Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы
.pdf
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 21
ãäå знаки
äëÿ ìàòðèöû
(1.36),
(+)è(−)
Γ4(1.23) ðàçмерноñòè
êоррелирóþò между собой. Минимàëüíîå уравнение
10 × 10
ñî спиновыми áëîêàìè
C
C1(1.42) имеет âèä (1.29). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî òребовàíèå äåôè-
нитноñòè энергии îñòàåòñÿ òàêèì æå (1.30), êàê è äëÿ ñêàлярной частицы.
Íåòðóäíî óáåдиться â справåäëèâîñòè неравенствà (1.30) äëÿ рассмàòðè-
âаемогî случая.
Ìàòðèöà
C1(1.42) имеет åдинствåííîå (ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà) íåíó-
ëåâîå собствåííîå çíàчение±1, ò. å. данноå ÐÂÓ описывàåò частицу ñî
спиноì 1 è îäíîé íåíóëåâîé ìассой. Â литераòóðå îíî назывàåòñÿ óðàâ-
нением ÄàôôèíàÊеммера äëÿ спина 1 [37, 38].
Òåíçорная ôîðìóлировкà уравнения ÄàôôèíàÊеммера äëÿ âåêòîð-
íîé частицы òàêîâà:
∂νψ
+ mψµ= 0, −∂µψν+ ∂νψµ+ mψ
[µν]
[µν]
= 0.
(1.43)
Èç системы ïåðâîãî порядкà (1.43) ìîæíî ïîлучить систему âòîðîãî ïî-
ðÿäêà (уравнение Ïðîêà)
( − m2)ψµ= 0, ∂µψµ= 0.
(1.44)
Çàписывàÿ систему (1.43) â ìàòричной ôîðìå è èñïîëüçóÿ òåíçорный
базис
ψ = (ψµ, ψ
)
, ïîлучаем äëÿ ìàòðèö
[µν]
Γµ= e
λ,[λµ]
+ e
Γµвыражåíèå
[λµ],λ
.
(1.45)
0
Íåñëîæíûéðàñ÷åòïîêàçûâàåò, ÷òîàëãåáðàäåсятимерныхìàòðèö Äàôôèíà
Êеммера совпадает ñ ñ àëãеброй (1.24) пятимерных ìàòðèö.
Ïðîстейшее ÐÂÓ äëÿ частицы ñî спиноì
1/2
уравнение Диракà
базирóåòñÿ íà ñõåìå зацеплений
1
(0,
2
â êîòîðîé непривîдимые ïðåäñòàâления
спинорó è сопряжåííîìó спинорó. Ìàòðèöà
) − (
1
, 0),
2
(0, 1/2), (1/2, 0)
Γ4ýòîãî уравнения â базисå
(1.46)
ñîîòâåòñòâóþò
ÃельфандаЯгëîìà çàпишетñÿ òàê:
Γ4= C
1/2
⊗ I2=
0 0 c
0 0 0 c
1/2
c
21
0 c
0 0 0
1/2
21
1/2
12
0 0
0
1/2
12
.
(1.47)
22 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Åñëè ïîòребовàòü, ÷òîáû ÐÂÓ ñ ìàòрицей
Γ4(1.47) áûëî èíâариант-
íûì îòíîсительно ïðîñòранственных îòðàæåíèé, ïîлучим
1/2
c
12
Íå óменьшая общноñòè, ìîæíî ïîëîæèòü
Γ4=
0 I
= c
2
1/2
21
.
1/2
c
12
= σ1⊗ I2.
= 1
, è òîãäà áóäåì иметь
I20
Îñòàльные ìàòðèöû
Γièìåþò ïðè ýòîì âèä
Γ1= σ2⊗ σ1, Γ2= σ2⊗ σ2, Γ3= σ2⊗ σ3,
ãäå
σ
ìàòðèöû Ïàóëè. Ìàòðèöà билинейной ôîðìû совпадает ñ ìàòðè-
i
öåé
Γ4:
η = Γ4.
