Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы
.pdf
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 231
äëÿ рассмàòðèâаемой ïîëåâîé системы ïî обоим типам ñòàтистики ìîæ-
íî ïîлучить èç ñîîтношений (5.88)(5.91), ñîâершив â íèõ ôîðìàльную
замену êâàíòîâîãî числаkíàrk.
Êàê óæå óêàçûâàëîñü, ìàòðèöû
ìå ìàòричногî ÐÂÓ (1.2), â ôåðмионноì базисå
Γµуравнения ÄÊ, çàïèñанногî â ôîð-
ψ = {ψ
β
}
ïðåäñòàâè-
α
ìû â âèäå (5.128). Ïðè ýòîì ìàòðèöà билинейной ôîðìûηсовпадает ñ
операòîðîì ïðîñòранственной èíâерсии è îïðåделяетñÿ ñîãласно (5.129).
Îòñþäà вытекàåò, ÷òî ãðóïïû âíóòренней симметðèè рассмоòренной âû-
øå системы четыреõ уравнений Диракà è уравнения ÄÊ совпадаюò. Â
частноñòè, ïîñëåднему ïðèñóùà â êà÷åñòâå ïîäãðóïïû ãðóïïà
SU(2, 2)
преобразîâàíèÿ êîòîðîé перемешивàþò ñîñòîÿíèÿ ñ различными çíà÷å-
ниями àáñîëþòíîé âеличины спина
Èç ýòîãî,îäíàêî,íå ñëåäóåò, ÷òî ïî àíàлогии ñ
(s = 0, 1)èΠ
-четноñòè [45].
SU(2, 2)
-èíâариантной
теорией диракîâñêîãî ïîëÿ операòîðΠ-четноñòè è â данноì случае âñå-
ãäàìîæåò áûòü выбран ñïîñîáîì (5.130). Äåëî â òîì, ÷òî преобразîâàíèÿ
SU(2, 2)
-âíóòренней симметðèè уравнения ÄÊ íå êîммутирóþò ñ лорен-
öåâскими ãенераòорами [149]
J
[µν]
1
=
4
Γ[µΓν]+ Γ
′
′
)Γ
[µ
ν]
(5.137)
,
ïðåäñòàâления (3.18) è â öåëîì образóþò ïîлупрямоå произвåдение ñ
преобразîâаниями ãðóïïû Ëоренца. Ïî óêазанной причине îïðåделение
(5.130) операòîðàΠ-четноñòè äëÿ уравнения ÄÊ ãîäèòñÿ ëèøü â системе
ïîêîÿ. Åãî релятивистñêè-èíâариантноå обобщение имеет âèä
′
pµΓ
ˆ
Π =
µ
.
(5.138)
im
Íåòðóäíî óáåäèòñÿ, ÷òî операòîð (5.138) óäîâëåòâоряет âñåì íåîáõî-
димым условиям, ñôîðìóлированным â ðàçäåëå
çíàчения
λi= 1, −1 (i = 1, 2)
различаюò äâóêðàòíî âûðîжденные ñî-
5.2
, è åãî собственные
ñòîÿíèÿ ïîëÿ ÄÊ è äàþò àëüтернативную ïî îтношению ê âíóòренней
четноñòè интерпретàöèþ óêазанногî âûðîждения.
Вычислим çíàчения âеличин
(±)
g
il
≡
(±)
g
. C ýòîé целью èç ôåðìèîí-
isk
232 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
íîãî базисà ñ ïîмощью óíèòарногî преобразîâàíèÿ [150]
U = I2⊗
1
√
0 0 0 0 −
2
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
1
√
2
0 0 0 0 0 0 1 0
0 0
1
√
0 0 0 0 −
2
0 0 0 0
1
√
0 0 0 0
2
1
√
1
√
2
2
0 0
0 0
1
√
2
1
√
2
(5.139)
перейдем ê êаноничеñêîìó ïðåäñòàâлению, â êîòîðîì êîмпоненты âîë-
íîâîé ôункции описывàþò чистые ñîñòîÿíèÿ частицы ïðè ñëåдующем
порядкå èõ распоëîæåíèÿ:
(+)
ψ =ψ
ψ
+
210
110
, ψ
, ψ
(+)
11−1
+
21−1
 базисå (5.140) äëÿ ïðîåêтивных операòîðîâ
, ψ
, ψ
−
210
(−)
110
, ψ
, ψ
(−)
11−1
−
21−1
, ψ
, ψ
+
211
(+)
111
, ψ
, ψ
+
200
(+)
100
, ψ
, ψ
−
211
τ
(−)
111
, ψ
±
,
, ψ
−
200
π
i
(−)
100
,
,
,.
