Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы
.pdf
(ñì. (7.31)), èëè
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 281
P F3ξ
τ
= −F3P ξ
sk
Ïîäñòàâëÿÿ â ýòî ðàâенствî выражåíèå (7.13) äëÿ операòîðà
âàÿ, ÷òî числа
As, âõîдящие â выражåíèå äëÿ ýòîãî операòîðà, â нашем
τ
sk
.
F3è учиты-
случае равны íóëþ, áóäåì иметь
P
s
= −P
τ
s−1
τ
.
Òàêèì образîì, ïîлучаем
s
P
= (−1)sP
τ
ãäå
s0 наименьший âåñ, ïðèñóòñòâующий â ïðåäñòàâлении
s
P2= 1
, òî
0
P
= ±1
τ
.
s
0
,
τ
T′; òàê êàê
Èòàê, äëÿ операòîðàPìû имеем äâà выражåíèÿ, îòличающиеñÿ çíà-
êîì:
P ξ
τ
= (−1)sξ
sk
τ
sk
,
(7.35)
P ξ
τ
= (−1)
sk
s+1ξτ
sk
.
(7.36)
Заметим, ÷òî задание операòîðàPâ âèäå (7.35) èëè (7.36) ïðèâîäèò
ê äâóì неэквивàлентным ïðåäñòàâлениям ïîëíîé ãðóïïû Ëоренца. Òàê,
äëÿ ñêàлярногî ïðåäñòàâления собственной ãðóïïû Ëоренца îïðåäåëå-
íèÿ (7.35) è (7.36) операòîðàPïðèâîäÿò ñîîòâåòñòâåííî ê ñêàлярноìó è
ïñåâäîñêàлярноìó ïðåäñòàâлениям ïîëíîé ãðóïïû Ëоренца. Àíàлогично
äëÿ âåêòорногîïðåäñòàâления собственной ãðóïïû Ëоренца îïðåделения
(7.35) è (7.36) ïðèâîäÿò ê âåêòîðíîìó è ïñåâäîâåêòîðíîìó ïðåäñòàâëåíè-
ÿì ïîëíîé ãðóïïû Ëоренца.
Перейдем êî âòîðîìó случаю. Ïðåäñòàâление
T′собственной ãðóïïû
Ëоренца, ïîðîжденноå непривîдимым ïðåäñòàâлением ïîëíîé ãðóïïû
Ëоренца, ïðèâîäèìî è раскладывàåòñÿ â прямую ñóììó непривîдимых
ïðåäñòàâлений собственной ãðóïïû Ëоренцаτè
ñòâåííî â ïîäïðîñòранствàõ
Rτè
R
. Ïðè ýòîì ïðîñòранствà
˙
τ
ðåõîäÿò äðóã â äðóãà ïîä действием операòîðà
˙
τ
, действующихñîîòâåò-
Rτè
P : PRτ= R
, P R
˙
τ
R
τ
= Rτ.
˙
τ
˙
ïå-
282 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
˙
τ
Âûáåðåì â ïðîñòранствåRбазис
íè÷åñêèõ базисов ïðåäñòàâленийτè
{ξ
˙
τ
. Найдем âèä операòîðàPâ ýòîì
sk
τ
, ξ
}
, ñîñòàâленный èç êàíî-
sk
базисå. Çàпишем
P ξ
τ
sk
=
P
τ˙τ
sk,s′k
˙
τ
ξ
, Pξ
′
′
s′k
τ
sk
˙
=
P
˙
ττ
sk,s′k
τ
ξ
.
′
′
s′k
Ñíîâà âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî операòîðPïåðåñòàíîâî÷åí ñî âñåìè îïå-
ðàòорами ïðåäñòàâления ãðóïïû вращений, ïîðîжденногî рассмàòðèâàå-
ìûì ïðåäñòàâлением ïîëíîé ãðóïïû Ëоренца. Ïîлучаем
P
τ˙τ
sk,s′k
′
= P
s
′
δ
τ˙τ
′
δ
ss
kk
, P
˙
ττ
sk,s′k
′
= P
ττ
s
′
δ
ss
˙
′
δ
,
kk
èëè
τ
P ξ
sk
= P
Êðîìå òîãî, èç ðàâенствà
Äëÿ îïðåделения ÷èñåë
êîììóòàöèè (7.31) äëÿ
˙
s
τ
ξ
, P ξ
τ˙τ
sk
P2= 1
ñëåäóåò, ÷òî
s
s
P
P
˙
τ˙τ
ττ
s
P
, P
τ˙τ
F3. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (7.13) è (7.16), ïîлучим
˙
τ
sk
= P
ττ
s
τ
ξ
.
