Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы
.pdf
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 111
η
ðàçмерноñòüþ
â лагранжиане (3.55), â базисå (3.43) áóäåò иметь âèä, совпадающий ñ
(3.51). Единствåííîå îòличие îò случая уравнения ÄÊ заклю÷àåòñÿ çäåñü
â лоренцевñêèõ òðàíñôîðìационных ñâойствàõâîëíîâîé ôункцииΨ, ÷òî,
îäíàêî, íèêàê íå âлияет íà ãðóïïó âíóòренней симметðèè теории. Ïîýòî-
ìó, ïîâòîðÿÿ ïðåдыдущие ðàññóждения, ïðîâåденные ïðè óñòàíîâлении
ãðóïïû âíóòренней симметðèè êîмплекñíîãî ïîëÿ ÄÊ, ïðèõîäèì ê âûâî-
äó î òîì,÷òî âíóòренняя симметðèÿ системы (3.54) ñ лагранжианоì (3.55)
òàêæå описывàåòñÿ ãðуппой
ренных симметðèé ñîîòâåòствие между êîмплекñíûì ïîëåì ÄÊ è 16-
êîмпонентным диракîâñêèì ïîëåì ñ лагранжианоì (3.55) ñîхраняетñÿ.
32 × 32
, ñîîòâåòñòâующая выборó çíàêîâ
SO(5, 4)
. Ñëåäîâàтельно, è íà уровне расши-
(+, +, −, −)
3.4. Âåùåственное ïîëå ДиракàÊýëåðà è äè-
ðàêîâñêèå частицы
 ðàìêàõ современных ïðåäñòàâлений наибоëåå ïðèâëåêàтельной
ÿâëÿåòñÿ òðàêòîâêà êîмплекñíîãî уравнения ÄÊ êàê ÐÂÓ, описывающегî
ïîêîления êâàðêîâ (èëè ëåïòîíîâ). Îäíàêî âíóòренняя степень ñâîáîäû
диракîâñêèõ частиц, âозникающая ïðè òàêîì îïèñàíèè, ñîîòâåòñòâóåò
êâàíòîâîìó числу (èëè числам), ïðîáегающему четыре çíàчения. Äî íà-
ñòîÿùåãî времени èçâåñòíî òîëüêî òðè ïîêîления, è âîïðîñ î ñóùåñòâî-
âàíèè ÷åòâåðòîãî ïîêîления ïîêà îñòàåòñÿ îткрытым.
Рассмоòðèì äðóãèå âîçìîæíîñòè ãåîìåòðèçîâанногî îïèñàíèÿ частиц
ñî спиноì
íîì ðàçäåëå ìû исслеäóåì ñ óêазанной òî÷êè зрения âåùåñòâåííîå ïî-
ëå ДиракàÊýëåðà [97]. Âåùåñòâенным ïîëåì ДиракàÊýëåðà назывàåòñÿ
òàêîé выбор ïîлевых ôункций â òåíçорной системе (3.31), ïðè êîòîðîì
данная системà ñòановитñÿ âåùåñòâенной. Ýòî âîçìîæíî, åñëè выбраòü,
íàпример, êîмпоненты
÷èñòî мнимыми (ëèáî наобороò, ÷òî, ïî-ñóùåñòâó, îäíî è òî æå). Ïî-
ñêîëüêó число íåзависимых êîмпонент ó òàêîãî ïîëÿ â äâà ðàçà меньше,
÷åì ó êîмплекñíîãî ïîëÿ ÄÊ, òî îчевидно, ÷òî ðå÷ü â данноì случае
ìîæåò èäòè î ñîïîñòàâлении âåùåñòâåííîìó ïîëþ ÄÊ набора èç äâóõ äè-
ðàêîâñêèõ ïîëåé. Íåîáõîäèìîå условие эквивàлентноñòè ýòèõ теорий
ñîîòâåòствие èõ ñâойств âíóòренней симметðèè.