2
σ
s
,
β
k
(5.140)
, ðàññ÷è-
òанных ïî ôîðìóëàì (5.16)(5.19), ïîлучаем выражåíèÿ:
τ+= I4⊗
π1=
diag
(1, 1, 0, 0), τ−= I4⊗
diag
(1, 1, 0, 0) ⊗I4, π2=
2
σ
= I2⊗
0
2
σ
= I2⊗
1
β0= I2⊗
β1= I2⊗
β−1= I2⊗
diag
(0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1),
diag
(1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0),
diag
(1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1),
diag
(0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0),
diag
(0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0).
diag
(0, 0, 1, 1),
diag
(0, 0, 1, 1) ⊗I4,
Ìàòðèöà билинейной ôîðìûηñîхраняет ïðè ýòîì âèä (5.129). Ñ
ïîмощью ôîðìóë (5.21), (5.23) íàõîäèìтеперь äëÿ âеличин
(+)
g
1sk
= g
(−)
= 1, g
2sk
(−)
1sk
= g
(+)
2sk
= −1,
(±)
g
isk
çíàчения
óäîâëåòâоряющие условию (5.25).
(5.141)
(5.142)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 233
 ñèëó различия спиновых ñâойств
SU(2, 2)
-èíâариантногî диракîâ-
ñêîãî ïîëÿ è ïîëÿ ÄÊ ðàâенствà (5.142) îçíà÷àþò, ÷òî êâàíòîâàíèå ïîëÿ
ÄÊ äîëæíî îñóùåñòâляться ïîñðåäñòâîì ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîтношений
(5.39) ñ êîììóòàòîðîì è ñîîтношений (5.48) ñ антикîììóòàòîðîì. Òàêèì
образîì, ïîлучаем ñëåдующие условия:
′
(p′)
(p′)
−
−
= δ
= −δ
′
δ
ss
′
δ
ss
′
δ (p − p′) ,
kk
′
δ (p − p′) ,
kk
a
1sk
a
2sk
(p),
(p),
+
a
1s′k
+
′
a
2s′k
′
(p′)
(p′)
=b
−
2sk
=b
−
1sk
(p),
(p),
+
b
2s′k
+
′
b
1s′k
(5.143)
N
(+)
1sk
N
+
2sk
=
= −
+
a
1ska1sk
+
a
2ska2sk
, N
, N
(−)
1sk
= −
−
2sk
+
b
1skb1sk
+
=
b
2skb2sk
,
(5.144)
ïðè êâàíòîâàíèè ïîëÿ ÄÊ ïî íîðìàльной (ÁÝ) ñòàтистикå è
′
(p′)
(p′)
+
+
= δ
= −δ
′
δ
ss
′
δ
ss
′
δ (p − p′) ,
kk
′
δ (p − p′) ,
kk
a
1sk
a
2sk
(p),
(p),
+
a
1s′k
+
′
a
2s′k
′
(p′)
(p′)
=b
+
1sk
=b
+
2sk
(p),
(p),
+
b
1s′k
+
′
b
2s′k
(5.145)
(−)
1sk
=
= −
+
b
1skb1sk
+
b
2skb2sk
,
(5.146)
N
(+)
2sk
(+)
N
1sk
= −
+
a
=
1ska1sk
+
a
2ska2sk
, N
, N
(−)
2sk
ïðè êâàíòîâàíèè ïî àíîìàльной (ÔÄ) ñòàтистикå.
