Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы
.pdf
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 211
Рассмоòðèì ñíà÷àëà êâàíòîâàíèå ïî íîðìàльной ñòàтистикå: целый
ñïèí ïî ÁÝ, ïîлуцелый ïî ÔÄ.Ïîñòóëèðóåìäëÿ операòîðîâ ðîждения
è уничтîæåíèÿ ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîтношения
′
(p′)
∓
= gilδ
′
δ
ii
ll
′
δ (p − p′)
(5.39)
ail(p),
′
(p′)
=bil(p),
∓
+
a
i′l
+
b
i′l
è âñå îñòàльные êîììóòàòîðû (антикîììóòàòîðû) равны íóëþ. Â уравне-
íèè (5.39) êîììóòàòîð ñîïîñòàâëÿåòñÿ öåëîìó, антикîììóòàòîð ïîëóöå-
ëîìó спину. Операòîðû числа частиц, ñîîòâåòñòâующие òàêîìó êâàíòî-
âàíèþ, задаюòñÿ ñëåдующим ñïîñîáîì:
= g
+
a
il
ilail
Ìíîжитель
(+)
N
il
gilâ îïðåделениях (5.40) îáåñïå÷èâàåò правильные собствåí-
íûå çíàчения ýòèõ операòîðîâ:
, N
0, 1, 2, ...
(−)
il
ïðè êâàíòîâàíèè ïî ñòàтистикå
= g
+
.
b
il
ilbil
(5.40)
ÁÝ è 0, 1 ïî ñòàтистикå ÔÄ.
Выражая èç условий êâàíòîâàíèÿ (5.39) произвåдение
+
è ïîäñòàâëÿÿ åãî ñ ó÷åòîì ñîîòâåòствия çíàêîâ â (5.37), (5.38), âåëè-
b
ilbil
+
b
il
b
il
÷åðåç
÷èíûQ,Eñ òî÷íîñòüþ äî áåñêîíå÷íûõ êîíñòàíò, óñòраняемых обычным
ñïîñîáîì, ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó
Q = e
E =
i
i
l
p0>0
l
p0>0
g
il
g
il
+
a
ilail|p0
+
a
ilail
| +
i
−
i
l
l
p0<0
p0<0
g
il
+
g
b
il
+
b
ilbil
ilbil|p0
,
|,
(5.41)
(5.42)
îдинакîâîìó â случае целогî è ïîлуцелогî спинов. Îòñþäà, èñïîëüçóÿ
(5.40), ïîлучаем
E =
Q = e
i
l
i
l
(+)
N
il
(+)
N
− N
il
(+)
ε
il
+ N
(−)
il
ε
(−)
il
(−)
il
,
(5.43)
,
(5.44)
±
ãäå
ε
= |p0|
il
, индекñû ó
ющему ñîñòîÿíèþ.
±
ε
óêàçûâàþò íà принадлежноñòü ê ñîîòâåòñòâó-
il
212 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Вычислим теперь выражåíèÿ (5.5),ãäåпо-прежнему êîììóòàòîðû (àí-
òèêîììóòàòîðû) îòâå÷àþò öåëîìó (ïîлуцелоìó) спину. Ñ ó÷åòîì разло-
æåíèé (5.31), (5.32) áóäåì иметь
= (2π)
ψα(x′) ,¯ψβ(x′′)
i
−3
l
∓bil,
⇒ψ (x′) ·¯ψ (x′′)
∓
+
b
il
ail,
∓
+
a
il
ψ
∓
(−)
il
ψ
·¯ψ
(+)
il
(−)
il
·¯ψ
(+)
il
e
−ipx
=
∓
ipx
e
∓
d3p.
(5.45)
Ïîäñòàâëÿÿ ñþäàïðè âерхних çíàêàõ ñîîтношение (5.29), à ïðè нижних
(5.30) è учитывàÿ условия êâàíòîâàíèÿ (5.39), ïðèõîäèì â обоих случаях
ê îдинакîâîé ïðàâîé части
ψ (x′) ·¯ψ (x′′)
∓
= (2π)
i
−3
l
m
|p0|
(+)
ipx
τ
e
il
− τ
(−)
il
−ipx
e
.
