Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы
.pdf
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 191
à уравнения âòîðîãî порядкà, вытекающие èç ñîîòâåòñòâующей системы
ïåðâîãî порядкà
α∗(−∂µψν+ ∂νψµ) + β∗ε
α∂νψ
µναβ∂α
+ aψµ= 0,
[µν]
˜
∂
ψ
ν
˜
ψβ+ cψ
[µν]
[µν]
= 0,
= 0,
(4.251)
(4.252)
(4.253)
èìåþò âèä
ac
−
|α|
˜ψµ− ∂µ∂
ψµ= 0,
2
∂µψµ= 0,
˜
ψν= 0.
ν
(4.254)
(4.255)
(4.256)
Óравнение (4.256), êàê è системà ïåðâîãî порядкà (4.251)(4.253), èí-
âариантно îòíîсительно êàлибровî÷íîãî преобразîâàíèÿ ïñåâäîâåêòîð-
íîãî ïîтенциаëà
˜
ψµ→˜ψµ+ ∂
ãäå˜Λ
произвîльная ïñåâäîñêàлярная ôункция. Ñëåäîâàтельно, íà
0
ìîæíî íàëîæèòü условие òèïà êàлибровки Ëоренца
òàòå âìåñòî (4.256) ïîлучим уравнение Äàëàìáåðà
˜
Λ,
µ
˜
∂
ψ
=0. Â ðåçóëü-
ν
ν
(4.257)
˜
ψµ=
˜ψµ= 0.
C ó÷åòîì уравнений (4.254), (4.255) ìîæíî сделаòü заключение î òîì,
÷òîсистемà (4.251)(4.253) описывàåòìассивно-бåçìассовîå ïîëåñî ñïè-
íîì 1.
Примеры ÐÂÓ, рассмоòренные â данной ãëàâå, ïîçâîëÿþò сделаòü ñëå-
дующие âûâîäû.
1. Òеория обобщенных ÐÂÓ âèäà (1.1) ñ îñîáенной ìàòрицей
Γ0ïîçâî-
ëÿåò описывàòü áåçìассовые ïîëÿ íå òîëüêî ñ ìàêñèìàльной (äëÿ данногî
набора ïðåäñòàâлений ãðóïïû Ëоренца) спираëüíîñòüþ±s, íî è ïîëÿ ñ
ïðîмежутîчными çíàчениями спираëüíîñòè, à òàêæå îñóùåñòâëÿòü ñîâ-
ìåñòíîå îïèñàíèå ïîëåé ñ различными çíàчениями спираëüíîñòè â ðàì-
êàõ íå распадающегîñÿ ïî ãðóïïå Ëоренца уравнения.
2. ÐÂÓ (1.1) ñ
det Γ0= 0
могут описывàòü íå òîëüêî áåçìассовые
ïîëÿ, íî è ïîëÿ (частицы) ñ íåíóëåâîé ìассой. Îáладая êàлибровî÷íîé
èíâариантноñòüþ, ýòè ÐÂÓ ñîñòàâëÿþò класс òàê называемых ìассивных
êàлибровî÷íî-èíâариантных теорий.
192 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
3. ÐÂÓ âèäà (1.1) ñ
det Γ0= 0
ïîçâîëÿþò описывàòü òàêæå ïîëÿ, ó
êîòîðûõ ïðèñóòñòâóþò êàê ìассивная, òàê è áåçìассовàÿ ñîñòàâляющие.
Ïðè ýòîì, êàê è â ïðåдыдущих случаях, îáåñïå÷èâàåòñÿ нераспадение
теории ïî ãðóïïå Ëоренца. Ïî àíàлогии ñ ï. 2 çäåñü ìîæíî ãîâорить î
ìассивно-бåçìассовых êàлибровî÷íî-èíâариантных теориях.