˙
sk
= 1.
s
îáðàтимся опять ê ñîîтношениям
˙
ττ
(7.37)
(7.38)
ñëåдующие ðàâенствà:
+
+ A
τ
s
B
˙
τ
s
P
= 0,
s
τ˙τ
˙
s−1
P
= 0,
τ˙τ
s−1
τ
s
= 0
P
˙
ττ
.
(7.39)
B
B
s
A
τ
τ
s
P
s
τ˙τ
s
P
+ B
τ˙τ
˙
τ
s
P
˙
s
ττ
Ïîñêîëüêó äëÿ äâóõ сопряженных между собой непривîдимых ïðåäñòàâ-
ленийτè
˙
τ
A
τ
= −A
s
˙
τ
, B
s
τ
s
= B
˙
τ
s
(ñì. ôîðìóëû (7.16)), òî ïåðâîå èç ðàâенств (7.39) óäîâëåòâоряетñÿ àâòî-
ìàòè÷åñêè, à èç äâóõ äðóãèõ ñëåäóåò
P
τ˙τ
s
= −P
s−1
τ˙τ
, P
ττ
s
˙
= −P
s−1
˙
ττ
.
Îòñþäà
P
τ˙τ
s
= (−1)
[s]
s
o
P
τ˙τ
, P
s
= (−1)
˙
ττ
[s]
s
o
P
˙
ττ
(7.40)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 283
è
s
s
o
τ˙τ
o
P
ττ
˙
= 1.
{ξ
τ
sk
(7.41)
, ξ
τ
sk
˙
}
P
Ôîðìóëû (7.40), (7.41) äàþò общий âèä операòîðàPâ базисå
Äëÿ ÐÂÓ, èíâариантных îòíîсительно ïîëíîé ãðóïïû Ëоренца, äîëæ-
íî âûïîлняться ðàâенствî
ñîîтношение накладывàåò íà ìàòðèöó
P Γ4= Γ4P
. Ïîñìîòðèì, êàêèå условия ýòî
Γ4, ò. å. íà числа
s
c
.
′
ττ
Пусть ïðîñòранствîR, ãäå действóåò ïðåäñòàâлениеTïîëíîé ãðóï-
ïû Ëоренца, разлоæåíî â прямую ñóììó ïîäïðîñòранств
Rτ, â êàæäîì
èç êîòîðûõ ïðåäñòàâление собственной ãðóïïû непривîäèìî. Ïðè ýòîì
âìåñòå ñ êаждым ïîäïðîñòранствîì
ïîäïðîñòранствî
′
˙
òî
˙
τ
è
τ
òîæå зацепляюòñÿ.
R
. Заметим, ÷òî åñëè êîмпонентыτè
˙
τ
Рассмоòðèì ñíà÷àëà случай, êîãäà
RτïðîñòранствîRñîдержитòàêæå è
′
τ
зацепляюòñÿ,
τ =˙τèτ′=˙τ′. ОпераòîðPòîãäà
çàпишетñÿ (ñì. ôîðìóëû (7.40)):
.
P ξ
P ξ
τ
= (−1)
sk
′
τ
= (−1)
sk
[s]
[s]
˙
τ
ξ
,
sk
′
˙
τ
ξ
.
sk
Ïîäñòàâëÿÿ ýòè выражåíèÿ â ñîîтношение
Γ4P ξ
τ
= P Γ4ξ
sk
τ
sk
,
ïîлучим
Пусть теперь
τ =˙τ
, à
c
τ′=˙τ
s
ττ
s
= c
′
′
(ëèáî, наобороò,
.