(5.46)
Учтем îïðåделение (5.21) операòîðà
(±)
τ
il
≡ τ
(±)
è òî, ÷òî â ñîîòâåò-
isk
ствии ñ òîæäåñòâàìè (5.20) имеет ìåñòî ðàâенствî
i
τ
l
(±)
il
=
is
k
τ±(ˆp) πiσ
2
βk= τ±(ˆp) .
s
(5.47)
Òîãäàвыражåíèå(5.46) преобразóåòñÿê âèäó(5.10), à çàòåìê (5.11), (5.12).
Ïîлученный ðåçóëüòàò, à òàêæå ôîðìóëû (5.43), (5.44) îçíà÷àþò, ÷òî
ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîтношения (5.39) íîñÿò причинный õàðàêòåð è ïðè-
âîäÿò ê правильной êорпускóлярной êàðòèíå ïîëÿ, äðугими ñëîâàìè, ñî-
ãëàñóþòñÿ ñ ïîñòóëàòàìè (I), (II).
Òеперь исслеäóåì âîçìîæíîñòü êâàíòîâàíèÿ рассмàòðèâаемогî êëàñ-
ñà ÐÂÓ ïî àíîìàльной ñòàтистикå. Äëÿ ýòîãî примем ïåðåñòàíîâî÷íûå
ñîîтношения
′
(p′)
±
= gilδ
′
δ
ii
′
δ (p − p′) ,
ll
(5.48)
ail(p),
′
(p′)
= −bil(p),
±
+
a
i′l
+
b
i′l
â êîòîðûõ антикîììóòàòîð ñîïîñòàâëÿåòñÿ öåëîìó, à êîììóòàòîð ïîëó-
öåëîìó спину. Ïðè òàêîì êâàíòîâàíèè операòîðû числа частиц задаюòñÿ
ñëåдующим образîì:
N
(+)
il
= g
+
a
ilail
, N
il
(−)
il
= −g
+
.
b
il
ilbil
(5.49)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 213
Îïðåделяя èç условий (5.48) произвåдение
+
bilb
è ïîäñòàâëÿÿâ ôîðìó-
il
ëû (5.37), (5.38), ïîлучаем îдинакîâûå äëÿ обоих типов спина выражåíèÿ
äëÿ заряда è энергии
Q = e
E =
i
i
l
p0>0
l
p0>0
g
il
g
il
+
a
ilail|p0
+
a
ilail
| −
i
+
i
l
l
p0<0
p0<0
g
il
+
g
b
il
+
b
ilbil
ilbil|p0
,
|,
(5.50)
(5.51)
êîòîðûå ñ ó÷åòîì (5.49) ïðèâîäÿòñÿ ê âèäó (5.43), (5.44) ñîîòâåòñòâåííî.
Преобразóÿ ñ ïîмощью условий êâàíòîâàíèÿ (5.48) êîììóòàòîðû (àí-
òèêîììóòàòîðû) (5.45), ãäå íà ýòîò ðàç êîììóòàòîð (антикîììóòàòîð) îò-
âå÷àåò ïîлуцелоìó (öåëîìó) спину, áóäåì иметь
i
×
ψ (x′) ·¯ψ (x′′)
g
l
(+)
ψ
il
il
·¯ψ
(+)
il
= (2π)−3×
±
ipx
e
∓ψ
(−)
il
·¯ψ
(−)
il
−ipx
e
d3p.
(5.52)
Применяя ê выражåíèþ (5.52) ïðè âерхнем çíàêå ôîðìóëó (5.29), à ïðè
нижнем (5.30), придем â обоих случаях ê îдинакîâîìó выражåíèþ äëÿ
êîììóòàòîðîâ (антикîììóòàòîðîâ), совпадающему ñ (5.46), è, ñëåäîâà-
тельно, ê причинным ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîтношениям (5.11), (5.12) äëÿ
операòорных âîлновых ôункций.