1/2
ïîñðåäñòâîì антисимметричных òåíçорных ïîëåé. Â äàí-
ψ,˜ψ, ψi,˜ψi, ψ
âåùåñòâенными, à
[ij]
ψ4,˜ψ4, ψ
[i4]
112 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Âûáåðåì äëÿ óдобствà базис, â êîòîðîì âîëíîâàÿ ôункцияψуравне-
íèÿ ÄÊ, çàïèñанногî â ìàòричной ôîðìå (1.2), имеет âèä
i˜ψ1, ψ
ψ = (ψ1, ψ
, i˜ψ2, ψ
[14]
[23]
, i˜ψ3, ψ
[24]
, ψ2, ψ
, ψ3, ψ
[31]
, ψ4, i˜ψ0) −
[34]
, i˜ψ4, ψ0,
]12]
ñòîëáåö
,
(3.56)
ãäå первые âîñåìü êîмпонент ÿâëÿþòñÿ âåùåñòâенными, à âòîðûå ÷è-
ñòî мнимыми. Äëÿ ìàòðèöû билинейной ôîðìû
η = Γ4Γ
′
è ãенераòîðîâ
4
(3.37) преобразîâàíèé âíóòренней симметðèè, óäîâëåòâоряющих óñëî-
âèþ (3.35), â базисå (3.56) èìåþò ìåñòî выражåíèÿ:
η = −iγ4⊗ γ1γ2,
J1= Γ
J25= iΓ
J45= iΓ
J
= iΓ
[31]
′
J
= iΓ
[14]
′
Γ
= −iγ2γ4⊗ γ5, J
1
4
′
= −γ2γ5⊗ γ2γ4, J2= Γ
1
J3= Γ
J5= Γ
′
Γ
[3
′
= γ5⊗ I4, J15= iΓ
5
′
′
Γ
= iγ2⊗ γ2γ5, J35= iΓ
2
5
′
′
Γ
= iγ4⊗ γ1γ3, J
4
5
′
= iγ1γ3⊗ γ4, J
1]
′
= γ4⊗ γ2, J4= Γ
3
= iΓ
[23]
= iΓ
[12]
= iΓ
[24]
J
= iΓ
[34]
′
= γ2γ5⊗ γ2γ5,
2
′
= γ4γ5⊗ γ1γ3,
4
′
′
Γ
= −iγ2⊗ γ2γ4,
1
5
′
′
Γ
= iγ4γ5⊗ γ2,
3
5
′
′
Γ
= iγ1γ3⊗ γ5,
[2
3]
′
′
Γ
= −iI4⊗ γ4γ5,
[1
2]
′
′
Γ
= −iγ2γ4⊗ γ4,
[2
4]
′
′
Γ
= iγ5⊗ γ4γ5.
3
4
(3.57)
(3.58)
Ñôîðìóлировàííîå â ïðåдыдущем ðàçäåëå условие âåùåñòâåííîñòè
ïðèâîäèòêñëåдующимограничениям íàпараметðû преобразîâàíèéâíóò-
ренней симметðèè, ñîîòâåòñòâующие ãенераòîðàì (3.58):
ωi, ωi5, ω
−
âåùåñòâенные
[i4]
, ω4, ω5, ω45, ω
−
мнимые.(3.59)
[ij]
Ïðîâåðÿÿ èíâариантноñòü лагранжиана îòíîсительно îднопарамет-
ðè÷åñêèõ преобразîâàíèé, задаваемыхãенераòорами(3.58),ñ ó÷åòîìîãðà-
ничений (3.59) ïîлучим, ÷òî условию (3.52) óäîâëåòâîðÿþò ãенераòîðû
Jµ= Γ
′
, J
µ
[µν]
= Γ
′
′
Γ
,
[µ
ν]
(3.60)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 113
êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþòøåñòü âåùåñòâенных (
(
ω4, ω
) параметðà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âíóòренняя симметðèÿ лагранжå-
[ij]
ωi, ω
) è четыре мнимых
[i4]
âîé ôîðìóлировкиâåùåñòâенногî ïîëÿ ÄÊ описывàåòñÿ óíèòарной ãðóï-
ïîé, ëîêàëüíî èçîморфной îðòîãîíàльной ãðóïïå
SO(3, 2)
. Â ðàáîòå [100]
óêазанная симметðèÿ рассмàòðèâàåòñÿ â ðàìêàõ êâàтернионногî ïîäõîäà.
