Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы
.pdf
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 291
7.4. Ìàññà è ñïèí частицы, ÐÂÓ è ñòðóêòóðà
ìàòðèöû
Γ
4
Òеперь выясним, êàêèì образîì ìàññà (ïîêîÿ) è ñïèí частицы, îïè-
ñûâающей ÐÂÓ (1.2), ñâязаны ñ ìàòрицей
Γ4. Áóäåìèñêàòü решение óðàâ-
нения (1.2) â âèäå ïëîñêîé âîëíû
ψ(x) = ψ(p)e
ipx
.
Ïîäñòàâëÿÿ (7.76) â (1.2), ïîлучаем
(ˆp + m)ψ(p) = 0,
ãäå
ˆp = ipµΓµ. Óравнение (7.77) допускàåò íåíóëåâîå решение äëÿ òåõ è
òîëüêî òåõ çíàчений
íóëþ. Îïðåделитель
pµ= (p, p2, p3, p4) = (p1, p2, p3, ip0)
видеть, ÷òî ìíîãî÷ëåí
−p2= −p
ò. å.
D(p) = D(−p2)
pµ, äëÿ êîòîðûõ îïðåделитель ìàòðèöû
det(ˆp + m)
ÿâëÿåòñÿ ìíîãîчленоì îò переменных
. Обозна÷èì åãî ÷åðåç
D(p)
зависит îò êâàäðàтичной êîмбинации
2
2
2
− p
2
− p
1
. Разлоæèì
2
− p
3
4
D(−p2)
2
1
− p
2
2
− p
= −p
íà ìíîжители:
2
3
+ p
(ˆp+ m)
D(p)
2
,
0
. Íåòðóäíî
(7.76)
(7.77)
ðàâåí
2
)(−p2− µ
1
ãäå
µ1, µ2, ..., µ
÷òî
det(ˆp + m) = 0
D(−p2) = (−p2− µ
êîðíè ýòîãî ìíîãîчлена. Èç разлоæåíèÿ (7.78) видно,
n
òîëüêî â òîì случае, åñëè âåêòîð
ñîîтношению
2
p
+ µ
µ
ãäå
µ
êàêîé-ëèáî èç êорней ìíîãîчленаD.
i
Найдем теперь, êàê êîðíè
ìàòðèöû
Òîãäà
Γ4. Перейдем â систему ïîêîÿ, â êîòîðîé
−p2= p
2
è разлоæåíèå çàпишетñÿ òàê:
0
2
D(p
) = (p
0
2
0
− µ
µ
2
1
2
i
)(p
Ñ äðóãîé ñòороны, â системе ïîêîÿ
det(ˆp + m) = det(−p0Γ4+ m) = 0.
2
)...(−p2− µ
2
2
),
n
(7.78)
pµóäîâëåòâоряет
2
i
= 0,
(7.79)
ñâязаны ñ собственными çíàчениями
p1= p2= p3= 0
2
2
2
0
− µ
)...(p
2
0
− µ
2
).
n
(7.80)
ˆp = −p0Γ4è
.
292 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Ïîñëåäíèé îïðåделитель ìîæíî ïðåäñòавить â âèäå
ãäå
λ1, λ2, ..., λ
det(−p0Γ4+ m) = (p0−
íåíóлевые собственные çíàчения ìàòðèöû
k
m
λ
1
)(p0−
m
)...(p0−
λ
2
m
λ
),
k
(7.81)
Γ4.
Сравнивàÿ разлоæåíèÿ (7.80) è (7.81), ìû видим, ÷òî ïðè ñîîòâåòñòâó-
þùåé íóмерации ìîæíî ïîëîæèòü
µ1=
m
λ
1
= −
m
, µ2=
λ
2
m
λ
3
= −
m
è ò. ä. (7.82)
λ
4
Îòñþäà видно, ÷òî âìåñòå ñ êаждым íåíóлевым собственным çíàчением
λ
ìàòðèöà
Γ4имеет собствåííîå çíàчение−λ, причем òîé æå êðàòíîñòè,
÷òî èλ.
Выясним åùå, â êàêîì случае ó ìàòðèöû
Γ4â уравнении (1.2), ïî-
лучаемоì èç èíâариантной ôункции Лагранжа, собственные çíàчения
âåùåñòâåííû, à â êàêîì ÿâëÿþòñÿ мнимыми.
Ìàòðèöà
Ðàâенствî (7.83) äëÿ собственногî âåêòîðà
Γ4òàêîãî уравнения äîëæíà óäîâëåòâорять условию
(Γ4ψ, ψ) = (ψ, Γ4ψ).