Òàêèì образîì, ïðè êâàíòîâàíèè ïî àíîìàльной ñòàтистикå ñïîñî-
áîì (5.48), (5.49) òàê æå, êàê è ïî íîðìàльной ñ ïîмощью ôîðìóë (5.39),
(5.40), ïîлучаюòñÿ правильные выражåíèÿ äëÿ зарядаQè энергииEè
ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîтношения äëÿ операòорных âîлновых ôункций èìå-
þò причинный õàðàêòåð. Äîстигаетñÿ ýòî çà ñ÷åò различных разбиений
ïðîñòранствà ñîñòîÿíèéHíà ïðîñòранствà
H+è
H−, â êîòîðûõ íîðìû
âåêòîðîâ ñîñòîÿíèé ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ïîëîжительно è îòðèöà-
тельно îïðåделенными.
Àíàлогично ïðîâîäèòñÿàíàëèç è òîãäà,êîãäà äëÿ целогî спина âûïîë-
íÿåòñÿ условие (5.25), à äëÿ ïîлуцелогî(5.24). Òàáë.1 òðàíñôîðìèðóåòñÿ
ê âèäó
214 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Òàáëèöà 2.
Ñîîòâåòствие çíàêîâ энергии è спина,
âòîðàÿ âîçìîжность
Ñîñòîÿíèå Целый ñïèí Ïîлуцелый ñïèí
энергия | заряд энергия | заряд
(+)
ψ
ψ
il
(−)
il
−g
gil|
il
g
il
|
g
il
gil|
gil|
−g
g
il
il
Основные ôîðìóëû, õàðàêтеризующие процеäóðó êâàíòîâàíèÿ, êоррекò-
íóþ â смысле ïîñòóëàòîâ (I) è (II), â ýòîì случае òàêîâû:
ψ
(±)
¯
il
¯
ψ
Γ4ψ
(±)
il
ψ
Γ4ψ
(±)
il
(±)
il
·¯ψ
= gil,
(±)
il
(±)
il
= gil,
= ±
m
|p0|
ψ
¯
(±)
(±)
ψ
il
il
(±)
¯
ψ
ψ
il
±
gilτ
(целый ñïèí)
il
(±)
il
= ±
=
m
|p0|
m
|p0|
gil,
gil,
,
(5.53)
(5.54)
(5.55)
m
=
|p0|
+
′
(p′)]∓= gilδ
b
i′l
, N
+
′
(p′)]±= gilδ
b
i′l
+
a
il
ilail
±
gilτ
(ïîлуцелый ñïèí)
il
ii
(−)
= −g
il
, N
il
ii
(−)
il
′
′
δ
δ(p − p′),
ll
+
b
ilbil
′
′
δ
δ(p − p′),
ll
= g
,
(5.56)
(5.57)
,
(5.58)
(5.59)
+
,
b
il
ilbil
(5.60)
[ail(p),
[ail(p),
ψ
+
′
a
(p′)]∓= −[bil(p),
i′l
(+)
N
= g
il
+
′
a
(p′)]±= [bil(p),
i′l
(±)
il
(±)
·¯ψ
il
+
a
il
ilail
(+)
N
= g
il
ãäåñîîтношения (5.57), (5.58) справåдливы ïðè êâàíòîâàíèè ïî íîðìàëü-
íîé ñòàтистикå è (5.59), (5.60) ïî àíîìàльной.
Íå âозникàåò принципиальных çàòðóднений òàêæå ïðè обобщении
вышепривåденнойпроцеäóðû êâàíòîâàíèÿ íà ïîëÿ (частицы) ñî ñïåêòðîì
ìассовых ñîñòîÿíèé.  ýòîì случае â ïîëíûé набор ñëåäóåò âêëþ÷èòü
ñîîòâåòñòâующее êâàíòîâîå число, различающее собственные çíàчения
операòîðàˆpâ системе ïîêîÿ. Ïîдробно ýòîò случай рассмоòðåí â ðàáîòå
[143].
