Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы
.pdf
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 101
Åãî êоррекòíàÿ лагранжåâà ôîðìóлировкà îáåñïå÷èâàåòñÿ ïðè задании
áëîêîâ
η0, η
1
ìàòðèöû билинейной ôîðìû â ñîîòâåòствии ñ (3.21), à èìåí-
íî:
η0=
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 −1
, η1=
−1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 −1
0 0 −1 0
.
(3.23)
Ïîñòðîåííîå уравнение óäîâëåòâоряет условиям лоренц- èP-èíâà-
риантноñòè è ñ òî÷êè зрения ñòандарòíîé òðàêòîâêè теории ÐÂÓ описы-
âàåò частицу ñ переменным спиноì
ïîëèíîìû áëîêîâ
C0,
C1è ìàòðèöû
0, 1
è îäíîé ìассой. Минимàльные
Γ4èìåþò âèä (3.2); ñëåäîâàòåëü-
íî, данноå ÐÂÓ îòíîñèòñÿ ê уравнениям диракîâñêîãî òèïà ñ àëãеброй
ìàòðèö
Γ
µ
ΓµΓν+ ΓνΓµ= 2δµν.
(3.24)
Âсправåäëèâîñòè ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîтношений(3.24) ìîæíîóáåдиться
íåïîñðåäñòâåííî.
Íàличие ïîâòоряющихñÿ êорней±1ó áëîêîâ
C0, C1îçíà÷àåò,÷òî ñïè-
новые ñîñòîÿíèÿ частицы ÿâëÿþòñÿ âûðîжденными, причем êðàòíîñòü
âûðîждения равна äâóì. Ýòîò ôàêò интерпретирóåòñÿ êàê óêазание íà íà-
личие ó частицы, описываемой данным ÐÂÓ, äîïîлнительной âíóòренней
степени ñâîáîäû.
Заметим, ÷òî выбор (3.21) ýлементîâ ìàòðèöû
Γ4íå ÿâëÿåòñÿ åäèí-
ñòâåííî âîçìîæíûì. Â общем случае äëÿ ïîлучения минимàльногî óðàâ-
нения (3.2) òðåáóåòñÿ âûïîлнение условий
| c
0
13
|2=| c
0
|2= 1, | c
24
1
35
|2=| c
1
45
Очевидно, ÷òî òîëüêî çà ñ÷åò èçменения çíàêîâ ó ÷èñåë
|2=
1
.
(3.25)
2
0
0
1
c
, c
24
, c
13
35
, c
1
45
ìîæíî ðåàëèçîâàòü 16 различных ñïîсобов задания спиновых áëîêîâ
C0, C1. Ëåãêî, îäíàêî, ïðîâерить, ÷òî âñå òàêèå ìîдификàöèè ñâязаны
между собой преобразîâаниями ïîдобия.
Ïîñêîëüêó ñõåìà зацеплений (3.18) ñîдержит êðàòíûå ïðåäñòàâления
собственной ãðóïïû Ëоренца, ñëåäóåò åùå проанализировàòü âîçìîæ-
102 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
íîñòü åå распадения èëè упрощения ïîñðåäñòâîì допустимых преобра-
çîâàíèé, ìàòðèöàAêîòîðûõ â рассмàòðèâàåìîì случае имеет âèä
A = A0⊕ (A1⊗ I3),
β =
A0=
−eiϕα
α
11
β 0
0 α
∗
12
, A1=
α
12
∗
eiϕα
11
α0=
, α =
α50
0 α
6
α 0
0 α
α
33
−eiϕα
.
