Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы
.pdf
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 221
тельной ìåòðèêè çäåñü íåóñòранимы, à çíà÷èò, è физичеñêè непроòèâî-
ðå÷èâîå êâàíòîâàíèå уравнений ñ âíóòренней симметðèåé, описываемой
êîìïàêòíîé ãðуппой, ïî àíîìàльной ñòàтистикå íåâîçìîæíî.
5.4. Квантîвание SU(1, 1)-инвариантных äè-
ðàêîâñêîãî è ñêàлярногî ïîëåé
Рассмоòðèì примеры êâàíòîâàíèÿ íåêîòîðûõ êонкретных ïîëåé ñ
íåêîìïàêтными ãðуппами âíóòренней симметðèè. Возьмем систему èç
äâóõ уравнений Диракà
(γµ∂µ+ m) ψi(i = 1 , 2).
Çàïèñàâ åå â ñòандарòíîé ìàòричной ôîðìå (1.2), ïîлучим â базисå
ψ = (ψ1, ψ2) −
äëÿ ìàòðèö
Лагранжиан системы (5.80) âûáåðåì â âèäå (3.62), ÷òî ïðè ïåðåõîäå
ê ôîðìå (1.2) çàïèñè ýòîé системы эквивàлентно ñëåдующему заданию
ìàòðèöûηâ ñîîòâåòñòâующем ÐÂÓ (1.2) лагранжиане (1.11):
Êàê ïîêазано ранее, лагранжиан (1.11) ñ âîëíîâîé ôункцией (5.81),
ìàòрицами
антен îòíîсительно преобразîâàíèé íåêîìïàêòíîé ãðóïïû âíóòренней
симметðèè
èëè èçîморфную åé ãðóïïó
мешивàþò îäíîтипные ñîñòîÿíèÿ ñ различными çíàчениями êâàíòîâîãî
числаiè ñîîòâåòñòâóþò âíóòренней степени ñâîáîäû (Π-четноñòè ïî
нашей òåðìèíîлогии), ïðèñóùåé рассмàòðèâаемой ïîëåâîé системе. Ýòà
степень ñâîáîäû ìîæåòáûòü îïèñàíà операòîðîìˆΠ
Γµðàçмерноñòè
Γµ(5.82) è ìàòрицей билинейной ôîðìûη(5.83) èíâàðè-
SO(3, 2)
, ñîдержащей â êà÷åñòâå ïîäãðóïïû ãðóïïó
8 × 8
Γµ= I2⊗ γµ.
η = σ3⊗ γ4.
SU(1, 1)
ñòîëáåö (5.81)
выражåíèå
. Преобразîâàíèÿ ïîñëåäíåé ïåðå-
, ñîдержащимся ñðåäè
(5.80)
(5.82)
(5.83)
SO(2, 1)
,
222 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
преобразîâàíèé ãðóïïû
ìè
±1
(минимàльный ïîëèíîìˆΠ2− 1 = 0
ˆ
Π
выражåíèå
SU(1, 1)
ˆ
Π = σ3⊗ I4.
. Выбирая çíàченияΠ-четноñòè равны-
), ïîñòóëèðóåì äëÿ операòîðà
(5.84)
Ýòîò операòîð, êàê íåòðóäíî óáåдиться, óäîâëåòâоряет âñåì òребовàíè-
ÿì, ñôîðìóлированным â ðàçäåëå 5.2 ïðè èçëîæåíèè общегî ïîäõîäà, â
òîì числе условию (5.15), îáåñïå÷èâающему применимоñòü ìåòîäà ïðî-
åêтивных операòîðîâ. Отметим òàêæå, ÷òî ãðóïïà âíóòренней симмет-
ðèè рассмàòðèâаемогî ÐÂÓ образóåò прямоå произвåдение (êîммутирó-
åò) ñ ãðуппой Ëоренца, òàê ÷òî îïðåделение (5.84) íîñèò релятивистñêè-
èíâариантный õàðàêòåð.