Отметим, ÷òî àíàлогичные ðåçóëüòàòû ïîлучены â ðàáîòàõ [151, 152],
íî â ðàìêàõ èíîãî ïîäõîäà, íå èñïîëüçующегî ìåòîä ïðîåêтивных опера-
òîðîâ.
Сравнение ñîîтношений (5.143), (5.144) ñ (5.88), (5.89), ãäå
ïîêàçûâàåò, ÷òî êâàíòîâàíèå ïîëÿ ÄÊ è
SU(2, 2)
-симметричногî äèðà-
k → {sk}
êîâñêîãî ïîëÿ ïî ñòàтистикå ÔÄ îñóùåñòâëÿåòñÿ îдинакîâûì образîì
(различие, ñâязанноå ñ интерпретацией êâàíòîâûõ ÷èñåërès, ìîæåò
,
234 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
рассмàòðèâàòüñÿ êàê ôîðìàëüíîå). Òåì ñàìûì óñòàíàâëèâàåòñÿ ñîîòâåò-
ствие между îïèñанием ôåðмионов ïîñðåäñòâîì ýòèõ ïîëåé íå òîëüêî íà
классичеñêîì, íî è íà âòорично êâàíòîâàííîì уровне.
Èç условий êâàíòîâàíèÿ (5.143), (5.144) ñëåäóåò òàêæå, ÷òî разбиение
òèïà (5.67), (5.69) ïðîñòранствà ñîñòîÿíèéHíà ïîäïðîñòранствà ñ ïîëî-
жительной è îòðèöàтельной íîðìîé имеет ìåñòî ïðè êâàíòîâàíèè óðàâ-
нения ÄÊ ïî (àíîìàльной) ñòàтистикå ÔÄ, à разбиение (5.68), (5.70) ñîîò-
âåòñòâóåò (íîðìàльной) ñòàтистикå ÁÝ. Ïîýòîìó â ïåðâîì случае çàïðåò
íà îòðèöàтельные âåðîÿòíîñòè îáåñïå÷èâàåòñÿ óæå ñîâìåстным действи-
åì çàêîíîâ ñîхранения зарядовQèG, à âî âòîðîì ïðè äîïîлнительноì
учете çàêîíà ñîхранения зарядовîé четноñòè.
Ввиду çíà÷èìîñòè уравнения ÄÊ ñ òî÷êè зрения âîçìîæíûõ физиче-
ñêèõ прилоæåíèé â êà÷åñòâå иллюстрации ê âûøåñêазанноìó ïðîâåäåì
прямой ðàñ÷åò âåðîÿòíîñòè ýëåêòðîìагнитногî процеññà, сопровîæäàþ-
ùåãîñÿ ïåðåõîäîì системы между ñîñòîяниям èç ïîäïðîñòранств
H+è
H−, äëÿ интереñующегî íàñ, â ïåðâóþ î÷åðåäü, случая êâàíòîâàíèÿ ïî
ñòàтистикå ÔÄ. Êàê вытекàåò èç разлоæåíèé (5.67), (5.69), òàêîé ïåðåõîä
ñâÿçàí ñ èçменениемΠ-четноñòè ñîñòîÿíèÿ. Ñîîòâåòñòâующий ìàòðè÷-
íûé ýлемент
|M12|2∼ |¯ψ2Rψ1|
2
(5.147)
ìîæåò áûòü преобразîâàí òàê:
|M12|2∼Sp(¯Rτ1Rτ2) =
=
¯
Sp
Rτ±(ˆp)π1σ
Вершинный операòîð
2
βkRτ±(ˆp′)π2σ
s
R = ieΓµAµ(èëè
R ∼ Γ[µΓν]F
2
′
β
.
′
k
s
) êîммутирó-
[µν]
(5.148)
åò ñ операòîðîìΠ-четноñòè (5.138) è, ñëåäîâàтельно, ñ ïðîåêтивными
операòорами
π
,
π
.
1
2
Учитывàÿ данноå îáñòîятельствî,à òàêæå взаимную êîììóòàöèþîïå-
ðàòîðîâ
τ
±
È ïîñêîëüêó
2
,
π
,
σ
,
i
s
|M12|2∼
π1π2= 0
β
, ïðèâåäåì ìàòричный ýлемент (5.148) ê âèäó
k
Sp
¯
Rτ±(ˆp)σ
2
βkRτ±(ˆp′)π1π2σ
s
2
′
β
.
