Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы
.pdf
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 131
ïðèõîäèì ê уравнению
−∂µφ
Åùå ðàç переобозна÷èì â (3.142) индекñû
µ[νβ]
+
(∂νφβ− ∂βφν− iε
3
νβµξ∂µφξ
+ mψ
[[µν][µβ]]
ν → α, µ → ν
= 0.
(3.142)
è ñëîæèì ñ
(3.131). Â ðåçóëüòàòå, учитывàÿ îïðåделение (3.138), ïîлучим
2
−∂αφβ+ ∂βφα+ iε
αβνξ∂νφξ
+ mφ
′
[αβ]
= 0.
(3.143)
Отметим çäåñü, ÷òî выделенные èç системы (3.131)(3.133) уравне-
íèÿ (3.136), (3.139), (3.143) ñ òî÷íîñòüþ äî обозначений совпадаюò ñ
уравнениями (3.81), ò. å. ïðåäñòàâëÿþò собой ñîîòâåòñòâующую ñõåìå
зацеплений (3.7)P-неинвариантную ïîловину системы ÄÊ.
Äàëåå, óìíîæèì уравнение (3.131) íà 2 è вычтем (3.124), ãäå ñîâåð-
øåíà замена индекñîâ
−3∂νφ
ν → α,µ → ν
+ mψ
ν[αβ]
[[να][νβ]]
. Ýòî äàåò
− 2mψ
[αβ]
= 0.
(3.144)
Ââåäåì обозначение
φ
[αβ]
= −
1
ψ
3
[[να][νβ]]
+
2
ψ
,
[αβ]
3
(3.145)
òîãäà уравнение (3.144) принимàåò âèä
∂νφ
Åñëè â (3.133) переобозна÷èòü индекñû
ν[αβ]
+ mφ
[αβ]
= 0.
µ ↔ α, ν ↔ β
(3.146)
è ñëîæèòü
ðåçóëüòàò ñ (3.133), à çàòåì èñïîëüçîâàòü уравнение (3.136), è ôîðìóëó
[108]
ε
µνηλελαβξ
=
δ
δ
δ
µαδµβδµξ
ναδνβδνξ
ηαδηβδηξ
(3.147)
è íåïîñðåäñòâåííî ïðîâеряемоå òîæäåñòâî
ε
ναβξ∂µφξ
+ε
µνηα∂ηφβ
− ε
νµβξ∂αφξ
− ε
µνηβ∂ηφα
+ ε
µανξ∂βφξ
+ ε
αβηµ∂ηφν
+ ε
µαβξ∂νφξ
+ ε
αβην∂ηφµ
+
+
132 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
+2ε
µναβ∂ηφη
= 0,
ïîлучим уравнение
1
+iε
(−∂µφ
2
µνηξ∂η
φ
ν[αβ]
ξ[αβ]
+ ∂νφ
+ iε
µ[αβ]
αβηξ∂η
− ∂αφ
φ
ξ[µν]
β[µν]
) + mφ
+ ∂βφ
([µν][αβ])
α[µν]
+
= 0.
Преобразóåì, íàêîíåö, уравнение (3.132), исклю÷èâ èç íåãî ñêàëÿð-
íóþ è âåêòорную ôункции. Äëÿ ýòîãî перепишем (3.137) â ôîðìå
∂βφ + mφβ= −∂αψ
[αβ]
− ∂νψ
[[ην][ηβ]]
è ïîäñòàâèì (3.149) â (3.132). Â ðåçóëüòàòå áóäåì иметь
∂νψ
[[µν][αβ]]
+ ∂νψ
([µν][αβ])
+ ∂µψ
[αβ]
1
+
(−δµα∂νψ
3
+ δµβ∂νψ
[νβ]
−iε
µναβ∂η
− δµα∂νψ
[να]
ψ
νη]
− iε
µναβ∂η
[[ην][ηβ]]
ψ
[[ξν][ξη]]
+ δµβ∂νψ
) + mφ
[[ην][ηα]]
µ[αβ]
= 0.