Òеперь рассмоòðèì систему äâóõ уравнений Диракà
(γµ∂µ+ m)ψ1= 0, (γµ∂µ+ m)ψ2= 0
(3.61)
ñ лагранжианоì
L = L1− L2= −¯ψ1(γµ∂µ+ m)ψ1+¯ψ2(γµ∂µ+ m)ψ2.
(3.62)
Ïåðåõîäÿ ê âåùåñòâенной ôîðìå данных уравнений ñîãласно àëãîðèò-
ìó, èçëîæåííîìó â ïðåдыдущем ðàçäåëå, ïîлучим 16-êîмпонентноå ÐÂÓ
âèäà (1.2) ñ ìàòрицами
Γ
µ
Γ1= −γ5⊗ γ1, Γ2= I4⊗ γ2,
Γ3= −γ5⊗ γ3, Γ4= −γ5⊗ γ
4
(3.63)
â базисå
r
r
i
, ψ
1
i
1,2
i
2
) −
ñòîëáåö
√
=
,
1
(ψ
1,2
2
− ψ
∗
1,2
).
(3.64)
ψ
r
1,2
=
√
1
2
Ψ = ( ψ
(ψ
1,2
+ ψ
, ψ
1
∗
1,2
, ψ
2
), ψ
Äëÿ ìàòðèöûη, ñîîòâåòñòâующей выборó лагранжиана (3.62) èñõîäíîé
системы (3.61), â ýòîì базисå áóäåì иметь
η = I2⊗ σ3⊗ γ4= −i γ1γ2⊗ γ4.
(3.65)
ÐÂÓ (3.63), (3.64) áóäåì назывàòü 16-êîмпонентным âåùåñòâенным
ïîëåì Диракà. Êàê видно, ðàçмерноñòü ýòîãî ïîëÿ совпадает ñ ðàçìåð-
íîñòüþ âåùåñòâенногî ïîëÿ ÄÊ. Êðîìå òîãî, âîлновые ôункции (3.56) è
(3.64) èìåþò îдинакîâîå число âåùåñòâенных è мнимых êîмпонент. Íà-
êîíåö,îáà ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ диракîïîдобными â смысле àëãåáðû ìàòðèö
Γµ.
Ïåðåчисленные îáñòîятельствà îáлегчаюò ñîïîñòàâление ñâойств âíóò-
ренней симметðèè данных ïîлевых систем.
114 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Диракîïîдобноñòü ìàòðèö
Γµ(3.63) ïîçâîëÿåò ïðèâåñòè èõ ê âèäó
(3.40). Ýòîò ïåðåõîä îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîñðåäñòâîì óíèòарногî преобразî-
âàíèÿ базисà â ïðîñòранствå âîëíîâîé ôункцииΨ, задаваемогî ìàòрицей
1
A =
[I4⊗ (I4+ iγ2) + γ5⊗ (I4− iγ2)] ,
(3.66)
2
1
A−1=
[I4⊗ (I4− iγ2) + γ5⊗ (I4+ iγ2)] .
2
Преобразîâàíèÿâíóòренней симметðèè16-êîмпонентногî âåùåñòâåí-
íîãî ïîëÿ Диракà могут áûòü параметðèçîâàíû ñ ïîмощью ãенераòîðîâ
òèïà (3.37), ãäå
′
Γ
÷åòâåðêà êâàäðàòíûõ ìàòðèö
µ
16 × 16
, имеющих â
ôåðмионноì базисå âèä
′
Γ
= γµ⊗ I4.
µ
(3.67)
Перевåäåì ýòè ìàòðèöû îáðàòíî â áàçèñ (3.64), â êîòîðîì âåùåñòâåí-
íûå è мнимые êîмпоненты âîëíîâîé ôункции ðàçделены. Â ðåçóëüòàòå
ïîлучим
J45= iΓ
J
[31]
J
[14]
J25= iΓ
′
= iΓ
[3
′
= iΓ
[1
J1= Γ
J3= Γ
′
4
Γ
Γ
′
= iγ1γ5⊗ γ2, J2= Γ
1
′
= iγ3γ5⊗ γ2, J4= Γ
3
J5= Γ
Γ
′
1]
′
4]
′
= γ5⊗ I4, J15= iΓ
5
′
′
Γ
= −γ2⊗ γ2, J35= iΓ
2
5
′
= −γ4⊗ γ2, J
5
= iγ3γ1⊗ I4, J
= iγ1γ4⊗ I4, J
J
[23]
[12]
[24]
[34]
= iΓ
= iΓ
= iΓ
= iΓ
′
= iγ2γ5⊗ γ2,
2
′
= iγ4γ5⊗ γ2,
4
′
′
Γ
= −γ1⊗ γ2,
1
5
′
′
Γ
= −γ3⊗ γ2,
3
5
′
′
Γ
= iγ2γ3⊗ I4,
[2
3]
′
′
Γ
= iγ1γ2⊗ I4,
[1
2]
′
′
Γ
= iγ2γ4⊗ I4,
[2
4]
′
′
Γ
= iγ3γ4⊗ I4.
