÿ-
0
(4.124)
çàíà ñ èñòî÷íèêîì (íå зависит îò èñòî÷íèêà) è íå ìîæåò, ñëåäîâàтельно,
описывàòü физичеñêîå ïîëå. Â системе (4.123) òàêàÿ ñâÿçü имеетñÿ áëàãî-
äàðÿ íàличию â ïåðâîì уравнении градиентногî члена
∂µψ0.
4.2. Áåçìàññîâûå ïîëÿâтеории ДиракàÊýëåðà
Ñóùåñòâåííî áîëåå широкие âîçìîæíîñòè äëÿ îïèñàíèÿ áåçìассовых
ïîëåé ñ ìàêñèìàльным спиноì 1 ïðåäîñòàâëÿåò ñõåìà зацеплений (3.18).
Рассмоòðèì íåêîòîðûå èç íèõ [154, 155].
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 173
Êàêïîêазаноâûøå, íàîñíîâå ñõåìû(3.18)ñòðîèòñÿуравнение Диракà
Êýëåðà, òåíçорная ôîðìóлировкàêîòîðîãî имеет âèä (3.31). Äëÿ äàльней-
øèõ целей систему (3.31) öåëåсообразно преобразîâàòü, ââåäÿ â íåå âìå-
ñòî ìассовîãî параметðàmäâà параметðà
m1è
m2ñëåдующим образîì:
∂µψµ+ m1ψ0= 0,
˜
∂
ψµ+ m
µ
˜
ψ0= 0,
1
∂νψ
1
ε
µναβ∂ν
2
−∂µψν+ ∂νψµ+ iε
+ ∂µψ0+ m2ψµ= 0,
[µν]
ψ
[αβ]
µναβ∂α
˜
+ ∂
ψ0+ m
µ
˜
ψβ+ m1ψ
 ìàòричной ôîðìå системà (4.125) имеет âèä
ãäå ìàòðèöû
(1)
Γ
(2)
, Γ
0
ïðîåêтивные (îñîáенные) ìàòðèöû
0
Γ
(Γµ∂µ+ m1Γ
(1)
0
+ m2Γ
Γµâ òåíçîðíîì базисå (3.32) задаюòñÿ выражениями (3.33);
1
(1)
= e00+ e
0
˜0˜
0
+
[µν],[µν]
e
2
(2)
0
, Γ
ñî ñâойствàìè
(1)
Γ
Γµ+ ΓµΓ
0
(1)
(Γ
)2= Γ
0
(1)
Γ
+ Γ
0
(1)
= Γµ, Γ
0
(1)
, (Γ
0
(2)
= I, Γ
0
(2)
0
Γµ+ ΓµΓ
ψµ= 0,
2
[µν]
)ψ = 0,
(2)
= eµµ+ e
0
(2)
)2= Γ
0
(1)
0
˜
Γ
(2)
0
= 0.
(2)
0
= Γµ.
(2)
0
= 0,
˜µ˜
(4.125)
(4.126)
µ
(4.127)
,
(4.128)
Îñóùåñòâëÿÿ ïåðåõîä îò системы (4.125) ê вытекающим èç íåå óðàâ-
нениям âòîðîãî порядкà, ïîлучим
( − m1m2)ψA= 0, (A = 0,˜0, µ,˜µ, [µν]).
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óêазанная системà ïðè
öó ñ îäíîé ìассой
m =√m1m2, ò. å. принципиаëüíî íå îòличаетñÿ îò
m1, m2= 0
описывàåò части-
(4.129)
обычногî уравнения ДиракàÊýëåðà.  òî æå время, ïîлагая порознь èëè
îдновременно
m1, m2= 0
, èç системы (4.125) ìîæíî ïîлучить òðè систе-
ìû äëÿ áåçìассовых частиц (ïîëåé), êîòîðûå ìû рассмоòðèì â данноì
ðàçäåëå.
174 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Èòàê, ïîëîæèì â (4.125)
m1= 0, m2= 0.