Âêà÷åñòâåïîëíîãîнабора операòîðîâ,классифицирующихñîñòîÿíèÿ
частицы, â данноì случае ñëóæàò операòîðûˆp,ˆSn,ˆΠ
(±)
il
i
Γ[1Γ2])
4
=ψ
. Â базисå
(+)
, ψ
1
1
2
(+)
1−
1
2
, ψ
(−)
1,
1
2
, ψ
(−)
1−
1
2
, ψ
(+)
−1
1
2
, ψ
(+)
−1−
ˆ
Sn=ˆS3= −
ψ = ψ
(â системе ïîêîÿ
1
2
, ψ
(−)
−1
1
2
, ψ
(−)
−1−
1
2
(5.85)
(l = k = 1/2, −1/2)
ïðîåêтивные операòîðû
τ
,
π
,
β
±
, вычисленные ïî
i
k
ôîðìóëàì (5.16)(5.18), â системе ïîêîÿ èìåþò âèä
τ+= I2⊗
π1=
1
β
= I2⊗
2
diag
(1, 1, 0, 0), τ−= I2⊗
diag
(1, 1, 0, 0) ⊗I2, π2=
diag
(1, 0, 1, 0), β
1
−
2
diag
= I2⊗
diag
(0, 0, 1, 1, ),
(0, 0, 1, 1, ) ⊗ I2,
diag
(0, 1, 0, 1, ).
(5.86)
Ïîäñòàâëÿÿ (5.86), à òàêæå выражåíèå (5.83) äëÿ ìàòðèöû билинейной
ôîðìûηâ ôîðìóëû (5.21), (5.23), íàõîäèì
(+)
g
1k
= g
(−)
= 1, g
2k
(−)
1k
= g
(+)
2k
= −1.
(5.87)
Ðàâенствà(5.87) îçíà÷àþò, ÷òî,âо-первых, â рассмàòðèâàåìîìслучае èìå-
åò ìåñòî обычноå äëÿ ïîлуцелогî спина ñîîòâåòствие (5.25) è, âî âòîðûõ,
âûïîлняетñÿ условие (5.66) (íàïîìíèì
gil≡ g
(+)
), ïðè êîòîðîì îáåñïå-
il
÷èâàåòñÿ êоррекòíàÿ âåðîÿòíîстная интерпретàöèÿ теории.
Êâàíòîâàíèå
SU(1, 1)
-симметричногî диракîâñêîãî ïîëÿ ïî ñòàтисти-
êåÔÄ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîñðåäñòâîì ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîтношений (5.39)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 223
(ñ антикîììóòàòîðîì) è îïðåделений (5.40), принимающих применитель-
íî ê рассмàòðèâàåìîìó случаю ñîîòâåòñòâåííî âèä
[a1k(p),
[a2k(p),
+
′
a
(p′)]+= [b1k(p),
1k
+
′
a
(p′)]+= [b2k(p),
2k
+
′
(p′)]+= δ
b
1k
+
′
(p′)]+= −δ
b
2k
′
δ(p − p′),
kk
′
δ(p − p′)
kk
(âñå îñòàльные антикîììóòàòîðû равны íóëþ) è
(−)
1k
= −
=
+
b
1kb1k
+
b
2kb2k
,
.
N
(+)
2k
(+)
N
1k
= −
=
+
a
2ka2k
+
a
1ka1k
, N
, N
(−)
2k
Êâàíòîâàíèå ïî ÁÝ (àíîìàльная ñòàтистикà) îñóùåñòâëÿåòñÿ â ñîîò-
âåòствии ñ общими ñîîтношениями (5.48), (5.49) ïî ôîðìóëàì
[a1k(p),
[a2k(p),
+
′
a
(p′)]−= [b2k(p),
1k
+
′
a
(p′)]−= [b1k(p),
2k
+
′
(p′)]−= δ
b
2k
+
′
(p′)]−= −δ
b
1k
′
δ(p − p′),
kk
′
δ(p − p′)
kk
(âñå îñòàльные êîììóòàòîðû равны íóëþ) è
N
N
(+)
1k
2k
(+)
+
a
=
= −
1ka1k
+
a
2ka2k
, N
, N
(−)
1k
= −
(−)
2k
=
+
b
1kb1k
+
b
2kb2k
,
.
(5.88)
(5.89)
(5.90)
(5.91)
Îòñóòствие îòðèöàтельных âåðîÿòíîñòåé ïðè обоих ñïîсобах êâàíòî-
âàíèÿ вытекàåò íåïîñðåäñòâåííî èç ïðîâåденногî â ïðåдыдущем ðàçäåëå
исслеäîâàíèÿ, целикîì применимогî ê данноìó случаю.