′
˙τ˙
τ
τ =˙τ
, à
τ′=˙τ
случае операòîðPимеет ëèáî âèä
P ξ
τ
= (−1)
sk
[s]ξτ
sk
,
ëèáî
P ξ
τ
= (−1)
sk
[s]+1ξτ
, P ξ
sk
′
τ
= (−1)
sk
[s]
′
˙
τ
ξ
.
sk
Ñíîâà ïîäñòàâëÿÿ выражåíèÿ (7.46)(7.47) â (7.44), ïîлучим
(7.42)
(7.43)
(7.44)
(7.45)
′
). Â ýòîì
(7.46)
(7.47)
s
c
ττ
′
= c
s
,
′
˙τ˙
τ
(7.48)
284 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
åñëè операòîðPимеет âèä (7.46), è
s
c
′
ττ
= −c
s
,
′
˙τ˙
τ
(7.49)
åñëè операòîðPзадаетñÿ ñîãласно (7.47).
Íàêîíåö, â случае, êîãäà
τ =˙τèτ′=˙τ′, ëåãêî видеть, ÷òî
ëèøü òîãäà, êîãäà операòîðPдействóåò îдинакîâî â ïðîñòранствàõ
R
, ò. å. îдновременно ëèáî
˙
τ
P ξ
τ
= (−1)
sk
[s]ξτ
sk
′
P ξ
τ
= (−1)
sk
è
[s]ξτ
sk
′
,
s
c
ττ
= 0
′
Rτè
(7.50)
ëèáî
P ξ
τ
= (−1)
sk
[s]+1ξτ
Äðóãèõ ограничений íà числа
′
P ξ
τ
= (−1)
sk
è
sk
s
c
â ýòîì случае íå накладывàåòñÿ.
′
ττ
[s]+1ξτ
sk
′
.
(7.51)
Заметим,÷òî â случае íàличияòàêèõ зацеплений ÷àñòî ìîæíîíåñêîëü-
êèìè различными ñïîсобами çàäàòü операòîðP, íå íàðóøèâ èíâариант-
íîñòè ÐÂÓ è íå меняя ìàòðèö
ìàòрицами
Γµ, íî çàêîíîì преобразîâàíèÿ êîмпонент âîëíîâîé ôóíê-
Γµ. Òàê êàê ÐÂÓ îïðåделяетñÿ íå òîëüêî
öèèψ, òî ìû áóäåì иметь, ïî-ñóùåñòâó, íåñêîëüêî различных уравнений.
Примерами òàêèõ ÐÂÓ, îòличающихñÿ ëèøü âèäîì преобразîâàíèÿP,
могут ñëóæèòü уравнения äëÿ ñêàлярной è ïñåâäîñêàлярной, âåêòорной è
ïñåâäîâåêòорной частиц.
7.3. Лагранжåâà ôîðìóëèðîâêà
Физичеñêèé интереñ â теории ÐÂÓ ïðåäñòàâëÿþò òå уравнения, êî-
òîðûå могут áûòü ïîлучены путем âарьировàíèÿ èíâариантной ôункции
Лагранжа. Ñ òакими уравнениями ìîæíî ñâÿçàòü ðÿä физичеñêèõ âåëè-
÷èí, íàпример, заряд, энергию, èìïóëüñ, ìîìåíò èìïóëüñà.
Óсловие (7.1), èëè эквивàлентноå åìó условие (7.5), ïîçâîëÿåò äàòü
лагранжåâóôîðìóлировкóтеории ÐÂÓ.Äëÿ ýòîãî íàäî ïîñòроить лоренц-
èíâариантные êîмбинации èç ôункций ïîëÿ, èõ произвîäíûõ è ìàòðèö
Γµ. Ïðîáëåìàçäåñü ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè êîíå÷íîмерных
ïðåäñòàâлений ãðóïïû Ëоренца ñîîòâåòñòâующие ìàòðèöû преобразîâà-
íèÿTâ ñèëó íåêîìïàêòíîñòè ãðóïïû Ëоренца íå ÿâëÿþòñÿ óíèòарными.