Ìàòðèöû Диракà óäîâëåòâîðÿþò àëãåáðå
ΓµΓν+ ΓνΓµ= 2δ
µν
(1.48)
(1.49)
(1.50)
(1.51)
(1.52)
è минимàëüíîìó уравнению
Γ2− 1 = 0.
(1.53)
 äàльнейшем, ñëåäóÿ ñëîжившейся òрадиции, ìàòðèöû Диракà áóäåì
обозна÷àòü ÷åðåç
ìàòðèöó
Γ4= γ4ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó
íå èçменяя ïðè ýòîì выражåíèé äëÿ ìàòðèö
γ
. Заметим, ÷òî ñ ïîмощью óíèòарногîпреобразîâàíèÿ
µ
γ4=
U =
1
√
2
I
2
0 −I
I2I
I2−I
0
2
2
2
= σ3⊗ I2,
Γi= γi.
(1.54)
(1.55)
Óсловие ïîëîжительной îïðåделенноñòè заряда (1.17) имеет â ðàñ-
ñìàòðèâàåìîì случае
(n = 0)
âèä
(Sp(γ4η))2− (Spη)2> 0.
(1.56)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 23
Ïîñêîëüêó
Sp
η =Spγ4= 0,
Sp
(γ4η) = 4,
условие (1.56) âûïîлняетñÿ.
 заключение данногî ðàçäåëà óêàæåì íà âàæíîå ñâойствî, êîòîðîå
îáúåдиняет рассмоòренные âûøå ÐÂÓ. Íåòðóäíî видеть, ÷òî ìàòðèöû
Γ
â уравнениях ÄàôôèíàÊеммера äëÿ ñêàлярной è âåêòорной частиц, òàê
æå êàê è â случае уравнения Диракà, ïðèâîäèìû ê äèàãîíàëüíîìó âèäó.
 ðàáîòàõ [8, 9] ïîêазано, ÷òî èç âñåõ êîíå÷íîмерных уравнений ñ ïðè-
âîдимой ê äèàãîíàëüíîìó âèäó ìàòрицей
Γ4òîëüêî уравнения Äàôôèíà
Êеммера èìåþò ïîëîжительно-определенную энергию è òîëüêî уравне-
íèå Диракà имеет ïîëîжительно-определенный заряд. Âîçìîæíû, îäíà-
êî, уравнения ñ ïîëîжительной энергией èëè зарядоì, ó êîòîðûõ
Γ4íå
ïðèâîäèìà ê äèàãîíàëüíîìó âèäó. Íèæå ìû рассмоòðèì примеры òàêèõ
уравнений.
4
1.3. Ê теории частиц ñî спиноì 3/2
Êàê èçâåñòíî, ñðåäè ÐÂÓ äëÿ спина 3/2 наибоëåå óïîòребительными
ÿâëÿþòñÿ уравнения ФирцаПаóëè[3, 40] è РаритаШвингåðà [41, 42], êî-
òîðûì ñîîòâåòñòâóåò ñëåдующая ñõåìà зацеплений непривîдимых ïðåä-
ñòàâлений ãðóïïû Ëоренца:
1
(0,
2
| |
1
(
, 1) − (1,
2
Ñíà÷àëà проанализирóåì ýòó ñõåìó â ïîäõîäå ÃельфандаЯгëîìà ñ
òî÷êè зрения ïîñòðîåíèÿ íà åå îñíîâå âñåâîçìîæíûõ теорий спина 3/2.
Ìàòðèöà
Γ4уравнения (1.2), ñîîòâåòñòâующегî наборó ïðåäñòàâëå-
íèé, ñîдержащихñÿ â (1.57), áóäåò иметь â базисå ÃельфандаЯгëîìà âèä
1/2
C
Γ4=
⊗ I
2
0 C
3/2
0
⊗ I
) − (
4
1
, 0)
2
1
).