′
k
s
(ñì. ôîðìóëû (5.141)), ïîлучаем òðåáóåìûé ðå-
(5.149)
çóëüòàò
|M12|2= 0.
(5.150)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 235
5.6. Квантîâàÿôîðìóëèðîâêààëãебраичеñêèõ
îáобщений уравнения ДиракàÊýëåðà
Дадим êâàíòîâóþ ôîðìóлировкó
SU(4, 4)
-симметричной òåíçорной
ïîëåâîé системы (3.157), êîòîðàÿ ñ òî÷êè зрения классичеñêîé теории
ÐÂÓ описывàåò частицу ñ переменным спиноì
çàïèñàíà â óíèâåðñàльной ìàòричной ôîðìå (1.2), ãäå ìàòðèöû
мерноñòè
32 × 32
óäîâëåòâîðÿþò ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîтношениям àë-
s = 1, 2
è ìîæåò áûòü
Γµðàç-
ãåáðû ìàòðèö Диракà (3.24), à âîëíîâàÿ ôункцияψпреобразóåòñÿ ïî
ïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâлению ãðóïïû Ëоренца, ñîîòâåòñòâующему ñõåìå
зацеплений (3.96).
Êàê è â случае уравнения ÄÊ, êàæäîå ñîñòîÿíèå ñ îïðåделенными
çíàчениями энергии-импуëüñà, àáñîëþòíîé âеличины è ïðîекции спина
ÿâëÿåòñÿ çäåñü äâóêðàòíî âûðîжденным. Ïîýòîìó операòîðΠ-четноñòè,
ââîдимый äëÿ îïèñàíèÿ ñâязанной ñ ýòèì âûðîждением âíóòренней ñòå-
ïåíè ñâîáîäû, äîëæåí иметь äâà различных собственных çíàчения
Ïîñêîëüêó операòîðˆΠ
âêëþ÷àåòñÿ â ïîëíûé набор, îí äîëæåí êîммути-
λ
,
λ
1
2
ðîâàòü ñ операòорамиˆp,ˆS2,ˆSn. Â ïðåäñòàâлении (3.96) зададим операòîð
Π
-четноñòè (â системе ïîêîÿ) ñëåдующим образîì:
ˆ
Π0= ηΓ4= σ1⊗ I16.
Äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî ðàñ÷åòà âеличин
(±)
g
опять-тàêè óдобно перейти
isk
(5.151)
â êаноничеñêèé базис, â êîòîðîì âñå операòîðû ïîëíîãî набора èìåþò
äèàãîíàльную ñòðóêòóðó, íàпример:
.
ˆ
S3= iJ
ˆp ∼ Γ4= I8⊗
= I2⊗
[12]
ˆ
S2= I2⊗
ˆ
Π0=
diag
diag
diag
diag
(1, 1, −1, −1) = I8⊗ γ4,
(2, 1, 2, 1, −1, −2, −1, −2, 1, −1, 1, −1, 0, 0, 0, 0),
(6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 2, 2, 2, 2, 6, 2, 6, 2),
(1, 1, −1, −1) ⊗I8= γ4⊗ I8.
(5.152)
Èç-çà ãðîìîçäêîñòè ìû íå ïðèâîäèì âèä ñîîòâåòñòâующегî óíèòàð-
íîãî преобразîâàíèÿ. Åãî ñóùåñòâîâàíèå ÿâëÿåòñÿ îчевидным èç сообра-
æåíèé общегî õàðàêòåðà.
236 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Ìàòðèöà билинейной ôîðìûηâ ýòîì базисå ñ ó÷åòîì ñâÿçè (5.151)
междуη,
Γ4èˆΠ0имеет âèä
η = γ4⊗ I2⊗ γ4.