[3
4]
(3.68)
Óсловие âåùåñòâåííîñòè рассмàòðèâаемогî ÐÂÓ ïðèâîäèò ê выделе-
íèþ âåùåñòâенных è ÷èñòî мнимых параметðîâ, ñîîòâåòñòâующих ãåíå-
ðàòîðàì (3.68), à именно:
ω1, ω3, ω4, ω15, ω35, ω45, ω
ω2, ω5, ω25, ω
[23]
[31]
, ω
, ω
[12]
[14]
, ω
, ω
−
âåùåñòâенные
[24]
−
мнимые
[34]
,
.
(3.69)
Ïðè ýòîì условие (3.52) èíâариантноñòè лагранжиана âûïîлняетñÿ äëÿ
îднопараметðè÷åñêèõ преобразîâàíèé, задаваемых ãенераòорами
J2, J3, J4, J5, J25, J35, J45, J
[23]
, J
[24]
, J
[34]
;
(3.70)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 115
èì ñîîòâåòñòâóþò øåñòü âåùåñòâенных (
четыремнимых (
ω2, ω5, ω25, ω
)параметðà. Ýòîîçíà÷àåò,÷òî лагран-
[34]
ω3, ω4, ω35, ω45, ω
[23]
, ω
[24]
) è
æèàí системы äâóõ диракîâñêèõ ïîëåé, êàê è лагранжиан âåùåñòâенногî
ïîëÿ ДиракàÊýëåðà, îáладает ãðуппой âíóòренней симметðèè
SO(3, 2)
Êàê видно, набор ãенераòîðîâ (3.70) îòличаетñÿ îò набора (3.60) çà-
меной ìàòðèöû
γ
íà
γ
5
â ñòðóêòóðå (3.67) ýòèõ ãенераòîðîâ. Данноå
1
îòличие, îäíàêî, íå имеет принципиальногî çíàчения, ïîñêîëüêó ñ ïîìî-
ùüþ óíèòарногî преобразîâàíèÿ
U =
ìàòðèöó
γ2, γ3, γ
1
√
(γ4− iI2⊗ σ1), U+= U−1=
2
γ
ìîæíî перевåñòè â
5
. Ñëåäîâàтельно, наборы ãенераòîðîâ (3.60) è (3.70) óíèòàðíî
4
γ
, íå èçменяя ïðè ýòîì âèäà ìàòðèö
1
1
√
(γ4+ iI2⊗ σ1)
2
(3.71)
эквивàлентны, ÷òî îçíà÷àåò âîçìîæíîñòüñîïîñòàâления (â óêазанноìâû-
øå смысле) âåùåñòâåííîìó ïîëþ ÄÊ системы äâóõ диракîâñêèõ ïîëåé ñ
лагранжианоì (3.62). Â ñëåдующей ãëàâå áóäåò ïîêазано, ÷òî óêазанноå
ñîîòâåòствие ñîхраняетñÿ è íà êâàíòîâîì уровне.
Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè зрения íàличие расширенной ãðóïïû ñèì-
ìåòðèè
ãðóïïû
SO(3, 2)
SU(1, 1)
ó системы äâóõ диракîâñêèõ ïîëåé âìåñòî îжидаемой
(èëè èçîморфной åé ãðóïïû
SO(2, 1)
) îáъясняетñÿ òåì,
÷òî èñïîëüçóåìûé ìåòîä ïîçâîëÿåò âêëþ÷èòü â рассмоòрение преобра-
çîâàíèÿ, перемешивающие ñîñòîÿíèÿ ñ ïðîòèâîïîëîжными çíàчениями
энергии, â òîì числе äëÿ решений èç äâóõ различных уравнений Диракà. Ñ
физичеñêîé òî÷êè зрения происõîждение òàêèõ преобразîâàíèé îáуслов-
ëåíî òåì, ÷òî â îòñóòствие ýëåêòðîìагнитногîвзаимодействия êâàíòîâûå
ñîñòîÿíèÿ частицы è античастицы ÿâëÿþòñÿ неразличимыми.
Êàê èçâåñòíî (ñì., íàпример, [101, 102]), äëÿ îïèñàíèÿ частицы ñî
спиноì
1/2
наряду ñ уравнением Диракà âèäà (3.38) ìîæíî èñïîëüçîâàòü
òàêæå уравнение
.
(γµ∂µ− m)ψ = 0.
(3.72)
Рассмàòðèâаемыеïîîòдельноñòè, ýòè уравнения эквивàлентны, â ÷àñò-
íîñòè, ïðåäïîлагаюò ââåдение ýëåêòðîìагнитногîвзаимодействия îäíèì
è òåì æå ñïîñîáîì (
∂µ=⇒ ∂µ−ieAµ). Îäíàêî åñëè рассмàòðèâàòü èõ ñîâ-
ìåñòíî, òî системà
(γµ∂µ+ m)ψ1= 0, (γµ∂µ− m)ψ2= 0
(3.73)
116 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
îòличаетñÿ îò системы (3.61), ïðèâîäÿ ê êонцепции äâóõ типов ïîëåé
Диракà. Â ðàáîòàõ [103, 104] системà (3.73) применялась äëÿ îïèñàíèÿ
äâóõ ïîêîлений ëåïòîíîâ ýëåêòðîíà è мюона, причем â êà÷åñòâå частиц
çäåñü íàäî рассмàòðèâàòüýëåêòðîíè
+
µ
-ìþîí,ëèáî позитðîí è
−
µ
-ìþîí.
Ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåò интереñ âîïðîñ î âîçìîæíîñòè ñîïîñòàâления âå-
ùåñòâåííîìó ïîëþ ÄÊ ñîâîêóïíîñòè äâóõ типов ïîëåé Диракà.
Âûáåðåì лагранжиан системы (3.73) â âèäå
L = −¯ψ1(γµ∂µ+ m)ψ1−¯ψ2(γµ∂µ− m)ψ2.
(3.74)
Äëÿ óдобствà перепишем систему (3.73) ñëåдующим образîì:
(γµ∂µ+ m)ψ1= 0, (−γµ∂µ+ m)ψ2= 0.
(3.75)
Ïðèâåäåì åå ê 16-êîмпонентной âåùåñòâенной ôîðìå. Â ïðåäñòàâлении
(3.64) äëÿ ìàòðèö
Γµïîлучим выражåíèÿ
Γ1= −iγ3γ4⊗ γ1, Γ2= −iγ1γ2⊗ γ2,
Γ3= −iγ3γ4⊗ γ3, Γ4= −iγ3γ4⊗ γ4.
(3.76)
16-мерная ìàòðèöà билинейной ôîðìû, ñîîòâåòñòâующая выборó лагран-
жиана (3.74), имеет âèä
η = I4⊗ γ4.
(3.77)
Ïåðåõîä â ôåðмионный базис îñóùåñòâëÿåòñÿ çäåñü ñ ïîмощью преоб-
ðàçîâàíèÿ, задаваемогî ìàòрицей
C = AB
A
îïðåделяетñÿ ñîãласно
(3.66) è
1
B = B+= B−1=
[(I4− iγ1γ2) ⊗ I4+ (I4+ iγ1γ2) ⊗ γ5] .