2
, C
3/2
=
0 c
3/2
c
43
3/2
34
(1.57)
,
24 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
C
1/2
0 c
1/2
c
21
1/2
c
31
0 c
1/2
1/2
c
12
13
0 0 c
0 0 c
1/2
1/2
c
42
43
0
1/2
24
1/2
34
0
,
(1.58)
ãäå èñïîëüçîâàíà íóмерация
(0,
1
) ∼ 1, (
2
1
, 0) ∼ 2, (
2
1
, 1) ∼ 3, (1,
2
1
) ∼ 4.
2
Ìàòðèöàηимеет àíàлогичную ñòðóêòóðó
η = (η
1/2
⊗ I2) ⊕ (η
причем îòличными îò íóëÿ ýлементàìè åå áëîêîâ
1/2
η
12
= η
1/2
, η
21
1/2
34
= η
1/2
43
3/2
⊗ I4),
= −η
3/2
34
1/2
η
= −η
, η
3/2
ÿâëÿþòñÿ
3/2
.
43
Òребовàíèåèíâариантноñòè теории îòíîсительнопреобразîâàíèéñîá-
ñòâенной ãðóïïû Ëоренца ïðèâîäèò â данноì случае ê ñîîтношениям
3/2
c
34
= 2c
1/2
34
, c
3/2
43
= 2c
1/2
43
.
(1.59)
ÄëÿP-èíâариантноñòè ñòðîÿùåãîñÿ ÐÂÓ íåîáõîäèìî âûïîлнение ðà-
âенств (ñì. условия (1.8)(1.11))
1/2
c
12
1/2
c
13
= c
1/2
24
, c
1/2
31
= c
= c
1/2
21
1/2
42
, c
, c
1/2
34
3/2
34
= c
= c
1/2
43
3/2
43
,
.
(1.60)
Íàêîíåö, âîçìîæíîñòü ïîлучения èñêîìîãî ÐÂÓ èç èíâариантной
ôункции Лагранжа â ñîîòâåòствии ñ (1.14) накладывàåò íà ýлементы
ìàòðèöû
Γ4ограничения
1/2
12
, c
1/2
21
, c
c
c
c
1/2
34
1/2
42
1/2
31
, c
η
η
1/2
21
1/2
12
1/2
−
âåùåñòâенные числа
43
1/2
13
1/2
24
)∗η
)∗η
1/2
43
1/2
34
= (c
= (c
,
(1.61)
,
.
(1.62)
s
c
ij
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 25
Äëÿóдобствàäàльнейших ðàññóжденийперепишем условия(1.62) ñëå-
дующим образîì:
1/2
c
42
Íå óменьшая общноñòè, параметðfìîæíî выбраòü равным
−1
, ÷òî равносильно äâóì ñóùåñòâåííî различным ñïîсобам задания
= (c
1/2
)∗f, c
13
f =
1/2
31
1/2
η
34
1/2
η
12
= (c
=
1/2
)∗f
24
1/2
η
43
.
1/2
η
21
(1.63)
+1
èëè
ìàòðèöûη:
−η
η
1/2
12
1/2
12
= −η
= −η
1/2
34
1/2
34
= η
= η
3/2
34
3/2
34
= 1,
= 1.
(1.64)
(1.65)
Íà ïåðâîì ýòàïå рассмоòðèì âñåâîçìîæíûå ÐÂÓäëÿ спина 3/2, накла-
äûâàÿ ëèøü ограничения (1.59), (1.61), (1.62), ò. å. âêëþ÷àÿ â ìíîæåñòâî
ïîлученных òàêèì образîì ÐÂÓ êàêP-èíâариантные, òàê èP-неинвàðè-
, c
3/2
C
ñóùåñòâóåò, ñ òî÷íîñòüþ äî
c
1/2
34
3/2
= c
=
1/2
43
= 1/2
0 1
1 0
3/2
c
34
, è áëîêè
,
(1.66)
=
антные уравнения. Äëÿ спиновîãî áëîêà
эквивàлентноñòè, åдинственный âариант выбора åãî ýлементîâ:
3/2
c
= 1
. Îòñþäà ñîãласно (1.59) имеем
3/2
, C
принимàþò âèä
C
43
1/2
0 a c 0
b 0 0 d
1/2
C
=
∗
fd
0 0 1/2
0 f c∗1/2 0
ãäå äëÿ êðàòêîñòè ââåäåíû обозначения
c
1/2
12
= a, c
1/2
21
= b, c
1/2
13
= c, c
1/2
24
= d.
