Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы
.pdf
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 151
Ïîлагая â уравнениях (4.4), (4.5)
a = b = m,
ïîлучим систему ÄàôôèíàÊеммера (1.43) äëÿ частицы ñ íåíóëåâîé ìàñ-
ñîé è спиноì 1. Â уравнениях (1.43) òåíçîðû
ψ
è
ψ
µ
рассмàòðèâàþòñÿ
[µν]
êàê равноправные ïîлевые êîмпоненты áåç градации èõ íà ïîтенциаëû
è íàïðÿæåííîñòè.
Выбирая â (4.4), (4.5)
a = 0, b = 1,
придем ê системе
∂νψ
−∂µψν+ ∂νψµ+ ψ
Åñëè òðàêòîâàòü çäåñü êîмпонентны âåêòîðà
[µν]
[µν]
= 0,
= 0.
ψ
êàê ïîтенциаëû, à
µ
ψ
(4.6)
(4.7)
[µν]
êàê íàïðÿæåííîñòè, òî уравнения (4.6), (4.7) ïðåäñòàâëÿþò собой систе-
ìó уравнений Ìàêñâåëëà (òàê назывàåìàÿ äåсятимерная ôîðìóлировкà),
описывающую ôîòîí áåçìассовóþ частицу ñî спираëüíîñòüþ±1. Ïðè
ýòîì ïåðâîå èç íèõ âûñòупает êàê уравнение äâèæåíèÿ, à âòîðîå êàê
îïðåделение íàïðÿæåííîñòè ÷åðåç ïîтенциаëû.
Возьмем, íàêîíåö, â системе (4.4), (4.5)
a = 1, b = 0.
Òîãäà ïîлучаем уравнения
∂νψ
∂µψν− ∂νψµ= 0.
Åñëè â данноì случае по-прежнему òðàêòîâàòü
+ ψµ= 0,
[µν]
ψ
êàê ïîтенциаë,
µ
(4.8)
(4.9)
ψ
[µν]
êàê íàïðÿæåííîñòü, òî системà (4.8),(4.9) ñòановитñÿ неопределенной
(òåðìèíîлогия ðàáîòû [10]) â òîì смысле, ÷òî íàïðÿæåííîñòü íå ìîæåò
áûòü выражåíà ÷åðåç ïîтенциаë. Ñèòóàöèÿ, îäíàêî, ñóùåñòâåííî ìåíÿ-
åòñÿ, åñëè принять èíóþ òðàêòîâêó âõîдящих â ýòó систему âеличин, à
именно: рассмàòðèâàòü â êà÷åñòâå ïîтенциаëà òåíçîð
ψ
, à â êà÷åñòâå
[µν]
152 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
íàïðÿæåííîñòè 4-âåêòîð
ψ
. Òîãäà уравнение (4.8) âûñòупает êàê îïðå-
µ
деление íàïðÿæåííîñòè ÷åðåç ïîтенциаë, à (4.9) êàê уравнение äâèæå-
íèÿ. Â ýòîì случае системà (4.8), (4.9) ñòановитñÿ âïîëíå îïðåделенной.
Èç уравнения (4.8) ñëåäóåò, ÷òî
∂µψµ= 0.
(4.10)
Ñ ó÷åòîìñîîтношения (4.10) èç уравнения äâèæåíèÿ (4.9) ëåãêî ïîлучить
уравнение Äàëàìáåðà äëÿ
ψ
:
µ
ψµ= 0.
(4.11)
Êàê èçâåñòíî, â теории áåçìàññîâîãî ïîëÿ íà ïîтенциаëàõ ìîæíî çà-
äàòü êàлибровî÷íûå преобразîâàíèÿ è íàëîæèòü äîïîлнительные óñëî-
âèÿ, исключающие лишние êîмпоненты. Óравнения (4.8)(4.11) èíâàðè-
антны îòíîсительно êàлибровî÷íûõ преобразîâàíèé
→ ψ
′
[µν]
= ψ
Λµ(x)
+ ∂µΛν− ∂νΛµ,
[µν]
ограничены условием
(4.12)
ψ
[µν]
ãäå êàлибровî÷íûå ôункции
Λµ− ∂µ∂νΛν= 0.