(3.78)
2
Ãенераòîðû (3.37) преобразîâàíèé âíóòренней симметðèè перевîäÿòñÿ â
базис (3.64) ïîñðåäñòâîì îáðàòíîé ìàòðèöû
C−1=
−1
BA
. Â ðåçóëüòàòå
ïîлучим
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 117
J25= iΓ
J45= iΓ
J
= iΓ
[31]
J
= iΓ
[14]
J1= Γ
J5= Γ
′
Γ
2
′
Γ
4
′
Γ
[3
′
Γ
[1
′
= −γ2γ5⊗ γ2γ5, J2= Γ
1
J3= Γ
′
5
′
= iγ1⊗ γ2γ5, J35= iΓ
5
′
= iγ3γ5⊗ γ2, J
5
′
= iγ3γ1⊗ γ5, J
1]
′
= iγ1γ4⊗ γ5, J
4]
′
= −γ4⊗ γ2, J4= Γ
3
= γ5⊗ I4, J15= iΓ
[23]
[12]
[24]
J
[34]
= iΓ
= iΓ
= iΓ
′
1
′
3
= iΓ
′
= γ1γ5⊗ γ2γ5,
2
′
= γ3⊗ γ2,
4
′
Γ
= −iγ2⊗ γ2γ5,
5
′
Γ
= −iγ4γ5⊗ γ2,
5
′
′
Γ
= iγ2γ3⊗ γ5,
[2
3]
′
′
Γ
= iγ1γ2⊗ I4,
[1
2]
′
′
Γ
= iγ2γ4⊗ γ5,
[2
4]
′
′
Γ
= iγ3γ4⊗ I4.
[3
4]
(3.79)
Óсловие âåùåñòâåííîñòè ïðèâîäèò ê ðàçделению параметðîâ, ñîîò-
âåòñòâующих ãенераòîðàì (3.79), íà âåùåñòâенные è ÷èñòî мнимые, êî-
òîðîå совпадает ñ (3.69). Ñ ó÷åòîì данногî îáñòîятельствà íåòðóäíî óáå-
диться, ÷òî условию (3.52) óäîâëåòâîðÿþò ãенераòîðû (3.70), êîòîðûì
по-прежнему ñîîòâåòñòâóþò øåñòü âåùåñòâенных è четыре мнимых ïà-
раметðà.
Òàêèì образîì, ãðóïïà âíóòренней симметðèè системы äâóõ уравне-
íèé Диракà разных типов ñ лагранжианоì (3.74) íà классичеñêîì уровне
совпадает ñ ãðуппой âíóòренней симметðèè системы (3.61) ñ лагранжи-
àíîì (3.62). Ñëåäîâàтельно, âåùåñòâåííîìó ïîëþ ÄÊ ìîæåò áûòü ñîïî-
ñòàâëåíà è системà äâóõ диракîâñêèõ ïîëåé разных типов.
3.5. Îáобщения уравнения ДиракàÊýëåðà
Íåñìîòðÿ íà ðÿä ïðèâëåêàтельных ÷åðò уравнения ÄÊ, åãî ñïî-
собноñòü ñëóæèòü äëÿ ïðîñòранственно-временногî îïèñàíèÿ èçâåстных
ôундаментàльных частиц äîñòàòî÷íî ограничена, ïîñêîëüêó число êîì-
понент åãî âîëíîâîé ôункции, равноå 16, íå ïîçâîëÿåò ó÷åñòü ñ åдиных
ãåîìåòðè÷åñêèõ позиций âñå степени ñâîáîäû ýòèõ частиц. Ïîñëåäîâà-
тельная ðåàлизация данногî ïîäõîäà â ðàìêàõ ïðîñòранствà ðàçмерноñòè
d = 4
ïðåäïîлагаетèñïîëüçîâàíèåÐÂÓ ñ áольшимчислоì êîмпонентâîë-
íîâîé ôункции è àíàлогичными уравнению ÄÊ àëãебраическими ñâîé-
ñòâàìè.
