Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы
.pdf
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 161
è описывàåò ñîñòîÿíèå áåçìассовîãî ïîëÿ ñî спираëüíîñòüþ0.
Òеперьîáðàтимся ê ïîтенциаëó
ψ
. Системà (4.47)(4.49), ïîìèìî èí-
µ
âариантноñòèîòíîсительно êàлибровî÷íûõпреобразîâàíèé(4.12), (4.13),
èíâариантна òàêæå îòíîсительно преобразîâàíèé
ψµ−→ ψ
′
= ψµ+ ∂µΛ,
µ
(4.51)
ãäåΛ произвîльная ñêàлярная ôункция. Èç уравнения (4.49) вытекàåò
уравнение âòîðîãî порядкà
ψµ− ∂µ∂νψν= 0,
(4.52)
êîòîðîå ñ ó÷åòîì êàлибровî÷íîé èíâариантноñòè (4.51) îçíà÷àåò, ÷òî
âåêòîð-ïîтенциаë
ψ
îïðåделяет попере÷íóþ ñîñòàâляющую (спираëü-
µ
íîñòü±1) описываемогî системой (4.47)(4.49) áåçìассовîãî ïîëÿ. Òîãäà
òåíçîð
∂µψν− ∂νψµ≡ F
[µν]
(4.53)
åñòåñòâåííî рассмàòðèâàòü êàê íàïðÿæåííîñòü, ñîîòâåòñòâующую ýòîé
попере÷íîé ñîñòàâляющей, à уравнение (4.49), переписàííîå ñ ó÷åòîì
обозначения (4.53) â âèäå
∂µψ
[µνα]
− F
[να]
= 0,
(4.54)
âûñòупает â êà÷åñòâå уравнения äâèæåíèÿ â системе (4.47)(4.49). Óðàâ-
нение âòîðîãî порядкà (4.50) ñ ó÷åòîì обозначения (4.53) принимàåò âèä
ψ
[µν]
+ F
[µν]
= 0.
(4.55)
Òàêèì образîì, выбор (4.46) параметðîâ â òåíçорной системе (4.41)
ïðèâîäèòê нераспадающейся ïî собственной ãðóïïå Ëоренца теории, äà-
þùåé ñîâìåñòíîå îïèñàíèå áåçìассовых ïîëåé ñî спираëüíîñòüþ0è±1,
ò. å. ïîëÿ íîòîôà (ÊàльбаРамонда) è ýëåêòðîìагнитногî ïîëÿ. Ïðè ýòîì
уравнения (4.54), (4.55) óêàçûâàþò íà неразрывную ñâÿçü данных ïîëåé
ïîдобно òîìó, êàê ñâязаны ýëåêòðè÷åñêàÿ è ìагнитная ñîñòàâляющие â
ìàêñâелловñêîé теории ýëåêòðîìагнитногî ïîëÿ. Правильнее äàæå ãîâî-
ðèòü íå î ñîâìåñòíîì îïèñàíèè óêазанных ïîëåé, à î åäèíîì áåçìассовîì
ïîëå ñ òðåìÿ âîçìîжными çíàчениями спираëüíîñòè
0, ±1
, ïîñðåäñòâîì
162 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
êîòîðîãî è ðåàëèçóåòñÿ взаимодействие между îткрытыми ñòðунами â
ïðîñòранствå ðàçмерноñòè
d = 4
.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ââåñòè èñòîчники â систему (4.47)(4.49), íàäî ó÷åñòü
ñëåдующее îáñòîятельствî. Åñëè рассмàòðèâàåìîå îáúåдиненноå ïîëå
ñâÿçûâàòü ñî взаимодействием îткрытых ñòðóí, òî ñóùåñòâóåò äâà òèïà
èñòî÷íèêîâ: òåíçорный òîê
string
), è âåêòорный òîê
j
, êîòîðûé ñîçäàåòñÿ òåëîì ñòðóíû (
[µν]
body
jµ, ñîçäàâаемый êонцами ñòðóíû, êîòîðûå ðàñ-
ñìàòðèâàþòñÿ êàê òî÷å÷íûå заряженные частицы ñ ïðîòèâîïîëîжными
çíàêàìè заряда. Ìåæäó этими òîêàìè ñóùåñòâóåò ñâÿçü
Èç (4.56) ñëåäóåò, ÷òî òîê
íÿåòñÿ (
∂µj
[µν]
= 0
). Äëÿ замкнутых ñòðóí
jν= 0, ∂µj
Ââîäÿ òîê
j
â уравнение äâèæåíèÿ (4.49), ïîлучим систему
[µν]
∂µψ
[να]
+ ∂αψ
−∂νψα+ ∂αψν+ ∂µψ
jν= ∂µj
jνñîхраняетñÿ (
+ ∂νψ
[µν]
[µν]
[µν]
[αµ]
.
