Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы
.pdf
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 261
1) ïîñêîëüêó ìîäåëü ïðåдназна÷åíàäëÿ îïèñàíèÿ диракîâñêèõчастиц,
íà ïîñëåдующих ýòàïàõ (ââåдение взаимодействия, âòоричноå êâàíòîâà-
íèå è ò. ä.) ìîæíî забыть î åå òåíçîðíîì происõîждении è èñõîäèòü èç
íåîáõîäèìîñòè ñóùåñòâîâàíèÿ диракîâñêîãî ïðåäåëà; â ýòîì случае ñè-
стемы (3.157), (3.167) ñ
m = 0
âûñòóïàþò ëèøü â êà÷åñòâå ôîðìàльной
ãåîìåòðè÷åñêîé îсновы ñâîáîäíîé теории;
2) íà различных ýòàïàõ ïîñòðîåíèÿ решетî÷íîé теории ñîхраняет-
ñÿ åå äâойственная òðàêòîâêà, ò. å. ïðåäïîлагаетñÿ ñóùåñòâîâàíèå обоих
ïðåделов òåíçîðíîãî è диракîâñêîãî; îчевидно, ÷òî òàêîé ïîäõîä íà-
лагает îïðåделенные ограничения íà ñòðóêòóðó ìîäåëè, åå физичеñêèå
ñëåдствия è ÿâëÿåòñÿ áîëåå ïîñëåäîâàтельной ðåàлизацией èäåè ãåîìåò-
ðèçîâанногî îïèñàíèÿ решетî÷íûõ ôåðмионов.
Проанализирóåì ñ òî÷êè зрения âòîðîãî ïîäõîäà òðàêòîâêó âíóòðåí-
íèõ степеней ñâîáîäû ôåðмионов, описываемых исслеäóемыми решетî÷-
íûìè системàìè. Äëÿ ýòîãî ââåäåì â рассмоòрение ïðîåêтивные опера-
òîðû
P±ñîãласно îïðåделению (6.51), ãäå
R = γ5⊗ γ5⊗ In.
(6.93)
ÌàòðèöàR(6.93) êîммутирóåò ñ преобразîâаниями ïåðåñòàíîâîê (6.79),
антикîммутирóåò ñ ìàòрицами
операòîðîìˆK
âèäà (6.52) применительно ê рассмàòðèâаемым системàì.
Γµ(6.74),
Γµ(6.76) è, ñëåäîâàтельно, ñ
Преобразóåì решетî÷íûé лагранжиан âèäà (6.21) ê ôîðìå (6.59) àíàëî-
гично òîìó, êàê ýòî äåëàëîñü äëÿ решетî÷íîãî уравнения ÄÊ.
Ñ ïîмощью ïðîåêтивных операòîðîâ (6.51), (6.93) èñõîäíàÿ
16n
-êîì-
понентная решетî÷íàÿ системà разбивàåòñÿ íà äâå8n-êîмпонентные ñè-
стемы âèäà (6.60), êаждая èç êîòîðûõîáладает симметðèåé ïåðåñòàíîâîê,
à òàêæå êèðàльноподобной è âíóòренней
SU(n)
-симметðèåé. Справåä-
ëèâîñòü ïîñëåäíåãî óòâерждения ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ìàòðèöàR(6.93)
êîммутирóåò ñ ìàòрицами преобразîâàíèé ñîîòâåòñòâующих симметðèé.