,
0
(3.26)
α
∗
34
34
eiϕα
∗
33
,
Прежде âñåãî, îчевидно, ÷òî ñ ïîмощью преобразîâàíèÿ (3.26) íåâîç-
ìîæíî ïðèâåñòè (3.18) ê ñõåìàì (2.38), (2.51), ïîñêîëüêó íà îñíîâå ïî-
ñëåäíèõ â ñèëó íåñîîòâåòñòâующей ðàçмерноñòè íåâîçìîæíî ïîñòроить
ÐÂÓ, ìàòðèöà
Γ4êîòîðîé óäîâëåòâоряла áû минимàëüíîìó уравнению
(3.2). Ïî ýòîé æå причине íåâîçìîæíî ïîñòðîåíèå диракîïîдобногî ÐÂÓ
íà îñíîâå ôðàãìåíòîâ
1
(0, 0) − (
1
(0, 1) − (
2
1
,
2
2
1
,
) − (1, 0),
2
),
(3.27)
(3.28)
(0, 1) (1, 0)
Ñ ïîмощью преобразîâàíèÿ
âîäèì ê âèäó
C1=
1
1
(
,
)
2
2
1
1
(
,
)′.
2
2
A1(3.26) спиновый áëîê
0 σ
3
.
σ30
(3.29)
C1(3.25) ïðè-
(3.30)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 103
Äëÿ ýòîãî íàäî ïîëîæèòü
1
α33= α34=
√
, α5= α6= 1, ϕ = 0.
2
Ñòðóêòóðà (3.30) áëîêà
1
c
, ÷òî ïðèâîäèò ê разрывó зацеплений
45
1
(
2
C1îçíà÷àåò обращение â íóëü ýлементîâ
1
,
) − (1, 0),
2
1
(
,
2
1
)′− (0, 1)
2
è
1
c
36
è ê распадению ñõåìû зацеплений (3.18) íà íåзацепляющиеñÿ части (3.7)
è (3.8). Íî êàê óæå îòìå÷àëîñü, íà îñíîâå (3.7) è (3.8) нельзя ïîñòроитьP-
èíâариантные ÐÂÓ. Êðîìå òîãî, íåâîçìîæíà è лагранжåâà ôîðìóлировкà
ñîîòâåòñòâующих уравнений.
Èòàê, íà îñíîâå набора непривîдимых ïðåäñòàâлений ãðóïïû Ëîðåí-
öà (3.4) ìîæåò áûòü ïîñòðîåíî åдинствåííîå (ñ òî÷íîñòüþ äî преоб-
ðàçîâàíèÿ ïîдобия)P-èíâариантноå ÐÂÓ диракîâñêîãî òèïà, íå распа-
дающееñÿ â смысле ïîëíîé ãðóïïû Ëоренца, допускающее лагранжåâó
ôîðìóлировкó, è ïðè ýòîì ñõåìà зацеплений (3.4) принимàåò âèä (3.18).
Åñëè îñóùåствить ïåðåõîä îò базисà ÃельфандаЯгëîìà â òåíçорный
базис, придем ê системе уравнений
è
∂µψµ+ m ψ0= 0 , ∂νψ
∂
ãäå ôункции
=
1
ε
2
˜
è
ψ
[µν]
−∂µψν+ ∂νψµ+ iε
˜
ψµ+ m˜ψ0= 0, ∂
µ
ψ0,˜ψ0, ψµ,˜ψµ, ψ
(0, 0), (0, 0)′, (
ψ
µναβ
[αβ]
.
1
2
ν
[µν]
1
,
2
+ ∂µψ0+ m ψµ= 0,
[µν]
˜
µναβ∂α
˜
ψ
[µν]
ψβ+ m ψ
˜
+ ∂
ψ0+ m˜ψµ= 0,
µ
[µν]
= 0,
ñîïîñòàâëÿþòñÿ ïðåäñòàâлениям
1
), (
1
,
)′, [(0, 1) ⊕ (1, 0)]
2
2
(3.31)
Данная системà ÿâëÿåòñÿ òåíçорной ôîðìóлировкîé широкî îáñóæäà-
þùåãîñÿ â литераòóðå уравнения ДиракàÊýëåðà [84, 85], èëè âåêòорногî
ïîëÿ общегî òèïà ïî òåðìèíîлогии ðàáîò [86, 87].