Ïðè ýòîì çíàчение параметðà
âñåãäà ìîæíî выбраòü
m1= 1
1
2
−∂µψν+ ∂νψµ+ iε
m1íå играет ñóùåñòâенной ðîëè, òàê ÷òî
. Â ðåçóëüòàòå ïîлучим систему уравнений
∂νψµ+ ψ0= 0,
∂µψµ+˜ψ0= 0,
ε
µναβ∂ν
∂µψ
µναβ∂α
[µν]
˜
ψ
[αβ]
˜
ψβ+ ψ
+ ∂µψ0= 0,
˜
+ ∂
ψ0= 0,
µ
= 0,
[µν]
(4.130)
(4.131)
(4.132)
(4.133)
(4.134)
(4.135)
èëè â ìàòричной ôîðìå
(Γµ∂µ+ Γ
(1)
)ψ = 0.
0
(4.136)
Äëÿóñòàíîâления физичеñêîãîñîдержаниясистемы (4.131)(4.135),ïðåæ-
äå âñåãî, заметим, ÷òî âñå âõîдящие â íåå ïîлевые ôункции óäîâëåòâîðÿ-
þò уравнению Äàëàìáåðà, ò. å. данная системà действительно описывàåò
áåçìассовîå ïîëå (èëè ïîëÿ). Ðîëü ïîтенциаëîâ â системе (4.131)(4.135)
âûïîëíÿþò âåêòîð
ψµ(x)
è ïñåâäîâåêòîð
æåííîñòåé; смысл ñêàлярной
ψ0(x)
˜
ψµ(x);ψ
[µν]
(x)
è ïñåâäîñêàлярной
òåíçîð íàïðÿ-
˜
ψ0(x)
ôункций
выяснитñÿ ïîçæå.
Îáñóждаемàÿсистемà èíâариантна îòíîсительно êàлибровî÷íûõïðå-
образîâàíèé ïîтенциаëîâ
ψµ−→ ψ
′
= ψµ+ ∂µΛ(x),
µ
ãäå êàлибровî÷íûå ôункции
˜
ψµ−→˜ψ
Λ(x),˜Λ(x)
óäîâëåòâîðÿþò условиям
′
=˜ψµ+ ∂
µ
˜
Λ(x),
µ
Λ(x) = 0, ˜Λ(x) = 0.
Äëÿ îïðåделения íåзависимых физичеñêèõ ñîñòîÿíèé рассмàòðèâàå-
(4.137)
(4.138)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 175
ìîé ïîëåâîé системы перейдем ê èìïóльсноìó ïðåäñòàâлению:
ψµ(x) =ψµ(k) e
ikxd3
k +
ý.ñ.
,
(4.139)
˜
ψµ(x) =
˜
ψµ(k) e
ψ0(x) =ψ0(k) e
ikxd3
ikxd3
k +
k +
ý.ñ.
ý.ñ.
,
,
(4.140)
(4.141)
˜
ψ0(x) =
˜
ψ0(k) e
Разлоæèì амплитóäû ïîтенциаëîâ
2
ψµ(k) =
˜
ψµ(k) =
i=1
2
i=1
aie
˜aie
Òеперь учтем, ÷òî êàлибровî÷íûå ôункции
ikxd3
k +
ψµ(k),˜ψµ(k)
(i)
+ b kµ+ c nµ,
µ
(i)
+˜b kµ+ ˜c nµ.
µ
Λ(x),˜Λ(x)
ý.ñ. (4.142)
ïî базисó (4.97)
(4.143)
(4.144)
, óäîâëåòâоряющие
уравнению Äàëàìáåðà (4.138), ìîæíî ïðåäñòавить â âèäå разлоæåíèé,
àíàлогичных (4.141), (4.142):
Λ(x) =Λ(k) e
ikxd3
k +
ý.ñ.
,
(4.145)
ikxd3
k +
ý.ñ.
,
(4.146)
ãäå
Λ(k),˜Λ(k)
˜
Λ(x) =
˜
Λ(k) e
произвîльные амплитóäû.