Äëÿ óñòàíîâления êонтинуàльных òåíçорных àíàëîãîâ ïîлученных
âûøåóêазанным ñïîñîáîì8n-êîмпонентных решетî÷íûõ уравнений îá-
ðàтимся ê системàì (3.157) è (3.167), ïîëîæèâ â íèõ
èç íèõ, êîòîðàÿñîîòâåòñòâóåòслучаю
n = 2
, распадаетñÿ â смысле ïîëíîé
m = 0
. Òîãäà ïåðâàÿ
ãðóïïû Ëоренца íà ïîдсистемы
∂νφ
ν[αβ]
= 0,
262 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
+∂βφ
+∂
∂νφ
∂
ˇ
φ
β
ˇ
φ
ν
α[µν]
α[µν]
([µν][αβ])
([µν][αβ])
−δµβ∂
Âòîðàÿ(
n = 3
) распадаетñÿ íà èíâариантные â îтношении ïîëíîé ãðóïïû
Ëоренца ïîдсистемы
−∂µφ
−∂
+ iε
φ
µ
− iε
ν[αβ]
ˇ
ν[αβ]
µνηξ∂η
µνηξ∂η
1
+
2
−δµβ∂νφ
1
+
2
ˇ
φ
ν
[να]
+ ∂νφ
∂
ν
+ ∂
(∂βφ
[να]
(∂
φ
β
) − iε
φ
ξ[αβ]
ˇ
φ
ν[αβ]
ˇ
φ
ν
ˇ
φ
ξ[αβ]
[αµ]
) + iε
ˇ
[αµ]
µ[αβ]
+ iε
= 0,
µ[αβ]
− iε
− ∂αφ
αβην∂η
− ∂
α
αβην∂η
− ∂αφ
αβηξ∂η
− ∂
φ
α
αβηξ∂η
[βµ]
φ
[νµ]
ˇ
φ
[βµ]
ˇ
φ
[νµ]
+
β[µν]
φ
ξ[µν]
ˇ
+
β[µν]
ˇ
φ
ξ[µν]
+ δµα∂νφ
= 0,
+ δµα∂
ν
= 0.
= 0,
= 0;
[νβ]
ˇ
φ
[νβ]
(6.94)
−
−
(6.95)
+δµα∂νΦ
−∂ηΦ
∂νΦ
[ην][ηβ]
∂
Φ
ν
∂λΦ
ν[ηβ]
∂
∂νΦ
[αν][αβ]
+ ∂αΦ
1
[µν][αβ]
− δµβ∂νΦ
ˇ
[µν][αβ]
−iε
µαβρ∂ν
+ ∂µΦ
∂
+ ∂
+δµα∂
ν
µ
ˇ
Φ
[αβ]
[ην][ηα]
ˇ
Φ
[αν][αβ]
ˇ
Φ
[αβ]
ˇ
Φ
ν
[ην][ηβ]
[ην][ηρ]
−
3
+ iε
1
−
3
− iε
(δµα∂ηΦ
µαβρ∂ν
ˇ
+ ∂
Φ
α
(δµα∂
− δµβ∂
µαβρ∂η
1
+
λ[αβ]
(∂αΦβ− ∂βΦα− iε
3
1
+
(2∂νΦβ+ 2∂βΦν− δνβ∂ρΦρ) − iε
3
ˇ
Φ
λ
λ[αβ]
+
1
3
(∂
ˇ
Φβ− ∂
α
ˇ
Φα+ iε
β
[αβ]
[αβ]
Φ
η
[ηβ]
Φ
ˇ
[ηβ]
ˇ
Φ
ν
ˇ
Φ
= 0,
− δµβ∂ηΦ
+ iε
[ην][ηρ]
= 0,
− δµβ∂
−
[ην][ηα]
) = 0;
[ηρ]
αβλρ∂λΦρ
ρνηξ∂η
ˇ
αβλρ∂λ
Φρ) = 0,
[ηα]
µαβρ∂η
ˇ
Φ
η
[ηα]
) = 0,
Φ
+
+
ξ[ρβ]
Φ
[ηρ]
) = 0,
) = 0,
(6.96)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 263
−∂
ˇ
Φ
η
ν[ηβ]
+
1
3
(2∂
ˇ
Φβ+ 2∂
ν
ˇ
Φν− δνβ∂
β
+iε
ρνηξ∂η
Φ
ˇ
ξ[ρβ]
ˇ
Φρ) +
ρ
) = 0.
(6.97)
Перевîäÿ ìàòðèöóR(6.93) èç ôåðмионногî базисà â òåíçорный, ìîæ-
íî óáåдиться, ÷òî ïðîåêтивные операòîðû
èP-èíâариантным образîì выделяюò èç системы (3.157) ñ
системы (6.94), (6.95), à ïðè
n = 3
èç (3.167) ïîдсистемы (6.96), (6.97),
P±(6.51) ïðè
n = 2
m = 0
лоренц-
ïîä-
êîòîðûå, ñëåäîâàтельно, è ÿâëÿþòñÿ êонтинуàльными òåíçорными àíàëî-
ãàìè îáñóждаемых8n-êîмпонентных решетî÷íûõ уравнений.