118 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Набор òàêèõ ÐÂÓ ìîæíî ïîлучить, åñëè перейти ê ìàêñèìàëüíîìó
àëãебраичеñêîìó обобщению системы ÄÊ â ïðîñòранствå данной ðàç-
мерноñòè, заключающемуся â рассмоòрении ïîëåé
ψ = { ψ0, ψµ, ψ
êàê общих ýлементîâ àëãåáðû Êëèôôîðäà
,˜ψµ,˜ψ0}
[µν]
C4. Ýòî эквивàлентно ââåäå-
íèþ наряду ñ уравнением (1.2) äëÿ ôункцииψàíàлогичных уравнений
äëÿ ôункций
ψµ, ψ
[µν]
, ψ
µ
˜
,˜ψ
(çäåñü
˜
µ
ïñåâäîâåêòорный индекñ;
ψ
˜
õà-
ðàêтеризóåò òîò æå набор антисимметричных òåíçорных ïîëåé, ÷òî è
ψ
, íî ñ èçмененными òðàíñôîðìационными ñâойствàìè îòíîсительно
операции ïðîñòранственной èíâерсии). Ñ óêазанных позиций ïðåäñòàâ-
ëÿåò интереñ ïîлучение явногî âèäà âñåõ òåíçорных обобщений ïîëÿ ÄÊ,
ограниченных ðàçмерноñòüþ ïðîстранствавремени, è выделение èç íèõ
íå распадающихñÿ ïî ïîëíîé ãðóïïå Ëоренца уравнений. Ýòîò âîïðîñ
рассмàòðèâàåòñÿ â ðàçделах 3.5, 3.6 íàñòîÿùåé ãëàâû (ñì. [105107]).
Прежде ÷åì ïåðåõîäèòü ê òåíçорным àëãебраичеñêèì обобщениям
уравнения ÄÊ, рассмоòðèì âîïðîñ î åãî распадении (èëè нераспадении).
Ñ ïîмощью ïîäñòàíîâîê
Ψ0= ψ0− i˜ψ0, Ψµ= ψµ− i˜ψµ, Ψ
Φ0= ψ0+ i˜ψ0, Φµ= ψµ+ i˜ψµ, Φ
[µν]
[µν]
= ψ
= ψ
[µν]
[µν]
− i˜ψ
+ i˜ψ
[µν]
[µν]
,
(3.80)
системà (3.31) ïðèâîäèòñÿ ê âèäó
∂µΨµ+ mΨ0= 0,
∂νΨ
−∂µΨν+ ∂νΨµ+ iε
+ ∂µΨ0+ mΨµ= 0,
[µν]
µναβ∂αΨβ
+ mΨ
[µν]
= 0,
(3.81)
∂µΦµ+ mΦ0= 0,
∂νΦ
−∂µΦν+ ∂νΦµ− iε
+ ∂µΦ0+ mΦµ= 0,
[µν]
∂αΦβ+ mΦ
µναβ
[µν]
= 0,
(3.82)
ò. å. распадаетñÿ íà äâå èíâариантные â смысле собственной ãðóïïû Ëî-
ренца ïîдсистемы (3.81) è (3.82). Ñîîòâåòñòâующие данным ïîдсисте-
ìàì 8-êîмпонентные диракîïîдобные ÐÂÓ â ïîäõîäå ÃельфандаЯгëîìà
ñòðîÿòñÿ íà îñíîâå ñõåì зацеплений (3.7), (3.8) è описывàþòñÿ ìàòрицей
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 119
Γ4ñî ñòðóêòóðîé (2.39), ãäå â îäíîì случае
C0= C1= σ1è âî âòîðîì
C0= −C1= σ1. Îäíàêî ýòè ÐÂÓ, êàê óæå îòìå÷àëîñü â ðàçäåëå 3.1,
P
-неинвариантны, ïîñêîëüêó ïðîåêтивные операòîðû
P±= P
0
±
⊕ (P
1
⊗ I3), P
±
0
±
= P
1
1
=
±
(1 ± I2⊗ σ3),
2
(3.83)
выделяющие èõ èç 16-êîмпонентногî уравнения ÄÊ, íå êîммутирóþò ñ
операòîðîì ïðîñòранственной èíâерсииP, êîòîðûé совпадает ñ ìàòðè-
öåé билинейной ôîðìûη(3.23). Êðîìå òîãî, íåâîçìîæíà è лагранжåâà
ôîðìóлировкà 8-êîмпонентных ÐÂÓ ñî ñõåìàìè зацеплений (3.7), (3.8),
òàê êàê â ìàòðèöå билинейной ôîðìû îòличными îò íóëÿ ÿâëÿþòñÿ ëèøü
ýлементы
s
η
, ãäåτè
τ˙τ
˙
τP
-сопряженные непривîдимые ïðåäñòàâления,
à òàêîâûõ â êàæäîì èç ôðàãìåíòîâ (3.7), (3.8), рассмàòðèâаемых ïî îò-
дельноñòè, íåò.