(4.13)
 ðàáîòå Огиевåöêîãî è Ïîëóбариновà [121] ïîêазано, ÷òî êàлибро-
âî÷íàÿ èíâариантноñòü òàêîãî òèïà îñòàâëÿåò ó òåíçîðà-ïîтенциаëà
ψ
[µν]
классичеñêîãî ïîëÿ äâå (èç øåñòè) íåзависимые êîмпоненты. Ïîñëå ââå-
дения äîïîлнительногî êàлибровî÷íîãî условия îñòàåòñÿ òîëüêî îäíà
степень ñâîáîäû, ñîîòâåòñòâующая íóëåâîé спираëüíîñòè. Òàêèì îáðà-
çîì, уравнения (4.8), (4.9) описывàþò áåçìассовóþ частицу ñî спираëü-
íîñòüþ0.
Ñîïîñòàâèì уравнения (4.8), (4.9) ñ уравнениями Ìàêñâåëëà (4.6),
(4.7) êàê ñ òî÷êè зрения èõ взаимной äîïîлнительноñòè â îïèñàíèè ñïè-
ðàëüíîñòè, òàê è â ñâÿçè ñ ïåðåõîäîì ê теории частицы ñî спиноì 1 è
íåíóëåâîé ìассой.
Ñ ýòîé целью îáðàтимся ñíà÷àëà ê системе (4.4), (4.5), êîòîðóþ ïåðå-
пишем ñëåдующим образîì:
(Γµ∂µ+ aΓ
(1)
0
+ bΓ
(2)
)ψ = 0,
0
(4.14)
ãäå
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 153
ψ = ( ψµ, ψ
[µν]
) −
ñòîëáåö
,
(4.15)
Γµ 10-мерные ìàòðèöû ÄàôôèíàÊеммера è
=
I40
0 O
(1)
Γ
0
6
, Γ
(2)
0
=
O40
0 I
.
6
(4.16)
Èç системы (4.4), (4.5), эквивàлентной ìàòричноìó уравнению (4.14)
(4.16), íåòðóäíî ïîлучить уравнение âòîðîãî порядкà
( − ab)ψµ= 0
(4.17)
ñ äîïîлнительным условием (4.10). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìàòричноå уравне-
íèå (4.14)(4.16) описывàåò âåêòорную частицу ñ ìассой
Ïîлагая â (4.14)
a = 0
ëèáî
b = 0
, ïîлучим ñîîòâåòñòâåííî уравнение
äëÿ ôîòîíà è áåçìассовîé частицы ñî спираëüíîñòüþ0. Ìàòðèöû
m =√ab
.
Γµâî
âñåõ òðåõ случаях îñòàþòñÿ îдними è òåìè æå. Òàêèì образîì, расширяя
теорию ÐÂÓ çà ñ÷åò âêëþчения â íåå обобщенных уравнений âèäà (4.14),
ìû ïîлучаем âîçìîæíîñòü â ðàìêàõ åдиной ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè îïè-
ñûâàòü êàê частицы ñ íåíóëåâîé ìассой è öåëîчисленным спиноìs, òàê è
áåçìассовые àíàëîãè ýòîé частицы, причем íå òîëüêî ñî спираëüíîñòüþ
±s
, íî è ïðîмежутîчными çíàчениями спираëüíîñòè.
 ïîäõîäå ÃельфандаЯгëîìà îáñóждаемые уравнения интерпрети-
ðóþòñÿ ñëåдующим образîì. Íàлагая íà ýлементы ìàòðèöû
(C1⊗I3)
áëîêîâ
ñòандарòíûé набор òребовàíèé
C0, C1выражåíèÿ
(a)−(c)
, ïîлучим äëÿ спиновых
Γ4= C0⊕
C0= 0, C1=
√
0 1 1
1
1 0 0
2
1 0 0
.
(4.18)
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî â ðàìêàõ исслеäóåìîé ñõåìû зацеплений (1.35) ñïè-
ðàëüíîñòü áåçìассовîé частицы îïðåделяетñÿ ôàêòè÷åñêè ñòðóêòóðîé
ìàòðèöû
 случае, êîãäà
äû, ñâязанных ñ áëîêîì
Γ0(ðàçмерноñòüþ íóëåâîãîè åдиничногî áëîêîâýòîé ìàòðèöû).