Рассмоòðèìтеперь ñâîáîäíóþïîëåâóþсистему, описываемуюлагран-
жианоì
L = − (σ3)
ãäå
φ = ( φ0, φµ)
4
-âåêòîðà;i,j нелоренцевñêèå индекñû, ïðîáегающие çíàчения
пятимерная âîëíîâàÿ ôункция, ñîñòîÿùàÿ èç ñêàëÿðà è
¯
φi(βµ∂µ+ m) φj,
ij
(5.92)
1, 2;β
пятимерные ìàòðèöû ÄàôôèíàÊеммера. Варьирóÿ лагранжиан (5.92),
ïðèõîäèì ê системе äâóõ уравнений ÄàôôèíàÊеммера
(βµ∂µ+ m) φj= 0,
(5.93)
µ
224 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
описывающей частицу ñî спиноì 0 è îáладающей ãðуппой âíóòренней
симметðèè
(1.2), â êîòîðîé
SU(1, 1)
ψ = (φ1, φ2)
. Êàê è ранее, ïðåäñòàâèì систему (5.93) â ôîðìå
ñòîëáåö è
Γµ= I2⊗ βµ.
(5.94)
Òîãäà äëÿ лагранжиана (5.92) ïîлучим ñòандарòíîå выражåíèå (1.11) ñ
ìàòрицей билинейной ôîðìû
ãäå
η = σ3⊗ η5,
η
àíàлогичная ìàòðèöà â обычной пятимерной теории Äàôôèíà
5
(5.95)
Êеммера äëÿ ñêàлярной частицы:
η5=
diag
(1, −1, −1, −1, 1).
(5.96)
Ïîñêîëüêó â рассмàòðèâàåìîì случае îòñóòñòâóþò операòîðû спина,
çäåñü ìîæíî (è öåëåсообразно) íå применять ôîðìàëèçì ïðîåêтивных
операòîðîâ.Ïîýòîìóпроцеäóðóêâàíòîâàíèÿ
SU(1, 1)
-симметричногîñêà-
лярногî ïîëÿ áóäåì ïðîâîäèòü, ñëåäóÿ ïîäõîäó ðàáîòû [148].
Äâóêðàòíîå, ïî сравнению ñ обычным пятимерным уравнением Äàô-
ôèíàÊеммера, óâеличение êîмпонент âîëíîâîé ôункции è ðàçмерноñòè
ìàòðèö
степенью ñâîáîäû. Ñîîòâåòñòâующий åé операòîðˆΠ
ðàòîðîì4-èìïóëüñà
операòîðîâ äëÿ рассмàòðèâаемой системы.  êà÷åñòâå операòîðàˆΠ
íî взять îäèí èç ãенераòîðîâ ãðóïïû âíóòренней симметðèè
Γµ(5.94) ñâязано ñ äîïîлнительной (ïîìèìî спина) âíóòренней
êîммутирóåò ñ îïå-
ˆp = ipµΓµè образóåò âìåñòå ñ íèì ïîëíûé набор
ìîæ-
SU(1, 1)
íàпример,
,
ˆ
Π = σ3⊗ I5,
собственные çíàчения êîòîðîãî
λ
равны±1.
i
C ó÷åòîì êâàíòîâîãîчислаi, ñîîòâåòñòâующегîΠ-четноñòè, разлоæå-
íèå âîлновых ôункций
ψ(x)
,¯ψ(x)
ïî ïëîñêèì âîëíàì îñóùåñòâëÿåòñÿ
ñëåдующим образîì:
ψ(x) = (2 π)
¯
ψ(x) = (2 π)
3
−
2
i
3
−
2
ai(p)ψ
+
a
i
(p)¯ψ
i
(+)
i
(+)
i
(p)e
(p)e
ipx
−ipx
+
+
b
i
+ bi(p)¯ψ
(p)ψ
(−)
i
(p)e
(−)
i
(p)e
−ipx
ipx
d3p,
d3p.
(5.97)
(5.98)
(5.99)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 225
Ïîäñòàâëÿÿ разлоæåíèÿ (5.98), (5.99) â ôîðìóëû (5.33), (5.34), ïîлучим
äëÿ зарядаQè энергииEñâîáîäíîãî ïîëÿ выражåíèÿ
Q = e
E =
i
+
a
+
a
i
iai|p0
iai
|¯ψ
ψ
¯
(+)
i
(+)
i
Γ4ψ
Γ4ψ
(+)
i
(+)
i
−
+
i
+
(−)
¯
b
ψ
b
i
i
+
b
b
i
i|p0
Γ4ψ
i
i
(−)
|¯ψ
i
(−)
i
Γ4ψ
(−)
i
,
.