(5.153)
Èñïîëüçóÿ выражåíèÿ(5.152), (5.153), ïî ôîðìóëàì(5.16)(5.19), (5.21),
(5.23), íàõîäèì ïðîåêтивные операòîðû
τ
±
2
,
π
,
σ
,
β
i
è знаки ïëîòíîñòè
k
s
энергии è заряда рассмàòðèâаемойклассичеñêîéïîëåâîé системы. Ðàñ÷åò
âеличин
(±)
g
â данноì случае äàåò
isk
(+)
g
11k
(−)
g
= g
11k
= g
(−)
12k
(+)
12k
= g
= g
(+)
21k
(−)
21k
= g
= g
(+)
22k
(−)
22k
= −1,
= 1,
(5.154)
îòêóäà ñëåäóåò âûïîлнение условия (5.25). Â ñèëó öåëîчисленногî õà-
ðàêòåðà спина ïîлучаем (ñìîòðè ðàçäåë 5.2), ÷òî êоррекòíûå â смысле
ïîñòóëàòîâ (I), (II) условия êâàíòîâàíèÿ ïî ñòàтистикå ÁÝ è ÔÄ èìåþò
çäåñü ñîîòâåòñòâåííî âèä (5.143), (5.144) è (5.145), (5.146). Âåðîÿòíîñò-
íàÿ интерпретàöèÿ теории îáåñïå÷èâàåòñÿ òî÷íî òàê æå, êàê è â случае
ïîëÿ ÄÊ.
Òеперьпроанализирóåìáîëååïîдробно ñâойствà ââåденногîâтеорию
операòîðàΠ-четноñòè (5.151). Îí óäîâëåòâоряет минимàëüíîìó уравне-
íèþ
2
ˆ
Π
(собственные çíàчения
ó÷åòîì ðàâенствà
η2= 1
− 1 = 0
0
λ1= 1, λ2= −1
) è условию òèïà (5.15). Îòñþäà ñ
ìîæíî ïîлучить ñîîтношение
+
ˆ
Π
ηˆΠ0= η,
0
(5.155)
(5.156)
îçíàчающее, ÷òî операòîðˆΠ0ñîдержитñÿ ñðåäè преобразîâàíèé ãðóïïû
SU(4, 4)
âíóòренней симметðèè ïîëåâîé системы (3.157).
Ðелятивистñêîå обобщение операòîðàˆΠ0имеет âèä
ˆ
Π = TˆΠ0T−1,
(5.157)
ãäåT преобразîâàíèå ïðåäñòàâления ãðóïïû Ëоренца (3.96), îñóùåñòâ-
ляющее ïåðåõîä èç системы ïîêîÿ частиц â произвîльную систему îò-
ñ÷åòà. Äðугими ñëîâàìè, òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî ïðè преобразîâаниях
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 237
Ëоренца ñîñòîÿíèÿ классà
λ1= 1 (λ2= −1)
смыслу ñîñòîÿíèÿ
операòîðàˆΠ
0
ψ
1
 базисå, â êîòîðîì ãенераòîðû
ψ
1
0
(ψ
)
операòîðàˆΠ0.