Íåñëîæíûé àíàëèç ñõåì зацеплений непривîдимых ïðåäñòàâлений
ãðóïïûËоренца,ñîîòâåòñòâующихáåçìассовымуравнениям (6.94), (6.95)
è (6.96), (6.97) ïîêàçûâàåò, ÷òî распадение ïîñëåäíèõ â смысле ïîë-
íîé ãðóïïû Ëоренца íà уравнения меньшей ðàçмерноñòè íå допускà-
åòñÿ. Ñ òî÷êè зрения ïîäõîäà теории ÐÂÓ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êаждая èç
8n
-êîмпонентных решетî÷íûõ систем описывàåò îäíî ïîêîлениеôåðìè-
îíîâ. Ïðèñóùóþ æå èì
SU(n)
-симметðèþ, êîòîðàÿ â îòличие îò симмет-
ðèè àðîìàòîâ íå èñ÷åçàåò íà решеткå, åñòåñòâåííî ñâÿçàòü ñ êàлибровî÷-
íîé степенью ñâîáîäû.
Ïðè ýòîì âàæíî ïîдчеркнуть, ÷òî êàлибровî÷íàÿ симметðèÿ имеет
çäåñü ãåîìåòðè÷åñêîå происõîждение, ò. å. íå ñâязана ñ ââåдением â òåî-
ðèþ ñâîáîäíîãî индекñà нелоренцевñêîãî òèïà, êàê ýòî делаетñÿ â îáùå-
принятîì ïîäõîäå.
Íàêîíåö, îтметим òîò ñóùåñòâенный, õîòÿ è îчевидный ìîìåíò, ÷òî
ðåдукция èñõîäíûõ 32- è 48-êîмпонентной решетî÷íûõ систем, îñó-
ùåñòâëÿåìàÿ ïîñðåäñòâîì ïðîåêтивных операòîðîâ (6.51), (6.93), íîñèò
релятивистñêè-èíâариантный (опять òàêè â смысле ïîëíîé ãðóïïû Ëî-
ренца) õàðàêòåð â îтношении диракîâñêîãî ïðåäåëà, ïîñêîëüêó ýòè îïå-
ðàòîðû êîммутирóþò ñ операòîðîìP-èíâерсии è ñ лоренцевскими ãåíå-
ðàòорами
16n
-êîмпонентной теории Диракà, имеющими â èñïîëüçóåìîì
â данноì ðàçäåëå ôåðмионноì базисå ñòðóêòóðó
1
Jµν=
γ[µγν]⊗ I4n.
4
264 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
6.6. Ãåîìåòðèçîванное ââåдение ìàññû è êà-
либроâî÷íîãî взаимîдействия â решетî÷-
íîé ìîäåëè
Îáñóäèì ñ позиций, èçëîæенных â ïðåдыдущем ðàçäåëå, âîïðîñ î
ââåдении ìàññû â решетî÷íóþ теорию. Äëÿ âêëþчения â åдиную ñõåìó
ðàññóждений наряду ñ32- è48-êîмпонентной системàìè òàêæå è ïîëÿ ÄÊ
áóäåì ïîëàãàòü âî âñåõ ïîñëåдующих ôîðìóëàõ
n = 1
ñîîòâåòñòâóåò16-êîмпонентноìó уравнению ÄÊ.
Ìîäåëü äâóõ ïîêîлений, ñ êîòîðîé ìû имеем äåëî, ïðåäïîлагает âîç-
ìîæíîñòü ïîлучения, ïî крайней ìåðå, äâóõ çíàчений ìàññû. Îäíàêî, êàê
îòìå÷àëîñü â ðàçäåëå 4.2, ââîäÿ â áåçìассовóþ систему ÄÊ â êонтинууìå
òîëüêî äèàãîíàльные ìассовые члены (члены, ñîîòâåòñòâующие äèàãî-
íàëüíîìó âèäó ìàòðèöû
Γ0â ÐÂÓ (1.1)), ìîæíî ïîлучить íå áîëåå îäíîãî
çíàчения ìàññû.