(3.148)
(3.149)
+
−
(3.150)
Ñ ïîмощью îчевидногî ñîîтношения
1
ψ
[[µν][αβ]]
=
(δµαψ
2
+δνβψ
[[λν][λβ]]
[[λµ][λα]]
− δµβψ
− δναψ
[[λν][λα]]
[[λµ][λβ]]
+
)
è îïðåделения (3.145) уравнение (3.150) ïðèâîäèòñÿ ê âèäó
1
∂νφ
([µν][αβ])
−
(δµα∂νφ
2
− δµβ∂νφ
[νβ]
να]
)+
3
+∂αψ
+iε
+ ∂µψ
[µβ]
µναβ∂η
φ
[νη]
[αβ]
+
− iε
(−∂βφ
2
µναβ∂η
ψ
[µα]
[νη]
+ ∂αφ
+ mφ
[µβ]
µ[αβ]
)+
= 0.
Èñïîëüçóÿ òîæäåñòâенные ðàâенствà
∂µψ
∂
+ ∂βψ
[αβ]
[αµ]
+
∂
φ
β
+ ∂αψ
[µα]
[µβ]
−
δ
φ
α
µβ]
µα∂ν
− iε
φ
[νβ]
µναβ∂η
δ
+
µβ∂ν
ψ
[νη]
φ
[να]
= 0,
+
(3.151)
(3.152)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 133
+iε
µναβ∂η
φ
[νη]
− iε
αβην∂η
φ
[νµ]
= 0,
(3.153)
âìåñòî (3.152) ïîлучим îêîí÷àтельно уравнение
1
∂νφ
([µν][αβ])
−δµβ∂νφ
[να]
+
(∂βφ
2
+ iε
[αµ]
αβην∂η
− ∂αφ
φ
[νη]
[βµ]
+ mφ
+ δµα∂νφ
= 0.
µ[αβ]
[νβ]
−
(3.154)
Óравнения (3.146), (3.148), (3.154) образóþò 16-êîмпонентную òåí-
çорную систему, ñîîòâåòñòâующую наборó ïðåäñòàâлений (3.5) è íå çà-
цепляющуюся ñ системой (3.136), (3.139), (3.143) (ïîñëåäíÿÿ, íàïîìíèì,
совпадает ñ (3.81)).
Ïðîделав преобразîâàíèÿ, àíàлогичные вышепривåденным, ñ óðàâ-
нением (3.91), ïîлучим äâå òåíçорные системы, îäíà èç êîòîðûõ эквивà-
лентна (3.82), à äðóãàÿ ìîæåò áûòü âûâåäåíà èç системы (3.146), (3.148),
(3.154) путем ôîðìàльных замен
φ
[αβ]
→
φ
∨
[αβ]
, φ
µ[αβ]
→
φ
∨
µ[αβ]
,
∨
ãäå òåíçîðû
φ
(µν][αβ])
∨
φ
[αβ]
φ
,
∨
→
µ[αβ]
φ
(µν][αβ])
∨
φ
,
(µν][αβ])
, ε
µναβ
→ −ε
µναβ
,
(3.155)
ñîïîñòàâëÿþòñÿ непривîдимым ïðåä-
ñòàâлениям
(1, 0), (3/2, 1/2), (2, 0)
ñîîòâåòñòâåííî. Óсловия ñàìîäóàëüíîñòè äëÿ ýòèõ òåíçîðîâ èìåþò âèä
µναβ
φ
∨
= −i
[αβ]
1
ε
2
1
ε
ηξαβ
2
Îáúåдиняя ïîлученные òàêèì образîì уравнения äëÿ òåíçîðîâ
φ
∨
µ[αβ]
∨
φ
,
(µν][αβ])
ñP-сопряженнымиèì уравнениями (3.146), (3.148), (3.154),
∨
φ
∨
φ
([µν][αβ])
[µν]
,
= −i
ηξαβ
∨
φ
([µν][ηξ])
φ
∨
µ[αβ]
= −i
.