ψ
ìàòðèöû
λ
Γ4ñ собственным
(7.83)
çíàчениемλпринимàåò âèä
(Γ4ψλ, ψλ) = λ (ψλ, ψλ) = λ∗(ψλ, ψλ);
îòñþäà
(λ − λ∗) (ψλ, ψλ) = 0 .
Ñëåäîâàтельно, ëèáî
ó ìàòðèöû
Γ4собствåííîå çíàчениеλ мнимоå, òî ñîîòâåòñòâующий
собственный âåêòîð
λ = λ∗, ëèáî
ψ
обращает â íóëü билинейную ôîðìó
λ
(ψλ, ψλ) = 0
. Òàêèì образîì, åñëè
(ψλ, ψλ)
Òàêèå ñîñòîÿíèÿ îáладаюò íóлевыми энергией è зарядоì, ò. å. íå èìåþò
физичеñêîãî смысла, è â теории ÐÂÓ íå рассмàòðèâàþòñÿ.
Пусть
λ
âåùåñòâåííîå собствåííîå çíàчение ìàòðèöû
i
Γ4â уравне-
íèè (1.2), ïîлученноì èç ôункции Лагранжа. Òîãäà âеличины
m
µi=
λ
i
.
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 293
òàêæå âåùåñòâåííû. Числа
| µi|
назывàþò çíàчениями ìàññû (ìàññû
ïîêîÿ) частицы. Êàê видно, теория ÐÂÓ допускàåò, â принципе, ñóùå-
ñòâîâàíèå частиц ñ íåñêîлькими ìàññàìè.
Êàê правило, собственные çíàчения
λ
ìàòðèöû
i
Γ4ÿâëÿþòñÿ êðàò-
íûìè. Äействительно, èç общегî условия (7.1), êîòîðîìó óäîâëåòâоряет
ìàòðèöà
Γ4, вытекàåò, ÷òî ìàòðèöà
Γ4êîммутирóåò ñ операòîðîì
T0, ñîîò-
âåòñòâующим чистым вращениям. Íî òîãäà êàæäîå собствåííîå ïîäïðî-
ñòранствî ìàòðèöû
Γ4(ò. å. ìàêñèìàëüíîå ïîäïðîñòранствî, ñîñòîÿùåå
èç собственных âåêòîðîâ ñ îäíèì è òåì æå собственным çíàчением) èí-
âариантно îòíîсительно операòîðîâ
Обозна÷èì ýòî ïîäïðîñòранствî ÷åðåç
åòñÿ â общем случае íà íåñêîëüêî èíâариантных ïîäïðîñòранств
T0.
Rλ. Ïðîñòранствî
Rsраспада-
s
R
, â
λ
êàæäîì èç êîòîðûõ ïðåäñòàâление ãðóïïû вращений непривîäèìî è èìå-
åò âåñs. Числаsè ÿâëÿþòñÿ çíàчениями спина частицы. Очевидно, ÷òî â
êàæäîì èíâариантноì ïîäïðîñòранствå
ìûõ âåêòîðîâ
ψ
o
λsk
(íàпример,
2s+1
собственныхâåêòîðîâ операòîðà
s
R
ñóùåñòâóåò
λ
2s + 1
íåзависи-
H3).
Числоkõàðàêтеризóåò ïðîекцию спина íà êàêóþ-íèáóäü îñü, íàпример,
x3.
Ïîêàæåì, êàê ñ ïîмощью ìàòðèöû
Γ4îïðåделить допустимые çíà-
чения спинаsчастицы. Ôîðìóëà (7.26) îçíà÷àåò, ÷òî ïðè ñîîòâåòñòâóþ-
ùåé íóмерации базисных âåêòîðîâ
Cs⊗I
(áëîêîâ) ÿâëÿþòñÿчисла
спиновîãî áëîêà
ÿùèêà
o
ψ
λsk
, îòâåчающиеразличным çíàчениямs. Ýлементàìè ýòèõ ÿùèêîâ
2s+1
Cs⊗I
Csÿâëÿåòñÿ
, причем ñîîòâåòñòâующие
2s+1
s
c
. Êаждый êорень
′
ττ
(2s + 1)
преобразóþòñÿ между собой ïðè ïðîñòранственных вращениях ïî
τ
ξ
ìàòðèöà
sk
Γ4распадаетñÿ íà áëîêè
λ
минимàльногîïîëèíîìà
(s)
-êðàòíûì собственным çíàчением
2s + 1
собственных âåêòîðîâ
непривîäèìîìó ïðåäñòàâлению ãðóïïû вращений âåñàs. Собственным
âåêòîðàì
ñîñòîÿíèÿ частицы ñî спиноìs, ïðîекцией спина
ìассой
чения спинаsýòî òå çíàчения, äëÿ êîòîðûõ áëîê
o
ψ
îòâå÷àþò решения âèäà (7.76), описывающие различные
λsk
µ = m/λ
k (k = −s, ..., +s)
. Òàêèì образîì, âîçìîæíûå äëÿ данной частицы çíà-
Csимеет íåíóлевые
êîðíè.