Àíàлогичная ñèòóàöèÿ õàðàêтерна è äëÿ систем (6.94), (6.95), (6.96),
(6.97). Òàê, íàпример, ïðè добавлении â уравнения (6.94) членов
n = 1, 2, 3
, ãäå çíàчение
m1φ
[αβ]
à â уравнения (6.95)
, m1φ
m2φ
([µν][αβ])
,
µ[αβ]
m
, m
2
φ
ˇ
ˇ
φ
1
[αβ]
ïîлучаетñÿ íå распадающаяся
µ[αβ]
, m
ˇ
φ
1
([µν][αβ])
,
ïî ïîëíîé ãðóïïå Ëоренца системà, êîòîðàÿ описывàåò òåíçîðíîå ïîëå
ñ îäíîé ìассой
m =√m1m2. Ïîýòîìó äëÿ ñîхранения (наряду ñ äèðà-
êîâñêèì) непрерывногî òåíçорногî ïðåäåëà ââîäèòü ìассовые члены â
рассмàòðèâаемые решетî÷íûå ìîäåëè ñëåäóåò èíûì (íåäèàãîíàльным)
ñïîñîáîì.
Возьмем îäèí èç лагранжианов, ñîдержащихñÿ â (6.59), íàпример
L1= −ψ
ˆ
Kψ−, è çàпишем åãî â ôîðìå
+
1
L1= −ψ+[
1
¯
+
Γµ(h
2
µ(+)
Γµ(h
2
+ h
µ(−)
µ(+)
) −
− h
µ
) +
µ(−)
¯
Γµ]ψ−,
(6.98)
ãäå ÿâíî выделен ÷ëåí òèïà ìассовîãî
ψ
Γµψ−.
+
µ
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 265
Ââåäåì â ýòîò ÷ëåí â êà÷åñòâå ìíîжителя âåùåñòâåííîå ïîëîжитель-
íîå число
c1> 1
. Â ðåçóëüòàòå âìåñòî (6.98) ïîлучим лагранжиан
L1= −ψ+[ˆK + (1 −c1)
Γµ]ψ−.
µ
Âîçâåäåì â êâàäðàò решетî÷íûé операòîð
ˆ
K + (1 −c1)
Γµ,
µ
ñîдержащийся â (6.99):
[ˆK + (1 −c1)
Γµ]2=ˆK2+ (1 − c1)(ˆK
µ
+
ˆ
Γ
K) + (1 − c1)2(
µ
µ
µ
µ
Γµ+
Γµ)2.
 ðàçäåëå 6.1 áûëî ïîêазано, ÷òî
(6.99)
(6.100)
ˆ
K2= ∇
Èç îïðåделения (6.76) ìàòðèö
µ(+)∇µ(−)
Γµñëåäóåò справåäëèâîñòü ðàâенствà
.
(
Γµ)2= −4.
µ
Èñïîëüçóÿ ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîтношения (6.17), (6.18), óïðîñòèì àí-
òèêîììóòàòîð
K
ˆ
µ
Γµ+
µ
ˆ
Γ
K,
µ
ñîдержащийся â (6.100):
+h
ˆ
K
ν(−)
+h
µ
− 2)]
ν(−)
Γµ+
− 2)] =
µ
µ
Γµ+
Γ
µ
ˆ
K =
µ
ν
1
2
1
[
Γν(h
1
[
2
ν(+)
Γν(h
2
ν
Γ
µ
ν
[(ΓνΓµ+ ΓµΓν)(h
µ
+ h
ν(+)
ν(−)
+ h
) +
ν(−)
ν(+)
1
2
) +
+ h
Γν(h
1
Γν(h
2
ν(−)
ν(+)
ν(+)
)+
(6.101)
(6.102)
+
+
266 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
+(ΓνΓµ+ ΓµΓν)(h
= −
µ
ν(+)
(h
+ h
µ(+)
ν(−)
+ h
− 2)] =
− 2).
µ(−)
Опираясь íà îïðåделения (6.1), (6.2), (6.20), íåòðóäíî óáåдиться â
справåäëèâîñòè ðàâенствà
(h
µ
µ(+)
+ h
µ(−)
− 2) = ∇
µ(+)∇µ(−)
,
êîòîðîå ñîâìåñòíî ñ (6.103) äàåò:
K
ˆ
µ
Γµ+
µ
ˆ
Γ
K = −∇
µ
µ(+)∇µ(−)
.
Ïîäñòàâëÿÿ ôîðìóëû (6.101), (6.102), (6.105) â (6.100), ïîлучаем ñî-
îтношение
[ˆK + (1 −c1)
Ïðîделавàíàлогичныепреобразîâàíèÿ ñî âòîðîéчастью
Γµ]2= c1[∇
µ
µ(+)∇µ(−)
− 4(1 − c1)2/c1].