(5.100)
(5.101)
Êâàíòîâàíèå ïî íîðìàльной (ÁÝ) ñòàтистикå áóäåì îñóùåñòâëÿòü ñ
ïîмощью ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîтношений
2
1
(p′)
(p′)
= δ (p − p′) ,
−
= −δ (p − p′)
−
(5.102)
a1(p),
a2(p),
2
1
(p′)
(p′)
=b1(p),
−
=b2(p),
−
+
a
+
a
+
b
+
b
è âñå îñòàльные êîììóòàòîðû между операòорами
ai,
+
a
+
,
bi,
i
b
i
равны
íóëþ. Операòîðû числа частиц, ñîîòâåòñòâующие òàêîìó êâàíòîâàíèþ,
îïðåделяюòñÿ ñëåдующим образîì:
+
+
a
=
1
+
a
2a2
, N
1a1
, N
−
2
N
+
2
N
= −
Íåòðóäíî óáåдиться, ÷òî собственные çíàчения операòîðîâ
−
1
= −
=
+
b
+
b
1b1
2b2
,
.
N
(5.103)
±
принимà-
i
þò çíàчения 0, 1, 2, ... .
±
±
Íîðмировкà ôункций
ψ
¯
,
ψ
i
îïðåделяетñÿ çíàêîïîâåдением ïëîòíî-
i
ñòè энергииωè зарядаρклассичеñêîãî ïîëÿ. Êàê вытекàåò èç сравнения
âèäà ìàòðèö (5.95) è (5.97), знаки ýòèõ âеличин èçменяюòñÿ íà ïðîòèâîïî-
ëîæíûå ïðè èçменении êâàíòîâîãî числаi çíàêàΠ-четноñòè. Äðугими
ñëîâàìè, íîðмировкà ïî заряду çäåñü имеет âèä
±
ψ
1
Γ4ψ
±
= ±1,
1
¯
ψ
±
2
Γ4ψ
±
= ∓1,
2
(5.104)
¯
îòêóäà ñëåäóåò
ψ
±
¯
ψ
1
m
±
=
1
,
|p0|
¯
ψ
±
Γ4ψ
2
±
2
= −
m
|p0|
.
(5.105)
226 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Ñîîтношения (5.102)(5.105) ïðèâîäÿò ê ñëåдующим выражениям äëÿ
заряда (5.100) è энергии (5.101) êâàíòîâанногî ïîëÿ:
Q = e
E =
i
N
i
|p0|N
+
i
+
i
− N
+ N
−
i
−
i
− 1,
+ 1.
(5.106)
(5.107)
Выражåíèå (5.107) ñîîòâåòñòâóåò îïðåделению âàêóóìà â êâàíòîâîé
теории êàê ñîñòîÿíèÿ ñ наинизшей энергией. ×òî êàñàåòñÿ (5.106), òî
áåñêîíå÷íóþ êîíñòàíòó â íåì ìîæíî óñòранить, åñëè èñõîäèòü èç îïðå-
деления ïëîòíîñòè òîêà â классичеñêîé теории
jµ=
ie
¯
ψM(x), ψN(x)
2
(Γµ)MN.
+
(5.108)
Òîãäà äëÿ зарядаQïîлучим çíàчение
Q = e
+
N
i
i
− N
−
.
i
(5.109)
Êâàíòîâàíèå ïî àíîìàльной (ÔÄ) ñòàтистикå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîñðåä-
ñòâîì антикîììóòационных ñîîтношений
(p′)
2
(p′)
= δ (p −p′) ,
+
= −δ (p − p′) .
+
(5.110)
a1(p),
a2(p),
1
(p′)
(p′)
=b2(p),
+
=b1(p),
+
+
a
+
a
2
+
b
+
b
1
Ïðè ýòîì операòîðû числа частиц задаюòñÿ ñëåдующим ñïîñîáîì:
N
N
+
+
a
=
1
+
= −
2
1a1
+
, N
a
2a2
−
1
, N
= −
−
2
=
+
b
+
1b1
b
2b2
,
,
(5.111)
ãäåзнаки
(±)
âправых ÷àñòÿõвыбраны òàê, ÷òîáû îáåñïå÷èòüправильные
собственные çíàчения 0, 1 ýòèõ операòîðîâ.