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 215
5.3. Âåðîятностная интерпретàöèÿ теории
Рассмоòренная âûøå процеäóðà êâàíòîâàíèÿ ÐÂÓ ñ âíóòренними ñòå-
пенями ñâîáîäû ïðåäïîлагает îòêàç îò условия ïîëîжительной îïðåäå-
ленноñòè ìåòðèêè ïðîñòранствà ñîñòîÿíèé. Íàðушение ýòîãî условия,
êàê óæå îòìå÷àëîñü, ïðèâîäèò ê ïðîáëåìå âåðîÿòíîстной интерпретàöèè
теории. Óêазанная òðóäíîñòü ìîæåò áûòü разрешена, åñëè â теории íàðÿ-
äó ñî ñòандартными èìåþòñÿ äîïîлнительные çàêîíû ñîхранения, ñîâ-
ìåñòíî ïðèâîдящие ê правилам îтбора, ò. å. çàïðåòó íà ïåðåõîäû между
ñîñòîяниями ñ ïîëîжительной è îòðèöàтельной íîðìîé.
Ñóùåñòâîâàíèå äîïîлнительных çàêîíîâ ñîхранения ñâязано ñ íà-
личием ó îáñóждаемых ïîлевых систем âíóòренних степеней ñâîáîäû
(Π-четноñòè). Òàê, âозьмем лагранжиан
ãäå
L = −¯ψ(x)(Γµ∂µ+ m)ψ(x) + L
L
описывàåò взаимодействие, íå íàðушающее âíóòренней ñèì-
int
int
,
(5.61)
ìåòðèè, ïðèñóùåé ñâîáîäíîìó ïîëþ. Äëÿ ýëåêòðîìагнитногî взаимоäåé-
ствия, íàпример,
L
int
= e¯ψΓµA
¯
ψ +¯ψFµνΓ[µΓν]ψ.
µ
(5.62)
Èíâариантноñòü лагранжианов (5.61), (5.62) îòíîсительно преобразîâà-
íèé
ψ → e
iˆΠθ
ψ
(5.63)
ïðèâîäèò ê ñîхраняющемуся заряду
G ∼
¯
ψ(x)Γ
ˆ
Πψ(x)d3x,
4
(5.64)
êîòîðûé ñ ïîмощью выкладок, àíàлогичных òåì, ÷òî ïðîделывàëèñü ïðè
ïîлучении ôîðìóëû (5.43), ìîæåò áûòü преобразîâàí ê âèäó
G ∼
i
l
(+)
λ
N
i
− N
il
(−)
il
.
(5.65)
Ïðîñëåäèì ìåõàíèçì ñîâìåстногî действия çàêîíîâ ñîхранения çàðÿ-
äîâQ(5.43) èG(5.65), îáåñïå÷èâающий исключение ïåðåõîäîâ, êîòîðûå
216 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
õàðàêтеризóþòñÿ îòðèöàтельными âåðîÿòíîñòÿìè. Äëÿ выяснения ñóùå-
ñòâà äåëà ñíà÷àëà äîñòàòî÷íî проанализировàòü ñèòóàöèþ, êîãäà êâàíòî-
âîå числоiпринимàåò äâà çíàчения (
i = 1, 2
) è переменная
gilíå зависит
îòl. Òîãäà èç îïðåделения (4.2.10) ïðè условии íåêîìïàêòíîñòè ãðóïïû
âíóòренней симметðèè теории вытекàåò, ÷òî
g1l= −g2l= 1.
Ïðè êâàíòîâàíèè ïî íîðìàльной ñòàтистикå ïîñðåäñòâîì ñîîтноше-
íèé (5.39), (5.40) â ñåêòîðû
H+:
Π
N
1
ãäå
N4)
H−:
N1,
N2,
четноå,
Π
N
5
N5,
N6 произвîльные íåîòðèöàтельные целые числа,
(N7+ N8)
H+è
H−â данноì случае попадаюò ñîñòîÿíèÿ
+
a
1l
+
a
1l
Π
Π
+
b
N
1l
2
+
b
N
1l
6
íåчетноå числа,
Π
N
Π
N
+
a
3
7
Π
2l
+
a
Π
2l
< 0|0 >= 1
+
|0 >,
b
N
2l
4
+
|0 >,
b
N
2l
8
. Ïðè êâàíòîâàíèè
ïî àíîìàльной ñòàтистикå имеем распределение ñîñòîÿíèé
H+:
H−:
Π
N
1
Π
N
5
+
a
+
a
Π
1l
Π
1l
+
b
N
2
+
b
N
6
Π
2l
2l
N
3
Π
N
7
+
a
+
a
Π
2l
Π
2l
N
+
|0 >;
b
N
1l
4
+
|0 > .