L2= −ψ
лагранжиана (6.59), â èòîãå ïðèõîäèì ê лагранжиану
µ
Γµ]ψ−−
Γµ]ψ+,
µ
L′= L
′
1
′
+ L
= −ψ+[ˆK + (1 −c1)
2
−ψ−[ˆK + (1 −c2)
(6.103)
(6.104)
(6.105)
(6.106)
ˆ
Kψ
−
(6.107)
+
êîòîðûé описывàåò решетî÷íóþ ïîëåâóþ систему ñ äâóìÿ ìàññàìè
2(ci− 1)
mi=
√
c
i
(i = 1 , 2).
(6.108)
Ââåденныеâ решетî÷íûéлагранжиан (6.59) óêазанным ñïîñîáîì ÷ëå-
íû
(1 − ci)
êîммутирóþò ñ операòорами ïðîñòранственных ïåðåñòàíîâîê
µ
Γ
µ
S(Pµν)
òîðûå, â ñâîþ î÷åðåäü, êîммутирóþò ñ ïðîåêтивными операòорами
, êî-
P
±
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 267
(6.51), (6.93). Ïîýòîìó ïðè òàêîì ñïîñîáå ââåдения ìàññ (èëè ìàññû) ñèì-
ìåòðèÿ ïåðåñòàíîâîê, ïðèñóùàÿ áåçìассовîéтеории, ñîхраняетñÿ. Ñîõðà-
íÿþòñÿ òàêæå êèðàльноподобная è âíóòренняя
SU(n)
-симметðèÿ.
Èíâариантноñòü æå теории îòíîсительно преобразîâàíèé îòðàæåíèé
è ïîâîðîòîâ íà
90◦ïðè ââåдении ìàññû íàðушаетñÿ, ÷òî ÿâëÿåòñÿ, îä-
íàêî, допустимым, åñëè ïðè ïåðåõîäå â êонтинууì íåîáõîдимые ïðî-
ñòранственные симметðèè âîññòàíàâëèâàþòñÿ. Íàпример, äëÿ уравнения
ÄÊ
(n = 1)
èñïîëüçóåìûé ñïîñîá ââåдения ìàññ ïðèâîäèò ê решетî÷íîé
ïîëåâîé системе
m
1
(−∇
1
µ(+)
φν+ ∇
1
∇
µ(−)
m
2
1
∇
ν(−)φ[µν]
m
1
1
∇
ν(+)
m
2
φµ) +
ν(+)
φµ+ φ = 0,
m
φ
˜
[µν]
1
ε
2
+
+
µναβ
m
m
∇
m
1
1
1
∇
2
∇
1
α(−)
∇
1
φ + φµ= 0,
µ(+)
˜
φ +˜φµ= 0,
µ(−)
˜
φβ+ φ
˜
φµ+˜φ = 0.
µ(+)
[µν]
= 0,
Êонтинуàльный ïðåäåë,ïîлучающийсяèç (6.109)путем замен
∂µ,
∇
åñëè ïîëîæèòü
→ ∂µ, имеет âèä
µ(−)
−∂µφν+ ∂νφµ+ λε
λ∂µφµ+ mφ = 0, λ∂
m = m1,
∂νφ
λ∂
λ =
+ λ∂µφ + mφµ= 0,
[µν]
˜
φ
ν
[µν]
m
m
˜
+ ∂
φ + m˜φµ= 0,
µ
µναβ∂α
.
2
φβ+ mφ
˜
˜
φµ+ m˜φ = 0 ,
µ
[µν]
= 0,
 ïîäõîäå ÃельфандаЯгëîìà системà (6.110) ïîлучаетñÿ ïðè выборе
â (3.13), (3.17)
(6.109)
∇
µ(+)
(6.110)
→
1
35
= c
c
◦
13
1
53
c
=
= c
1
√
, c
2
◦
= λ, c
31
1
45
= c
◦
24
1
54
= c
Ïîлученноå òàêèì образîì ÐÂÓ описывàåò частицу ñ ìàññàìè
=
◦
42
λ
√
2
= 1.
,
(6.111)
m1,
m
è ïðåäñòàâëÿåò собой äâóìассовîå обобщение уравнения ÄÊ. Òåíçорная
2
268 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
ôîðìà ýòîãî ÐÂÓ совпадает ñ системой (6.110). Ïî ïîñòðîåíèþ îíî èíâà-
риантно îòíîсительно преобразîâàíèé ïîëíîé ãðóïïû Ëоренца [150].