Ïîäñòàâëÿÿ разлоæåíèÿ (4.139), (4.140), (4.145), (4.146) â êàлибровî÷-
íûå преобразîâàíèÿ (4.137), ïîлучим ñîîòâåòñòâующие преобразîâàíèÿ
äëÿ амплитóä ïîтенциаëîâ
ψµ(k) −→ ψ
˜
ψµ(k) −→˜ψ
êîòîðûå îçíà÷àþò, ÷òî амплитóäû
ñòüþ äî íåñóùåñòâенных слагаемых
′
(k) = ψµ(k) + iΛ(k)kµ,
µ
′
(k) =˜ψµ(k) + i˜Λ(k)kµ,
µ
ψµ(k)
iΛ(k)kµè
˜
è
ψµ(k)
i˜Λ(k)kµñîîòâåòñòâåííî. Â
(4.147)
îïðåделяюòñÿ ñ òî÷íî-
176 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
разлоæениях (4.143), (4.144) ðîëü òàêèõ íåñóùåñòâенных слагаемых âû-
ïîëíÿþò члены
˜
è
ψµ(k)
выражåíèÿ
bkµè˜bkµ. Отбрасывàÿ èõ, ïîлучаем äëÿ амплитóä
2
ψµ(k) =
˜
ψµ(k) =
(i)
aie
+ cnµ,
µ
1
2
(i)
˜aie
+ ˜cnµ,
µ
1
ψµ(k)
(4.148)
(4.149)
íå ñîдержащие ïðîäîльных êîлебаний (степеней ñâîáîäû).
Ñêàлярные степени ñâîáîäû óñòраняюòñÿ âî âòорично êâàíòîâанной
теории. Ïðè ýòîì уравнения (4.131), (4.132) äëÿ êâàíòîâанногî ïîëÿ ôîð-
ìóëèðóþòñÿ â âèäå условий òèïà (4.118). Èç ýòèõ условий ïîлучаем ñî-
îтношения
˜c)e
ikxd3
ikxd3
kΨ = 0,
kΨ = 0 ,
(4.150)
(4.151)
ω(ˆd − ˆc)e
ω(
ˆ
˜
d −
ãäå â êà÷åñòâå амплитóä ñêàлярных ïîëåé âûñòóïàþò âеличины
ψ0(k)
d =
,
ω
Èç (4.150), (4.151) ñëåäóåò, ÷òî ôункцияΨïðè âñåõk
˜
d =
˜
ψ0(k)
ω
.
(4.152)
äîëæíà óäîâëåòâî-
ðÿòü условиям
ˆ
(ˆd − ˆc)Ψ = 0, (
˜
d −ˆ˜c)Ψ = 0.
(4.153)
Ïîñòóïàÿ äàëåå â ñîîòâåòствии ñ обычной процедурой, èñïîëüçóå-
ìîé äëÿ óñòранения ïðîäîльных è ñêàлярных êîлебанийïðè êâàíòîâàíèè
ýëåêòðîìагнитногî ïîëÿ (ñì., íàпример, [58]), придем ê ñîîтношениям
+
Ψ, (ˆd
Ψ, (
ˆ
d + ˆc+ˆc)Ψ= 0,
ˆ
ˆ
+
˜
d
˜
d +ˆ˜c
+
ˆ
˜c)Ψ= 0.
(4.154)
(4.155)
Áëàãîäàðÿ (4.154), (4.155) èñ÷åçàþò ñðåäíèå çíàчения òîé части операòîðà
энергии, êîòîðûå ñâязаны ñî ñêàлярными êîлебаниями обоих типов.
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 177
Òàêèì образîì, системà (4.131)(4.135) описывàåò áåçìассовîå âåê-
òîðíîå ïîëå ñ äâóêðàòíûì âûðîждением ñîñòîÿíèé, частным случаем
êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ обычноå ýëåêòðîìагнитноå ïîëå. Â ýòîé системе ñêà-
лярной è ïñåâäîñêàлярной ôункциям
ψ0(x)
è
˜
ψ0(x)
íå ñîîòâåòñòâóåò
физичеñêèõ ñîñòîÿíèé. Îíè играюò ðîëü êàлибровî÷íûõ ïîëåé (äóõîâ).