Òàêèì образîì, уравнение ДиракàÊýëåðà (ÄÊ) ñ òî÷êè зрения ñòàí-
äàðòíîé òðàêòîâêè теории ÐÂÓ â ïîäõîäå ÃельфандаЯгëîìà ïðåäñòàâëÿ-
åò собой ÐÂÓ диракîâñêîãî òèïà ñ êðàтными ïðåäñòàâлениями собствåí-
íîé ãðóïïû Ëоренца , описывающее частицу ñ переменным спиноì
0, 1
è äâóêðàòíûì âûðîждением ñîñòîÿíèé ïî çíàчению íåêîòîðîãî äîïîë-
нительногî âíóòреннегî êâàíòîâîãî числа (âíóòренней четноñòè).
104 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
3.3. Îá îïèñàíèè диракîâñêèõ частиц ñ âíóò-
ренними степенями ñâîáîäû посреäñòâîì
òåíçорных ïîëåé
Óравнение ДиракàÊýëåðàîáладает целым ðÿäîì óíèêàльных êà÷åñòâ,
ñòàâÿùèõ åãî â исключительноå ïîëîæåíèå ïî îтношению ê äðóãèì èç-
âåстным ÐÂÓ, â òîì числе è уравнению Диракà. Ïîдробноå èçëîæåíèå
классичеñêîé теории ïîëÿ ДиракàÊýëåðà è îáçîð литераòóðû ïî данно-
ìó âîïðîñó ìîæíî найти â монографии [51]. Ïîýòîìó ìû ограничимся
êðàòêèì èçëîæением ñàìûõ îсновных ñâåдений, êîòîðûå понадобÿòñÿ â
äàльнейшем.
Впервые â òðåхмерной âåêòорной ôîðìå òåíçорная системà (3.31) áû-
ëà ïðåäëîæåíàâ ðàáîòå [88]. Âïîñëåдствии îíà рассмàòðèâàëàñü многими
àâòорами â различных ìàòåìàòè÷åñêèõ ôîðìàõ, ïðè ýòîì â áîльшинствå
случаевâíå âñÿêîéñâÿçè ñ идеей êðàòíûõ ïðåäñòàâлений ãðóïïûËоренца.
Ïîдробноå исслеäîâàíèå данной системы â ôîðìàëèçìå внешних ôîðì
áûëî ïðîâåäåíî Êýëåðîì [84] (îòñþäà è íàçâàíèå). Â ðàáîòå [85] óñòàíîâ-
ëåíî, ÷òî â решетî÷íîé ôîðìóлировкå ÊÕÄ уравнение ДиракàÊýëåðà
îáладает íåîспоримым преимущеñòâîì ïåðåä уравнением Диракà, ïî-
ñêîëüêó íå ïðèâîäèò ê физичеñêè неинтерпретирóåìîìó расщеплению
ñîñòîÿíèé ôåðмионов. Мысль î òîì, ÷òî ïîëå ÄÊ ìîæåò âûñòóïàòü â êà-
÷åñòâå ãåîìåòðè÷åñêîé ìîäåëè ïîêîлений êâàðêîâ, впервые âûñêазана â
ðàáîòàõ [89, 90].
Ñ àëãебраичеñêîé òî÷êè зрения ýòîò ôåíîìåí (âîçìîæíîñòü îïèñàíèÿ
диракîâñêèõ частиц ïîñðåäñòâîì òåíçорных îáúåêòîâ) îáъясняетñÿ òåì,
÷òî ìàòðèöû
óæå îòìå÷àëîñü âûøå, óäîâëåòâîðÿþò ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîтношениям
àëãåáðû ìàòðèö Диракà.