Ïîäñòàâëÿÿ íîðмировкó (5.104) â ôîðìóëû (5.100) è (5.101) è учиты-
âàÿ условия êâàíòîâàíèÿ (5.110), (5.111), ïîлучаем äëÿ заряда è энергии
êâàíòîâанногî ïîëÿ â данноì случае выражåíèÿ
Q = e
E =
i
N
i
|p0|N
+
i
+
i
− N
+ N
−
i
−
i
+ 1,
− 1.
(5.112)
(5.113)
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 227
 (5.113) энергия ñ
N
+
i
= N
−
= 0
i
имеет îáðàòíûé çíàê ïî сравнению
ñ (4.4.28), íî îíà по-прежнему ÿâëÿåòñÿ наименьшей è, ñëåäîâàтельно,
ñîîòâåòñòâóåò ñîñòîÿíèþ âàêóóìà.
 îтношении зарядаQ(5.112) ïðîáëåìà разрешаетñÿ заменой îáû÷-
íîãî îïðåделения ïëîòíîñòè òîêà â классичеñêîé теории íà выражåíèå
jµ=
ie
¯
ψM(x), ψN(x)
2
(Γµ)MN,
−
(5.114)
è òîãäà â êâàíòîâîì случае ïîлучим äëÿQправильную ôîðìóëó (5.109).
Применительно ê ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîтношениям (5.102) ìàòðèöà
зарядовîãî сопряжåíèÿˆC
ˆ
ˆ
Ca
C−1= bi,
i
äîëæíà óäîâëåòâорять условиям
C
ˆ
+
a
i
C−1=
+
ˆ
,
b
i
(5.115)
òîãäà êàê â случае (5.110) íàäî ïîëîæèòü
ˆ
C
Ca
+
ˆ
a
ˆ
C−1= b2,
1
ˆ
C−1=
1
+
,
b
2
C
ˆ
ˆ
Ca
+
a
ˆ
C−1= b1,
2
ˆ
C−1=
2
+
.
b
1
(5.116)
Ïîñêîëüêó äëÿ обычногî (áåç âíóòренней симметðèè) пятимерногî
уравнения ÄàôôèíàÊеммераˆC = I5, òî äëÿ óäîâëåòâорения условиям
(5.115) ñëåäóåò çàäàòü
ˆ
C = I2⊗ I5= I10,
(5.117)
à â случае условий (5.116)
ˆ
C = σ1⊗ I5.
(5.118)
Èñïîëüçóÿ разлоæåíèÿ (5.98), (5.99) è íîðмировî÷íûå ñîîтношения
(5.104), (5.105), ïðè êâàíòîâàíèè ïî обоим типам ñòàтистики ïîлучаем
ψM(x′),¯ψN(x′′)
ãäå
x = x′−x′′è
∆0(x)
íîñòè ïðè êâàíòîâàíèè
имеет âèä (5.12). Ñëåäîâàтельно,принцип причин-
∓
SU(1, 1)
= i (Γµ∂µ− m)MN∆0(x),
(5.119)
-èíâариантногî ñêàлярногî ïîëÿ â обоих
случаях âûïîлняетñÿ.
Èíâариантноñòü лагранжиана îáñóждаемой ïîëåâîé системы îòíîñè-
тельно преобразîâàíèé íåêîìïàêòíîé ãðóïïû
SU(1, 1)
ïðèâîäèò ê ñî-
храняющемуся зарядуGâèäà (5.64), êîòîðûé ñ ïîмощью вычислений,
228 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
àíàлогичных òåì, ÷òî ïðîâîдились ïðè ïîлучении ôîðìóëû (5.43), ìî-
æåò áûòü преобразîâàí ê âèäó
G ∼
+
λ
N
i
i
i
− N
−
.
i
(5.120)
Перепишемäëÿ óдобствà äàльнейших ðàññóждений выражåíèÿ(5.109)
è (5.120) â ðàçâернутîì âèäå
Q ∼N
G ∼N
+
1
1
+
− N
− N
−
1
1
−
+ N
− N
+
2
+
2
− N
+ N
−
,
2
−
.