∂νjν= 0
= 0.
∂νψ
+ ψ
[µνα]
[µν]
[µνα]
= j
), à òîê
= 0,
= 0,
,
[να]
j
[µν]
(4.56)
íå ñîõðà-
(4.57)
(4.58)
(4.59)
(4.60)
описывающую îáúåдиненноå ïîëå îткрытîé ñòðóíû ïðè íàличии èñòî÷-
íèêîâ.
 частных случаях, êîãäà рассмàòðèâàåòñÿ взаимодействие òîëüêî çà-
мкнутых ñòðóí èëè òîëüêî ýëåêòðè÷åñêèõ зарядов, ñîñòàâляющие îáú-
åдиненногî ïîëÿ могут описывàòüñÿ ïî îòдельноñòè. Òàê, ïîлагая â (4.60)
ψµ= 0
, ïîлучим систему (4.31), (4.32) äëÿ íîòîôà ñ èñòî÷íèêîì â ïðà-
âîé части уравнения äâèæåíèÿ (4.32) è äîïîлнительным условием (4.58).
Ïðîäèôференцировàâ уравнение (4.60) ïî
∂αè учитывàÿ îïðåделения
(4.53), (4.56), придем ê уравнению
∂νF
[µν]
= jµ.
Рассмàòðèâàÿ уравнение (4.61) ñîâìåñòíî ñ (4.53) è исклю÷àÿ èç ñè-
стемы (4.58)(4.60) âеличины
ψ
[µν]
ψ
,
, îòíîсящиеñÿ ê òåëó ñòðóíû
[µνα]
(4.61)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 163
(ïîëþ íîòîôà), ïîлучим ìàêñâелловñêóþ систему уравнений äëÿ ýëåê-
òðîìагнитногî ïîëÿ ñ èñòî÷íèêîì.
 ìàòричноì ïîäõîäå системà (4.47)(4.49) ñîîòâåòñòâóåò ÐÂÓ
(Γµ∂µ+ Γ
(2)
)ψ = 0.
0
(4.62)
 базисå ÃельфандаЯгëîìà спиновые áëîêè ìàòðèöû
Γ4данногî ÐÂÓ
èìåþò âèä
C1=
0 0 c
0 0 c
1
c
31
1
c
41
1
14
1
24
0 c
0
c
21
=
C0=
1
c
13
1
c
23
1
c
0 0
32
1
c
0 0
42
=
0
12
0
0 0 1 1
0 0 1 −1
1 1 0 0
1 −1 0 0
0 0
0 0
,
,
(4.63)
ãäå èñïîëüçîâàíà íóмерация непривîдимых ïðåäñòàâлений
(0, 0) ∼ 1, (0, 0)′∼ 2, (0, 1) ∼ 3, (1, 0) ∼ 4,
âõîдящих â ñõåìó зацеплений (4.37). Èç (4.63) ñëåäóåò, ÷òî áåçìассовîå
ïîëå, описывàåìîå ýòèì ÐÂÓ, переноñèò ñïèí 1, причем собственные çíà-
чения
±1
спиновîãî áëîêà
C1äâóêðàòíî âûðîждены. Â êонтекñòå âñåãî
âûøåñêазанногî òàêîå âûðîждение ñîîòâåòñòâóåò ñîâìåñòíîìó îïèñà-
íèþ ýëåêòðîìагнитногî ïîëÿ (ôîòîíà) è ïîëÿ ÊàльбаРамонда (íîòîôà)
êàê ñîñòàâляющих åдиногî áåçìассовîãî ïîëÿ íà îñíîâå íå распадающе-
ãîñÿ ïî ãðóïïå Ëоренца обобщенногî ÐÂÓ (4.62) ñî ñõåìîé зацеплений
(4.37). Ïðîåêтивная ìàòðèöà
(2)
Γ
îáåñïå÷èâàåò âûðåзание òðåõ èç øåñòè
0
ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûõ çäåñü ñîñòîÿíèé ñî спиноì 1, îñòàâëÿÿ â ñîâî-
êóïíîñòè òðè степени ñâîáîäû íà ôîòîí è íîòîô.