è
294 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
7.5. Äâà òèïà уравнений äëÿ ïîëåé ñ íóëåâîé
ìассой
Âñå ïðåдыдущие ðåçóëüòàòû è îïðåделения îòíîсились ê ÐÂÓ âèäà
(1.2) ñ
âëåòâоряющей условию
ñ íåíóëåâîé ìассой. Íî âîçìîæíû åùå äâà òèïà ÐÂÓ:
m = 0
èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ê ÐÂÓ âèäà (1.1) ñ ìàòрицей
det Γ0= 0
. Òàêèå уравнения описывàþò частицы
1) Γ0= 0 ; 2) Γ0= 0, det Γ0= 0.
Рассмоòðèì первый èç íèõ. Ñîîòâåòñòâующее ÐÂÓ имеет âèä
Γ0, óäî-
Γµ∂µψ = 0 .
(7.84)
Ïåðåõîäÿ â èìïóльсноå ïðåäñòàâление, ïîлучим ñîîтношение
2
p
µ
= 0,
(7.85)
ò. å. âåêòîðpлежит íà ñâåòîâîì êîíóñå. Âåêòîð ñî ñâåòîâîãî êîíóñà íè-
êàêèì преобразîâанием Ëоренца íå ìîæåò áûòü перевåäåí íà временную
îñü, èëè, èíà÷å ãîâîðÿ, íå ñóùåñòâóåò системы îòñ÷åòà, â êîòîðîé âñå
òðè ïðîñòранственные êîîðäèíàòû âåêòîðàpîдновременно обращаëèñü
â íîëü. Èòàê, â случае уравнения ñ
m = 0
ïîлучаем, ÷òî ó частиц, описы-
âаемых ýòèì уравнением, ìàññà (ïîêîÿ) равна íóëþ, à системы ïîêîÿ íå
ñóùåñòâóåò.
Выясним,ïðè êàêèõусловиях уравнение (7.84)ÿâëÿåòñÿ релятивистñêè-
èíâариантным. Ñîâершая преобразîâàíèÿ Ëоренца
′
x
= Lµνxν, ∂
µ
ïîлучим äëÿ ôункции
ψ′(x′)
ΓµT−1Lνµ∂
′
= Lµν∂ν, ψ′= T ψ,
µ
уравнение
′
ψ′(x′) = 0.
ν
(7.86)
(7.87)
Допустим, ÷òî найдетñÿ òàêîå невырожденноå преобразîâàíèåV, ÷òî
V ΓµT−1Lνµ∂
′
ψ′(x′) ≡ Γν∂
ν
′
ψ′(x′).
ν
Îòñþäà имеем
V
ΓµT−1Lνµ= Γν,
(7.88)
èëè
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 295
LµνV ΓνT
−1
= Γµ.
(7.89)
Åñëè òàêîå преобразîâàíèå найдетñÿ, ýòî áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî уравнения
(7.84) è (7.87) эквивàлентны, ò. å. ïîñëå замены (7.86) уравнение 7.84),
ïî-ñóùåñòâó,íå èçменилоñü. Ñëåäîâàтельно,ñîîтношение (7.89) ÿâëÿåòñÿ
условием релятивистñêîé èíâариантноñòè уравнения (7.84).
ПреобразîâàíèåV, êàê íåòðóäíî ïðîâерить, задает íåêîòîðîå ïðåä-
ñòàâление ãðóïïû Ëоренца (собственной èëè ïîëíîé), действующее â
òîì æå ïðîñòранствåR, ÷òî è ïðåäñòàâлениеT. Â случае
m = 0
ïðå-
образîâàíèåV, ïðèâîдящее ÐÂÓ (7.87) ê èñõîäíîìó âèäó (7.84), äîëæíî
совпадаòü ñ преобразîâаниемT. Â случае æå
m = 0
преобразîâàíèå
V
ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îòT.