Àíàлогичная êàðòèíà имеет ìåñòî òàêæå äëÿ32- è48-êîмпонентногî
обобщений уравнения ÄÊ. Явные выражåíèÿ äëÿ ñîîòâåòñòâующих äâó-
ìассовых òåíçорных систем ïðèâîäèòü íå áóäåì ввиду èõ ãðîìîçäêîñòè.
Óêàæåì ëèøü, ÷òî âîçìîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ íà îñíîâå ñõåì зацеплений
(3.95), (3.96) лагранжåâîé ôîðìóлировки ÐÂÓ ñ äâóìÿ ìàññàìè вытекàåò
èç исслеäîâàíèÿ, ïðîâåденногîâ ðàçäåëå 3.5. Òàê,îòêàçûâàÿñü îò òребовà-
íèÿ диракîïîдобноñòè ìàòðèöû
a,b
(3.102) равными
ÐÂÓ ñ äâóìÿ ìàññàìè
a = 1,b = λ
m1= m,m2=
Γ4(3.97), ìû ìîæåì выбраòü параметðû
. Â ðåçóëüòàòå ïîлучимP-èíâариантноå
m
êоррекòíûé êонтинуàльный
λ
àíàëîã32-êîмпонентной äâóìассовîé решетî÷íîé системы.
Ñ òî÷êè зрения диракîâñêîé êонтинуàльной интерпретàöèè ïðåäëà-
гаемый ñïîñîá ââåдения ìàññ â решетî÷íóþ ìîäåëü ïðèâîäèò ê переме-
øèâàíèþ àðîìàòîâ, ÷òî ÿâëÿåòñÿ åùå îäíîé õàðàêтерной îñîáåííîñòüþ
рассмàòðèâаемогî ãåîìåòðèçîâанногî ïîäõîäà ê îïèñàíèþ ôåðмионов íà
решеткå.
 заключение çàòронем êðàòêî âîïðîñ î êàлибровî÷íîì взаимоäåé-
ствии â рассмàòðèâаемой решетî÷íîé ìîäåëè.  обычноì ïîäõîäå, îñíî-
âàííîì íà èñïîëüçîâàíèè â êà÷åñòâå èñõîäíîãî уравнения Диракà è âíóò-
ренних степеней ñâîáîäû нелоренцевñêîãî (неевклидовîãî) происõîæäå-
íèÿ, ââåдениевзаимодействия â решетî÷íûéлагранжиан îñóùåñòâëÿåòñÿ
путем замены операòîðîâ
ðû
H
µ(±)
h
íà êàлибровî÷íî-êîâариантные операòî-
µ(±)
h
h
µ(−)
ψ(x) → H
µ(+)
ψ(x) → H
µ(−)
ψ(x) = Uµ(x)ψ(x + eµ),
µ(+)
ψ(x) = U
+
(x − eµ)ψ(x − eµ),
µ
(6.112)
ãäå
(6.113)
Uµ(x) =
expig
x+e
µ
Bµ(ξ)dξ
x
ðåáерная переменная (ребро õàðàêтеризóåòñÿ êîîðäèíàòîéxåãî íà÷àëà
è íàïðàâлениемµ),
Bµ= B
êонтинуàльной теории,
a
µ
ta ãенераòîðûôундаментàльногîïðåäñòàâления
ta,
a
B
ïîтенциаëû êàлибровî÷íîãî ïîëÿ
µ
êàлибровî÷íîé ãðóïïû.