a = 0
, ìàòðèöà
C1ìàòðèöû
(2)
Γ
âûðåçàåò îäíó èç òðåõ степеней ñâîáî-
0
Γ4; åñëè
b = 0
, ìàòðèöà
(1)
Γ
0
âûðåçàåò
154 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
äâå степени ñâîáîäû, опять-тàêè ñâязанных ñ áëîêîì
C0ìàòðèöû
Γ4äëÿ âñåõ òðåõ теорий (ñ ìассой è äâóõ áåçìассовых) îñòà-
C1. Спиновый áëîê
åòñÿ íóлевым, ÷òî свидетельствóåò îá îòñóòствии физичеñêèõ ñîñòîÿíèé
ñî спиноì, равным0.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ãëóáæå ðàçîáðàòüñÿ ñ физичеñêèì ñîдержанием óðàâ-
нений (4.8)(4.11), âернемся вновь ê ñõåìå зацеплений (1.35), íî áóäåì
рассмàòðèâàòü ïðåäñòàâление
(1/2, 1/2)
êàê ïñåâäîâåêòîðíîå.Общий âèä
системы òåíçорных уравнений ïåðâîãî порядкà, óäîâëåòâоряющей òðå-
áîâаниям èíâариантноñòè îòíîсительно преобразîâàíèé ïîëíîé ãðóïïû
Ëоренца è âîçìîæíîñòè лагранжåâîé ôîðìóлировки, áóäåò ïðè ýòîì ñëå-
дующим:
1
ε
2
ε
µναβ∂ν
µναβ∂α
ψ
[αβ]
˜
ψβ+ b1ψ
+ a
˜
ψµ= 0,
1
= 0.
[µν]
(4.19)
(4.20)
Çäåñü опять âîçìîæíû òðè ñóùåñòâåííî различных âариантà выбора êî-
ýôфициентîâ
a1, b1.
Первый âариант:
a1= b1= m.
(4.21)
 ýòîì случае ïîлучаетñÿ теория ïñåâäîâåêòорной частицы ñ íóëåâîé
ìассой.
Âòîðîé âариант:
a1= 0, b1= 1.
(4.22)
Имеем систему уравнений
1
ε
µναβ∂ν
2
ε
µναβ∂ν
Ñâîðà÷èâàÿ уравнение (4.23) ñ òåíçîðîì
(4.24) антисимметричный òåíçîð òретьегî ранга
æенный ïñåâäîâåêòîðó
˜
ψ
β
˜
ψβ=
ψ
˜
ψβ+ ψ
1
ε
βµνα
3!
[αβ]
[µν]
ψ
= 0,
= 0.
[µνα]
(4.23)
(4.24)
ε
è ââîäÿ â уравнение
γρσµ
ψ
, äóàëüíî сопря-
[µνα]
,
(4.25)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 155
ïîлучим âìåñòî (4.23), (4.24) систему уравнений
∂µψ
[να]
+ ∂αψ
∂µψ
[µν]
+ ∂νψ
[µνα]
+ ψ
[αµ]
[να]
= 0,
= 0.
(4.26)
(4.27)
Системà (4.26), (4.27) описывàåò áåçìассовóþ частицу ñî спираëüíîñòüþ
±1
, åñëè ñ÷èòàòü â íåé
ψ
òåíçîðîì íàïðÿæåííîñòè, à
[µν]
ψ
[µνα]
ïîòåí-
öèàëîì. Èíà÷å ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ýòî åñòü ýëåêòðîдинамикà ñ ïñåâäî-
âåêòорным ïîтенциаëîì, èëè äóàльная ýëåêòðîдинамикà ïî îтношению
ê ìàêñâелловñêîé.
Äóàëüíîñòü äâóõ данных ôîðìóлировîê ïðîÿâëÿåòñÿ â òîì, ÷òî åñëè â
ìàêñâелловñêîé системе (4.6), (4.7) уравнение (4.6) ÿâëÿåòñÿ уравнением
äâèæåíèÿ,à â êà÷åñòâå òîæäåñòâà Бианки âûñòупает уравнение (4.7),ýêâè-
âàлентноå (4.26), òî â системе (4.26), (4.27) ïåðâîå ñîîтношение ÿâëÿåòñÿ
уравнением äâèæåíèÿ, à вытекающее èç (4.27) уравнение (4.6) âûñòупает
â êà÷åñòâå òîæäåñòâà Бианки.
Íàêîíåö, òретья âîçìîæíîñòü:
a1= 1, b1= 0.
(4.28)
Системà (4.19), (4.20) ïðèâîäèòñÿ ê âèäó
1
ε
2
µναβ∂ν
ψ
[αβ]
ε
µναβ∂α
+˜ψµ= 0,
˜
ψβ= 0.