b
1l
8
Äëÿ îäíîчастичных ñîñòîÿíèé разбиения (5.67), (5.68) òðàíñôîðìè-
ðóþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ê âèäó
(5.66)
(5.67)
(N3+
(5.68)
(+)
H+: ψ
H+: ψ
1l
(+)
1l
(−)
, ψ
, H−: ψ
1l
(−)
, ψ
, H−: ψ
2l
Ââåäåì операцию зарядовîãî сопряжåíèÿˆC
(+)
(−)
, ψ
2l
(+)
2l
, ψ
2l
(−)
1l
;
.
(5.69)
(5.70)
, óñòàíàâëèâающую ñîîò-
âåòствие между ñîñòîяниями частицы è античастицы. Îòíîсительно ýòîé
+
+
операции ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîтношения äëÿ âеличинa,
a
,b,
äîëæíû
b
áûòü èíâариантными. Применительно ê êâàíòîâàíèþïî íîðìàльной ñòà-
тистикå условия (5.39) èíâариантны îòíîсительно преобразîâàíèé
ˆ
Ca
C−1= bil,
il
ˆ
C
+
ˆ
ˆ
a
C−1=
il
+
,
b
il
(5.71)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 217
òîãäà êàê ïðè êâàíòîâàíèè ïî àíîìàльной ñòàтистикå (ïåðåñòàíîâî÷íûå
ñîîтношения (5.48)) операцию зарядовîãî сопряжåíèÿ ñëåäóåò îïðåäå-
ëÿòü ïî ôîðìóëàì
ˆ
C
ˆ
Ca
+
a
1l
ˆ
C−1= b2l,
1l
ˆ
C−1=
+
,
b
2l
Ca
ˆ
C
ˆ
+
a
ˆ
C−1= b1l,
2l
ˆ
C−1=
2l
+
,
b
1l
(5.72)
ò. å. ñâÿçûâàòü ñ íåé èçменение íå òîëüêî çíàêà ýëåêòðè÷åñêîãî заряда, íî
è çíàченияΠ-четноñòè.
Перепишем выражåíèå äëÿ зарядаQ(5.43) â ðàçâернутîì âèäå
Q ∼
l
N
(+)
1l
+ N
(+)
2l
− N
(−)
1l
− N
(−)
2l
.
(5.73)
ÏîлагаясобственныеçíàченияопераòîðàΠ-четноñòè равными
1
, ÷òî âñåãäà ìîæíî сделаòü â ðàìêàõ ïðåäúÿâляемых ê íåìó ограничений
λ1= −λ2=
(ñì. ðàçäåë 5.2), äëÿ заряда G ïîлучаем
G ∼
(+)
N
1l
l
− N
(+)
2l
− N
(−)
1l
+ N
Сравнивàÿ разбиения (5.69), (5.70) ñ выражениями (5.73), (5.74) äëÿ
(−)
2l
.
(5.74)
Q
èG, заклю÷àåì,÷òî îäíîчастичным ñîñòîяниям, îòíîсящимся ê ïîäïðî-
ñòранствàì
H+,
H−, ñîîòâåòñòâóþò заряды
H+: (1, 1), (−1, −1), H−: ( −1, 1), (1, −1)
(5.75)
ïðè ïåðâîì ñïîñîáå êâàíòîâàíèÿ (íîðìàльная ñòàтистикà) è заряды
H+: (1, 1), (−1, 1), H−: (1, −1), (−1, −1)
(5.76)
ïðè âòîðîì (ïåðâàÿ цифра â ñêîáêàõ â (5.75), (5.76) îòíîñèòñÿ ê ýëåêòðè-
÷åñêîìó, âòîðàÿ ê äîïîлнительноìó зарядуG).