Íåòðóäíî заметить, ÷òî õàðàêòåð ïîëÿ (ìассивноå èëè áåçìассовîå),
описываемогî обобщенным ÐÂÓ (1.1) ñ îñîáенной ìàòрицей
÷èõравных условиях зависит îò âèäàìàòðèöû
öåâñêîé ñòðóêòóðû члена
Γ0ψ
. Â òåõ случаях, êîãäà ìàòðèöà
Γ0,òî÷íååãîâîðÿ, îò лорен-
Γ0, ïðè ïðî-
Γ0, действóÿ
íà âîëíîâóþ ôункциюψ, ñîхраняет (íå обращает â íóëü) набор лорен-
öåâñêèõ êîâариантîâ, минимàëüíî íåîáõîдимый äëÿ ïîñòðîåíèÿ îáû÷-
íîãî ÐÂÓ âèäà (1.2) äëÿ частицы (ïîëÿ) ñ íåíóëåâîé ìассой, íà îñíîâå
обобщенногî ÐÂÓ (1.1) ìîæíî ïîñòроить êàлибровî÷íî-èíâариантную
теорию ìассивногî èëè ìассивно-бåçìассовîãî ïîëÿ. Êонкретные ðåàëè-
зации òàêèõ теорий ïðèâåäåíû âûøå.
Òàê, системà (4.210)(4.212), çàïèñанная â ìàòричной ôîðìå (1.1), ñî-
îòâåòñòâóåò ìассовîìó члену
Γ0ψ =Γ
(2)
0
+ Γ
(3)
0
ψ,
êîòîðûé ñîдержит êîâарианты
ψ
,
ψ
µ
. Íà îñíîâå ïîñëåäíèõ âîçìîæíî
[µν]
ïîñòðîåíèå ÐÂÓ âèäà (1.2) äëÿ частицы ñ íåíóëåâîé ìассой уравнение
Äàôôèíà-Êеммера äëÿ спина 1. Обобщенноå ÐÂÓ (1.1) ñ ìàòрицей
(2)
Γ
0
+ Γ
(3)
ÿâëÿåòñÿ êàлибровî÷íî-èíâариантным àíàëîãîì ïîñëåäíåãî.
0
Γ0=
Òî æå ñàìîå ìîæíî ñêàçàòü è î системе (4.237)(4.239).
Êàлибровî÷íî-èíâариантнымàíàëîãîìуравнения ÄàôôèíàÊеммера
äëÿ спина 0 ÿâëÿåòñÿ системà (4.221)(4.223), èëè обобщенноå ìàòричноå
ÐÂÓ ñ ìàòрицей
Γ0= Γ
(1)
0
набор лоренцевñêèõ êîâариантîâ
+ Γ
(2)
, êîòîðàÿ â произвåдении
0
ψ0, ψ
, минимàëüíî íåîáõîдимый äëÿ
µ
Γ0ψ
ñîхраняет
ïîñòðîåíèÿ теории ìассивной частицы ñî спиноì 0.
Òåíçорные системы (4.242)(4.244) è (4.251)(4.253), áóäó÷è çàïèñàí-
íûìè â ôîðìå (1.1), ñîîòâåòñòâóþò члену
˜
ñòâåííî êîâарианты
ψ
,
ψ
µ
[µν]
˜
è
ψ
,
ψ
µ
[µν]
Γ0ψ
, ñîдержащему ñîîòâåò-
. Êàê ñëåдствие, ýòè системы îïè-
ñûâàþò êàлибровî÷íî-èíâариантноå ïîëå, ñîдержащее ìассивную êîì-
понентó ñî спиноì 1.
Âî âñåõ áåçìассовых ïîлевых системàõ ÷ëåí
Γ0ψ
, êàê íåòðóäíî óáå-
диться, ñîдержит набор лоренцевñêèõ êîâариантîâ, íà îñíîâå êîòîðûõ
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 193
нельзя ïîñòроить теорию ïåðâîãî порядкà äëÿ частиц ñ íåíóëåâîé ìàñ-
ñîé.
Èç âûøåñêазанногî ñëåäóåò åùå îäèí âûâîä.
4. Åñëè â обобщенноìÐÂÓ(1.1) ñ îñîáенной ìàòрицей
íèè
Γ0ψ
îñòàåòñÿ набор лоренцевñêèõ êîâариантîâ, äîñòàòî÷íûé äëÿ ïî-
ñòðîåíèÿ обычной (ñ
det Γ0= 0
) теории ìассивной частицы ñî спиноìs,
Γ0â произвåäå-
òî òàêîå ÐÂÓ ìîæåò ñîîòâåòñòâîâàòü ìассивной (ìассивно-бåçìассовîé)
êàлибровî÷íî-èíâариантной теории спинаs.  ïðîтивноì случае, êîãäà
ýòî условие íå âûïîлняетñÿ íè äëÿ êàêîãîs, ÐÂÓ (1.1) ìîæåò описывàòü
òîëüêî áåçìассовîå ïîëå.