Ñ теоретикî-ãðупповых позиций âîçìîæíîñòü òàêîãî îïèñàíèÿ îáîñ-
новывàåòñÿ ñëåдующим образîì [50, 51]. ÃðóïïàGàëãåáðû ïîëíîé èí-
âариантноñòè лагранжåâîé ôîðìóлировки теории ÄÊ ÿâëÿåòñÿ ïîлупря-
ìûì произвåдением ãðóïï лоренцевñêèõ преобразîâàíèéΛè âíóòренней
симметðèèD(
ñòавить â âèäå прямогî произвåдения
деленная ãðóïïà Ëоренца, ïî îтношению ê êîòîðîé âîëíîâàÿ ôункция
Γµуравнения ÄÊ, çàïèñанногî â ìàòричной ôîðìå (1.2), êàê
G = Λ ⊘ D
). Ñ äðóãîé ñòороны, ãðóïïóGìîæíî ïðåä-
G = Λ′⊗ D
, ãäå
Λ′ переопре-
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 105
ψ
õàðàêтеризóåò óæå íå ñîâîêóïíîñòü òåíçорных âеличин, à набор äè-
ðàêîâñêèõïîëåé. Óêазанноå переопределение лоренцевñêèõ òðàíñôîðìà-
ционных ñâойств âîëíîâîé ôункции íå çàòрагивàåò лагранжиана теории,
÷òî îçíà÷àåò динамичеñêóþ неразличимоñòü ïîëÿ ÄÊ è системы четыреõ
диракîâñêèõ ïîëåé ñ обычной, ò. å. êîммутирующей ñ преобразîâàíèÿ-
ìè ãðóïïû Ëоренца, симметðèåé. Ïðèâåденные соображåíèÿ ñîхраняюò
ñèëó äëÿ âñåõ взаимодействий (â òîì числе êàлибровî÷íûõ),íå íàðóøàþ-
ùèõ âíóòреннюю симметðèþ лагранжиана, è îçíà÷àþò принципиальную
применимоñòü ïîëÿ ÄÊ äëÿ îïèñàíèÿ частиц ñî спиноì
1/2
è âíóòðåí-
íèìè степенями ñâîáîäû, имеющими, òàêèì образîì, ãåîìåòðè÷åñêîå
происõîждение.
Исслеäîâàíèå âíóòренней симметðèè ïîëÿ ÄÊ îñóùåñòâëÿëîñü âî
многих ðàáîòàõ (ñì., íàпример, [45, 85, 87, 9093]). Рассмоòðèì данную
ïðîáëåìó ïîдробно â ìàòричноì ïîäõîäå [94], ïîñêîëüêó, êàê увидим äà-
ëåå, ïîëíîãî è îднозна÷íîãî решения âîïðîñà ñ åдиных позиций â ýòèõ
ðàáîòàõ ïîлучено íå áûëî.
Системà ÄÊ (3.31) ìîæåò áûòü çàïèñàíà â ìàòричной ôîðìå ÐÂÓ ïåð-
âîãî порядкà (1.2). Задавàÿ âîëíîâóþ ôункциюψâ (3.31) â âèäå
ψ = ( ψ0,˜ψ0, ψµ,˜ψµ, ψ
è ââîäÿ собирательныйиндекñ
îò 1 äî 16, ìàòðèöû
Γµçäåñü ìîæíî выразить ÷åðåç ýлементы ïîëíîé
A = 0,˜0, µ,˜µ, [µν]
[µν]
) −
ñòîëáåö (3.32)
, ïðîáегающий çíàчения
ìàòричной àëãåáðû ñëåдующим образîì:
= e
˜
0˜µ
(−)
Γ
= e0µ+ eµ0+
µ
(+)
Γ
µ
Íåòðóäíî óáåдиться, ÷òî ìàòðèöû
+ e
(e
λ,[λµ]
˜
λ,[αβ]
(+)
µ
+ e
i
ε
2
Γµ= Γ
˜
µ˜0
λµαβ
Γµ(3.33) óäîâëåòâîðÿþò ïåðåñòàíîâî÷-
+ e
+ e
+ Γ
[αβ],˜λ
(−)
µ
[λµ],λ
,
,
).
íûì ñîîтношениям àëãåáðû ìàòðèö Диракà.
Ñîïîñòàâëÿåìàÿ â литераòóðå (ñì., íàпример, [51, 84]) лагранжиану
(1.12) ïîëÿ ÄÊ âíóòренняя симметðèÿ описывàåòñÿ ãðуппой
SO(4, 2)
â присоåдиненноì ïðîñòранствå). Ïîêàæåì, êàê ïîлучаетñÿ ýòîò
SU(2, 2)
ðåçóëüòàò â ìàòричноì ïîäõîäå.