Òеперь рассмоòðèì случай, êîãäà â системе (4.125)
m1= 0, m2= 1.
(4.156)
Выбор (4.156) ïðèâîäèò ê системе уравнений
∂µψµ= 0,
˜
∂
ψµ= 0,
µ
∂νψ
1
ε
µναβ∂ν
2
−∂µψν+ ∂νψµ+ iε
+ ∂µψ0+ ψµ= 0,
[µν]
ψ
[αβ]
˜
+ ∂
ψ0+˜ψµ= 0,
µ
µναβ∂α
˜
ψβ= 0.
Çäåñü ðîëü ïîтенциаëîâ âûïîëíÿþò âеличины
íàïðÿæåííîñòåé âûñòóïàþò âåêòîðû
ψ
˜
è
ψ
µ
µ
ψ0,˜ψ0, ψ
, à â êà÷åñòâå
[µν]
. Óравнения (4.159), (4.160)
(4.157)
(4.158)
(4.159)
(4.160)
(4.161)
ÿâëÿþòñÿ îïðåделениями íàïðÿæåííîñòåé ÷åðåç ïîтенциаëû, à (4.157),
(4.158), (4.161) уравнениями äâèæåíèÿ.
Ìàòричная ôîðìà системы (4.157)(4.161) îчевидно òàêîâà:
(2)
)ψ = 0,
0
(4.162)
ãäå ìàòðèöû
Γµ, Γ
(Γµ∂µ+ Γ
(2)
èìåþò òîò æå âèä, ÷òî â уравнении (4.126). Èñïîëü-
0
çóÿ òåíçорную (4.157)(4.161) ëèáî ìàòричную (4.162) ôîðìóлировкó îá-
ñóждаемой ïîëåâîé системы, íåòðóäíî óáåдиться, ÷òî âñå êîмпоненты
âîëíîâîé ôункции óäîâëåòâîðÿþò уравнению Äàëàìáåðà, ò. å. çäåñü ìû
опять имеем äåëî ñ áåçìассовым ïîëåì. Äàльнейшие ðàññóждения áîëåå
óдобно ïðîâîäèòü, переписàâ уравнение (4.160) â âèäå
ãäå
˜
∂
ψ
ν
[µν]
˜
ψ
òåíçîð, äóàëüíî сопряженный ê
[µν]
˜
+ ∂
ψ0+˜ψµ= 0,
µ
ψ
[µν]
.
Ïåðåõîä ê èìïóльсноìó ïðåäñòàâлению îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîñðåäñòâîì
çàïèñè ïîтенциаëîâ
ψ0(x),˜ψ0(x)
â âèäå (4.141), (4.142) è òåíçорных
(4.163)
178 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
ψ
[µν]
(x),˜ψ
[µν]
(x)
â âèäå
ψ
[µν]
(x) =ψ
[µν]
(k)e
ikxd3
k +
ý. ñ.
,
ikxd3
(k)e
[µν]
) +
) +
(i)
ν
k +
ý. ñ. (4.165)
(k)
ïî ïîëíîìó базисó (4.97):
2
i=1
gi(e
(i)
kν− e
µ
nµ) + e(kµnν− kνnµ),
2
i=1
(i)
nµ) + ˜e(kµnν− kνnµ),
ν
˜gi(e
(i)
kν− e
µ
(i)
ν
(i)
ν
kµ) +
kµ) +
Разлоæèì амплитóäû
ψ
(k) = f (e
[µν]
˜
ψ
(k) =˜f(e
[µν]
ãäå
f, gi, hi, e,˜f, ˜gi,˜hi, ˜e
ψ
˜
(x) =
[µν]
ψ
(1)
(2)
e
µ
ν
2
+
i=1
(1)
(2)
e
µ
ν
2
+
i=1
[µν]
− e
hi(e
− e
˜
hi(e
˜
ψ
[µν]
(k),˜ψ
(1)
(2)
e
ν
µ
(i)
nν− e
µ
(1)
(2)
e
ν
µ
(i)
nν− e
µ
êîýôфициенты разлоæåíèé.