Очевидноòàêæå, ÷òîäëÿ ïîñòðîåíèÿ êàêìассивной(ìассивно-бåçìàñ-
ñîâîé) êàлибровî÷íî-èíâариантной теории спинаs, òàê è áåçìàñîâîé òåî-
ðèè ñ ïðîмежутîчными çíàчениями спираëüíîñòè îò+säî−s, òðåáóåòñÿ
расширенный ïî сравнению ñ минимàëüíî íåîáõîдимым äëÿ îïèñàíèÿ
данногî спина (спираëüíîñòè) набор непривîдимых ïðåäñòàâлений ãðóï-
ïû Ëоренца â ïðîñòранствå âîëíîâîé ôункцииψ. Â рассмоòренных âûøå
примерах óêазанноå расширение îñóùåñòâëÿëîñü ëèáî çà ñ÷åò âêëþчения
ñêàлярногî ïðåäñòàâления (0, 0) è êðàòíîãî âåêòорногî ïðåäñòàâления
(1/2, 1/2)′â ñõåìó зацеплений (3.28), минимàëüíî íåîáõîдимую äëÿ ïî-
ñòðîåíèÿ теории частицы ñ íåíóëåâîé ìассой è спиноì 1, ëèáî çà ñ÷åò
âêëþчения ïðåäñòàâления
(0, 1) ⊕ (1, 0)
â ñõåìó зацеплений (3.27), ìèíè-
ìàëüíî íåîáõîдимую äëÿ îïèñàíèÿ частицы ñ íåíóëåâîéìассой è спиноì
0.
4.5. Ìåõàíèçì ÊàëüáàÐàìîíäà è теория ÐÂÓ
Специфичеñêèì (íåòривиальным) ñïîñîáîì ñîâìåстногî îïèñàíèÿ
áåçìассовыхïîëåé, ïðèâîдящимê âозникновåíèþ ìàññû, ìîæåòñëóæèòü
óïîмянутàÿ âûøåˆB ∧ˆF
хиггсовñêîãî ìåõàíèçìà ãенерации ìàññû. ÑóòüˆB ∧ˆF
êëþ÷àåòñÿ â ñëåдующем.  êà÷åñòâå èñõîäíûõ рассмàòðèâàþòñÿ ñîâìåñò-
íî äâå системы уравнений äëÿ áåçìассовых ïîëåé (4.6), (4.7) è (4.31),
(4.32):
-теория [122], îòличающаяся îò общеизвåстногî
-теории êðàòêî çà-
∂νψ
−∂µψν+ ∂νψµ+ ψ
[µν]
[µν]
= 0,
= 0,
(4.258)
(4.259)
194 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
∂µφ
[νρ]
+ ∂νφ
Íàïîìíèì, ÷òî âеличины
öèàëîâ, à
Äàëåå â лагранжиан
ψ
[µν]
è
φ
â êà÷åñòâå íàïðÿæåííîñòåé óêазанных ïîëåé.
[µνα]
L0системы (4.258)(4.261) (âèä åãî ìû íå âûïè-
ψ
[ρµ]
µ
+ ∂ρφ
è
φ
∂µφ
+ φ
[µν]
âûñòóïàþò çäåñü â êà÷åñòâå ïîòåí-
[µν]
[µνα]
[µνρ]
= 0,
= 0.
(4.260)
(4.261)
ñûâàåì çà ненадобноñòüþ) ââîäèòñÿ äîïîлнительный ÷ëåí
L
= mψµ∂νφ
int
[µν]
,
(4.262)
êîòîðûé íå íàðушает èíâариантноñòü ýòîé системы è åå лагранжиана
îòíîсительно êàлибровî÷íûõ преобразîâàíèé (4.51) äëÿ ïîтенциаëà
è преобразîâàíèé âèäà (4.12) äëÿ ïîтенциаëà
φ
. Данный ÷ëåí ìîæåò
[µν]
ψ
ôîðìàëüíî òðàêòîâàòüñÿ êàê (òîïîлогичеñêîå) взаимодействие рассмàò-
ðèâаемых ïîëåé. Ïðè âарьировàíèè лагранжиана
L = L0+ L
ïîëó÷à-
int
åòñÿ системà уравнений
−∂
˜
φν+ ∂
µ
∂νψ
ν
+ m˜φµ= 0,
[µν]
˜
φµ+ mψ
˜
∂
φ
ν
+˜φµ= 0,
[µν]
[µν]
= 0,
(4.263)
(4.264)
(4.265)
µ
−∂µψν+ ∂νψµ+ ψ
[µν]
= 0,
(4.266)
ãäå èñïîëüçîâàíû обозначения, àíàлогичные (4.25) è (4.180) äëÿ âеличин
˜
˜
φ
è
φ
µ
Перепишем систему (4.263)(4.266), ââåäÿ â íåå âìåñòî òåíçîðîâ
˜
φ
[µν]
.