(3.33)
(èëè
106 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Ïîä преобразîâанием âíóòренней симметðèè ÐÂÓ (1.2) понимàþòñÿ
линейные преобразîâàíèÿ âîëíîâîé ôункции
ψ′(x) = Qψ(x),
(3.34)
íå çàòрагивающие ïðîñòранственно-временных êîîðäèíàò è îñòàâëÿþ-
ùèå èíâариантными уравнение (1.2) è åãî лагранжиан. Ïðè ýòîì ìàòðèöà
Q
óêазанных преобразîâàíèé äîëæíà ïîдчиняться условиям:
[ Γµ, Q ]−= 0,
Q+η Q = η.
(3.35)
(3.36)
Применение условий (3.35), (3.36) íåïîñðåäñòâåííî ê уравнению ÄÊ, ò.
å. ê уравнению (1.2) ñ âîëíîâîé ôункцией (3.32) è ìàòрицами
è ïðèâîäèò ê 15-параметðè÷åñêîé ãðóïïå
SU(2, 2)
. Ãенераòорами ýòîé
Γµ(3.33),
ãðóïïû могут ñëóæèòü ýðìèòîâûå ìàòðèöû
Γ
′
ãäå
Γ
= Γ
5
мерноñòè
′
, Γ
µ
16 × 16
′
1
′
Γ
2
′
, iΓ
5
′
′
Γ
Γ
3
4
′
′
Γ
µ
5
′
è
Γ
=Γ
µ
, óäîâëåòâоряющих, êàê è
êîммутирующих ñ ìàòрицами
, iΓ
(+)
µ
Γµ.
′
[µ
− Γ
Γ
i
′
ν]
(−)
µ
=
′
′
′
(Γ
Γ
− Γ
µ
2
ν
′
Γ
),
ν
µ
âòîðîé набор ìàòðèö ðàç-
Γµ, àëãåáðå ìàòðèö Диракà è
(3.37)
Åñëè применить îïðåделение (3.34)(3.36)âíóòренней симметðèè, íà-
пример, ê уравнению Диракà
(γµ∂µ+ m)ψ = 0,
ãäåψ биспинор,
Q
êðàòíà åдиничной. Â òî æå время â äðóãèõ ïîäõîäàõ ïîêазано, ÷òî âíóò-
γ
ìàòðèöû Диракà
µ
4 × 4
, òî ïîлучитñÿ, ÷òî ìàòðèöà
(3.38)
ренняя симметðèÿ лагранжåâîé ôîðìóлировки уравнения Диракà описы-
âàåòñÿ òðåхпараметðè÷åñêîé ãðуппой
SU(1, 1)(SO(2, 1)
), ïîлучившей â
ðàáîòàõ [95, 96] íàçâàíèå ãðóïïû зарядовîé симметðèè. Преобразîâàíèÿ
ýòîé ãðóïïû èìåþò âèä
ψ′= a ψ + b C¯ψ,
ãäå
C = γ2γ4 ìàòðèöà зарядовîãî сопряжåíèÿ,¯ψ = ψ+γ4, a, b
ïëåêñíûå числа, óäîâëåòâоряющие условию
¯
ψ′= −b∗Cψ + a
| a |2− | b |2= 1
∗
¯
ψ,
(3.39)
êîì-
.
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 107
Êàê видно èç (3.39), äëÿ íàõîждения ãðóïïû âíóòренней симметðèè
диракîâñêîãî ïîëÿ â ñîîòâåòñòâующие преобразîâàíèÿ íàäî âêëþ÷èòü
ïîìèìî ôункцииψòàêæå сопряженную ôункцию
îçíà÷àåò ââåдение 8-êîмпонентной âîëíîâîé ôункции
¯
ψ
, ÷òî ôàêòè÷åñêè
Ψ = (ψ,¯ψ)
. Â ðà-
áîòàõ [9799] ïîêазано, ÷òî данный прием эквивàлентен ïåðåõîäó ê òàê
назывàåìîìó âåùåñòâåííîìó îïèñàíèþ диракîâñêîãî ïîëÿ, ïðè êîòîðîì
âåùåñòâенные è мнимые êîмпоненты âîëíîâîé ôункции ðàçделены. Ïðå-
имущеñòâî òàêîãî ïîäõîäà заклю÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îí ïîçâîëÿåò обнарó-
æèòü симметðèþ, êîòîðàÿ îñòàåòñÿ скрытîé ïðè èñïîëüçîâàíèè обычной
êîмплекñíîé âîëíîâîé ôункции â ÐÂÓ (1.2).