1
ε
2
φ
∨
µ[ηξ]
,
(3.156)
∨
φ
[αβ]
ïîлучаем систему
∂νφ
ν[αβ]
+ mφ
[αβ]
= 0,
,
134 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
1
(−∂µφ
2
ν[αβ]
+ ∂νφ
µ[αβ]
− ∂αφ
β[µν]
+ ∂βφ
α[µν]
+
+iε
µνηξ∂η
φ
ξ[αβ]
+ iε
αβηξ∂η
φ
ξ[µν]
) + mφ
([µν][αβ])
= 0,
1
∂νφ
1
2
−iε
∂
ν
(]µν][αβ])
−δµβ∂νφ
(−∂
µ
µνηξ∂η
∨
φ
(]µν][αβ])
−δµβ∂
φ
∨
ν[αβ]
∨
φ
ν
[να]
∂
ξ[αβ]
∨
φ
+
ν
+
[να]
(∂βφ
2
) + iε
∨
φ
ν[αβ]
+∂
−iε
1
(∂
2
) − iε
∨
φ
ν
αβηξ∂η
φ
β
[αµ]
αβην∂η
+m
µ[αβ]
∨
[αµ]
αβην∂η
− ∂αφ
φ
[νµ]
∨
φ
[αβ]
−∂
α
∨
φ
ξ[µν]
φ
−∂
α
∨
φ
[νµ]
[βµ]
+ mφ
= 0,
∨
φ
β[µν]
) + m
∨
[βµ]
+m
+ δµα∂νφ
= 0,
µ[αβ]
∨
φ
+∂
β
∨
φ
([µν][αβ])
+δµα∂
φ
∨
ν
µ[αβ]
[νβ]
α[µν]
∨
φ
[νβ]
= 0,
−
(3.157)
−
= 0,
−
êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåò собой òåíçорный эквивàëåíò íå распадающегîñÿ
â смысле ïîëíîé ãðóïïû Ëоренца 32-êîмпонентногî ÐÂÓ диракîâñêîãî
òèïà, базирующегîñÿ íà ñõåìå зацеплений (3.96).
Òеперь дадим òåíçорную ôîðìóлировкó уравнений (3.89), (3.90). Äëÿ
ýòîãî ïðåäñòàâèì (3.89) â âèäå системы
′
−∂µΦ
′
ν[αβ]
∂νΦ
+ ∂νΦ
∂λΦ
[µν][αβ]
′
µ[αβ]
λ[αβ]
+ ∂µΦ
− iε
+ mΦ
[αβ]
µνηξ∂η
[αβ]
+ mΦ
′
Φ
ξ[αβ]
= 0,
′
µ[αβ]
+ mΦ
= 0,
[µν][αβ]
= 0,
(3.158)
êîòîðàÿ ïîлучаетñÿ èç системы (3.82), åñëè âîëíîâóþ ôункцию ïîñëåä-
íåé ñíàáäèòü ñâîáîäíûì индекñîì
íèþ
(0, 1)
(øòðèõîâîé индекñ ó
Φ
[αβ]
, ñîîòâåòñòâующим ïðåäñòàâëå-
′
ââåäåí äëÿ óдобствà äàльнейших
µ[αβ]
обозначений). Âõîдящие â систему (3.158) òåíçорные îáúåêòû ñîïîñòàâ-
ëÿþòñÿ ïðåäñòàâлениям
1
Φ
[αβ]
∼ (0, 1), Φ
′
µ[αβ]
∼ [(
1
,
2
2
) ⊕ (
1
3
,
)], Φ
2
2
[µν][αβ]
∼ (1, 1),
(3.159)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 135
причем условия ñàìîäóàëüíîñòè òåíçîðà
1
ε
2
Òåíçîð
Φ
µ[αβ](Φα[αβ]
ηξαβ
Φ
Φ
[µν][αβ]
′
µ[αβ]
= 0)
= iΦ
[µν][ηξ]
,
ìîæåò áûòü выражåí ÷åðåç âеличины
,ñîïîñòàâляемыеïðåäñòàâлениям
Φ
[µν][αβ]
èìåþò âèä
1
ε
Φ
ηξµν
2
[µν][αβ]
= −iΦ
Φβ= Φ
(1/2, 1/2)è(1/2, 3/2)
ñîîòâåòñòâåííî, ñëåдующим образîì (ñì. ôîðìóëó (3.129)):
1
Φβ≡ Φ
µ[αβ]
+
(δµαΦβ− δµβΦα− iε
3
µαβρΦρ
).
Ïîäñòàâëÿÿ (3.160) â систему (3.158), ïîлучаем уравнения
1
∂λΦ
λ[αβ]
+
(∂αΦβ− ∂βΦα− iε
3
∂νΦ
[µν][αβ]
αβλρ∂λΦρ
+ ∂µΦ
) + mΦ
+ m[Φ
[αβ]
[αβ]
= 0,
µ[αβ]
1
+
(δµαΦβ− δµβΦα− iε
3
µαβρΦρ
)] = 0,
1
−∂µΦ
ν[αβ]
+ ∂νΦ
µ[αβ]
− iε
µνηξ∂η
Φ
ξ[αβ]
+
(−δνα∂µΦβ+
3
+δνβ∂µΦα− δµβ∂nuΦα+ δµα∂νΦβ+ iε
ναβρ∂µΦρ
[ηξ][αβ]
+
−
.