×òîáû íà îñíîâå ìàòðèö (1.66) ïîлучить ÐÂÓ, описывающее чистый
ñïèí
3/2
, íåîáõîäèìî ïîòребовàòü обращения â íóëü âñåõ êорней õàðàê-
теристичеñêîãî уравнения äëÿ спиновîãî áëîêà
λ4− λ
2
fc∗d + fcd∗+ ab +
1
+
4
ab −
1
fa | d |2−
2
1
fb | c |2+ | c |2| d |
2
C
1/2
1
+
4
2
= 0.
(1.67)
26 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Êîðíèýòîãî уравнения áóäóò равными íóëþ ïðè âûïîлнении условий
1
4
ab −
1
fa | d |2−
2
1
fb | c |2+ | c |2| d |2= 0,
2
1
fc∗d + fcd∗+ ab +
= 0.
(1.68)
4
1/2
Ñòðóêòóðà(1.66) спиновых áëîêîâ
C
, C
3/2
ìàòðèöû
Γ4ñîîòâåòñòâó-
åò íåêîòîðîìó обобщенноìó ÐÂÓ, èç êîòîðîãî ïðè îïðåделенных ñïîñî-
áàõ выбора параметðîâ
a, b, c, d
ïîлучаюòñÿ ôîðìóлировки òåõ èëè èíûõ
êонкретных уравнений äëÿ частицы ñî спиноì 3/2. Учитывàÿ âîçìîæíî-
ñòè (1.64) è (1.65) задания ìàòðèöû билинейной ôîðìûη, öåëåсообразно
ââåñòè классы ÐÂÓ ïåðâîãî òèïà ñ ìàòрицами
0 a c 0
C
1/2
b 0 0 d
=
d∗0 0 1/2
,
0 c∗1/2 0
c
3/2
=
0 1
(f = +1)
(1.69)
1 0
è ÐÂÓ âòîðîãî òèïà ñ ìàòрицами
0 a c 0
C
1/2
=
b 0 0 d
−d
∗
0 0 1/2
,
0 −c∗1/2 0
3/2
c
=
0 1
(f = −1).
(1.70)
1 0
 случае ÐÂÓ âòîðîãî òèïà системà (1.68) допускàåò решение
a = b = −
êîòîðîå ïðèâîäèò ê ìàòðèöå
0 −1 1 0
1
−1 0 0 1
=
−1 0 0 1
2
C
1/2
1
, c = d =
2
Γ4ñ áëîêàìè
, C
3/2
=
1
,
2
0 1
1 0
0 −1 1 0
.
(1.71)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 27
Íåòðóäíî óáåдиться, ÷òî ïðè ýòîì условия (1.60) òàêæå âûïîëíÿþòñÿ.
Òàêèì образîì, ïîлучаетñÿP-èíâариантноå ÐÂÓ, êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò
собой уравнение ФирцаПаóëè â ôîðìàëèçìå ÃельфандаЯгëîìà.
Ìàòðèöà
Γ4(1.58), (1.70) уравнения ФирцаПаóëè óäîâëåòâоряет ìè-
íèìàëüíîìó уравнению
2
2
Γ
(Γ
4
− 1) = 0
4
(1.72)
è, ñëåäîâàтельно, íå ïðèâîäèìà ê äèàãîíàëüíîìó âèäó. Óсловие äåфинит-
íîñòè заряда (1.17) принимàåò â данноì случае âèä
Sp
Учитывàÿ ÿâíîå выражåíèå äëÿ áëîêîâ
0 1 0 0
1 0 0 0
1/2
η
=
0 0 0 −1
(Γ
2
3
η)
−Sp
4
(Γ
2
2
η)
> 0.