[µν]
âеличины˜Gµ,
˜
Gµ= ψµ−
G
ïî ôîðìóëàì
[µν]
1
φµ, G
m
ψ
µ
˜
[µν]
=˜φ
[µν]
−
m
1
ψ
[µν]
.
(4.267)
Ñ ïîмощью îïðåделений (4.272) системà (4.263)(4.266) преобразóåòñÿ ê
âèäó
−∂
˜
φν+ ∂
µ
∂νψ
ν
−∂
+ m˜φµ= 0,
[µν]
˜
φµ+ mψ
∂νG
˜
Gν+ ∂
µ
= 0,
[µν]
= 0,
[µν]
˜
Gµ= 0.
ν
(4.268)
(4.269)
(4.270)
(4.271)
,
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 195
Системà (4.268)(4.271) распадаетñÿ ïî ãðóïïå Ëоренца íà ïîдсисте-
ìû (4.268), (4.269) è (4.270), (4.271). Ïåðâàÿ èç íèõ описывàåò частицу
ñ íåíóëåâîé ìассой è спиноì 1, êîòîðàÿ â ðàáîòå [122] òðàêòóåòñÿ êàê
переноñ÷èê взаимодействия между îткрытыми ñòðунами â ïðîñòранствå
ðàçмерноñòè
d = 4
. Ïîдсистемà (4.270), (4.271) физичеñêîãî ïîëÿ íå
описывàåò, ïîñêîëüêó åé ñîîòâåòñòâóåò íóëåâàÿ ïëîòíîñòü энергии. Ïðè-
ñóòствие уравнений (4.270), (4.271) â системе (4.268)(4.271) ñâязано ñ
ôîðìàльными соображениями ñîхранения êàлибровî÷íîé èíâариантно-
ñòè теории íà âñåõ ýòàïàõ. Рассмàòðèâаемый ìåõàíèçì ãенерации ìàññû
ïîлучил â литераòóðå òàêæå íàçâàíèå êàлибровî÷íî-èíâариантногî ñìå-
øèâàíèÿ ïîëåé (ìåõàíèçì ÊàльбаРамонда).
Íà ÿçûêå ìàòричногî ôîðìàëèçìà теории обобщенных ÐÂÓ ìåõàíèçì
ÊàльбаРамонда интерпретирóåòñÿ ñëåдующим образîì. Èñõîäíóþ òåí-
çорную систему (4.258)(4.261) ìîæíî ïðåäñòавить â ôîðìå (1.1), â êîòî-
ðîé ïðè выборе базисà
ψ =ψµ, ψ
[µν]
, φ
[µν]
, φ
[µνρ]
(4.272)
ìàòðèöû
ãäå
Γµ,
Γ0èìåþò âèä
DK
Γ
Γµ=
DK
Γ
10-мерные ìàòðèöà ÄàôôèíàÊеммера.
µ
µ
DK
Γ
µ
, Γ0=
O
4
I
6
O
,
6
I
4
(4.273)
Ââåдение â лагранжиан òîïîлогичеñêîãî члена (4.262) ïðèâîäèò ê
èçменению âèäà ìàòðèö
Γµ.  ñâîþ î÷åðåäü, ïîäñòановки (4.267) ýêâè-
âàлентны óíèòàðíîìó преобразîâàíèþ базисà (4.272), â ðåçóëüòàòå ÷åãî
ìàòðèöû
Γµâозвращаюòñÿ ê ïåðâîíà÷àëüíîìó âèäó (4.273). Ìàòðèöû æå
Γ0ïðè ýòîì òðàíñôîðìèðóþòñÿ ñëåдующим образîì:
Γ0⇒
mI
4
mI
6
m0
6
m0
4
=
mI
10
.