Рассмоòðèì åùå íåêîòîðûå âîçìîæíîñòè îïèñàíèÿ áåçìассовых ïî-
ëåé, êîòîðûå ïðåäîñòàâëÿåò ñõåìà зацеплений (4.37). Ïîлагая â (4.41)
a = b = 0, c = 1,
ïîлучим систему òåíçорных уравнений
∂µψ
−∂νψα+ ∂αψν+ ∂µψ
[να]
+ ∂αψ
[µν]
[µνα]
∂νψ
+ ∂νψ
+ ψ
[µν]
[αµ]
[να]
= 0,
= 0,
= 0.
(4.64)
(4.65)
(4.66)
164 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Çäåñü êîмпоненты
ψµ, ψ
âûñòóïàþò â êà÷åñòâå ïîтенциаëîâ, à
[µνα]
ψ
[µν]
â êà÷åñòâå íàïðÿæåííîñòè. Ìàòричный эквивàëåíò ýòîé системы имеет
âèä
(Γµ∂µ+ Γ
(3)
)ψ = 0.
0
(4.67)
Системà (4.64)(4.66) èíâариантна îòíîсительно êàлибровî÷íûõ ïðå-
образîâàíèé
ψµ→ ψ
′
= ψµ+ Λµ, ψ
µ
ãäå произвîë â выборе ôункций
−∂νΛα+ ∂αΛµ+ ∂µΛ
Èç âîñüìè êîмпонент ïîтенциаëîâ
[µνα]
Λµ, Λ
′
→ ψ
[µνα]
[µνα]
ψµ, ψ
= ψ
[µνα]
[µνα]
ограничен условием
= 0.
êàлибровкà (4.68), (4.69)
[µνα]
+ Λ
[µνα]
,
(4.68)
(4.69)
îñòàâëÿåò íåзависимыми ëèøü äâå. Данная теория ïðåäñòàâëÿåò собой èç-
âåстную äâóõïîтенциальную ôîðìóлировкó ýëåêòðîдинамики [130], êî-
òîðàÿ â îòñóòствие èñòî÷íèêîâ эквивàлентна îднопотенциальной (ìàêñ-
âелловñêîé) ôîðìóлировкå ýëåêòðîìагнитногî ïîëÿ.
 случае, êîãäà
a = b = 1, c = 0,
(4.70)
системà (4.41) è ìàòричноå ÐÂÓ (4.42) принимàþò ñîîòâåòñòâåííî âèä
∂νψ
∂µψ
[να]
+ ∂αψ
[µν]
+ ∂νψ
[αµ]
−∂νψα+ ∂αψν+ ∂µψ
(Γµ∂µ+ Γ
Âсистеме (4.71)(4.73)ïîтенциаëàìè ÿâëÿþòñÿ êîмпоненты òåíçîðà
à íàïðÿæåííîñòÿìè âåêòîð
ψ
µ
è òåíçîð
[µν]
(1)
0
+ ψµ= 0,
+ ψ
[µνα]
[µνα]
(2)
+ Γ
0
ψ
[µνα]
(4.71)
= 0,
= 0;
)ψ = 0.
(4.72)
(4.73)
(4.74)
ψ
[µν]
. Óравнения (4.71), (4.72)
âûñòóïàþò â êà÷åñòâå îïðåделений íàïðÿæåííîñòåé ÷åðåç ïîтенциаëû, à
(4.73) ÿâëÿåòñÿ уравнением äâèæåíèÿ. Èç системы (4.71)(4.73) вытекàåò
уравнение Äàëàìáåðà äëÿ ïîтенциаëà
ψ
[µν]
ψ
= 0.