Очевидно, ÷òî â случае (5.69), (5.75) äëÿ взаимодействий, íå íàðóøà-
þùèõ âíóòреннюю симметðèþ теории, ñîâìåñòíîå âûïîлнение çàêîíîâ
ñîхранения äëÿ зарядовQèGïðèâîäèò ê çàïðåòó физичеñêè неприем-
лемых ïåðåõîäîâ между ñîñòîяниями èç ñåêòîðîâ
H+è
H−. Â случае
æå (5.70), (5.76), êàçàëîñü áû, âîçìîæíû õàðàêтеризующиеñÿ îòðèöàòåëü-
íûìè âåðîÿòíîñòÿìè процеññû, òàêèå êàê ôîòîðîждение (аннигиляция)
218 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
(+)
ïàðû частиц â ñîñòîяниях, задаваемых операòорами
(−)
ψ
. Îäíàêî çäåñü íàäî учитывàòü, ÷òî â ñèëó îïðåделения (5.72) îïå-
2l
ψ
(−)
,
ψ
1l
1l
èëè
ψ
(+)
2l
рации зарядовîãî сопряжåíèÿ äëÿ ýòîãî случая óêазанные ñîñòîÿíèÿ íå
ÿâëÿþòñÿ ïî îтношению äðóã ê äðóãó ñîñòîяниями частицы è антича-
стицы èëè, äðугими ñëîâàìè, системà èç äâóõ òàêèõ частиц íå îáладает
îïðåделенным çíàчением зарядовîé четноñòè.
+
+
 ñàìîì äåëå, ïîдействóåì íà ñîñòîÿíèå
операòîðîìˆC
. Â ðåçóëüòàòå ïîлучим
a
|
|0 >
b
1l
1l
данной системы
,
+
+
ˆ
a
C|
b
1l
1l
|0 >= |ˆC
Îòñþäà видно, ÷òî ñîñòîÿíèå
âåêòîðîì операòîðàˆC
è, ñëåäîâàтельно, ôîòîðîждение ïàðû частиц â
= |
+
ˆ
a
C−1C
1l
+
+
a
b
2l
2l
|
+
b
1l
ˆ
C|0 >= |
+
+
a
|0 >
b
1l
1l
−1
ˆ
ˆ
C
C|0 >=
+
+
a
b
|0 > .
2l
2l
íå ÿâëÿåòñÿ собственным
(5.77)
òàêîì ñîñòîÿíèè ïðîòèâîðå÷èò çàêîíó ñîхранения зарядовîé четноñòè.
Òàêèì образîì, çàêîíû ñîхранения äëÿ зарядовQèGñ ïðèâëå÷åíè-
åì â íåîáõîдимых случаях условия ñîхранения зарядовîé четноñòè ïðè
êâàíòîâàíèè ïî àíîìàльной ñòàтистикå òàêæå çàпрещаюò ïåðåõîäû, íà-
ðушающие âåðîÿòíîстную интерпретàöèþ теории.
Äëÿ ÐÂÓ, ñâойствà è процеäóðà âòоричногî êâàíòîâàíèÿ êîòîðûõ îïè-
ñûâàåòñÿ ñîîтношениями (5.53)(5.60), ìåõàíèçì действия правил ñó-
ïåðîтбора ïî óñòранению îòðèöàтельных âåðîÿòíîñòåé ÿâëÿåòñÿ â îïðå-
деленноì смысле çåðêàëüíî симметричным ïî îтношению ê рассмоòðåí-
íîìó âûøå ìåõàíèçìó. Çäåñü разбиение (5.67), (5.69), (5.75) ïðîñòранствà
ñîñòîÿíèéHíà ïîäïðîñòранствà
H+,
H−имеет ìåñòî ïðè êâàíòîâàíèè
ïî àíîìàльной ñòàтистикå ïîñðåäñòâîì условий (5.60), â òî время êàê ïðè
êâàíòîâàíèèïî íîðìàльнойñòàтистикå (ñîîтношения (5.57), (5.58)) â ñåê-
òîðû
H+,
H−попадаюò ñîñòîÿíèÿ (5.68), (5.70), (5.76). Ïîýòîìó â ïåðâîì
случае äëÿ îáåñïåчения çàïðåòà íà физичеñêè áåссмысленные ïåðåõî-
äû между ïîäïðîñòранствàìè
H+è
H−äîñòàòî÷íî применения çàêîíîâ
ñîхранения äëÿ зарядовQèG, à âî âòîðîì íåîáõîäèìî äîïîлнитель-
íî ïðèâëåêàòü соображåíèÿ, ñâязанные ñ çàêîíîì ñîхранения зарядовîé
четноñòè.