2
(5.121)
(5.122)
Ïðè êâàíòîâàíèè ïî ñòàтистикå ÁÝ ïîñðåäñòâîì ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîò-
ношений (5.102) â ïîäïðîñòранствà ñ ïîëîжительной
íîé
(H−)
íîðìîé попадаюò îäíîчастичные ñîñòîÿíèÿ
+
H+: ψ
−
, ψ
, H−: ψ
1
1
(H+)
è îòðèöàòåëü-
+
−
, ψ
,
2
2
(5.123)
à ïðè êâàíòîâàíèè ïî ñòàтистикå ÔÄ ñ ïîмощью ñîîтношений (5.110)
имеем
H+: ψ
−
, ψ
, H−: ψ
1
2
+
−
, ψ
.
2
1
(5.124)
+
Èçсравнения разбиений(5.123), (5.124)ñ выражениями(5.121), (5.122)
äëÿ зарядовQèGñëåäóåò, ÷òî îäíîчастичнымñîñòîяниям, îòíîсящимся
ê ïîäïðîñòранствàì
H+,
H−, ïðè êâàíòîâàíèè ïî ñòàтистикå ÁÝ ñîîòâåò-
ñòâóþò заряды
H+: (+1, +1), (−1, −1), H−: (+1, −1), (−1, +1),
(5.125)
à ïðè êâàíòîâàíèè ïî ñòàтистикå ÔÄ ïîлучаетñÿ ñîîòâåòствие
H+: (+1, +1), (−1, +1), H−: (+1, −1), (−1, −1),
(5.126)
ãäåïåðâàÿ цифра â ñêîáêàõ îòíîñèòñÿ ê ýëåêòðè÷åñêîìó, âòîðàÿ ê äîïîë-
нительноìó зарядуG. Очевидно, ÷òî â случае (5.123), (5.125) ñîâìåñòíîå
âûïîлнение çàêîíîâ ñîхранения äëÿQèGàâòîìàòè÷åñêè ïðèâîäèò ê
çàïðåòó физичеñêè неприемлемых ïåðåõîäîâ между ñîñòîяниями èç
è
H−.
H
+
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 229
 случае æå (5.124), (5.126) íàäî åùå ó÷åñòü, ÷òî â ñèëó îïðåäåëå-
íèÿ (5.116), (5.118) операции зарядовîãî сопряжåíèÿ äëÿ ýòîãî случая ñ
данной операцией ñâÿçûâàåòñÿ íå òîëüêîèçменение çíàêà ýëåêòðè÷åñêîãî
+
заряда, íî è çíà÷åíèÿΠ-четноñòè. Ïîýòîìó ñîñòîÿíèÿ
ψ
−
è
ψ
i
íå ÿâëÿ-
i
þòñÿ ïî îтношению äðóã ê äðóãó ñîñòîяниями частицы è античастицы.
Òàêèì образîì, ñîâìåñòíîå âûïîлнение çàêîíîâ ñîхранения äëÿ зарядов
QèG
âàåò êоррекòíóþ âåðîÿòíîстную интерпретàöèþ êâàíòîâàíèÿ
ñ ïðèâëåчением условия ñîхранения зарядовîé четноñòè îáåñïå÷è-
SU(1, 1)
симметричногî ñêàлярногî ïîëÿ è ïî ñòàтистикå ÔÄ.
5.5. Квантîвание SU(2, 2)-инвариантногî äè-
ðàêîâñêîãî ïîëÿ è ïîëÿ ДиракàÊýëåðà
Рассмоòðèì систему èç четыреõ уравнений Диракà (3.54) è âûáåðåì
åå лагранжиан â âèäå (3.55). Ñòандарòíàÿ ìàòричная ôîðìà (1.2) ýòîé
системы â базисå
-
ψ = ( ψ1, ψ2, ψ3, ψ4) −
ñîîòâåòñòâóåò ìàòрицам
Γ
µ
Γµ= I4⊗ γ
ñòîëáåö (5.127)
µ
(5.128)
è ìàòðèöå билинейной ôîðìû
η = γ4⊗ γ
4
(5.129)
â лагранжиане (1.11).