[µν]
(4.75)
,
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 165
Êðîìå òîãî, ýòà системà èíâариантна îòíîсительно êàлибровî÷íûõ ïðå-
образîâàíèé (4.12), (4.13). Óравнение (4.75) è êàлибровî÷íàÿ èíâариант-
íîñòü (4.12), (4.13) îçíà÷àþò, ÷òî выбор параметðîâ (4.70) ïðèâîäèò ê
теории áåçìассовîé частицы ñî спираëüíîñòüþ0è äâóêðàòíûì набороì
ñîñòîÿíèé, ñâязанных ñî спиновым áëîêîì
C1â ìàòричной ôîðìóëè-
ðîâêå теории. Òàêèì образîì, системà (4.71)(4.73) îáúåдиняет â îäíîì
нераспадающемся ÐÂÓ îïèñàíèå íîòîôà ÎãèâåöêîãîÏîëóбариновà (ïî-
ëÿ ÊàльбаРамонда) è äóàльногî íîòîôà.
Íàêîíåö, выбор параметðîâ
a = 1, b = c = 0
(4.76)
â системе (4.41) ïðèâîäèò ê îïèñàíèþ îáúåдиненногî áåçìассовîãî ïîëÿ
ñî спираëüíîñòüþ
0, ±1
, äóàëüíî сопряженногî ïî îтношению ê ïîëþ,
описывàåìîìó системой (4.47)(4.49): åñëè ïîñëåäíÿÿ описывàåò íîòîô
ÎãèâåöêîãîÏîëóбариновà è ìàêñâелловñêîå ýëåêòðîìагнитноå ïîëå, òî
ïðè выборе параметðîâ (4.76) ìû ïîлучаем îïèñàíèå äóàльногî íîòîôà
è ýëåêòðîìагнитногî ïîëÿ ñ ïñåâäîâåêòорным ïîтенциаëîì.
Îïðåделенные âîçìîæíîñòè â îïèñàíèè áåçìассовых ïîëåé ïðåäî-
ñòàâëÿåò òàêæå ñõåìà зацеплений [131]
(0, 0)
|
1
(0, 1) − (
1
,
2
2
) − (1, 0),
(4.77)
êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ñâîåãî ðîäà расширением ñõåìû (1.35) çà ñ÷åò âêëþ÷å-
íèÿâ ïîñëåäíþþ ñêàлярногî ïðåäñòàâления
(0, 0)
.Ýòîé ñõåìåзацеплений
ñîîòâåòñòâóåò òåíçорная системà уравнений наибоëåå общегî âèäà
α∂µψµ+ aψ0= 0,
β∗∂νψ
β(−∂µψν+ ∂νψµ) + cψ
+ α∗∂µψ0+ bψµ= 0,
[µν]
[µν]
= 0
è ÐÂÓ âèäà (4.42), â êîòîðîì ïðè выборе базисà
ψ = (ψ0, ψµ, ψ
[µν]
)
(4.78)
(4.79)
(4.80)
(4.81)
166 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
(1)
(2)
ìàòðèöû
Γ
, Γ
0
(1)
Γ
=
0
, Γ
0
a 0 0
0 040
0 0 0
(3)
èìåþò ñêàлярно-бëî÷íóþ ñòðóêòóðó
0
0 0 0
6
, Γ
(2)
0
=
0 bI40
0 0 0
6
0 0 0
(3)
Γ
=
0
0 040
0 0 cI
6
,
(4.82)
(выражåíèÿäëÿ ìàòðèö
Γµðàçмерноñòè
11×11
âбазисå (4.81) выписывàòü
íå áóäåì).
Рассмоòðèì случай, êîãäà
a = b = 0, α = β = c = 1.
Ïîлучим систему
â êîòîðîé âеличины
∂µψµ= 0,
∂νψ
+ ∂µψ0= 0,
[µν]
−∂µψν+ ∂νψµ+ ψ
ψ
è
ψ
0
играюò ðîëü ïîтенциаëîâ,
µ
[µν]
= 0,
ψ
[µν]
(4.83)
(4.84)
(4.85)
íàïðÿ-
æåííîñòü, уравнение (4.85) уравнение äâèæåíèÿ è (4.83) условие
êàлибровки Ëоренца, êîòîðîå ñîдержитñÿ â ñàìîé системе â êà÷åñòâå ðàâ-
ноправногî уравнения. Системà (4.83)(4.85) èíâариантна îòíîсительно
êàлибровî÷íûõ преобразîâàíèé âèäà (4.51), ãäå произвîë â выборе ôóíê-
öèèΛограничен условием
Λ = 0.