4
1/2
, η
3/2
ìàòðèöû
η
(1.73)
η
, η
3/2
=
0 1
1 0
,
(1.74)
0 0 −1 0
ïîлучаем
Sp
(Γ
2
4
η) = 0,
Sp
3
(Γ
η) = 0 (
4
âåùåñòâåííîå число
).
Òàêèì образîì, условие (1.73) âûïîлняетñÿ.
 ðàìêàõ ÐÂÓ ïåðâîãî òèïà ïîñòроитьP-èíâариантноå ÐÂÓ, допускà-
þùåå лагранжåâó ôîðìóлировкó, нельзя. Äействительно, условия (1.60)
îçíà÷àþò (â случае
2 | c |2+a2+ 1/4 = 0
ïîñêîëüêó параметð
f = +1
), ÷òî
a = b, c = d
, è òîãäà èç (1.68) имеем:
. Íî ýòî ñîîтношение íå ìîæåò áûòü âûïîлнено,
1/2
a = c
, ñîãласно (1.61), ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâенным.
12
Åñëè æå òребовàíèå (1.60) íå накладывàòü, òî ó системы (1.67) ïðè
f = −1
èìåþòñÿ решения
a = b = c = −d =
1
è
a = b = −c = +d =
2
1
,
2
êîòîðûå ïðèâîäÿò ê спиновым áëîêàì
C
1/2
=
0 1 ±1 0
1
1 0 0 ∓1
∓1 0 0 1
2
, C
3/2
=
0 1
1 0
,
(1.75)
0 ±1 1 0
28 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
ãäå знаки
(+)è(−)
ñîîòâåòñòâóþò ïåðâîìó è âòîðîìó решениям ñîîò-
âåòñòâåííî. Ïîлученные óêазанным ñïîñîáîì ÐÂÓ описывàþò частицу
ñî спиноì 3/2, допускàþò лагранжåâó ôîðìóлировкó, íî íå ÿâëÿþòñÿ èí-
âариантными ïî îтношению ê операции ïðîñòранственногî îòðàæåíèÿ.
Àíàëèç ñõåìû зацеплений (1.57) â ïîäõîäå ÃельфандаЯгëîìà ïîç-
âîëÿåò сделаòü îäíî âàæíîå заключение. Â ðàìêàõ ÐÂÓ ïåðâîãî òèïà,
ïîлагая
√
ïðèõîäèì ê ìàòðèöå
a = b = −
, c = d =
2
Γ4, минимàльный ïîëèíîì êîòîðîé имеет âèä (1.53).
1
3
,
(1.76)
2
Òàêîé выбор ñîãëàñóåòñÿ ñ условиями (1.59)(1.61), (1.62) è ïðèâîäèò
ê ÐÂÓ диракîâñêîãî òèïà, описывающему
ïåðåменный ñïèí
1/2, 3/2
. Â
ñïèí-òåíçорной ôîðìå îíî имеет õорошо èçâåстный âèä
(γµ∂µ+ m)αβψ
β
ν
= 0,
(1.77)
ÿâляясь èñõîäíûì äëÿ ïîлучения уравнения РаритаШвингåðà путем íà-
ëîæåíèÿ условий
γνψ
β
= 0, ∂νψ
ν
β
ν
= 0.
(1.78)
Ïîñêîëüêó ýòè условия, âûðåзающие лишний ñïèí 1/2,P-èíâариантны è
íå èçменяюò ñòðóêòóðû (1.64) ìàòðèöû билинейной ôîðìû, òî îчевидно,
÷òî уравнение РаритаШвингåðà îòíîñèòñÿ ê ÐÂÓ ïåðâîãî òèïà. Óравне-
íèå æå ФирцаПаóëè îòíîñèòñÿ êî âòîðîìó òèïó. Òàêèì образîì, обычно
âñòðåчающееñÿ â литераòóðå îòîæäåñòâление ýòèõ уравнений íóждаетñÿ
â критичеñêîì переосмыслении.