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 285
Ïîýòîìóобычная êâàäðàтичная êîмбинация ôункций ïîëÿ
ψ
+
1
ψ2=˜ψ
∗
ψ
1
íå ÿâëÿåòñÿ лоренцевñêèì ñêàëÿðîì
′
′
òàê êàê
T+T = I
(ψ
)+ψ
1
2
= ψ
+
1
T+T ψ2= ψ
. Âìåñòî êâàäðàтичной ôîðìû ïðèõîäèòñÿ ââîäèòü òàê
+
1
ψ2,
называемую лоренц-инвариантную билинейную ýðìèòîâó ôîðìó
(ψ1, ψ2) = ψ
+
ηψ2,
1
(7.52)
ãäå ìàòðèöóηназывàþò ìàòрицей лоренц-инвариантной билинейной
ôîðìû. Выясним, â êàêèõ случаях ïðåäñòàâление собственной ãðóïïû
Ëоренца допускàåò èíâариантную билинейную ýðìèòîâó ôîðìó, à òàêæå
найдем åå общий âèä â êаноничеñêîì базисå.
Пусть ïðîñòранствîR, ãäå действóåò ïðåäñòàâлениеTсобственной
ãðóïïû, раскладывàåòñÿ â прямую ñóììó непривîдимых ïîäïðîñòранств
τ
Rτ, â êîòîðûõдействóþòнепривîдимыеêîмпоненты
x
τ
{ξ
}
. Îáúåдинение ýòèõ базисов äàñò
sk
(ψ1, ψ2)
τ
η
sk
ψ1, ψ
′
ττ
sk,s′k
′
τ
(y
)∗,
′
′
s′k
′
ττ
;
η
2
sk,s′k
â êàæäîì èç
Rτêаноничеñêèé базис
базис âî âñåì ïðîñòранствåR. Çàпишем ôîðìó
(ψ1, ψ2) =
′
τ
ãäå
τ
x
, y
êîîðäèíàòû âåêòîðîâ
s′k
′
sk
τ ∼ (l
ýлементы ìàòðèöû
′
τ
, l
)
. Âûáåðåì
1
2
â базисå
{ξ
(7.53)
τ
sk
}
:
билинейной ôîðìû â рассмàòðèâàåìîì базисå, причем
ττ
η
sk,s′k
′
= (η
′
′
ττ
)∗(η+= η).
s′k′,sk
(7.54)
2
 случае невырожденной ôîðìû
äåíà, ò. å. íèêàêîé âåêòîð
ξ ∈ R
(ψ1, ψ2)
ìàòðèöàηòàêæå невыроæ-
íå перевîäèòñÿ ýòîé ìàòрицей â íóëü.
Òребовàíèå лоренц-инвариантноñòè ôîðìû (7.54)
′
(ψ
1
, ψ
′
) = (ψ
2
′
)+ηψ
1
′
= (ψ1)+T+ηT ψ2= (ψ1, ψ2)
2
накладывàåò íà ìàòðèöóηограничение
T+ηT = η.
(7.55)
Ïîäñòàâëÿÿ â (7.55) áåñêîíå÷íî ìàëûå преобразîâàíèÿ (7.3), ïîлучаем
ñîîтношения
η J
η J
[ij]
[i4]
= J
= −J
[ij]
[i4
η,
] η.
(7.56)
(7.57)
286 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Ñîîтношения (7.56) îçíà÷àþò, ÷òî ìàòðèöàηêîммутирóåò ñ инфини-
òåçèìàльными операòорами
ðóåìûõ â ïðîñòранствåRïðåäñòàâлениемT. Обозна÷èâ ÷åðåç
H±, H3преобразîâàíèé вращений, ãенери-
T0произ-
âîльную ìàòðèöó ïðåäñòàâления ãðóïïû вращений â ïðîñòранствåR, èç
(7.56) ïîлучим
T0η = η T0.
(7.58)
Èç условий (7.57) ñëåäóåò
F3η = F
+
η.
3
(7.59)
Òàêèì образîì, ìàòðèöàη, задающая â êаноничеñêîì базисå èíâà-
риантную билинейную ýðìèòîâó ôîðìó, óäîâëåòâоряет условиям (7.54),
(7.58), (7.59). Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî наобороò, âñÿêàÿ ìàòðèöàη, óäîâëå-
òâоряющая ýòèì условиям, задает ôîðìó, èíâариантную îòíîсительно
собственной ãðóïïû Ëоренца.