(4.86)
Óêазанная êàлибровî÷íàÿ èíâариантноñòü ñîâìåñòíî ñ условием (4.83)
ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî èç четыреõ êîмпонент âåêòîð-ïîтенциаëà
ψ
, óäî-
µ
âëåòâоряющегî уравнению âòîðîãî порядкà
ψµ− ∂µψ0= 0,
(4.87)
íåзависимыми îñòàþòñÿ òîëüêî äâå. Åùå îäíà степень ñâîáîäû ñâязана
ñî ñêàлярной ôункцией
ψ
, ïîдчиняющейся уравнению âòîðîãî порядкà
0
ψ0= 0.
(4.88)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 167
Óравнения (4.87), (4.88) ïîêàçûâàþò, ÷òî çäåñü ìû имеем äåëî ñ äâóìÿ
взаимоñâязанными áåçìассовыми ïîëÿìè âåêòорным ñî спираëüíîñòüþ
±1
è ñêàлярным ñî спираëüíîñòüþ0. Ïðè ýòîì градиент ñêàлярногî ïîëÿ
играет ðîëü (âíóòреннегî) èñòî÷íèêà äëÿ âåêòорногî ïîëÿ.
Возьмем теперь â (4.78)(4.80)
α = β = a = c = 1, b = 0.
Имеем систему
∂µψµ+ ψ0= 0,
∂νψ
+ ∂µψ0= 0,
[µν]
−∂µψν+ ∂νψµ+ ψ
[µν]
= 0,
(4.89)
(4.90)
(4.91)
èç êîòîðîéíåòðóäíî ïîлучить уравнение Äàëàìáåðà (4.88) äëÿ ñêàлярной
ôункции
ψ
è òàêîå æå уравнение äëÿ
0
ψ
. Системà (4.89)(4.91) îòëè÷à-
µ
åòñÿ îò системы (4.83)(4.85) òîëüêî âèäîì ïåðâîãî уравнения, êîòîðîå
â данноì случае ìîæíî рассмàòðèâàòü êàê ñîдержащееñÿ â ñàìîé систе-
ìå äîïîлнительноå условие òèïà êàлибровки Фейнмàíà. Ïîýòîìó ìîæåò
ñîçäàòüñÿ âïå÷àòление, ÷òî ïî ñâîåìó физичеñêîìó ñîдержанию ýòè ñè-
стемы эквивàлентны. Ïîясним, ÷òî имеетñÿ â âèäó.
Òðóäíîñòè êâàíòîâîãî îïèñàíèÿ áåçìассовых ïîëåé îáусловëåíû íà-
личием íåфизичеñêèõ степеней ñâîáîäû ó ïîтенциаëîâ, êîòîðûå ââîäÿò-
ñÿ â теорию äëÿ äîñòèæåíèÿ åå явной èíâариантноñòè. Íà классичеñêîì
уровне лишние степени ñâîáîäûóñòраняюòñÿ добавлением ê уравнениям
äâèæåíèÿ ïîäõîдящегî äîïîлнительногî условия. Äëÿ ýëåêòðîìагнитно-
ãî ïîëÿ ýòî обычно лоренцевñêàÿ êàлибровкà (4.83). Â êâàíòîâîé òåî-
ˆ
ðèè
ψ
операòîðû, ïîдчиняющиеñÿ îïðåделенным êîììóòационным
µ
ñîîтношениям, è перенеñåíèå íà íèõ условия (4.83) ïðèâîäèò ê ïðîòè-
âîðå÷èÿì [58, 132]. Ñïîñîá снять óêазанные ïðîòèâîðå÷èÿ впервые áûë
ïðåäëîæåí Ý. Ôåðìè [133] è заклю÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû ïîòребовàòü âû-
ïîлнения условия
ˆ
∂
ψµΨ = 0
µ
íà физичеñêèõ ñîñòîяниях гильбåðòîâà ïðîñòранствàΨ.