Ñ ïîмощью выкладок, àíàлогичных òåì, ÷òî ïðîделывàëèñü ранее
äëÿ случая
m = 0
, ìîæíî óáåдиться, ÷òî äëÿ ýлементîâ ìàòðèöû
Γµâ
êаноничеñêîì базисå по-прежнему èìåþò ìåñòî выражåíèÿ(1.7), (7.27), â
êîòîðûõ âеличиныñî çíà÷êîìτîòíîñÿòñÿ êïðåäñòàâлениюV,à âеличины
ñî çíà÷êîì
′
τ
ê ïðåäñòàâлениюT. Числа
зацепляющихñÿ êîмпонентτè
τ
′
, ãäå
s
c
îòличны îò íóëÿ ëèøü äëÿ
′
ττ
τ ∈ V, τ′∈ T
, è вычисляюòñÿ ïî
ôîðìóëàì (1.7).
Заметим, ÷òî âñòðå÷àþòñÿ системы уравнений âèäà (7.84), â êîòîðûõ
число уравнений íå совпадает ñ числоì êîмпонент ôункцииψ, ò. å. ìàò-
ðèöû
Γµíå êâàäðàòíûå, à прямоóãîльные (íàпример, 8-мерная ôîðìó-
лировкà уравнений Ìàêñâåëëà). Â òàêîì случае ïðåäñòàâлениеVíàäî
ñ÷èòàòü действующим â íåêîòîðîì ïðîñòранствå
R′, îòличноì îò ïðî-
ñòранствàR,ãäåдействóåòïðåäñòàâлениеT.Äëÿ òîãî÷òîáûòàêàÿ системà
уравнений áûëà релятивистñêè-èíâариантной, ìàòðèöû
Γµäîëæíû ïî-
прежнему óäîâëåòâорять условию (7.89), à èõ ýлементы â êаноничеñêîì
базисå вычисляюòñÿ ïî ôîðìóëàì (1.7), (7.27), ãäå индекñτîòíîñèòñÿ
ê ïðåäñòàâлениюV, à индекñ
′
τ
ê ïðåäñòàâлениюT, причемτè
τ
зацепляюòñÿ.
 случае уравнения (7.84), èíâариантногî îòíîсительно преобразî-
âàíèé ïîëíîé ãðóïïû Ëоренца, условия, накладываемые íà числа
îñòàþòñÿ òакими æå, êàê è â случае
÷òî êîмпонентыτè
′
τ
опять-тàêè принадлежаò разным ïðåäñòàâлениям:
m = 0
(ñì. (1.8)). Íàïîìíèì òîëüêî,
s
c
ττ
′
,
′
296 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
′
τ
ïðåäñòàâлениюT, ïî êîòîðîìó преобразóåòñÿ âîëíîâàÿ ôункцияψ,
τ
ïðåäñòàâлениюV, ñ ïîмощью êîòîðîãî преобразóåòñÿ ñàìà системà
(7.84).
Ëåãêî видеть òàêæå, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû ÐÂÓ (7.84) ìîãëî áûòü ïîëó-
÷åíî èç èíâариантной ôункции Лагранжа
L = −¯ψΓµ∂µψ,
(7.90)
íåîáõîäèìî ñóùåñòâîâàíèå â ïðîñòранствå çíàчений ôункцииψíåêîòî-
ðîé невырожденной ýðìèòîâîé билинейной ôîðìû
(ψ1, ψ2) = ψ
îòíîсительно êîòîðîé ìàòðèöû
(Γµψ1, ψ2) = (ψ1, Γµψ2).
+
ηψ2=¯ψ1ψ2,
1
Γµóäîâëåòâоряли áû условию
(7.91)
Ëоренц-инвариантноñòè ñàìîé ôîðìû ïðè ýòîì íå òðåáóåòñÿ.
Ïîñêîëüêóäëÿ частиц ñ íóëåâîé ìассой íå ñóùåñòâóåò системы ïîêîÿ,
òî äëÿ ýòèõ частиц теряет смысл îïðåделение спина êàê âåñà ïðåäñòàâ-
ления ãðóïïû вращений, êîòîðîå действóåò â ïðîñòранствå собственных
ôункций ìàòðèöû
Γ4. Îäíàêî äëÿ частиц ñ
m = 0
ìîæíî îïðåделить
понятие ïîляризации.
Áóäåì èñêàòü решения уравнения (7.84) â âèäå ïëîñêîé âîëíû (7.76).