Наибоëåå ïîëíîé ãðуппой âíóòренней симметðèè òàêîãîлагранжиана
ÿâëÿåòñÿ óíèòарная íåêîìïàêòíàÿ ãðóïïà, èçîморфная ãðóïïå
SO(5, 4)
Âíóòренние степени ñâîáîäû, îòâåчающие четыреõêðàòíîìó âûðîæäå-
íèþ ñîñòîÿíèéрассмàòðèâаемойïîëåâîé системы, описывàþòñÿ ãðуппой
âíóòренней симметðèè
è ÿâляющейся ïîäãðуппой ãðóïïû
SU(2, 2)
, перемешивающей óêазанные ñîñòîÿíèÿ
SO(5, 4)
.
Ñîïîñòàâèì ýòèì степеням ñâîáîäû êîммутирующие между собой
операòîðû
ˆ
Π = γ4⊗ I4,
ˆ
Π′= −
i
Γ
4
′
′
Γ
,
[1
2]
(5.130)
(5.131)
.
230 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
′
ãäå ìàòðèöû
′
Γ
, Γ
îïðåделяюòñÿ ñîãласно (3.67). Êðîìå ýòèõ операòîðîâ
1
2
â ïîëíûé набор âêëþ÷àþòñÿ обычные операòîðû 4-èìïóëüñàˆpè ïðî-
екции спинаˆS3(â системе ïîêîÿ). Êâàíòîâûå числа, описывающие ñîá-
ñòâенные çíàчения операòîðîâˆΠ
r (i = 1, 2; r = 1/2, −1/2)
çíàчениями
λ
операòîðàˆΠ′.
r
, причем çíàченияrсовпадаюò ñ собственными
(5.130),ˆΠ′(5.131), обозна÷èì ÷åðåçiè
Äëÿ óñòàíîâления зависимоñòè ïëîòíîñòè энергии è заряда классиче-
ñêîãî ïîëÿ îò êâàíòîâûõ ÷èñåëièrнайдем âèä ïðîåêтивных операòîðîâ
τ
,
±
ñòðóêòóðó минимàльных ïîëèíîìîâ операòîðîâˆΠ
′
π
,
π
,
β
i
, ñîîòâåòñòâующих операòîðàì ïîëíîãî набора. Учитывàÿ
k
r
ˆ
Π2− 1 = 0,
,ˆΠ
′
(5.132)
1
(ˆΠ′)2−
= 0,
(5.133)
4
ïîлучим â системе ïîêîÿ
τ+= I4⊗
π1=
′
π
=
diag
1
2
1
β
= I4⊗
2
Вычисляя ïî ôîðìóëå (5.23) числа
ðàòîðû
(±)
τ
≡ τ
il
diag
(1, 1, 0, 0), τ−= I4⊗
diag
(1, 1, 0, 0) ⊗I4, π2=
(1, 0, 1, 0) ⊗I4, π
diag
(1, 0, 1, 0), β
(±)
èìåþò â данноì случае âèä
irk
(±)
τ
irk
= τ
(±)
′
−
−
πiπ
=
1
2
1
= I4⊗
2
(±)
g
il
′
βk,
r
diag
(0, 0, 1, 1),
diag
(0, 0, 1, 1) ⊗I4,
diag
(0, 1, 0, 1) ⊗I4,
diag
(0, 1, 0, 1).
(±)
≡ g
, ãäå ïðîåêтивные îïå-
irk
(5.134)
(5.135)
íàõîäèì
(+)
g
1rk
= g
(−)
= 1, g
2rk
(−)
1rk
= g
(+)
2rk
= −1.
(5.136)
Ðàâенствà (5.136) ïîêàçûâàþò, ÷òî ïëîòíîñòè энергии è заряда íå çà-
висят îò êâàíòîâîãî числаr. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè îïèñàíèè âíóòренних
степеней ñâîáîäû
SU(2, 2)
-èíâариантной теории Диракà ïîñðåäñòâîì
операòîðîâ (5.130), (5.131) âòоричноå êâàíòîâàíèå ñâîäèòñÿ ôàêòè÷åñêè
ê êâàíòîâàíèþ
SU(1, 1)
-èíâариантной теории (ñìîòðè ïðåдыдущий ðàç-
äåë), причем â êà÷åñòâå àíàëîãà операòîðàΠ-четноñòè (5.97) çäåñü âû-
ñòупает операòîð (5.130). Êоррекòíûå (â смысле ïîñòóëàòîâ (I), (II) è âîç-
ìîæíîñòè âåðîÿòíîстной интерпретàöèè теории) условия êâàíòîâàíèÿ
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]