Ïðîдемонстðèðóåì âûøåóêазанноå íà примере êîмплекñíîãî ïîëÿ
ÄÊ, описываемогî ÐÂÓ ñòандарòíîé ôîðìû (1.2) ñî ñõåìîé зацеплений
(3.18) è ìàòрицами
Ïîñêîëüêó ìàòðèöû
Γµ(3.33).
Γµуравнения ÄÊ óäîâëåòâîðÿþò àëãåáðå ìàòðèö
Диракà, èõ ìîæíî ïðåäñòавить â âèäå
Γµ= I4⊗ γ
µ
(3.40)
(ñîîòâåòñòâующий базис íàçîâåì ôåðмионным). Возьмем îò уравнения
(1.2) ñ ìàòрицами
Γµ(3.40) êîмплекñíîå сопряжåíèå. Çàòåì, складывàÿ è
вычитàÿ èñõîäíîå è êîмплекñíîсопряжåííîå уравнения è ââîäÿ ôункции
ψr=
ψ + ψ
√
2
∗
, ψi=
ψ − ψ
√
∗
,
(3.41)
2
ïîлучим эквивàлентноå èñõîäíîìó уравнению ÄÊ ñ êîмплекñíîé âîëíî-
âîé ôункциейψÐÂÓ äëÿ 32-êîмпонентной âîëíîâîé ôункции
(32)
(Γ
∂µ+ m)Ψ = 0.
µ
(3.42)
Çäåñü
Ψ = (ψr, ψi) −
(32)
Γ
êâàäðàòíûå ìàòðèöû ðàçмерноñòè
µ
ñòîëáåö
32 × 32
,
(3.43)
âèäà
Γ1= −I2⊗ (γ5⊗ γ1), Γ2= I8⊗ γ2,
Γ3= −I2⊗ (γ5⊗ γ3), Γ4= −I2⊗ (γ5⊗ γ4).
(3.44)
108 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
ÐÂÓ (3.42)(3.44) è ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâенной ôîðìîé èñõîäíîãî 16-êîìïî-
нентногî уравнения ÄÊ. Данная òåðìèíîлогия îáîсновывàåòñÿ òåì, ÷òî
åñëè çàïèñàòü ýòî ÐÂÓ â ðàçâернутîì âèäå è перейти ê òðåхмерным îáî-
çíàчениям, ïîлучаетñÿ âåùåñòâенная системà уравнений.
Применение условия (3.35) óдобнее âñåãî îñóùåñòâëÿòü â ïðåäñòàâëå-
íèè, â êîòîðîì диракîïîдобные ìàòðèöû
(32)
Γ
èìåþò àíàлогичную (3.40)
µ
ôîðìó
(32)
Γ
= I8⊗ γµ;
µ
(3.45)
ñîîòâåòñòâующий базис òàêæå áóäåì назывàòü ôåðмионным. Ïåðåõîä îò
базисà (3.43), (3.44) â ôåðмионный базис îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîмощью
óíèòарногî преобразîâàíèÿ
1
A =
[I8⊗ (I4− iγ2) − (γ5⊗ I2) ⊗ (I4+ iγ2)] ,
(3.46)
2
1
A−1= A+=
[I8⊗ (I4+ iγ2) − (γ5⊗ I2) ⊗ (I4− iγ2)] .