Âñå âûøå ïðèâåденные ðàññóждения áåç îсобых çàòðóднений ìîæíî
перенеñòè íà теории ñ íåêîìïàêтными ãðуппами âíóòренней симметðèè
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 219
òèïà
SU(p, q),SO(p, q),SP (p, q)
, äëÿ ÷åãî íàäî ëèøü ïîäõîдящим îáðà-
çîì çàäàòü операòîðΠ-четноñòè: åãî собственные çíàчения по-прежнему
äîëæíû áûòü равными±1, причем çíàчение
åòñÿ ñîñòîяниям
ψ
(i обобщенный âíóòренний индекñ), äëÿ êîòîðûõ
il
λ = 1 (λ = −1)
ñîïîñòàâëÿ-
gil= 1, i = 1, 2, ..., p (gil= −1, i = p + 1, p + 2, ..., p + q).
Ñîîòâåòñòâующиеêîìïàêòíûìïîäãðуппам степени ñâîáîäûчастицы áó-
äóò ïðè ýòîì описывàòüñÿ íåêîòорыми äðугими операòорами, выбор êî-
òîðûõ íå âлияет íà õàðàêòåð ðàññóждений è íà îêîí÷àтельные âûâîäû.
Çàòронем âîïðîñ î êâàíòîâîé ôîðìóлировкå êàлибровî÷íîé теории ñ
íåêîìïàêòíîé ãðуппой âíóòренней симметðèè. Ïðåäñòàâèì операòорную
âîëíîâóþ ôункциюψâ âèäå
ψ = (ψ+, ψ−)
, ãäå ñîñòàâляющая
ψ+(ψ−)
образîâàíà операòорами ðîждения è уничтîæåíèÿ, ïîдчиняющимися ïå-
ðåñòàíîâî÷íûì ñîîтношениям ñ правильным (неправильным) çíàêîì â
ïðàâîé части. Иными ñëîâàìè, ñîñòîÿíèÿ, ñîïîñòàâляемые операòорным
âîлновым ôункциям
ψ
è
ψ
+
, îòíîñÿòñÿ ê ïîäïðîñòранствàì
−
H+è
H
ñîîòâåòñòâåííî.
Âìåñòî непрерывных преобразîâàíèé (5.63) рассмоòðèì дискретные
преобразîâàíèÿ
ψ+→ ψ+, ψ−→ −ψ−,
a1l,
+
a
1l
→ a1l,
+
a
; bl1,
1l
+
b
1l
→ b1l,
+
;
b
1l
−
+
.
b
2l
(5.78)
a2l,
+
a
→ −a2l, −
2l
+
a
; b2l,
2l
+
→ −b2l, −
b
2l
Òàêàÿ операция â ïðîñòранствåHíîñèò â ìàòåìàòè÷åñêîé литераòóðå
íàçâàíèå êаноничеñêîé (èëèJ-симметðèè). Îíà лежит â îñíîâå теории
линейных операòîðîâ â ïðîñòранствå ñ èíäåфинитной ìåòðèêîé, êîòîðîå
назывàåòñÿ åùå гильбåðòîâûì ïðîñòранствîì ñJ-ìåòðèêîé, èëè ïðî-
ñòранствîì Крейна [145].