(4.92)
168 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Âïîñëåдствии выяснилоñü [134], ÷òî условие (4.92) ÿâëÿåòñÿ слишкîì
æåстким è ìîæåò áûòü заменено íà áîëåå слабоå
(+)
ˆ
∂
ψ
ãäå операòîðû
Ψ = 0,
µ
µ
(+)
ˆ
ψ
ñîдержаò òîëüêî ïîëîжительно-частîòíûå части. Îä-
µ
(4.93)
íàêî è â ýòîé ñõåìå обнарóжились íåäîñòàòêè, заключающиеñÿ â ïîÿâëå-
íèèâ физичеñêîìïîäïðîñòранствå âåêòîðîâñîñòîÿíèéñ íóëåâîéíîðìîé,
êîòîðûå íå могут иметь физичеñêîãî смысла.
Îäèí èç ñïîсобов обойти óêазанные òðóäíîñòè ñîñòîèò âî ââåдении
â классичеñêóþ теорию äîïîлнительных степеней ñâîáîäû, íàпример,
ñêàлярногî ïîëÿ, êîòîðûå ïðè êâàíòîâàíèè êîмпенсирóþò íåфизичеñêèå
степени ñâîáîäû âåêòîð-ïîтенциаëà
ψµ(x)
. Ïîêàæåì, ÷òî именно òàêîé
ïîäõîä ïîçâîëÿåò îñóùåствить системà (4.89)(4.91) [129].
Прежде âñåãî, ëåãêî óáåдиться, ÷òî ôункции
ψµ(x), ψ0(x)
, фигури-
ðующие â данной системе, óäîâëåòâîðÿþò уравнениям Äàëàìáåðà (4.11),
(4.88), ò. å. описывàþò действительно áåçìассовîå ïîëå. Общие решения
ýòèõ уравнений ìîæíî ïðåäñòавить â âèäå ñуперпозиции ïëîñêèõ âîëí
ψµ(x) =
ψ0(x) =
Nk(Cµke
k
Nk(Bke
k
ikx
ikx
+
+
C
+
−ikx
e
+
B
µk
),
−ikx
e
k
).
(4.94)
(4.95)
Çäåñü
Nk íîðмировî÷íûé ìíîжитель (ïðè данноìk);
амплитóäû âîëí;
âîëíîâîãî âåêòîðà
kx = kµxµ ñêàлярноå произвåдение четырехмерногî
kµ= (k, iω)
, óäîâëåòâоряющегî условию
Cµk,
C
+
µk
k2= kµkµ=k2− ω2= 0 ,
è четырехмерногî радиус-вåêòîðà
xµ= (r, it )
.
Äëÿ исключения íåфизичеñêèõ решений системы (4.89)(4.91) разло-
æèì амплитóäû
Cµk,
+
ïî ïîëíîìó базисó
C
µk
(1)
e
µ
, e
(2)
µ
, kµ, n
µ
ñî ñâойствàìè [121]
(i)
(j)
e
e
= δij, e
µ
µ
(i)
kµ= 0, e
µ
(i)
nµ= 0, n
µ
2
= −1.
µ
, Bk,
(4.96)
(4.97)
(4.98)
B
+
k
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 169
Îñîáåííîñòüþ ýòîãî базисà ÿâëÿåòñÿ åãî íåîðòîãîíàëüíîñòü, òàê êàê îí
ñîдержит èçîòропный âåêòîð
kµè
kµnµ= 0
. Èñêîìîå разлоæåíèå ìîæåò
áûòü çàïèñàíî â âèäå
2
Cµk=
+
C
µk
=
2
i=1
i=1
+
c
ckie
ki
(i)
+ ck3kµ+ ck0nµ,
µ
+
(i)
c
e
+
k3kµ
µ
+
+
c
k0nµ
(4.99)
.