Функция
ψ(p)
îïðåделяетñÿ èç уравнения
ˆpψ(p) = 0,
(7.92)
àâåêòîðэнергии-импуëüñàлежит íàñâåòîâîìêîíóñå. Ðешения уравнения
образóþò ïîäïðîñòранствî
R(p)
â ïðîñòранствåRçíàчений âîëíîâîé
ôункции. Найдем òå ìàòðèöûT, êîòîðûå êîммутирóþò ñ операòîðîìˆp.
Íåòðóäíî óáåдиться, ÷òî имеет ìåñòî ðàâенствî
T ˆpT−1= (Lˆp) = iLµνpνΓµ.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî операòîðTêîммутирóåò ñˆpâ òîì è òîëüêî òîì
случае, êîãäà преобразîâàíèå Ëоренца íå èçменяет âåêòîð
p : Lp = p
.
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 297
Ñîâîêóïíîñòü òàêèõ преобразîâàíèé образóåò ïîäãðóïïó ãðóïïû Ëî-
ренца, êîòîðóþ áóäåì назывàòüñòационарной ïîäãðуппой âåêòîðàp. Îáî-
çíà÷èì åå
сительно ïðåäñòàâления ñòационарной ïîäãðóïïû
òèì, ÷òî ñòационарная ãðóïïà
ления èìïóëüñà
4-мерноì ïðîñòранствå òàê, ÷òîáû ïîëîжительноå íàïðàâление îñè
совпаëî ñ âåêòîðîì
(0, 0, p3, ip0)
ïóëüñà совпадает ñ вращением âîêðóã îñè
ñòâî
ýòèì вращениям. Òåì ñàìûì ïðîñòранствî
íîсительно инфинитеçèìàльногî операòîðà
R(p)
Обозна÷èì ýòè âåêòîðû ÷åðåç
ðàòîðà
целые, ëèáî ïîлуцелые çíàчения. Çíàчения ÷èñåëkназывàþò çíàчения-
ìè ïîляризации частицы íóëåâîé ìàññû. Собственным âåêòîðàì
îòâå÷àþò ïëîñêèå âîëíû ñ îïðåделенным çíàчением ïîляризацииk. Ïðè
ýòîì ãîâîðÿò, ÷òî ïëîñêèå âîëíû
 общем случае, êîãäà íàïðàâление îñè
лением èìïóëüñà
òåçèìàльный операòîð
вращений âîêðóã íàïðàâления èìïóëüñà. Ïðè ýòîì â êà÷åñòâå âåêòîðîâ
ψk(p)
G(p)
. Äðугими ñëîâàìè, ïðîñòранствî
G(p)
ñîдержит вращение âîêðóã íàïðàâ-
(p1, p2, p3)
(p1, p2, p3)
. Ïðè òàêîì выборе îñè
R(p)
èíâариантно îòíîсительно операòîðîâ
ìîæíî выбраòü базис èç собственных âåêòîðîâ ýòîãî операòîðà.
H3. Êàê èçâåñòíî, числаkмогут принимàòü îдновременно ëèáî
(p1, p2, p3)
ñëóæàò собственные âåêòîðû данногî операòîðà.
. Âûáåðåì äëÿ óдобствà систему êîîðäèíàò â
. Â ýòîé системе âåêòîðpимеет êîîðäèíàòû
x3вращение âîêðóã íàïðàâления èì-
x3è, ñëåäîâàтельно, ïðîñòðàí-
ψk(p)
, ãäåk собственные çíàчения îïå-
ψk(p)
, âìåñòî операòîðà
Hp, ñîîòâåòñòâующий 1-параметðè÷åñêîé ãðóïïå
ïîляризîâàíû ïî äâèæåíèþ.