Пусть êîмпоненты êàлибровî÷íîãî ïîëÿ òàêæå êâàíòóþòñÿ ñ ïîìî-
ùüþ èíäåфинитной ìåòðèêè, è ïðè ýòîì èìåþò ìåñòî преобразîâàíèÿ
BA+→ BA+, BA−→ −BA−,
FD+→ FD+, FD−→ −FD−,
(5.79)
220 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
ãäå
A, D
îáúåдиненные (лоренцевñêèå+âíóòренние) индекñû, à приин-
äåêñíûå ñèìâîëû
(+), (−)
èìåþò òîò æå смысл, ÷òî è â преобразîâаниях
(5.78). Åñëè лагранжиан è ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîтношения êàлибровî÷íîé
теории èíâариантны îòíîсительно преобразîâàíèé (5.78), (5.79), òî ýòî
эквивàлентно ââåдению ñîхраняющегîñÿ ìóëüтипликàтивногî êâàíòîâî-
ãî числа, çíàчение êîòîðîãî
+1(−1)
õàðàêтеризóåò ñîñòîÿíèÿ èç
H+(H−)
 ñèëó çàêîíà åãî ñîхранения äîëæíû áûòü равны íóëþ ìàòричные ýëå-
менты
Mfh, ãäå
|f > ∈ H+, |h > ∈ H−. Êàê ñëåäóåò èç ðåçóëüòàòîâ
ðàáîò [146, 147], именно òàêîå ïîëîæåíèå âåùåé è ðåàëèçóåòñÿ â êàëèá-
ðîâî÷íûõ теориях ñ íåêîìïàêтными ãðуппами âíóòренней симметðèè,
èñïîëüçующих òàê называемые физичеñêèå êàлибровки (гамильòîíîâó
B4= 0
либровî÷íîãî ïîëÿ ê ïîäïðîñòранствàì
è êóлоновñêóþ
∂jBj= 0
), ïðè êîòîðûõ îòíåñåíèå ñîñòîÿíèé êà-
H+èëè
H−îáусловëåíî òîëüêî
физическими степенями ñâîáîäû.
 заключение ïîêàæåì, êàê îáñòîèò äåëî ñ âîçìîæíîñòüþ непроòèâî-
ðå÷èâîãîêâàíòîâàíèÿ ïî àíîìàльной ñòàтистикå äëÿ ÐÂÓ ñ êîìïàêтными
ãðуппами âíóòренней симметðèè. Прежде âñåãî, íàäî заметить, ÷òî â îò-
ношении условий (5.24), (5.25) äëÿ òàêèõ уравнений имеет ìåñòî òîëüêî
обычноå ñîîòâåòствие, êîãäà äëÿ целогî спина справåäëèâî (5.24), à äëÿ
ïîлуцелогî (5.25). Ñëåäîâàтельно, правильные выражåíèÿ äëÿ заряда
Q
è энергииEè причинные ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîтношения äëÿ опера-
òорных âîлновых ôункций âî âòорично êâàíòîâанной теории могут áûòü
îáåñïå÷åíû òîëüêî ñ ïîмощью условий êâàíòîâàíèÿ (5.39), (5.48), íî
íå (5.57), (5.59). Ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîтношения (5.48)(àíîìàльная ñòà-
тистикà) ïðèâîäÿò ê ñëåдующему разбиению ïðîñòранствàHíà ïîäïðî-
ñòранствà ñ ïîëîжительной è îòðèöàтельной íîðìîéâåêòîðîâ ñîñòîÿíèé:
H+→ ψ
(+)
il
,
H−→ ψ
(−)
. Справåäëèâîñòü данногî óòâерждения вытекàåò
il
èç òîãî, ÷òî â ñèëó êîìïàêòíîñòèãðóïïû âíóòренней симметðèè íîðìèðî-
âî÷íàÿ переменная
gilíå зависит îò êâàíòîâîãî числаi. Çàêîíû ñîхране-
íèÿ зарядовQ(5.73) èG(5.74) ïðè ýòîì íå ïðèâîäÿò ê çàïðåòó физичеñêè
áåссмысленных ïåðåõîäîâ между ñîñòîяниями èç ïîäïðîñòранств
H+è
H−.
.
Данная ñèòóàöèÿ ôàêòè÷åñêè íå îòличаетñÿ îò òîé, ÷òî îáñóæäàëàñü â
ðàçäåëå 5.1 äëÿ ÐÂÓ áåç âíóòренних степеней ñâîáîäû. Îòñþäà ñëåäóåò è
àíàлогичный âûâîä: îòðèöàтельные âåðîÿòíîñòè ïðè îòêàçå îò ïîëîæè-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]