′
α[αβ]
(3.160)
(3.161)
(3.162)
è
−iε
µαβρ∂nuΦρ
− iε
−ε
µνηξεξαβρ∂ηΦρ
µνηα∂ηΦβ
) + mΦ
+ iε
µνηβ∂ηΦα
[µν][αβ]
−
= 0.
(3.163)
Преобразóåì систему (3.161)(3.163) ê âèäó, ïîçâîляющему çàïèñàòü
åå â ñòандарòíîé ìàòричной ôîðìå (1.2). Â уравнении (3.162) ïðîâåäåì
операцию ñâåðòêè ïî индекñàì
∂νΦ
[αν][αβ]
Заметим, ÷òî фигурирующий çäåñü òåíçîð
Φ
,ïðåäñòàâлению
[µν][αβ]
(1, 1)
µ, α
. Ýòî äàåò
+ ∂αΦ
+ mΦβ= 0.
[αβ]
Φ
[αν][αβ]
ñîîòâåòñòâóåò, êàê è
.Выражая èç ñîîтношения (3.164)÷ëåí
(3.164)
mΦ
è ïîäñòàâëÿÿ åãî â (3.162), ïîлучим уравнение
1
∂νΦ
[µν][αβ]
+δµα∂νΦ
+ ∂µΦ
[ην][ηβ]
+iε
− δµβ∂νΦ
µαβρ∂η
[αβ]
Φ
−
) +mΦ
[ηρ]
(δµα∂ηΦ
3
[ην][ηα]
+ iε
µ[αβ]
− δµβ∂ηΦ
[ηβ]
µαβρ∂ν
= 0
+
[ηα]
Φ
.
[ην][ηρ]
+
(3.165)
β
136 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Óравнение (3.163) ìîæíî óïðîстить, îñóùåствив ñâåðòêó ïî индекñàì
µ, α
è âîñïîëüçîâавшись ôîðìóëîé (3.141). Â ðåçóëüòàòå áóäåì иметь
−∂ηΦ
+2∂βΦν− δνβ∂ρΦρ) + mΦ
ν[ηβ]
− iε
ρνηξ∂η
Φ
ξ[ρβ]
+
(2∂νΦβ+
3
[ην][ηβ]
= 0.
(3.166)
Óравнения (3.161), (3.164)(3.166) образóþò24-êîмпонентнуюP-неинвà-
риантную систему, эквивàлентную èñõîäíîìó уравнению (3.89).
Àíàлогичным образîì уравнение (3.90) ïðèâîäèòñÿ ê òåíçорной ñè-
стеме,êîòîðàÿôîðìàëüíî ìîæåòáûòü âûâåäåíàèç системы(3.161), (3.164)
(3.166) путем замен
1
Φ
ãäåâеличины
[αβ]
Φ
∨
−→
[αβ]
∨
, Φ
Φ
[αβ]
∨
,
Φ
λ[αβ]
λ[αβ]
ñîïîñòàâëÿþòñÿ ïðåäñòàâлениям
−→
∨
Φ
λ[αβ]
, ε
µναβ
−→ −ε
,
µναβ
(1, 0), (3/2, 1/2)
Ïðèñîâìåñòíîì рассмоòрении ýòèõ систем ïîлучаетñÿ 48-êîмпонентная
системà
∂νΦ
[αν][αβ]
+ ∂αΦ
+ mΦβ= 0,
[αβ]
1
∂λΦ
λ[αβ]
+
(∂αΦβ− ∂βΦα− iε
3
αβλρ∂λΦρ
) + mΦ
[αβ]
= 0,
1
∂νΦ
[µν][αβ]
+δµα∂νΦ
+ ∂µΦ
[ην][ηβ]
−
[αβ]
(δµα∂ηΦ
3
− δµβ∂νΦ
[ην][ηα]
− δµβ∂ηΦ
[ηβ]
+ iε
µαβρ∂η
Φ
[ηα]
[ηρ]
+
+
.