(4.29)
(4.30)
Ïåðåõîäÿ â (4.29), (4.30) îò ïñåâäîâåêòîðà
ìó òåíçîðó òретьегî ранга
ψ
, ñîãласно îïðåделению (4.25), ïîлучим
[ναβ]
˜
ψ
ê äóàëüíî сопряжåííî-
µ
систему уравнений
∂µψ
Åñëèâ äâóõïîñëåäíèõ системàõ рассмàòðèâàòü
öèàë, à
ψ
êàê íàïðÿæåííîñòü, òî îíè â òî÷íîñòè ïðèâîäÿò ê теории
[µνα]
να]
+ ∂αψ
[µα]
+ ∂νψ
[µα]
+ ψ
∂µψ
[µνα]
[µνα]
= 0,
= 0.
ψ
êàêòåíçîð-ïîòåí-
[µν]
(4.31)
(4.32)
ÎãèâåöêîãîÏîëóбариновà [121] äëÿ áåçìассовîé частицы ñî спираëüíî-
ñòüþ0. Äействительно, â ðàáîòå [121] äëÿ ïîтенциаëà
ψ
ïîñòóëèðóåòñÿ
[µν]
уравнение âòîðîãî порядкà
ψ
+ ∂µ∂αψ
[µν]
[να]
− ∂ν∂αψ
[µα]
= 0.
(4.33)
156 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Íåòðóäíî ïðîâерить, ÷òî îíî êоррелирóåò ñ системой ïåðâîãî поряд-
êà (4.31), (4.32), à çíà÷èò è ñ эквивàлентной åé системой (4.29), (4.30).
Êðîìå òîãî, уравнение (4.33) èíâариантно îòíîсительно êàлибровî÷íûõ
преобразîâàíèé (4.12), (4.13), ÷òî ïîçâîëÿåò ââåñòè äëÿ ïîтенциаëà
ψ
[µν]
äîïîлнительноå условие
∂νψ
[µν]
= 0,
(4.34)
равносильноå условию
∂µ∂αψ
− ∂ν∂αψ
[να]
[µα]
= 0.
(4.35)
 ðåçóëüòàòå уравнение (4.33) распадаетñÿ íà уравнение âèäà (4.11) äëÿ
ψ
è äîïîлнительноå условие (4.35). Â теории, опирающейся íà систе-
[µν]
ìó ïåðâîãî порядкà (4.8), (4.9), уравнение âòîðîãî порядкà (4.35) ìîæíî
ïîлучить íåïîñðåäñòâåííî. Òàêèì образîì, â обоих рассмàòðèâаемых âà-
риантàõ теории áåçìассовîé частицы ñî спираëüíîñòüþ0ïîлучаюòñÿ
îдинакîâûå уравнения âòîðîãî порядкà äëÿ ïîтенциаëà.
Различие ýòèõ äâóõ теорий заклю÷àåòñÿ, âо-первых, â òîì, ÷òî â ñè-
стеме (4.31), (4.32) íàïðÿæåííîñòü ÿâëÿåòñÿ антисимметричным òåíçîðîì
òретьегîранга (ïñåâäîâåêòîðîì), àâ системе (4.8), (4.9) истинным âåêòî-
ðîì. Êðîìå òîãî, åñëè äëÿ системы (4.8), (4.9) уравнение âòîðîãî порядкà
(4.35) âûñòупает êàê îсновноå уравнение, à (4.11) êàê äîïîлнительноå
условие, òî â случае системы (4.31), (4.32) уравнение (4.11) âûñòупает
êàê îсновноå, à (4.35) êàê äîïîлнительноå условие. Îäíàêî ýòè разли-
÷èÿ íå ñêàçûâàþòñÿ íà числе степеней ñâîáîäû, ñîîòâåòñòâующих îáåèì
частицам.
 ðàáîòå [121] áåçìассовàÿ частица, описывàåìàÿ системой ïåðâîãî
порядкà (4.26), (4.27), áûëà íàçâàíà íîòîôîì. Ýòî íàçâàíèå îòражает äî-
ïîлнительноñòü ñâойств íîòîôà è ôîòîíà êàê â смысле спираëüíîñòè, òàê
è îтношении лоренцевñêèõ òðàíñôîðìационных ñâойств ïîтенциаëîâ è
íàïðÿæåííîñòåé. Íîòîô, описываемый системой (4.8), (4.9), ïî âûøåóêà-
занным причинам áóäåì назывàòü äóàльным íîòîôîì.