1.4. Ðелятивистñêîå âîëíîâîå уравнение äëÿ
частицы ñî спиноì 2
Ïðîстейшее ÐÂÓ äëÿ частицы ñî спиноì 2 базирóåòñÿ íà ñõåìå çà-
цеплений
1
3
(
,
) − (1, 1) − (
2
2
|
3
1
,
)
2
2
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 29
1
1
(
,
)
2
2
(1.79)
|
(0, 0).
Òеорияòàêîéчастицы â базисå ÃельфандаЯгëîìàвпервые áûëà ïðåä-
ëîæåíà â ðàáîòå [43], îсновноå ñîдержание êîòîðîé ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþ-
ùåìó.
Пронуìåðóåì непривîдимые êîмпоненты, фигурирующие â ñõåìå
(1.79):
1
(0, 0) ∼ 1, (
Òîãäà спиновые áëîêè
Γ4=
1
3
(
,
2
2
C0, C1, C2ìàòðèöû
0
C
1
,
) ∼ 2, (1, 1) ∼ 3,
2
2
) ∼ 4 , (
C1⊗ I
3
2
3
1
,
) ∼ 5 .
2
Γ
4
C2⊗ I
5
(1.80)
áóäóò иметь âèä
C0=
C1=
C2=
0 c
1
c
32
0 c
0 c
0 c
0
c
21
0 c
1
23
0 c
1
43
1
53
0 c
2
c
43
2
c
53
0
12
0 c
0
32
0 0
1
c
34
0 0
0 0
2
34
0 0
0 0
0
0
,
23
0
1
35
,
2
c
35
.
Çàпишем õàðàêтеристичеñêèå уравнения ìàòðèö (1.81):
2
0
0
0
λ0[λ
− (c
0
2
2
λ
[λ
− (c
1
1
1
23
c
+ c
12
21
1
32
+ c
1
34
c
0
c
)] = 0,
23
32
1
1
c
+ c
43
35
1
c
53
)] = 0,
(1.81)
(1.82)
30 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
2
2
2
2
λ2[λ
2
− (c
34
c
+ c
43
35
2
c
53
)] = 0.
Äëÿ ïîлучения ÐÂÓ, описывающегî частицу ñî спиноì 2, íåîáõîäèìî,
÷òîáû êîðíè спиновых áëîêîâ
собственные çíàчения áëîêà
1
1
c
c
23
32
C0, C1áûëè равными íóëþ, à íåíóлевые
C2ÿâлялись âåùåñòâенными. Ýòî äàåò
0
0
0
+ c
23
1
35
2
35
0
c
= 0,
32
1
c
= 0,
53
2
c
> 0.
53
+ c
c
c
+ c
12
21
1
1
c
+ c
34
43
2
2
c
c
34
43
(1.83)
Èç условия (1.7) ïîлучаем ограничения
0
c
12
c
12
1
c
c
23
23
c
=
c
1
32
32
c
=
c
= 2i,
2
c
34
c
34
0
21
=√−2,
21
=
0
c
23
c
23
1
c
34
c
34
2
c
43
c
43
=
=
1
c
43
=
c
43
2
c
35
=
c
35
=
c
c
c
c
2
53
53
1
35
35
0
c
32
=√−6,
c
32
c
=
c
=√6.
1
53
53
=√2,
Ñ ó÷åòîì (1.84) ñîîтношения (1.83) ñâîäÿòñÿ ê ñëåдующим:
0
0
c
c
12
21
1
1
c
c
+ c
34
43
2
2
c
c
34
43
+ 3c
1
35
+ c
0
0
c
= 0,
23
32
1
c
53
2
35
− 2c
2
c
53
1
23
> 0.
1
c
= 0,
32
Óсловия (1.8), â ñâîþ î÷åðåäü, äàþò
1
c
34
= ±
1
35
, c
1
43
= ±
1
53
, c
2
34
= ±
2
35
, c
2
43
= ±
2
53
(1.84)
(1.85)
.
(1.86)
Èç (1.85), (1.86) ñëåäóåò:
0
0
c
c
> 0, c
12
21
c
1
34
1
c
43
0
0
c
23
32
> 0, c
< 0, c
2
2
c
34
43
1
23
> 0.
1
c
< 0,
32
(1.87)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]