2
(
ψ
), îòâåчающие собствåííîìó çíàчению
2
, выражаюòñÿ òîëüêî ÷åðåç àíàлогичные ïî
J
ïðåäñòàâленияT(3.96) èìåþò
[µν]
áëî÷íî-äèàãîíàльную ñòðóêòóðó
(I)
J
[µν]
è
ãäå ãенераòîðû
(0, 1) − (
J
(I)
[µν]
1
2
Jµν=
(II )
,
J
[µν]
3
,
) − (0, 2)
2
ñîïîñòàâëÿþòñÿ ïðåäñòàâлениям
ñîîòâåòñòâåííî, âîëíîâàÿ ôункция çàпишетñÿ â âèäå
(II )
J
[µν]
(1, 0) − (
,
3
1
,
) − (2, 0)
2
2
ψ0= (ψ
(5.158)
0
, ψ
I
0
)
, à
II
операòîðˆΠ0îïðåделен ñîãласно(5.151). Ñâÿçü между óêазанным базисоì
0
è базисоì, â êîòîðîì
ψ0= (ψ
0
, ψ
)
,ˆΠ0= σ3⊗I16= γ4⊗I8(ñì. (5.152)),
1
2
задаетñÿ преобразîâанием
0
ãäå
u
,
11
мерноñòè
0
u
u0=
0
u
â ñàìîì общем случае любые íåîñîáенные ìàòðèöû ðàç-
12
16 × 16
. Ïðè ýòîì имеем
11
0
u
11
u
−u
0
12
0
12
,
(5.159)
0
0
0
1
0
1
+ u
− u
0
12
0
12
ψ
ψ
ψ
ψ
0
II
I
= u
= u
11
0
11
ψ
ψ
 произвîльной инерциальной системе îòñ÷åòà
ψ = (ψI, ψII) = T ψ0= (TIψ
ãäå
T =
diag
(TI, TII); TI, TII ìàòðèöû лоренцевñêèõ преобразîâàíèé ñ
(I)
ãенераòорами
Âèä операòîðàˆΠ
J
(II )
, J
[µν]
. Ñëåäîâàтельно, ïîлучаем
[µν]
0
0
11
11
ψ
ψ
0
1
0
+ TIu
1
− TIIu
ψI= TIu
ψII= TIIu
(5.157) â базисå (5.158) òàêîâ:
ˆ
Π =
0 A
−1
A
, A = TIT
0
0
,
2
0
.
2
0
, TIIψ
I
0
ψ
12
0
ψ
12
(5.160)
0
),
II
0
,
2
0
.
2
−1
.
II
(5.161)
(5.162)
(5.163)
238 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Ïðèâåдение åãî ê äèàãîíàльной ôîðìå (5.152), ñîîòâåòñòâующей ñòðóê-
òóðå
ψ = (ψ1, ψ2)
âîëíîâîé ôункции, îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîñðåäñòâîì ïðå-
образîâàíèÿ
u =
u
u11A
11
.
(5.164)
u21−u21A
Ïðè ýòîì между êîмпонентàìè
ψI, ψ
è
ψ1, ψ
II
имеет ìåñòî ñâÿçü
2
ψ1= u11ψI+ u11AψII,
ψ2= u21ψI− u21AψII.
Ïîäñòàâëÿÿ ôîðìóëû (5.160) â (5.165) è учитывàÿ, ÷òî
(5.165)
ATII= TI,
ïîлучаем
ψ1= 2u11TIu
0
ψ
, ψ2= 2u21TIu
11
1
0
12
ψ
0
,
2
(5.166)
0
÷òî è òребовàëîñü äîêàçàòü.
 ðàçäåëå 3.5 îòìå÷àëîñü, ÷òî спиновые ñîñòîÿíèÿ
риантной ïîëåâîé системы (3.167) ñ
ñîñòîÿíèÿ ñ
s = 1
âûðîждены четыреõêðàòíî. Ïîñëåäíåå îáñòîятель-
s = 0, 2
äâóêðàòíî âûðîждены, à
ñòâî ïðèâîäèòê íåîáõîäèìîñòèââåдения äâóõ операòîðîâˆΠ
SU(6, 6)
èˆΠ′(ˆΠ0èˆΠ
-èíâà-
â системе ïîêîÿ) äëÿ îïèñàíèÿ ïðèñóùèõ данной системе âíóòренних ñòå-
пеней ñâîáîäû. Ýòè операòîðû, âо-первых, äîëæíû êîммутировàòü äðóã
ñ äðóãîì è ñ операòорами
ˆpµ,ˆS2,ˆSn(
Γ4,ˆS2,ˆS3â системе ïîêîÿ), образóÿ
ñîâìåñòíî ñ íèìè ïîëíûé набор êîммутирующих операòîðîâ.Âî-âòîðûõ,
собственныеçíàчения операòîðàˆΠ
денные ñîñòîÿíèÿ âî âñåõ спиновых áëîêàõ ìàòðèöû
âûáåðåì, êàê обычно, равными
µj(j = 1, 2)
операòîðàˆΠ′(èõ òîæå ìîæíî çàäàòü равными
, êîòîðûåразличаюò äâóêðàòíîâûðîæ-
Γ4(3.108), (3.109),
λ1= 1, λ2= −1
. Собственные çíàчения
±1
) ðàç-
личаюò äîïîлнительноå äâóêðàòíîå âûðîждение ñîñòîÿíèé ñî спиноì
s = 1
íåêîòîðîå ôèêсировàííîå çíàчение êâàíòîâîãî числаj, íàпример,
(
; ïðè ýòîì ñîñòîяниям ñî спинами
µ1= 1
). Íàêîíåö, операòîðûˆΠ
s = 0ès = 2
приписывàåòñÿ
j = 1
èˆΠ′äîëæíû áûòü äèàãîíàлизирóåìû-
ìè, ò. å. óäîâëåòâорять минимàльным уравнениям âèäà (5.155), à òàêæå
условию (5.15).