Äàëåå учтем, ÷òî системà (4.157)(4.161) èíâариантна îòíîсительно
êàлибровî÷íûõ преобразîâàíèé
(4.164)
(4.166)
(4.167)
ψ
[µν]
= ψ
(x) + ∂µΛν(x) − ∂νΛµ(x) + ε
[µν]
ñ êàлибровîчными ôункциями
(x) −→ ψ
Λν(x),˜Λβ(x)
′
(x) =
[µν]
˜
µναβ∂α
Λβ(x)
, óäîâëåòâоряющими услови-
(4.168)
ÿì
Λν(x) − ∂µ∂νΛν= 0,
˜Λν(x) − ∂µ∂
˜
Λν= 0.
ν
(4.169)
(4.170)
Åñëèпридерживàòüñÿсимметричной ôîðìûçàïèñèпреобразîâàíèÿ (4.168)
(4.170) îòíîсительно òåíçîðîâ
ψ
[µν]
,˜ψ
, òî (4.168) ìîæíî заменить ïðå-
[µν]
образîâаниями
ψ
ψ
˜
[µν]
[µν]
(x) −→ ψ
(x) −→˜ψ
′
(x) = ψ
[µν]
′
(x) =˜ψ
[µν]
(x) + ∂µΛν(x) − ∂νΛµ(x),
[µν]
[µν]
(x) + ∂
˜
Λν(x) − ∂
µ
˜
Λµ(x),
ν
(4.171)
(4.172)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 179
ãäå
Λν(x),˜Λν(x)
по-прежнему óäîâëåòâîðÿþò условиям (4.169), (4.170)
ñîîòâåòñòâåííî.
Ðешения уравнений (4.169), (4.170), êàê è â случае уравнения Äàëàì-
áåðà, íîñÿò õàðàêòåð ñуперпозиции ïëîñêèõ âîëí
Λµ(x) =Λµ(k)e
ikxd3
k +
ý. ñ.
,
(4.173)
˜
Λµ(x) =
˜
Λµ(k)e
ñ òîé ëèøü разницей, ÷òî амплитóäû
ikxd3
k +
ý. ñ.
Λµ(k),˜Λµ(k)
,
(4.174)
, áóäó÷è разлоæенными
ïî базисó (4.97), èìåþò ôîðìó
2
Λµ(k) =
˜
Λµ(k) =
íå ñîдержащую слагаемых ñ
(4.170) членов
∂µ∂νΛν, ∂µ∂
ν
˜
Λν).
i=1
i=1
nµ(èç-çà íàличия â уравнениях (4.169),
(i)
αie
2
˜
αie
µ
(i)
µ
+ βkµ,
+˜βkµ,
(4.175)
(4.176)
Ïîäñòàâëÿÿ разлоæåíèÿ (4.164), (4.165), (4.173)(4.176) â преобразî-
âàíèÿ (4.171), (4.172), ïîлучим ñëåдующий âèä êàлибровî÷íûõ преобра-
çîâàíèé äëÿ амплитóä ïîтенциаëîâ
ψ
ψ
˜
[µν]
[µν]
(k) −→ ψ
(k) −→˜ψ
′
(k) = ψ
[µν]
′
(k) =˜ψ
[µν]
[µν]
[µν]
ψ
[µν]
(k) + i
(k) + i
(k),˜ψ
2
αi(e
i=1
2
i=1
[µν]
˜
αi(e
(k)
(i)
kν− e
µ
(i)
kν− e
µ
:
(i)
ν
(i)
ν
kµ),
kµ).
(4.177)
(4.178)
Преобразîâàíèÿ (4.177), (4.178) óêàçûâàþò íà íåñóùåñòâенный õàðàêòåð
слагаемых ñîдержащих âеличин
gi, ˜giâ разлоæениях (4.166), (4.167).
Ïîýòîìóèõ ìîæíî óñòранить ñîîòâåòñòâующим выбороì êàлибровî÷íûõ
параметðîâ
αi,˜α
i
αi= −igi,˜αi= −˜gi,
ò. å. ñ÷èòàòü
ψ
[23]
= ψ
[31]
=˜ψ
[23]
=˜ψ
[31]
= 0.