0
10
(4.274)
Òàêèì образîì, ìû ïîлучаем ÐÂÓ (1.1), êîòîðîå распадаетñÿ íà îáû÷-
íîå уравнение ÄàôôèíàÊеммера äëÿ спина 1 è áåçìассовый ôåðìèîí-
íûé ïðåäåë ýòîãî уравнения. Íåòривиаëüíîñòü òàêîãî ñïîñîáà ãенерации
196 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
ìàññû ñ òî÷êè зрения теории ÐÂÓ заклю÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïåðåõîä îò èñ-
õîäíîãî áåçìассовîãî ïîëÿ (ïîëåé) íå çàòрагивàåò íè âèäà ìàòðèö
ранга îñîáенной ìàòðèöû
íóлевых è åдиничных äèàãîíàльных áëîêîâ ìàòðèöû
Γ0, à ñâîäèòñÿ, ïî-ñóùåñòâó, ê ïåðåñòановкå
Γ0. Ïðè ýòîì число
Γµ, íè
степеней ñâîáîäû ïîëåâîé системы (равноå òðåì) íå èçменяетñÿ: ñèòóà-
öèÿâûãлядитòàê, áóäòîíîòîô ïåðåäàåòñâîþ степеньñâîáîäû ôîòîíó, ÷òî
è ïðèâîäèò ê ïîÿâлениюìассивной частицы ñî спиноì 1. Èñïîëüçóÿèäåþ
ÊàльбаРамонда, ìîæíî ïîñòроить общую, причем P-èíâариантную, ìî-
äåëü êàлибровî÷íî-èíâариантногî смешивàíèÿ, îõâàòûâающую ïîëíûé
набор антисимметричных òåíçорных ïîëåé â ïðîñòранствå ðàçмерноñòè
d = 4
.
Возьмем â êà÷åñòâå èñõîäíûõ áåçìассовые системы (4.131)(4.135)
è (4.157)(4.161). Ïðè èõ ñîâìåñòíîì рассмоòрении âî èçáежание äóá-
лировàíèÿ обозначений êоренную áóêâóψâ обозначении òåíçорных âå-
личин â системе (4.157)(4.161) заменим íàφ. Системà (4.131)(4.135)
èíâариантà îòíîсительно êàлибровî÷íûõ преобразîâàíèé (4.137), (4.138)
è описывàåò áåçìассовîå ïîëå ìàêñâелловñêîãî òèïà ñ äâóêðàòíûì âû-
ðîждением ñîñòîÿíèé ïî íåêîòîðîìó äîïîлнительноìó êâàíòîâîìó ÷èñ-
ëó. Системà (4.157)(4.161) èíâариантна îòíîсительно преобразîâàíèé
(4.168)(4.170) è описывàåò áåçìассовîå ñêàлярноå ïîëå è ïîëå Êàëüáà
Рамонда òàêæå ñ óäâîением ñîñòîÿíèé ïî âíóòренней четноñòè.
Äîïîëíèì лагранжиан
L0èñõîäíîé системы áåçìассовых ïîëåé, íå
выписывàÿ åãî ÿâíî, выражением
L
= mψµ∂νψ
int
+ mψµ∂µφ0+ m˜ψµ∂
[µν]
˜
φ
[µν]
+ m˜ψµ∂
ν
µ
˜
φ0,
(4.275)
èíâариантным (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëíîé äèâåðãенции) îòíîсительно âñåõ
âûøåóêазанных êàлибровî÷íûõ преобразîâàíèé. Варьировàíèå лагран-
жиана
L = L0+ L
∂νψ
˜
∂
ψ
ν
−∂µψν+ ∂νψµ+ ε
ïðèâîäèò ê ñëåдующим наборам уравнений:
int
+ ∂µψ0− m∂νφ
[µν]
˜
+ ∂
ψ0− m∂
[µν]
µ
ν
µναβ∂α
∂µψµ+ ψ0= 0, ∂
− m∂µφ0= 0,
[µν]
˜
φ
− m∂
[µν]
˜
ψβ+ ψ
˜
ψµ+˜ψ0= 0,
µ
˜
φ0= 0,
µ
= 0,
[µν]
(4.276)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 197
∂νφ
∂
ν
−∂µφν+ ∂νφµ+ m (∂µψν− ∂νψµ) + ε
∂µφµ− m∂µψµ= 0, ∂
+ ∂µφ0+ φµ= 0,
[µν]
φ
˜
[µν]
˜
+ ∂
φ0+˜φµ= 0,
µ
µναβ∂α
˜
φµ− m∂
µ
˜
φβ− mε
˜
ψµ= 0.