+iε
µαβρ∂ν
Φ
[ην][ηρ]
) + mΦ
µ[αβ]
= 0,
1
−∂ηΦ
∂
∨
∂
Φ
λ
λ[αβ]
+
ν[ηβ]
ν
1
3
−iε
∨
Φ
(∂
+
(2∂νΦβ+ 2∂βΦν− δνβ∂ρΦρ)−
3
Φ
ρνηξ∂η
[αν][αβ]
∨
Φ
α
β−∂β
+∂
ξ[ρβ]
α
∨
Φ
+ mΦ
∨
Φ
[αβ]
+iε
α
[ην][ηβ]
+m
αβλρ∂λ
∨
Φ
= 0,
β
∨
Φ
= 0,
) + mΦ
ρ
[αβ]
(3.167)
= 0,
1
∂νΦ
+
δµα∂
[µν][αβ]
ν
+ ∂µΦ
∨
Φ
[ην][ηβ]
−
[αβ]
−δµβ∂
(δµα∂ηΦ
3
∨
Φ
ν
[ην][ηα]
− δµβ∂ηΦ
[ηβ]
+iε
µαβρ∂η
Φ
+
[ηα]
∨
+
[ηρ]
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 137
−∂
+
1
3
(2∂
∨
Φ
[ην][ηρ]
ν
∨
Φ
ξ[ρβ]
Φ
∨
β
) + m
+2∂
+m
+iε
µαβρ∂ν
∨
Φ
η
ν[ηβ]
+iε
ρνηξ∂η
∨
Φ
∨
Φ
β
ν−δνβ∂ρ
∨
Φ
[ην][ηβ]
µ[αβ]
= 0,
= 0,
Φ
∨
)+
ρ
ïðåäñòàâляющая собой òåíçорную ôîðìóлировкó ÐÂÓ диракîâñêîãî òè-
ïà, базирующегîñÿ íà ñõåìå зацеплений (3.95) (èëè (3.107)) è óäîâëå-
òâоряющегî òребованиям èíâариантноñòè è нераспадения îòíîсительно
преобразîâàíèé ïîëíîé ãðóïïû Ëоренца.
3.7. Îá àëãебраичеñêèõ îáобщениях уравне-
íèÿ ДиракàÊýëåðà
Óравнение ÄÊ ìîæåò áûòü çàïèñàíî â ôîðìå
(γµ∂µ+ m)ψ
D
ãäå
ψ
диракîâñêèé биспинор,α ñâîáîäíûé индекñ,ñîîòâåòñòâующий
зарядово-сопряжåííîìó биспинорó
âîãî сопряжåíèÿ. Çàïèñü (3.168) îçíà÷àåò ïåðåõîä ê базисó, â êîòîðîì
ïðåäñòàâление (3.4) òðàêòóåòñÿ êàê прямоå произвåдение
D
= 0,
α
¯
ψc= C(ψD)
(3.168)
∗
;C ìàòðèöà зарядо-
1
[(0,
2
) ⊕ (
1
, 0)] ⊗ [(0,
2
1
) ⊕ (
2
1
, 0)].
2
(3.169)
Ïðè îòêàçå îò ограничений, îáусловленных соображениями, ñâÿçàí-
íûìè ñ ðàçмерноñòüþ ïðîñòранствà ñîñòîÿíèé системы, ôîðìóлировкà
(3.168), (3.169) уравнения ÄÊ допускàåò обобщения, заключающиеñÿ, íà-
пример, â рассмоòрении âñåâîçìîæíûõ произвåдений âèäà
ãäå
(j1+ j2)
1
[(0,
2
принимàåò ïîлуцелые çíàчения.
) ⊕ (
1
, 0)] ⊗ [(j1, j2) ⊕ (j2, j1)],
2
(3.170)
Проанализирóåì ïðåäñòàâления (3.170) ñ òî÷êè зрения âîçìîæíîñòè
ïîñòðîåíèÿ íà èõ îñíîâå íå распадающихñÿ ïî ïîëíîé ãðóïïå Ëоренца
ÐÂÓ диракîâñêîãî òèïà. Ïðè ýòîì îñòановимся íà äâóõ классàõ уравне-
íèé, наибоëåå интереñíûõ ñ нашей òî÷êè зрения è âêëþчающих â ñåáÿ
32- è 48-êîмпонентную системы, исслеäîâанные âûøå.