(4.179)
180 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Èñïîëüçóÿ ñâÿçü между òåíçорами
ψ
= −
[µν]
ψ
1
ε
µναβ
2
[µν]
è
ψ
˜
ψ
[µν]
˜
[αβ]
,
(4.180)
наряду ñ (4.179) áóäåì иметь
ψ
[14]
= ψ
[24]
=˜ψ
[14]
=˜ψ
[24]
= 0.
(4.181)
È â êîíå÷íîì ñ÷åòå разлоæåíèÿ (4.166), (4.167) принимàþò âèä
(1)
ψ
ψ
˜
[µν]
[µν]
(k) = fe
(k) =˜fe
µ
(1)
µ
(2)
e
− e
ν
(2)
e
− e
ν
Выражåíèÿ (4.182), (4.183) ïîêàçûâàþò, ÷òî ó òåíçîð-ïîтенциаëà
(1)
ν
(1)
ν
(2)
e
+ e (kµnν− kνnµ) ,
µ
(2)
e
+ ˜e (kµnν− kνnµ) .
µ
(4.182)
(4.183)
ψ
[µν]
îñòàþòñÿ òîëüêî äâå íåзависимые ñîñòàâляющие, êаждая èç êîòîðûõ ñî-
îòâåòñòâóåò ñîñòîÿíèþ áåçìассовîãî ïîëÿ ñî спиноì 1 è ïðîäîльной ïî-
ляризацией, òî åñòü ïîëþ ÊàльбаРамонда (íîòîôó ОгиевåöêîãîÏîëó-
бариновà).Ñ ó÷åòîì ïîëåé, описываемыхïîтенциаëàìè
ψ0,˜ψ0,
ïðèõîäèì
îêîí÷àтельно ê âûâîäó î òîì, ÷òî òåíçорная системà (4.157)(4.161), èëè
эквивàлентноå åé ìàòричноå уравнение (4.162), описывàåò ïîëå Êàëüáà
Рамонда è áåçìассовîå ñêàлярноå ïîëå ñ óäâîенным набороì ñîñòîÿíèé,
âûðîжденных ïî íåêîòîðîìó äîïîлнительноìó êâàíòîâîìó числу.
Ñîãласно òðàêòîâêå ðàáîò [122, 123], áåçìассовîå ïîëå, описывàåìîå
ïñåâäîñêàлярной ôункцией
симметричный òåíçîð ÷åòâåðòîãî ранга
между мембранами âòîðîãî порядкà â ïðîñòранствå ðàçмерноñòè
4.
Принимàÿ данную òðàêòîâêó, ìîæíî рассмàòðèâàòü систему (4.157)
˜
ψ0,
êîòîðîé ñîïîñòàâëÿåòñÿ ïîëíîñòüþ àíòè-
ψ
,
ïåðåäàåò взаимодействие
µναβ
d =
(4.161)â êà÷åñòâåôåíîìåíîлогичеñêîéìîäåëèîïèñàíèÿ ïîëåéîñóùåñòâ-
ляющих взаимодействие замкнутых ñòðóí è мембран â четырехмерноì
ïðîñòранствå. Ñ ýòîé òî÷êè зрения системà (4.131)(4.135) ìîæåò òðàêòî-
âàòüñÿ êàê ìîäåëü äëÿ îïèñàíèÿ взаимодействия êонцов îткрытых ñòðóí.
Учитывàÿ, ÷òî уравнение ДиракàÊýëåðà ÷àñòî рассмàòðèâàåòñÿ â êà-
÷åñòâå òåíçорногîэквивàëåíòà системы четыреõуравнений Диракà, ïðåä-
ñòàâëÿåòñÿ öåëåсообразным исслеäîâàòüòàêæå áåçìассовый ïðåäåë ýòîãî
уравнения, êîòîðûé ïîлучаетñÿ, åñëè ïîëîæèòü â системе (4.125)
m1= m2= 0 .
(4.184)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]