2
Наибоëåå общий âèä ìàòðèöûQ, êîммутирующей ñî âñåìè ìàòðèöà-
ìè
Γµ(3.45), òàêîâ:
Q = q ⊗ I4,
ãäåq произвîльная ìàòðèöà ðàçмерноñòè
8 × 8
. Преобразîâàíèå (3.34),
(3.47)
(3.47) ìîæåò áûòü параметðèçîâàíî ïîñðåäñòâîì64-õ базисных ìàòðè÷-
íûõ операòîðîâ
JN:
J0= I32, Ji= I4⊗ σi⊗ I4, Jµi= γµ⊗ σi⊗ I4,
Jµ4= γµ⊗ I2⊗ I4, J5i= γ5⊗ σi⊗ I4, J54= γ5⊗ I2⊗ I4,
J
= iγµγν⊗ σi⊗ I4, J
[µν]i
J
= iγµγ5⊗ σi⊗ I4, J
µ5i
= iγµγν⊗ I2⊗ I4,
[µν]4
= iγµγ5⊗ I2⊗ I4.
µ54
(3.48)
 ïðåäñòàâлении (3.43), â êîòîðîì âåùåñòâенные è мнимые êîìïî-
ненты âîëíîâîé ôункции ðàçделены, äëÿ ìàòричных операòîðîâ
JNñ
ïîмощью îáðàòíîãî преобразîâàíèÿ (3.46) ïîлучим выражåíèÿ
J0= I32, Ji= I4⊗ σi⊗ I4, Jµi= −iγµγ5⊗ σi⊗ γ2,
Jµ4= −iγµγ5⊗ I2⊗ γ2, J5i= γ5⊗ σi⊗ I4, J54= γ5⊗ I2⊗ I4,
J
= iγµγν⊗ σi⊗ I4, J
[µν]i
γ
J
=
µ5i
σ
⊗
µ
⊗
i
γ
, J
2
= iγµγν⊗ I2⊗ I4,
[µν]4
γ
µ54
=
I
⊗
µ
γ
⊗
2
.
2
(3.49)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 109
Ïðè îïðåделении ãðóïïû âíóòренней симметðèè лагранжиана êîì-
ïëåêñíîãî ïîëÿ, ïðåäñòàâленногî â âåùåñòâенной ôîðìå, ïîìèìî (3.36)
íåîáõîäèìî íàëîæèòü äîïîлнительноå условие, êîòîðîå áóäåì назывàòü
условием âåùåñòâåííîñòè. Åãî смысл заклю÷àåòñÿ â òîì, ÷òî преобразî-
âàíèå (3.34) äîëæíî îñòàâëÿòü âåùåñòâенные (мнимые) êîмпоненты âîë-
íîâîé ôункцииΨâåùåñòâенными (мнимыми), â òîì смысле, ÷òî åñëè
âåùåñòâенная (ìíèìàÿ) êîмпонентà, òî è
′
Ψ
= QNMΨMäîëæíà áûòü
N
Ψ
N
âåùåñòâенной (мнимой) êîмпонентîé. Очевидно, ÷òî применять данноå
условие íóæíî â ïðåäñòàâлении (3.43), (3.49). Â ðåçóëüòàòå ïîлучаюòñÿ
ограничения íà параметðû
задаваемых ãенераòорами
ω
îднопараметðè÷åñêèõ преобразîâàíèé,
N
JN(çà исключением åдиничногî
J0= I32), êî-
òîðûå заклю÷àþòñÿ â èõ (параметðîâ) ëèáî âåùåñòâåííîì, ëèáî ÷èñòî
мнимоì õàðàêòåðå.
Лагранжиан
(32)
L
= −¯Ψ(Γ
âåùåñòâенногî ÐÂÓ (3.42) ñ ìàòрицами
жиану âèäà (1.11) èñõîäíîãî êîмплекñíîãî уравнения ÄÊ ñ ìàòрицами
(32)
∂µ+ m)Ψ = −Ψ+η(Γ
µ
(32)
∂µ+ m)Ψ
µ
(32)
Γ
(3.44) эквивàлентен лагран-
µ
(3.50)
Γ
(3.40) ïðè задании ìàòðèöû билинейной ôîðìûηâ (3.50) â âèäå
η = I2⊗ γ4⊗ γ4.