Íåïîñðåäñòâенной ïðîâåðêîé ìîæíî óáåдиться, ÷òî â базисå, â êîòî-
ðîì ìàòðèöûη,
Γ4,ˆS2,ˆS3èìåþò äèàãîíàльный âèä
′
0
η = γ4⊗ I3⊗ γ4, Γ4= I12⊗ γ4,
(5.167)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 239
ˆ
S2= I2⊗
diag
(6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 0, 6, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2),
ˆ
S3= I2⊗
diag
(2, 1, 2, 1, −1, −2, −1, −2, 0, 0, 0, 0,
1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, −1, −1, −1, −1),
ñôîðìóлированным òребованиям óäîâëåòâîðÿþò операòîðû (â системе
ïîêîÿ)
ˆ
Π0= γ4⊗ I12,
Π
′
ˆ
0
= I2⊗
I
12
I6⊗ σ
.
3
(5.168)
Ðàñ÷åò âеличин
g
(ïðîåêтивный операòîð
(±)
=
ijsk
Sign Sp
′
π
îïðåделяетñÿ ïî òåì æå ôîðìóëàì, ÷òî è
j
(τ±πiπ
′
2
σ
βk)
j
s
π
äàåò
ãäå индекñ
(+)
g
1l
l = {jsk}
= g
(−)
= 1, g
2l
(−)
1l
= g
(+)
2l
îáúåдиняет êâàíòîâûå числа
= −1,
j, s, k,
(5.169)
îò êîòîðûõ â
данноì случае íå зависят знаки ïëîòíîñòè энергии è заряда классичеñêî-
ãî ïîëÿ. Ðàâенствà (5.169) îçíà÷àþò, ÷òî êâàíòîâàíèå рассмàòðèâаемогî
48
-êîмпонентногî òåíçорногî ïîëÿ ñ
SU(6, 6)
-âíóòренней симметðèåé
äîëæíî îñóùåñòâляться ïî ñòàтистикå ÁÝ â ñîîòâåòствии ñ ôîðìóëàìè
òèïà (5.143), (5.144) è ïî ñòàтистикå ÔÄ â ñîîòâåòствии ñ ôîðìóëàìè
(5.145), (5.146).
Äîêàçàтельствî релятивистñêè-èíâариантногî õàðàêòåðà ðàçделения
ñîñòîÿíèé ïîΠ-четноñòè ïðîâîäèòñÿ çäåñü òî÷íî òàê æå, êàê è â случае
SU(4, 4)
Γµèηèìåþò âèä (5.167), à лоренцевñêèå ãенераòîðû
ñóììû ãенераòîðîâ
-симметричной теории. Ïðè ýòîì â базисå, â êîòîðîì ìàòðèöû
J
âèä прямой
(I)
[µν]
, J
(II )
,
ñîîòâåòñòâующих ïðåäñòàâлениям
[µν]
J
[µν]
)
i
операòîð
1
1
(
,
) ⊕ (0, 1) ⊕ (
2
2
1
1
(
,
) ⊕ (1, 0) ⊕ (
2
2
ˆ
Π0принимàåò ôîðìóˆΠ0=
1
3
,
) ⊕ (1, 1),
2
2
3
1
,
2
2
σ
⊗
1
) ⊕ (1, 1),
I
.