Найдем общее решение ñîîтношений (7.54), (7.58), (7.59) â êанониче-
ñêîì базисå, à òàêæå выясним, êàêèå непривîдимые êîмпонентыτñîäåð-
æàòñÿ â ïðåäñòàâленииT, допускающем èíâариантную ôîðìó.
Îñòановимся ñíà÷àëà íà условии (7.58) è найдем общий âèä ìàòðèöû
η
, ïåðåñòàíîâî÷íîé ñî âñåìè преобразîâаниями
T0ïðåäñòàâления ãðóïïû вращений â êаноничеñêîì базисå
T0. Заметим, ÷òî ìàòðèöà
τ
{ξ
}
ìîæåò
sk
áûòü çàïèñàíà â ñëåдующем áëî÷íî-äèàãîíàëüíîì âèäå:
τ
1
T
0s
T0=
τ
ãäå
âåñîì
T
i
T
ìàòðèöà непривîдимогî ïðåäñòàâления ãðóïïû вращений ñ
0s
j
sj, ñîдержащегîñÿ â непривîдимой êîмпоненте
собственной ãðóïïû Ëоренца.
1
.
τ
i
T
0s
j
.
= ⊕
i
j
τ
i
T
,
0s
j
.
τ
ïðåäñòàâления
i
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 287
Ìàòðèöóηàíàлогичным образîì ðàçобьем íà áëîêè
η =
η
η
τ1τ
1
... η
s1s
1
. .
. .
τiτ
1
... η
sjs
1
. .
τ1τ
s1s
τiτ
sjs
i
.
j
,
i
.
j
. .
′
ττ
ãäå
η
прямоóãîльная ìàòðèöà ðàçмерноñòè
′
ss
′
ττ
η
ss
= η
′
′
kk
ττ
sk,s′k
(2s + 1) × (2s′+ 1)
′
.
′
:
Èç ñîîтношения (7.58) вытекàåò, ÷òî
′
τ
ττ
T
η
′
0s
ss
Èç ýòîãî ðàâенствà â ñèëó леммы Øóðà ñëåäóåò, ÷òî ìàòðèöà
= η
ττ
ss
′
′
τ
T
.
′
′
0s
ττ
η
ss
(7.60)
′
ëè-
′
áî равна íóëþ, ëèáî ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòíîé невырожденной ìàòрицей. Â
s
ττ
′
τ
è
T
эквивàлентны, ò. å.
′
0s
′
δ
.
′
ss
τ
T
0s
′
τ
è
T
эквивàлентны, ðàâенствî
0s
s = s′è
ïîñëåäíåì случае ïðåäñòàâления
′
ìàòðèöà
ττ
η
имеет âèä
′
ss
ττ
η
′
ss
Äàëåå, ïîñêîëüêó ïðåäñòàâления
′
T
= η
0s
τ
(7.60) перепишетñÿ òàê:
τ
Ìàòðèöà
(η
s
T
η
0s
ττ
s
′
)
, êîммутирующая ñî âñåìè ìàòрицами
′
kk
ττ
′
= η
s
ττ
τ
T
.
′
0s
τ
(T
0s
димогî ïðåäñòàâления ãðóïïû вращений, êðàòíà åдиничной
s
(η
)
′
kk
ττ
Îòñþäà äëÿ ìàòричных ýлементîâ
′
= η
ττ
η
sk,s′k
s
′
δ
.
′
kk
ττ
′
ïîлучаем îêîí÷àтельноå âûðà-
′
æåíèå
′
ãäå
s
η
произвîльные числа.
′
ττ
η
ττ
sk,s′k
′
= η
s
ττ
′
δ
′
′
δ
kk
,
ss
′
)
kk
(7.61)
непривî-
(7.62)
288 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Äàëåå âîñïîëüçóåìñÿñîîтношением (7.59), êîòîðîåìîæíî переписàòü
ñëåдующим образîì:
′
τ
sk
, ξ
τ
s′k
) = (ξ
′
(F3ξ
äëÿ любой ïàðû базисных âåêòîðîâ
ðàæåíèå äëÿ
F3(7.13) è раскрывàÿ (7.63) ñ ïîмощью (7.53) è (7.62), ìû
τ
sk
τ
ξ
sk
, F3ξ
è
′
τ
)
′
s′k
′
τ
ξ
. Ïîäñòàâëÿÿ â (7.63) âû-
′
s′k
(7.63)
придем ê ñëåдующим ðàâенствàì:
= (A
= −B
τ
s
′
τ
s
′
)∗η
)∗η
τ
s
η
s
ττ
s−1
ττ
s−1
ττ
,
′
,
′
.