(4.100)
Äàëåå учтем, ÷òî системà (4.89)(4.91) èíâариантна îòíîсительно êà-
либровî÷íûõ преобразîâàíèé (4.51), ãäå произвîë â выборе êàлибровî÷-
íîé ôункцииΛограничен условием (4.86). Óравнение(4.86) îçíà÷àåò, ÷òî
ôункциюΛòàêæå ìîæíî ïðåäñòавить â âèäå разлоæåíèÿ, àíàлогичногî
(4.98), (4.100)
λk,
Λ(x) =
+
произвîльные амплитóäû. Ïîäñòàâëÿÿ выражåíèÿ (4.98)(4.101)
λ
k
Nk(λke
k
ikx
+
+
−ikx
e
λ
k
),
(4.101)
â (4.51), ïîлучим êàлибровî÷íûå преобразîâàíèÿ äëÿ амплитóä
Cµk−→ Cµk+ iλkkµ,
C
+
µk
−→
+
C
èç êîòîðûõñëåäóåò, ÷òî амплитóäû
íåñóùåñòâенных слагаемых
iλkkµè
µk
−i
Cµk,
+
,
λ
kkµ
+
îïðåделяюòñÿñ òî÷íîñòüþ äî
C
µk
+
−i
ñîîòâåòñòâåííî. Â разло-
λ
kkµ
(4.102)
(4.103)
æениях (4.98), (4.100) ðîëü òàêèõ íåñóùåñòâенных слагаемых âûïîëíÿþò
члены
ck3kµè
+
c
. Отбрасывàÿ èõ, ïîлучим äëÿ
k3kµ
2
Cµk=
+
=
C
µk
i=1
2
i=1
+
c
ckie
ki
(i)
µ
(i)
e
µ
+ ck0nµ,
+
c
+
k0nµ
.
Cµk,
+
выражåíèÿ
C
µk
(4.104)
(4.105)
Îêîí÷àтельные выражåíèÿ äëÿ амплитóä классичеñêîãîïîëÿ ïðåäñòà-
âèì, перейдя â обычный îðòîíîðмированный базис
(λ)
e
µ
= δµλ,
(4.106)
170 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
первые äâà îðòà êîòîðîãî
зациям è совпадаюò ñ îðòàìè
÷åòâåðòûé (
ψµ(x)
Âåêòîðû
λ = 4
) ïðîäîльной è ñêàлярной ïîляризациям ïîтенциаëà
. Ïðè ýòîì âûïîëíÿþòñÿ ñîîтношения
(λ)
e
µ
kµ, nµâ базисå (4.106), (4.107) èìåþò êîмпоненты
e
(λ′)
µ
(λ = 1, 2)
(i)
e
(
µ
′
= δ
, e
λλ
ñîîòâåòñòâóþò попере÷íûì ïîëÿðè-
i = 1 , 2
) базисà (4.97), òретий (
(λ)
(λ)
e
ν
= δµν.
µ
kµ= (0, 0, ω, iω) , nµ= (0, 0, 0, i),
+
(4.105) принимàþò âèä
C
µk
(λ)
ckλe
,
µ
ck4= ick0,
+
=
C
µk
+
c
= i
k4
λ=1,2,4
+
c
.
k0
+
(λ)
c
e
,
kλ
µ
à амплитóäû
Cµk(4.104),
Cµk=
λ=1,2,4
ãäå ââåäåíû обозначения
Лагранжиан системы (4.89)(4.91) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí ñëåäóþ-
ùèì ñïîñîáîì:
L =
1
2
ψ
− ψµ∂µψ0−
0
2
1
ψ
(∂µψν− ∂νψµ) +
[µν]
2
1
2
ψ
.
[µν]
4
λ = 3
(4.107)
(4.108)
(4.109)
(4.110)
) è
Îòñþäà äëÿ òåíçîðà энергии-импуëüñà
è åãî êîмпоненты
Tµν= −ψµ∂νψ0− ψ
Tµν=
∂L
∂(∂ψA/∂xµ)
T00ñëåäóþò выражåíèÿ
T44= −ψ4∂4ψ0− ψ
∂ψ
A
− δµνL
ν
∂x
∂νψα− δµνL,
[µα]
∂4ψα− L.
[4α]
(4.111)
(4.112)
(4.113)
Ïîäñòàâëÿÿ â (4.113) разлоæåíèÿ (4.94), (4.95) ñ ó÷åòîì (4.109) è ââîäÿ
âìåñòî амплитóä
Bk,
+
ñêàлярногî ïîëÿ амплитóäû
B
k
+
bk=
B
k
ω
+
B
,
b
k
=
k
ω
,
(4.114)
ïîлучим äëÿ энергии
E =T44d3x
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]