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 269
 случае, êîãäà êàлибровî÷íàÿ ãðóïïà
SU(n)
имеет ãåîìåòðè÷åñêîå
происõîждение, данный прием îñòàåòñÿ â ñèëå, åñëè преобразîâàíèÿ ýòîé
ãðóïïû è преобразîâàíèÿ дискретных решетî÷íûõсимметðèé действóþò
â îðòîãîíàльных ïîäïðîñòранствàõ (сравни (6.77) ñ (6.78)(6.81)). Êðî-
ìå òîãî, ïîñêîëüêó ìàòðèöû
операòорами
êîãäà операòîðû
P
(6.51), (6.93), замены òèïà (6.112) справåдливы è òîãäà,
(±)
h
, h
µ(+)
Îñóùåñòâëÿÿ â ðåдуцированных лагранжианах
h
, h
µ(+)
действóþò íà âîлновые ôункции
µ(−)
êîммутирóþò ñ ïðîåêтивными
µ(−)
ψ±= P±ψ
L1è
L2(6.59) ïîäñòà-
новки (6.112), ïîлучаем äëÿ лагранжианов взаимодействия выражåíèå
int
L
= −ψ±(x)Γ
1,2
+ψ±(x)Γ
µ(−)
U
Uµ(x)ψ∓(x + eµ)+
µ(+)
+
(x − eµ)ψ∓(x − eµ)+
µ
+ψ±(x)
ãäå âерхние (нижние) знаки ó ôункций
ñó
1(2)
ó лагранжиана. Ôîðìóëà (6.114) ïîêàçûâàåò, ÷òî êàлибровî÷íîå
взаимодействие íå ñâÿçûâàåò между собой ïîëÿ
Γµψ∓(x),
µ
ψ
(6.114)
,
ψ
ñîîòâåòñòâóþò индек-
∓
±
ψ
c
ψ
è
ψ
c
ψ
+
+
−
. Äàí-
−
íîå îáñòîятельствî ìîæåò иметь ñóùåñòâåííîå çíàчение ñ òî÷êè зрения
динамичеñêèõ ñëåдствий â êâàíòîâîé ôîðìóлировкå теории.
Èòàê, развиваемый â ãëàâå 6 ïîäõîä ê îïèñàíèþ ôåðмионов â ðåøå-
òî÷íîì ïðîñòранствå îáладает ðÿäîì äîñòоинств. Åùå ðàç ïåðåчислим
èõ.
Во-первых, îí ñâîáîäåí îò òðóäíîñòåé ñ расщеплением ñïåêòðà, êî-
òîðûå èìåþò ìåñòî â решетî÷íûõ ìîделях, îñíîâанных íà уравнении
Диракà, è îáусловëåíû íåãåîìåòðè÷åñêèì õàðàêòåðîì понятия спинора.
Âî-âòîðûõ, äàåò âîçìîæíîñòü, íå èñïîëüçóÿ симметðèé нелоренцев-
ñêîãî происõîждения,описывàòü ñ åдиных позиций степени ñâîáîäû àðî-
ìàòîâ, ïîêîлений è êàлибровî÷íûõ взаимодействий, различая èõ åñòå-
ñòâенным образîì: выделение ïîêîлений происõîäèò â ðåçóëüòàòå ðå-
дукции áåçìассовîé ìîäåëè íà ïîдсистемы, имеющие релятивистñêè-
èíâариантные òåíçорные àíàëîãè â êонтинууìå; спецификà êàлибровî÷-
íîé симметðèè ñîñòîèò â òîì, ÷òî îíà выживàåò íà решеткå â îòличие îò
äðóãèõ âíóòренних симметðèé êонтинуàльной теории.
.
270 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Базирóÿñü íà òåíçорных ïîлевых системàõ, âозникающих ïðè ìàêñè-
ìàëüíîì àëãебраичеñêîì обобщении уравнения ÄÊ, ограниченноì ðàç-
мерноñòüþ ïðîñòранствавремени, данный ïîäõîä ïðèâîäèò ê
SU(3)
ñÿ ãåîìåòðè÷åñêè выделенными â ïðîñòранствå ðàçмерноñòè
òàöèè ìîäåëè (наряду ñ диракîâñêîé) ïðè íàïîлнении åå динамичеñêèì
ñîдержанием накладывàåò ограничения íà ñòðóêòóðó теории è âîçìîæ-
íûå физичеñêèå ñëåдствия, îáусловëèâàÿ, â частноñòè, íåäèàãîíàльный
ñïîñîá ââåдения ìассовых членов è перемешивàíèå àðîìàòîâ.
è åãî обобщений ìîæåòáûòü распроñòранена íà äðóãèå ïîлевые системы
ñ диракîâñêîé àëãеброй ìàòðèö
-êàлибровî÷íûìвзаимодействиям, êîòîðûå òåì ñàìûì îêàçûâàþò-
Òребовàíèå ñîхранения â непрерывноì ïðåäåëå òåíçорной интерпре-
È íàêîíåö, èñïîëüçóåìàÿ процеäóðà çàïèñè íà решеткå уравнения ÄÊ
Γµ, ðàçмерноñòü êîòîðûõ êðàòíà16.
Основные ðåçóëüòàòû ãëàâû 6 èçëîæåíû â ðàáîòàõ [170173].
SU(2)
d = 4
- è
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]