Òàêèì образîì, ñ òî÷êè зрения ïðåäúÿâляемых ê ÐÂÓ òребовàíèé èí-
âариантноñòè îòíîсительно преобразîâàíèé ïîëíîé ãðóïïû Ëоренца è
âîçìîæíîñòè лагранжåâîé ôîðìóлировки уравнение ÄÊ ÿâëÿåòñÿ нерас-
падающимся.
Èòàê, рассмоòðèì ñíà÷àëà уравнение
(Γα∂α+ m)BAψ
= 0, A, B = 1 + 16,
A[µν]
(3.84)
êîòîðîå ïîлучаетñÿ â ðåçóëüòàòå íàâåøèâàíèÿ íà âîëíîâóþ ôункцию
уравнения ÄÊ ñâîáîäíîãî áèâåêòорногî индекñà
[µν]
. Данноå уравнение
ìîæíîïðåäñòавить âñòандарòíîé ìàòричной ôîðìå (1.2) ÐÂÓïåðâîãîïî-
ðÿäêà, ãäå96-êîмпонентная âîëíîâàÿ ôункцияψпреобразóåòñÿ ñîãласно
ïðåäñòàâлению
1
(0, 0) ⊕ 2(
1
,
) ⊕ (0, 1) ⊕ (1, 0)⊗ [(0, 1) ⊕ (1, 0)] .
2
2
(3.85)
Непривîдимыеïðåäñòàâления, ñîдержащиеñÿ â прямоì произвåдении
(3.85), ôîðìèðóþò â общем случае ñõåìó зацеплений
2(0, 0)
|
1
3(0, 1) − 4(
1
,
) − 3(1, 0)
2
2
(3.86)
120 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
| | |
(0, 2) − 2(
3
,
) − 2(1, 1) − 2(
2
2
3
1
,
2
2
) − (2, 0).
1
Ñõåìà (3.86) ñîдержит êðàòíûå êîмпоненты, ïîýòîìó öåëåсообразно,
прежде âñåãî, исслеäîâàòü âîïðîñ î åå распадении.
Ïîñêîëüêó уравнение ÄÊ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå прямой ñóììû äâóõ
диракîïîдобных 8-êîмпонентных систем (3.81) è (3.82) ñ âîлновыми
ôункциями
(8)
Ψ
= (Ψ, Ψµ, Ψ
(заметим, ÷òî òåíçîðû
Ψ
[µν]
), Φ
[µν]
, Φ
[µν]
(8)
= (Φ, Φµ, Φ
[µν]
)
(3.87)
ñîдержаò çäåñü ïî òðè íåзависимых
êîмпоненты), òî ÐÂÓ (3.84) раскладывàåòñÿ íà ñîñòàâляющие
(8)
Γ
µ
(8)
Γ
µ
(8)
Γ
µ
(8)
Γ
µ
∂µ+ mΨ
∂µ+ mΦ
∂µ+ mΨ
∂µ+ mΦ
(8)
(0,1)
(8)
(0,1)
(8)
(1,0)
(8)
(1,0)
= 0,
= 0,
= 0,
= 0.
(3.88)
(3.89)
(3.90)
(3.91)
Óравнения (3.88) è (3.91)P-сопряжåíû äðóã äðóãó, òàê æå êàê (3.89)
è (3.90). Ïîýòîìó, îáúåдиняя (3.88) ñ (3.91) è (3.89) ñ (3.90), ïîлучим äâå
48-êîмпонентныеP- è лоренц-инвариантные системы, преобразующиеñÿ
ïî ïðåäñòàâлениям
1
[(0, 0) ⊕ (
⊕[(0, 0) ⊕ (
1
,
) ⊕ (0, 1)] ⊗ (0, 1)⊕
2
2
1
1
,
) ⊕ (1, 0)] ⊗ (1, 0),
2
2
(3.92)
[(0, 0) ⊕ (
⊕[(0, 0) ⊕ (
1
1
,
) ⊕ (0, 1)] ⊗ (1, 0)⊕
2
2
1
1
,
) ⊕ (1, 0)] ⊗ (0, 1).
2
2
(3.93)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]