Âïîäõîäå ÃельфандаЯгëîìà теорияОгиевåöêîãîÏîëóбариновàïðè-
âîäèò ê ñëåдующему âèäó спиновîãî áëîêà
C1=
√
1
2
0 1 −1
1 0 0
−1 0 0
C1:
.
(4.36)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 157
Íåсовпадение выражåíèé (4.18) è (4.36) âозникàåò âñëåдствие различия
òðàíñôîðìационных ñâойств íàïðÿæåííîñòåé
ψ
µ
˜
è
ψµ(ψ
[ναβ]
) îòíîñè-
тельно ïðîñòранственных îòðàæåíèé, îäíàêî физичеñêèå ñëåдствия, âû-
òåêающие èç (4.36), îñòàþòñÿ òåìè æå, ÷òî è â случае (4.18).
Çäåñü имеет смысл çàòронуть âîïðîñ î òàê назывàåìîìспиновîì ñêà÷-
êå(
spin jumping
). Â ðàáîòàõ ðÿäà àâòîðîâ(ñì., íàпример, [122, 123]) части-
öà, описывàåìàÿ системой (4.8), (4.9), идентифицирóåòñÿ êàê ñêàлярный
áåçìассовый ìåçîí. Îòñþäà делаетñÿ âûâîä îá èçменении спина ïðè ïå-
ðåõîäå îò системы (4.4) (4.5) ê системе (4.8), (4.9). Ïðîâåденный â данноì
ðàçäåëå àíàëèç óêазанных систем свидетельствóåò î òîì, ÷òî ãîâорить î
спиновîì ñêà÷êå çäåñü åäâà ëè óìåñòíî.
Во-первых, ïîтенциаë ñêàлярногî ïîëÿ äîëæåí áûòü èíâариантîì
îòíîсительно преобразîâàíèé ïðîñòранственных ïîâîðîòîâ. Âî-âòîðûõ,
ÐÂÓ ïåðâîãî порядкà, описывающее ñêàлярный ìåçîí, ìîæåò ñòроиться
íà îñíîâå ñõåìû зацеплений, ñîдержащей íå менее äâóõ ïðåäñòàâлений
ñî спиноì0. Ñõåìà (1.35) íè îäíîìó èç ýòèõ условий íå óäîâëåòâоряет.
Íà ñàìîì æå äåëå, â данноì случае имеет ìåñòî ïåðåõîä степеней
ñâîáîäû (ñîñòîÿíèé) ìассивной âåêòорной частицы ñ ïðîекцией спина
sz= ±1
(è спиноì 1) â степени ñâîáîäû (ñîñòîÿíèÿ) ôîòîíà ñî спираëü-
íîñòüþ±1, à òàêæå ïåðåõîä ñîñòîÿíèÿ ìассивной частицы ñ ïðîекцией
спина
sz= 0
(è спиноì 1) â ñîñòîÿíèå íîòîôà ñî спираëüíîñòüþ0. Ïî-
ýòîìó òî÷íî òàê æå, êàê âèðòóàльный ôîòîí, îáладающий ìассой, приоб-
ðåòàåò äîïîлнительноå ñîñòîÿíèå ñ íóëåâîé спираëüíîñòüþ (ïðîекцией
спина), âèðòóàльный íîòîô приобретàåò äîïîлнительноå ñîñòîÿíèå ñî
спираëüíîñòüþ±1. Äðугими ñëîâàìè, íîòîô, êàê è ôîòîí, переноñèò âî
взаимодействиях ñïèí 1 è ñ ýòîé òî÷êè зрения íå ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ ñêàëÿð-
íîé частицей. Правильнее, íà íàø âçãëÿä, назывàòü íîòîô áåçìассовîé
âåêòорной частицей ñî спираëüíîñòüþ0, ÷òî âïîëíå ñîîòâåòñòâîâàëî áû
òî÷êå зрения ïåðâîîткрывàтелей íîòîôà Огиевåöêîãî è Ïîëóбариновà.
Òàêèì образîì, обобщая âûøåñêазанноå, ìîæíî сделаòü ñëåдующий
âûâîä. Åñëè рассмàòðèâàòü ïåðåõîäû îò îïèñàíèÿ частиц (ïîëåé) ñ íåíó-
ëåâîé ìассой ê áåçìассовым ïîëÿì ñ различной спираëüíîñòüþ, è îáðàò-
íî, îñòàâàÿñü â ðàìêàõ îäíîé è òîé æå ñõåìû зацеплений è âèäà ìàòðèö
Γµ, ãîâорить î спиновîì ñêà÷êå íåò äîñòàòî÷íûõ îñíîâàíèé.