24
(5.170)
(5.171)
240 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Заметим åùå, ÷òî ïîñêîëüêó çíàê âеличин
(±)
g
íå зависит îò êâàíòî-
ijsk
âîãî числаj, òî ïðè ôèêсированных çíàчениях çíàêà ìàññû èΠ-четноñòè
ñîñòîÿíèÿ, îòíîсящиеñÿ ê различным собственным çíàчениям операòî-
ðàˆΠ′(ˆΠ
′
), попадаюò â îäíî ïîäïðîñòранствî (
0
H+ëèáî
H−). Ïîýòîìó
ïðîâерять, ÿâëÿåòñÿ ëè ðàçделение ñîñòîÿíèé ïî êâàíòîâîìó числу
релятивистñêè-èíâариантным, â данноì случае íåò íåîáõîäèìîñòè.
Ïîäâîäÿ èòîã данноìó ðàçäåëó è ãëàâå 5 â öåëîì, ìîæíî сделаòüâûâîä
î òîì, ÷òî â теории ÐÂÓ ñ íåêîìïàêтными ãðуппами âíóòренней симмет-
ðèè допускàåòñÿ физичеñêè приемлемоå êâàíòîâàíèå ïîлуцелогî спина
ïî ñòàтистикå ÁÝ è целогî ïî ñòàтистикå ÔÄ. Ïðè ýòîì åùå ðàç ïîä-
черкнем, ÷òî данный âûâîä íå ïðîòèâîðå÷èò èçâåстной теореме Ïàóëè
î ñâÿçè спина è ñòàтистики, ïîñêîëüêó ïðè äîêàçàтельствå ïîñëåäíåé íå
рассмàòðèâàþòñÿ ïîëÿ ñ âíóòренними степенями ñâîáîäû. Òеоремà Ïàó-
ëè è âûâîäû ðàáîòû [139] ñîîòâåòñòâóþò â условиях êâàíòîâàíèÿ (5.39),
(5.48) ïðåдельноìó (частноìó) случаю, êîãäà îòñóòñòâóåòΠ-четноñòü è
âñå
gl= 1
. Òîãäà
Q = G
è êоррекòíàÿ âåðîÿòíîстная интерпретàöèÿ òåî-
ðèè ïðè êâàíòîâàíèè ïî àíîìàльной ñòàтистикåñòановитñÿ íåâîçìîæíîé.
Îäíèì èç âажнейших ñëåдствий ïîлученных ðåçóëüòàòîâ ÿâëÿåòñÿ
âîçìîæíîñòü ãåîìåòðèçîâанногî îïèñàíèÿ диракîâñêèõ частиц ñ âíóò-
ренними степенями ñâîáîäû ïîñðåäñòâîì набора òåíçорных ïîëåé, êâàí-
òóåìûõ ïî ñòàтистикå ÔÄ. Èçâåстный пример òàêîãî ðîäà ïðåäñòàâëÿåò
уравнение ÄÊ, êîòîðîìó ñîïîñòàâëÿåòñÿ диракîâñêîå ïîëå ñ
SU(2, 2)
âíóòренней симметðèåé. Ïðîâåденный â íàñòîÿùåé ãëàâå àíàëèç ïîçâî-
ëÿåò ñóùåñòâåííî расширить êðóã теорий, îáладающих àíàлогичными
ñâойствàìè. Данный ïîäõîä ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí, íàпример, â ðåøå-
òî÷íîé ôîðìóлировкå ÊÕÄ, à òàêæå â ïîлевых ìîделях òèïà ñупергра-
âèòàöèè, ãäå âîçìîæíîñòü ãåîìåòðèçîâанногî îïèñàíèÿ имеет принципи-
àëüíîå çíàчение (ñì., íàпример, [153, 154]).
Отметим åùå, ÷òî àíîìàльная ñâÿçü между спиноì è ñòàтистикîé ìî-
æåò иметь ìåñòî è äëÿ íåêîòîðûõ äðóãèõ типов уравнений [155], îäíàêî
èõ рассмоòрение íå âõîäèò â íàøó çàäà÷ó. Основные ðåçóëüòàòû ãëàâû 5
èçëîæåíû â ðàáîòàõ [142144, 148, 156, 157].
j
-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]