(3.51)
Òребовàíèå(3.36) èíâариантноñòè лагранжиана (3.50) применительно
ê îднопараметðè÷åñêèì преобразîâаниям ïðèâîäèò ê условиям
(ωNJN)+η = −ωNηJ
N
(3.52)
(ïîNñóммировàíèÿ íåò). Íåïîñðåäñòâенная ïðîâåðêà ýòèõ условий ñ
ó÷åòîì ограничений, накладываемых íà параметðû
ω
условием âåùå-
N
ñòâåííîñòè, ïîêàçûâàåò, ÷òî õорошими â óêазанноì смысле ÿâëÿþòñÿ ãå-
íåðàòîðû
J2, J12, J21, J23, J24, J31, J33, J34, J41, J43, J44,
J51, J53, J54, J
152
, J
251
, J
253
, J
254
, J
351
, J
353
, J
354
,
µ
J
, J
, J
451
J
[14]2
453
, J
454
[24]1
, J
, J
[12]2
[24]3
, J
, J
[23]1
[24]4
, J
, J
[23]3
[31]1
, J
, J
[23]4
[34]3
, J
, J
[31]2
[34]4
,
(3.53)
,
110 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò 20 âåùåñòâенных
ω31, ω33, ω34, ω41, ω43, ω44,
ω
ω
[23]1
, ω
[23]3
, ω
[23]4
351
, ω
, ω
[31]2
353
, ω
, ω
[14]2
354
, ω
, ω
[24]1
451
, ω
, ω
453
[24]3
, ω
, ω
è 16 мнимых
ω2, ω12, ω21, ω23, ω24, ω51,
454
[24]4
,
ω53, ω54, ω
ω
[12]2
152
, ω
, ω
[31]1
251
, ω
, ω
253
[34]3
, ω
, ω
254
[34]4
,
параметðîâ.
Ãенераòîðû (3.53) ñ данным набороì параметðîâ образóþò 36-ïàðà-
метричеñêóþ óíèòарную ãðóïïó, ëîêàëüíî èçîморфную îðòîãîíàльной
ãðóïïå
SO(5, 4)
.
Данная ãðóïïà ñóùåñòâåííî øèðå обычно ñîïîñòàâляемой лагранжи-
àíó уравнения ÄÊ 15-параметðè÷åñêîé ãðóïïû âíóòренней симметðèè
SO(4, 2)
,êîòîðàÿñîдержитñÿâ ãðóïïå
SO(5, 4)
âêà÷åñòâå ïîäãðóïïû. Îä-
íàêî ýòîò ðåçóëüòàò íå âлияет íà ïðèâåденноå â íà÷àëå данногî ðàçäåëà
теоретикî-ãðупповîå îáîñíîâàíèå âîçìîæíîñòè îïèñàíèÿ ïîñðåäñòâîì
уравнения ÄÊ диракîâñêèõ частиц ñ âíóòренними степенями ñâîáîäû.
Äействительно, рассмоòðèì систему четыреõ уравнений Диракà
(γµ∂µ+ m)ψn= 0
(3.54)
(n нелоренцевñêèé индекñ, ïðîáегающий çíàчения îò 1 äî 4) è âûáåðåì
лагранжиан системы (3.54) â âèäå
L = L1+ L1− L2− L4=
= −¯ψ1(γµ∂µ+ m)ψ1−¯ψ2(γµ∂µ+ m)ψ2+
+¯ψ3(γµ∂µ+ m)ψ3+¯ψ4(γµ∂µ+ m)ψ4.
Систему (3.54) ìîæíî çàïèñàòü â ôîðìå (1.2) ñ ìàòрицами
(3.55)
Γµ(3.40).
Âåùåñòâенный àíàëîã ïîлученногî òàêèì образîì 16-êîмпонентногî äè-
ðàêîïîдобногî ÐÂÓ â òî÷íîñòè совпадает ñ 32-êîмпонентным ÐÂÓ (3.42)
ñ ìàòрицами
(32)
Γ
(3.44) â базисå (3.43). Ìàòðèöà билинейной ôîðìû
µ
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]