 1974 ãîäó Êàëüá è Рамонд [122], ïîëüçóÿñü иными физическими ñî-
158 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
ображениями, переоткрыли íîòîô, èñõîäÿ íåïîñðåäñòâåííî èç системы
ïåðâîãî порядкà (4.26), (4.27). Âïîñëåдствии çà ïîëåâîé системой, ñîïî-
ñòàâляемой уравнениям (4.26), (4.27), óòâåðäèëîñü â литераòóðå íàçâàíèå
ïîëå ÊàльбаРамонда (ñì., íàпример, [123125]). Â ðàáîòå [122] òåíçîð-
ïîтенциаë
ãî взаимодействие замкнутых ñòðóí â ïðîñòранствå ðàçмерноñòè
ψ
ïðåдлагаетñÿ â êà÷åñòâå ïîëåâîãî òåíçîðà, описывàþùå-
[µν]
d = 4
 случае îткрытых ñòðóí рассмоòрения ýòîãî ïîëÿ íåäîñòàòî÷íî. Ìî-
делирóÿ êîíöû ñòðóíû êàê òî÷å÷íûå ýëåêòðè÷åñêèå заряды, íåîáõîäèìî
ââåñòè âåêòîð-ïîтенциаë, ñîîòâåòñòâующий ýëåêòðîìагнитноìó ïîëþ. À
ïîñêîëüêó ñòðóíà ÿâëÿåòñÿ åдиным физичеñêèì îáúåêòîì, åñòåñòâåííà
ïîñòановкà çàäà÷è î ñîâìåñòíîì îïèñàíèè ýòèõ ïîëåé ïîñðåäñòâîì îä-
íîé íå распадающейся ïî ãðóïïå Ëоренца системы уравнений.
 ðàáîòàõ [123, 125, 126] рассмàòðèâàåòñÿ ìåõàíèçì òàêîãî îáúåäè-
нения, êîòîðûé заклю÷àåòñÿ â êàлибровî÷íî-èíâариантноì смешивàíèè
óêазанных ïîëåé, â ðåçóëüòàòå ÷åãî âозникàåò ïîëå ñî спиноì 1 è íåíóëå-
âîé ìассой.
Îäíàêî данный ïîäõîä, ïîлучивший â литераòóðå íàçâàíèåˆB ∧ˆF
теории, íå ÿâëÿåòñÿ åдинственным. Ïîêàæåì, ÷òî â ôîðìàëèçìå обобщен-
íûõ ÐÂÓ ïåðâîãî порядкà âîçìîæåí ñïîñîá ñîâìåстногî îïèñàíèÿ ýëåê-
òðîìагнитногî ïîëÿ è ïîëÿ íîòîôà (ÊàльбаРамонда), íå ïðèâîдящий ê
ïîÿâлению ìàññû [127129]. Äëÿ ýòîãî рассмоòðèì ñõåìó зацеплений
.
-
1
1
(
′
,
)
2
2
(0, 1) (1, 0),
(4.37)
1
1
(
,
)
2
2
êîòîðàÿ ñîдержит расширенный ïî сравнению ñ (1.35) набор ïðåäñòàâ-
лений çà ñ÷åò âêëþчения â íåå êðàòíîãî ïðåäñòàâления
(1/2, 1/2)
. Áóäåì
èñõîäèòü èç òîãî, ÷òî îäíî èç ïîâòоряющихñÿ ïðåäñòàâлений â ñõåìå
(4.37), íàпример
ïðåäñòàâление
(1/2, 12)
, ñîïîñòàâëÿåòñÿ истинноìó âåêòîðó, à âòîðîå
(1/2, 1/2)′ ïñåâäîâåêòîðó, èëè антисимметричноìó òåí-
çîðó òретьегî ранга.