µ
µναβ∂α
˜
ψβ= 0,
Ñîïîñòàâëÿÿ набор уравнений (4.276) ñ ñîîòâåòñòâующими уравнени-
ÿìè èç набора (4.277), ìîæíî ïîлучить системы
∂νψ
∂
ν
−∂µφν+ ∂νφµ+ ε
∂µφµ+ mψ0= 0, ∂
∂νφ
∂
−∂µψν+ ∂νψµ+ ε
∂µψµ+ ψ0= 0, ∂
+ ∂µψ0+ mφµ= 0,
[µν]
ψ
ν
˜
[µν]
[µν]
˜
φ
[µν]
˜
+ ∂
ψ0+ m˜φµ= 0,
µ
˜
µναβ∂α
φβ+ mψ
+ ∂µφ0+ φµ= 0,
˜
+ ∂
φ0+˜φµ= 0,
µ
µναβ∂α
= 0,
[µν]
˜
φµ+ m˜ψ0= 0,
µ
˜
ψβ+ ψ
˜
ψµ+˜ψ0= 0,
µ
[µν]
= 0,
(4.277)
(4.278)
(4.279)
âòîðàÿ èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ íåзамкнутîé. Вычитàÿ óìíîæенные íà
m
уравнения (4.279) èç ñîîòâåòñòâующих уравнений (4.278) è ââîäÿ обозна-
чения
Gµ= φµ− mψµ,
G
[µν]
= ψ
− mφ
[µν]
˜
G0=˜ψ0− m˜φ0,
[µν]
˜
Gµ=˜φµ− m˜ψµ,
, G0= ψ0− mφ0,
(4.280)
ïîлучим замкнутóþ систему
∂νG
+ ∂µG0= 0, ∂
[µν]
−∂µGν+ ∂νGµ+ ε
∂µGµ= 0, ∂
˜
G
ν
[µν]
µναβ∂α
˜
Gµ= 0.
µ
˜
Gβ= 0,
+ ∂
˜
G0= 0,
µ
(4.281)
198 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Системы (4.278) è (4.281) ïðåäñòàâëÿþò собой êîíå÷íûé ðåçóëüòàò
êàлибровî÷íî-èíâариантногî смешивàíèÿ ïî òèïó ìåõàíèçìà Êàëüáà
Рамонда èñõîäíûõ áåçìассовых ïîëåé, описываемых системàìè уравне-
íèé (4.131)(4.135) è (4.157)(4.161). Ïðè ýòîì системà (4.278) описывà-
åò ìассивноå дираккýлеровñêîå ïîëå ñ набороì спинов 0, 1, à системà
(4.281) ÿâëÿåòñÿ áåçìассовым ôåðмионным ïðåäåëîì уравнения Диракà
Êýëåðà.
Дадим ìàòричную òðàêòîâêó вышеописанной процеäóðû. Èñõîäíûå
òåíçорные системы (4.131)(4.135), (4.157)(4.161) â ìàòричной ôîðìå
èìåþò ñîîòâåòñòâåííî âèä (4.136), (4.162) ñ ìàòрицами
(1)
Γ
0
(2)
è
Γ
(4.127)
0
(â ÐÂÓ (4.162) íàäî переобозна÷èòüψíàφ). Ïðè ýòîì ïðåäïîлагаетñÿ,
÷òî âîлновые ôункцииψèφèìåþò îдинакîâûé порядок распоëîæåíèÿ
òåíçорных êîмпонент, à именно:
Лагранжиан
L0ñîâìåñòíî рассмàòðèâаемых ÐÂÓ (4.136), (4.162), à
òàêæå лагранжиан
ψ : ψµ,˜ψµ, ψ
φ : φµ,˜φµ, φ
L
(4.275) ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëíîé äèâåðãенции могут
int
, ψ0,˜ψ0,
[µν]
[µν]
, φ0,˜φ0.