′
(7.64)
(7.65)
(7.66)
B
(B
τ
s
A
η
′
s
ττ
τ
s
η
= −(B
′
s
ττ
′
τ
s
)∗η
ττ
′
s
Èç ýòèõ ðàâенств è ôîðìóë (7.16), переписанных ñ ó÷åòîì переопреäåëå-
íèé (7.19) â âèäå
(l1− l2)(l1+ l2+ 1)
As= i
,
(7.67)
s(s + 1)
Bs=
i
[s2− (l1− l2)2][s2− (l1+ l2+ 1)
s
4s2− 1
2
,
(7.68)
ïîлучаем, ÷òî
(l1− l2)2+ (l1+ l2+ 1)2= (l
s
η
= 0èη
′
ττ
(l1− l2)(l1+ l2+ 1) + (l
s−1
ττ
= 0
′
òîëüêî ïðè условиях
′
′
′
1
− l
′
1
2
− l
)(l
+ l
1
′
)2+ (l
2
′
+ 1) = 0,
2
′
+ l
1
′
+ 1)2.
2
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ êîíå÷íîмерных ïðåäñòàâлений
′
l
= l1, l
2
′
1
= l2.
Èíà÷å ãîâîðÿ, èíâариантная невырожденная билинейная ýðìèòîâà
ôîðìà ìîæåò ñóùåñòâîâàòü ëèøü â òîì случае, åñëè â ïðåäñòàâлении
наряду ñ êаждой непривîдимой êîмпонентîé
ïðÿæенная непривîäèìàÿ êîмпонентà˙τ ∼ (l2, l1)
ñîдержит íåñêîëüêî эквивàлентных между собой êîмпонент
τ ∼ (l1, l2)
ñîдержитñÿ ñî-
. Åñëè ïðåäñòàâление
τ1, τ2, ..., τ
T
T
n
òî îíî äîëæíî ñîдержаòü ñòîëüêî æå эквивàлентных между собой êîìïî-
˙
íåíò
τ1,˙τ2, ...,˙τ
.
n
,
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 289
Îïðåделим теперь числа
 случае êîíå÷íîмерныхïðåäñòàâлений îтношение
s
η
. Èç (7.65) имеем
τ˙τ
s
η
τ˙τ
(B
= −
B
˙
τ
∗
)
s
s−1
η
.
τ˙τ
τ
s
˙
τ
)∗/B
τ
ìîæíîñ÷è-
s
(B
s
òàòü ïîëîжительным (ñì. ôîðìóëó (7.68)), ò. å.
= −η
s−1
τ˙τ
.
(7.69)
 îñòàëüíîì числа
s
η
τ˙τ
s
η
τ˙τ
= η
s
ÿâëÿþòñÿ произвîльными. Различным íà-
˙
ττ
борам ýòèõ ÷èñåë ñîîòâåòñòâóþò различные билинейные èíâариантные
ôîðìû. Заметим, îäíàêî, ÷òî перейдя â ïðîñòранствåRê íîâîé системе
êîîðäèíàò, ìîæíî ñóùåñòâåííî ñузить произвîë â выборе ÷èñåë
ствительно,пусть
îïðåделяемые парой
îòâåчающие ïàðå
′
τ
i
ξ
sk
τ1, τ2, ..., τ
(l1, l2)
(l2, l1)
,. Выбрав âåêòîðû
=
c(τi, τj) ξ
j
эквивàлентные между собой êîмпоненты,
n
˙
, à
τ1,˙τ2, ...,˙τ
τ
j
, ξ
sk
эквивàлентные êîмпоненты,
n
′
sk
˙
τ
i
=
c(˙τi,˙τj) ξ
j
τ
sk
˙
j
s
η
τ˙τ
. Äåé-
çà новые êîîðäèíàòíûåâåêòîðûâ ïðîñòранствåR, âñåãäàìîæíîдобиться
òîãî, ÷òî
s
η
= ± δij.