138 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
1. Возьмем â (3.170)
[(0,
êîòîðîå ïðè
à ïðè
j = 3/2
j = 1/2
äàåò ñõåìó зацеплений (3.96) è 32 -êîмпонентноå ÐÂÓ ñ
1
) ⊕ (
2
j1= 0
. Ïîлучим прямоå произвåдение
1
, 0)] ⊗ [(0, j) ⊕ (j, 0)] (j = j2),
2
совпадает ñ (3.169) è ïðèâîäèò ê уравнению ÄÊ,
òåíçорной ôîðìóлировкîé (3.157). Случаи
ñõåìàì зацеплений
5
j =
2
(0, 2) (2, 0)
| ⊕ |
1
j =
(0, 3) − (
7
2
2
,
2
) (
5
5
2
(0, 2) (2, 0)
j = 5/2, 7/2, ...
1
,
) − (3, 0),
2
(3.171)
ñîîòâåòñòâóþò
(3.172)
(0, 4) − (
| ⊕ |
1
7
,
) (
2
2
7
1
,
2
2
) − (4, 0)
(3.173)
è òàê äàëåå. Èç âèäà ñõåìû (3.172) вытекàåò ìåòîäèêà ïîñòðîåíèÿ íà åå
îñíîâå диракîïîдобногî ÐÂÓ, идентичная òîé, ÷òî èñïîëüçîâàëàñü ïðè
àíàëèçå ñõåìû зацеплений (3.96). Íåñóùåñòâенные ñ òî÷êè зрения ïðî-
öåäóðû различия заклю÷àþòñÿ â íåîдинакîâîñòè спиновîé ñòðóêòóðû
ïîлучаемых уравнений. Åñëè ïðåäñòàâление (3.96) ïðèâîäèò ê îïèñà-
íèþ набора спинов
ïðåäñòàâление (3.173) спины
1, 2
, òî ïðåäñòàâление (3.172) описывàåò спины
3, 4
è ò. ä. Ïðè ñîïîñòàâлении данным
2, 3
òåíçорным ïîëÿì диракîâñêèõ частиц ñ äîïîлнительными âíóòренними
степенями ñâîáîäû âíóòреннее êâàíòîâîå число (èëè числа) принимàåò
ñîîòâåòñòâåííî
2. Случай, êîãäà
8, 12, 16
è ò. ä. çíàчений.
| j1− j2|= 1/2
. Ïîлучающийся ïðè ýòîì класс
уравнений базирóåòñÿ íà ïðèâîдимых ïðåäñòàâлениях, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ
,
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 139
прямыми произвåдениями òèïà
1
[(0,
2
1
[(0,
2
[(0,
) ⊕ (
) ⊕ (
1
) ⊕ (
2
1
, 0)] ⊗ [(
2
1
, 0)] ⊗ [(1,
2
1
, 0)] ⊗ [(
2
1
, 1) ⊕ (1,
2
3
) ⊕ (
2
3
, 2) ⊕ (2,
2
3
2
1
2
, 1],
3
2
],
(3.174)
(3.175)
]
(3.176)
è òîìó ïîдобноå. Произвåдению (3.174) ñîîòâåòñòâóåò ñõåìà зацеплений
(3.95) (èëè (3.107)) è 48-êîмпонентноå ÐÂÓ диракîâñêîãî òèïà, ìàòðè÷-
íàÿ è òåíçорная ôîðìóлировки êîòîðûõ äàíû â ïðåдыдущих ðàçделах.
Ïðåäñòàâлениям (3.175), (3.176) îòâå÷àþò ñõåìû зацеплений
1
3
(
,
) − 2(1, 1) −
2
2
| | |
3
(1, 2) − 2(
,
2
3
(1, 2) − 2(
,
2
(3
2
3
) − (2, 1),
2
3
) − (2, 1)
2
1
,
)
2
(3.177)
| | |
3
5
(
,
) − 2(2, 2) − (
2
2
5
3
,
),
2
2
(3.178)
имеющие ñòðóêòóðó, ñõîäíóþ ñ (3.95).
Âîçìîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ íà îñíîâå ñõåì зацеплений данногî классà
P
-èíâариантногî ÐÂÓ диракîâñêîãî òèïà вытекàåò èç òîãî, ÷òî êаждой èç
íèõ ìîæíî ñîïîñòавить уравнение Диракà äëÿ биспинора ñî ñâîáîäíûì
индекñîì, ñîîòâåòñòâующим ïðåäñòàâлению
[(j1, j2) ⊕ (j2, j1)]
. Ïðè ýòîì
ñõåìà (3.95) â ðàìêàõ ñòандарòíîé òðàêòîâêè ÐÂÓ äàåò îïèñàíèå набора
спинов
íû
0, 1, 2
; ñõåìà (3.177) описывàåò спины
0 , 1, 2, 3 , 4
0, 1, 2, 3
; ñõåìà (3.178) ñïè-
è ò. ä. Ïðè ñîïîñòàâлении óêазанным ÐÂÓ, ïî àíàлогии ñ
уравнением ÄÊ, частиц ñî спиноì 1/2 è âíóòренними степенями ñâîáîäû
ñîîòâåòñòâующее собирательноå âíóòреннее êâàíòîâîå число принимàåò
12, 24, 40
è ò. ä. çíàчений.
140 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Òàêèì образîì, ïðåäëîæенный ñïîñîá обобщения уравнения Диракà
Êýëåðà ïðèâîäèò ê äâóì типам диракîïîдобных, èíâариантных è íå ðàñ-
падающихñÿ â смысле ïîëíîé ãðóïïû Ëоренца ÐÂÓ, êîòîðûå ïî ñâîèì
ñâойствàì ñõîæè ñ уравнением ÄÊ, íî ïðåäîñòàâëÿþò áîëåå широкие
âîçìîæíîñòè ñ òî÷êè зрения ãåîìåòðèçîâанногî îïèñàíèÿ âíóòренних
степеней ñâîáîäû диракîâñêèõ частиц.
Отметим, ÷òî ÐÂÓ ñî ñõåìàìè зацеплений òèïà (3.170) рассмàòðèâà-
ëèñü â ðàáîòàõ [109, 110] (âíå âñÿêîé ñâÿçè ñ ïîëåì ÄÊ è äëÿ èíûõ целей).
Ðÿä äðóãèõ обобщений уравнения ÄÊ ïðåдлагаëèñü â ðàáîòàõ [111113].
Äàльнейшее развитие данногî ïîäõîäà ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíî ïðè
ïåðåõîäå ê ôîðìóлировкå теории ïîëÿ ÄÊ â ïðîñòранствàõ высших ðàç-
мерноñòåé (ñì. [51, 114]).
3.8. Âíóòренние степени ñâîáîäû â теории ÷à-
ñòèö ñî спиноì 3/2
 ïðåдыдущих ðàçделах íà îñíîâå èñïîëüçîâàíèÿêðàòíûõ непривîäè-
ìûõ ïðåäñòàâлений ãðóïïû Ëоренца áûëà ïîдробно исслеäîâàíà âîç-
ìîæíîñòü ïðîñòранственно-временногî îïèñàíèÿ âíóòренних степеней
ñâîáîäû частиц ñ низшими çíàчениями спина. Исслеäóåì íåêîòîðûå èç
âîçìîæíûõ ðåàлизаций òàêîãî îïèñàíèÿ íà примере теории частиц ñî
спиноì 3/2 [115117]. Äëÿ ýòîãî âернемся ê рассмоòренным â ðàçäåëå 1.3
äâóì âариантàì ÐÂÓ äëÿ спина 3/2 ñî спиновыми áëîêàìè ìàòðèöû
Γ
(1.75). Опускàÿ вычисления, ïîçâîляющие îñóùåствить ïåðåõîä èç áàçè-
ñà ÃельфандаЯгëîìà â спинорный базис, ïðèâåäåì èõ âèä â спинорой
ôîðìå:
∓
±
1
2√6
1
2√6
(∂
(∂
˙a
ψc+ ∂
b
˙
b
ψ˙c+ ∂
a
1
2
1
2
˙a
ψb) +
c
˙c
ψ
a
∂
∂
b
a˙b
˙
) +
˙ab
ψ
ψb±
1
˙
b
∓
1
(∂
2
1
(∂
2
√
6
1
√
6
ψ
˙
db
d˙bψ˙c
∂
∂
b
(˙d ˙a)
c
(da)
b
˙c
ψ
˙c
c
˙
+ m ψa= 0,
(ab)
( ˙a˙b)
ψ
+ m ψ˙a= 0,
c
+ ∂
˙
dc
d ˙c
+ ∂
ψ
ψ
(˙d ˙a)
b
) + m ψ
˙
b
) + m ψ
(da)
˙a
(bc)
(˙b ˙c)
a
(3.179)
= 0,
= 0,
4
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]