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 159
Наибоëåå общая òåíçорная системà уравнений ïåðâîãî порядкà, ñî-
îòâåòñòâующая ñõåìå зацеплений (4.37) è óäîâëåòâоряющая обычным
òребованиям, ïðåäúÿâляемым ê ÐÂÓ, имеет âèä
α ∂νψ
˜
β ∂
ψ
ν
[µν]
α∗(−∂µψν+ ∂νψµ) + β∗ε
ãäå
α, β, a, b, c
произвîльные параметðû. Систему (4.38) ìîæíî перепи-
ñàòü òàêæå ñëåдующим образîì:
α ∂νψ
β (∂µψ
[να]
+ ∂αψ
[µν]
α∗(−∂νψα+ ∂αψν) + β∗∂µψ
Ïîлагая â (4.39)
α = β = 1,
+ a ψµ= 0,
[µν]
+ b˜ψµ= 0,
µναβ∂α
+ aψµ= 0,
[µν]
+ ∂νψ
[αµ]
˜
ψβ+ c ψ
) + b ψ
+ c ψ
[µνα]
[µνα]
[να]
[µν]
= 0,
= 0.
(4.38)
= 0,
(4.39)
(4.40)
придем ê системе
∂νψ
∂µψ
[να]
+ ∂αψ
[µν]
−∂νψα+ ∂αψν+ ∂µψ
+ aψµ= 0,
[µν]
+ ∂νψ
[αµ]
[µνα]
+ b ψ
+ c ψ
[µνα]
[να]
= 0,
= 0 ,
êîòîðóþ ìîæíî ïðåäñòавить â обобщенной ìàòричной ôîðìå
Äëÿ ìàòðèö
Γµ∂µ+ a Γ
(1)
Γ
, Γ
0
(2)
(3)
, Γ
0
â òåíçîðíîì базисå
0
ψ = ( ψµ, ψ
(1)
0
+ b Γ
[µνα]
(2)
0
, ψ
+ c Γ
[µν]
(3)
0
) −
ψ = 0 .
ñòîëáåö
(4.41)
(4.42)
160 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
áóäåì иметь выражåíèÿ
I40 0
(1)
Γ
=
0
0 O40
0 0 O
,
6
O40 0
(12
Γ
=
0
0 I40
0 0 O
,
6
O40 0
(3)
Γ
=
0
0 O40
0 0 I
.
6
(4.43)
(4.44)
(4.45)
Âèä ìàòðèö
Γµâ ýòîì базисå ëåãêî íàõîäèòñÿ. Ìû èõ íå выписывàåì,
÷òîáû íå загроìîæäàòü èçëîæåíèå.
Интереñующий íàñ случай ïîлучитñÿ, åñëè выбраòü â (4.41)
a = c = 0, b = 1.
(4.46)
 ðåçóëüòàòå ïîлучим систему уравнений
∂µψ
[να]
+ ∂αψ
[µν]
+ ∂νψ
[αµ]
−∂νψα+ ∂αψν+ ∂µψ
∂νψ
+ ψ
[µν]
[µνα]
[να]
= 0,
= 0,
= 0.
(4.47)
(4.48)
(4.49)
Ñòðóêòóðà ýòîé системы ïðåäïîлагает ñëåдующую òðàêòîâêó âõîäÿ-
ùèõ â íåå òåíçîðîâ:
ψ
è
ψ
µ
ïîтенциаëû,
[µν]
ψ
íàïðÿæåííîñòü. Òî-
[µνα]
ãäàуравнение (4.48) ÿâëÿåòñÿ, ïî-ñóùåñòâó,îïðåделениемíàïðÿæåííîñòè
÷åðåç ïîтенциаëû, à уравнение (4.47) играет ðîëü äîïîлнительногî óñëî-
âèÿ íà êîмпоненты
ìå. Данноå условие îñòàâëÿåò ó ïîтенциаëà
ψ
, êîòîðîå ñîдержитñÿ èçíà÷àëüíî â ñàìîé систе-
[µν]
ψ
òîëüêî äâå íåзависимые
[µν]
êîмпоненты. Êðîìå òîãî, системà (4.47)(4.49) èíâариантна îòíîситель-
íî êàлибровî÷íûõ преобразîâàíèé (4.12), (4.13). Имеющийся произвîë â
выборе êàлибровî÷íûõ ôункций
чающее åùå îäíó íåзависимую êîмпонентó òåíçîðà
Λµïîçâîëÿåò íàëîæèòü условие, исклю-
ψ
. Îñòавшаяся
[µν]
åдинственная êîмпонентà òåíçîð-ïîтенциаëà óäîâëåòâоряет уравнению
âòîðîãî порядкà
ψ
+ ∂µψν− ∂νψµ= 0
[µν]
(4.50)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]