˙
τ
τ
i
j
Òî÷íî òàê æå,åñëè
äëÿ êîòîðûõ
τ1, τ2, ..., τ
τ
эквивàлентно
i
ñîâîêóïíîñòü эквивàлентных êîмпонент,
n
˙
τ
, òî ââîäÿ новые êîîðäèíàòíûå âåêòîðû
i
′
τ
i
ξ
sk
=
c(τi, τj) ξ
j
τ
sk
j
,
ìû добьемся òîãî, ÷òîáû
s
η
= ± δij.
τiτ
j
Ïðèâåдение билинейной ôîðìû ê óêазанноìó âèäó âïîëíå àíàлогично
ïðèâåдению êâàäðàтичной ôîðìû ê ñóììå êâàäðàòîâ.
Ïðè ïîñòðîåíèè лагранжиана, èç êîòîðîãî ìîæåò áûòü ïîлучено ÐÂÓ
(1.2), билинейная лоренц-инвариантная ôîðìà çàписывàåòñÿ â âèäå
(ψ, ψ) = ψ+ηψ =¯ψψ
(7.70)
290 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
путем ââåдения ôункций
¯
ψ = ψ+η =˜ψ∗η
ñ лоренцевскими òðàíñôîðìационными ñâойствàìè
¯
ψ′=¯ψ T
−1
¯
ψ′ψ′=¯ψ T−1T ψ =¯ψψ.
Êðîìå ââåдения ôîðìû (7.70) ìîæíî ïîñòроить è äðóãèå лоренцев-
ñêèå èíâарианты èç ôункций
выражåíèå¯ψΓ
ψ
преобразóåòñÿ êàê четырехмерный âåêòîð
µ
ψ,¯ψ
, èõ произвîäíûõ è ìàòðèö
(7.71)
(7.72)
Γµ. Òàê,
¯
ψ′Γµψ′=¯ψ T−1ΓµT ψ = L
µν
¯
ψΓνψ.
Ñëåäîâàтельно, âеличины
∂µ(¯ψΓµψ), (∂
¯
ψ)ΓµΨ,¯ψΓµ(∂µψ)
µ
(7.73)
ÿâëÿþòñÿ лоренцевскими ñêàлярами.
Лагранжиан ñâîáîäíîãî ïîëÿ, êîòîðûé ïðèâîäèò ê ÐÂÓ (1.2), äîëæåí
óäîâëåòâорять ñòандарòíûì òребованиям лоренц-инвариантноñòè, âåùå-
ñòâåííîñòè, линейноñòè, à òàêæå ëîêàëüíîñòè теории [36]. À äëÿ òîãî,
÷òîáû уравнения ïîëÿ íå ñîдержаëè уравнений âûøå ïåðâîãî порядкà,
лагранжиан äîëæåíñîдержаòü произвîäíûå îòψè
¯
ψ
íå âûøå ïåðâîé ñòå-
ïåíè [57]. Обычно èñïîëüçóåòñÿ ñëåдующее выражåíèå äëÿ лагранжиана
ñâîáîäíîãî ïîëÿ:
L(x) = −
1
¯
ψ(Γµ∂µ+ m)ψ +
2
1
((∂
ψ)Γµ− m)ψ
µ
2
¯
(7.74)
ëèáî выражåíèå
L(x) = −¯ψ(Γµ∂µ+ m)ψ,
(7.75)
êîòîðîå îòличаетñÿ îò (7.74) íåñóùåñòâенным äëÿ âèäà уравнения ïîëÿ
слагаемым òèïà четырехмерной äèâåðãенции
∂µ(¯ψΓµψ)
.
 ñîîòâåòствии ñ общими правилами лагранжåâà ôîðìàëèçìà è îïè-
раясь íà теорему Нетер, èç лагранжианов (7.74),(7.75) ëåãêî ïîлучить
общие выражåíèÿ äëÿ динамичеñêèõ õàðàêтеристик ïîëÿ â теории ÐÂÓ.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]