áûòü çàïèñàíû ñëåдующим образîì:
L0= −¯ψΓµ∂µ+ Γ
ãäå¯ψ = ψ+Γ4Γ
′
. Вытекающие èç ïîëíîãî лагранжиана
4
(1)
0
L
int
ψ −¯φΓµ∂µ+ Γ
= −m¯ψΓ
(2)
φ − m¯φΓ
0
релятивистñêèå âîлновые уравнение èìåþò âèä
Γµ∂µψ + Γ
Γµ∂µφ + Γ
(1)
ψ + mΓ
0
(2)
φ + mΓ
0
(2)
φ = 0 ,
0
(1)
ψ = 0 .
0
Óìíîæàÿ уравнение (4.286) ñëåâà íà ìàòðèöó
ñòâà, ïîлучим
Γµ∂µΓ
(1)
ψ + mΓ
0
Àíàлогично óìíîæàÿ (4.287) ñëåâà íà
Γµ∂µΓ
(2)
φ + mΓ
0
(2)
φ = 0.
0
(1)
ψ = 0.
0
(1)
Γ
, áóäåì иметь
0
(2)
φ,
0
(1)
ψ,
0
L = L0+ L
(2)
Γ
è èñïîëüçóÿ åå ñâîé-
0
(4.282)
(4.283)
(4.284)
(4.285)
int
(4.286)
(4.287)
(4.288)
(4.289)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 199
Складывàÿ уравнения (4.288), (4.289) è ââîäÿ âîëíîâóþ ôункцию
,
0
F = Γ
(1)
ψ + Γ
0
(2)
φ =φµ,˜φµ, ψ
0
[µν]
, ψ0,˜ψ
ïîлучим уравнение ДиракàÊýëåðà
(4.290)
(Γµ∂µ+ m) F = 0,
ÿâляющееñÿ ìàòричным эквивàëåíòîì òåíçорной системы (4.278).
Çàòåì óìíîæèì уравнение (4.286) ñëåâà íà ìàòðèöó
(4.287) íà
(2)
Γ
. Ýòî äàåò
µ
Γµ∂µΓ
Γµ∂µΓ
(2)
ψ + Γ
0
(1)
0
φ + Γ
(1)
ψ = 0,
0
(2)
φ = 0 .
0
(1)
Γ
, à уравнение
µ
Ñëîæèì уравнения (4.292) è (4.293). Ââåäÿ обозначение
,
0
F′= Γ
(2)
0
ψ + Γ
(1)
φ =ψµ,˜ψµ, φ
0
[µν]
, φ0,˜φ
придем ê уравнению ìàòричноìó эквивàëåíòó системы (4.279)
Γµ∂µF′+ F = 0.
Íàêîíåö, óìíîæàÿ ïîñëåäíåå уравнение íàmè вычитàÿ ðåçóëüòàò èç
уравнения (4.291), ïîлучим
(4.291)
(4.292)
(4.293)
(4.294)
(4.295)
Γµ∂µG = 0 ,
(4.296)
ãäå
G = F − mF′=Gµ,˜Gµ, G
[µν]
, G0,˜G
.
0
(4.297)
Очевидно, ÷òî уравнение (4.296) ñ âîëíîâîé ôункцией (4.297) ïðåäñòàâ-
ëÿåò собой ìàòричную çàïèñü òåíçорной системы (4.281). Заметим, ÷òî ñ
ïîмощью àíàлогичных преобразîâàíèé лагранжианL, ÿâляющийся ñóì-
ìîé лагранжианов (4.284) è (4.285), ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó
L = −¯F (Γµ∂µ+ m) F −¯GΓµ∂µG,
(4.298)
èç êîòîðîãî òàêæå ñëåäóþò ìàòричные уравнения (4.291), (4.296).
200 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Òàêèì образîì, уравнение ДиракàÊýллера äëÿ частицы ñ ìассой ìî-
æåò áûòü ïðåäñòàâëåíî êàê ðåçóëüòàò êàлибровî÷íî-èíâариантногî ñìå-
øèâàíèÿ äâóõ áåçìассовых систем äóàëüíî симметричных обобщений
ýëåêòðîìагнитногî ïîëÿ è ïîëÿ ÊàльбаРамонда (íîòîôà). Èçâåстные â
литераòóðå рассмоòрения àíàлогичногî ìåõàíèçìà äëÿ òåíçорных ïîëåé
различной ðàçмерноñòè â ïðîñòранствå
þòñÿ частными случаями развитîãî ïîäõîäà.
d = 4
(ñì., íàпример, [123]) ÿâëÿ-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]