R(p)
èíâариантно îòíî-
G(p)
âåêòîðàp. Çàìå-
T
, ñîîòâåòñòâующих
[12]
R(p)
èíâариантно òàêæå îò-
H3, è çíà÷èò â ïðîñòранствå
ψk(p)
x3íå совпадает ñ íàïðàâ-
H3íàäî взять инфини-
x
3
7.6. 2-êîмпонентное уравнение äëÿ ïîëÿ ñ íó-
ëåâîéìассой, àíàëèçâ ïîäõîäåÃельфанда
ßãëîìà
Рассмоòðèì пример ÐÂÓ ñ
ôункциюψ, преобразующуюся ïî äâóмерноìó ïðåäñòàâлениюτ, îïðå-
деляемоìó парой
îïðåделить òàêæå è äðóãîå, сопряжåííîå, непривîäèìîå ïðåäñòàâление
(1/2, 0)
. Â ýòîì æå äâóмерноì ïðîñòранствå ìîæíî
m = 0
. Возьмем äâóõêîмпонентную
298 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
˙
τ ∼ (0,
ñòроить ÐÂÓ ñ
ïðåäñòàâлению
1
)
. Ïðåäñòàâленияτè
2
m = 0
τ ∼ (1/2, 0)
˙
τ
зацепляюòñÿ. Òàêèì образîì, ìîæíî ïî-
îòíîсительно ôункцииψ, преобразующееñÿ ïî
; ïðè ýòîì ñàìî уравнение äîëæíî преобра-
çîâûâàòüñÿ ïî ïðåäñòàâлению˙τ ∼ (0, 1/2)
 êаноничеñêèõ базисàõ ïðåäñòàâленийτè
{ξ
числа
1/2
c
образóþò ìàòðèöó
τ˙τ
1/2
, ξ
−1/2
}, {˙ξ
1/2
Γ4= c I2.
Îñòàльные ìàòðèöû èìåþò âèä
Γ1= cσ1= c
0 1
, Γ2= cσ2= c
1 0
Γ3= cσ3= c
1 0
0 −1
.
˙
τ
,˙ξ
−1/2
}
(7.93)
0 −i
,
i 0
,
(7.94)
ãäå
σ
ìàòðèöû Ïàóëè. Åñëè ïîëîæèòü
i
c = 1
, òî ïîлучим уравнение äëÿ
äâóõêîмпонентногî íåéòðèíî
∂ψ
σ
1
∂x
1
Ïîñêîëüêó ïðåäñòàâление собственной ãðóïïû
êàê è ïðåäñòàâление˙τ ∼ (0, 1/2)
+ σ
2
∂ψ
∂x
2
+ σ
3
∂ψ
∂x
3
+ I
2
∂ψ
∂x
= 0.
4
τ ∼ (1/2, 0)
, нельзя äîïîлнить äî ïðåäñòàâления
(7.95)
, равно
ïîëíîé ãðóïïû Ëоренца, íå имеет смысла ãîâорить îá èíâариантноñòè
îòíîсительно ïîëíîé ãðóïïû Ëоренца.
Âûáåðåì â äâóмерноì ïðîñòранствå âîëíîâîé ôункцииψýðìèòîâó
ôîðìó
˙
τ
ãäå
x
±1/2
â базисå
(ψ1, ψ2) = x
êîîðäèíàòû
{ξ
, ξ
1/2
−1/2
ψ
}
. Òîãäà
˙
τ
1/2
â базисå
1
(y
τ
1/2
)∗+ x
{˙ξ
1/2
˙
τ
−1/2
,˙ξ
−1/2
(y
τ
−1/2
}
, à
)∗,
τ
y
êîîðäèíàòû
±1/2
(7.96)
ψ
(V ψ1, ψ2) = (ψ1, T ψ2),
2
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 299
ãäåV операòîð ïðåäñòàâления
˙
τ
, àT операòîð ïðåäñòàâленияτ. Êàê
ìû знаем, åñëè âûïîлнено ýòî условие, òî уравнение (7.95) ìîæåò áûòü
ïîлучено èç èíâариантной ôункции Лагранжа. Ïîñëåäíÿÿ имеет âèä
L = (ψ, Γµ∂µψ) =¯ψΓµ∂µψ,
причем¯ψ = ψ+(η = I2)
.
(7.97)
Отметим, íàêîíåö, ÷òî êðîìå уравнения (7.96) ñóùåñòâóåò åùå îäíî
уравнение îòíîсительно äâóõêîмпонентной ôункции, êîòîðàÿпреобразó-
åòñÿ ïî ïðåäñòàâлению˙τ ∼ (0, 1/2)
τ ∼ (1/2, 0)
. Ýòî уравнение имеет âèä
∂ψ
σ
+ σ
1
∂x
2
1
Òеперь рассмоòðèì âòîðóþ âîçìîæíîñòü â ÐÂÓ(1.1), êîãäà
íî
Γ0= 0
. Ýòîò класс уравнений â ðàáîòàõ [8, 9] íå исслеäóåòñÿ. Áóäåì
, à ñàìî уравнение ïî ïðåäñòàâлению
∂ψ
∂x
2
+ σ
3
∂ψ
∂x
3
− I
2
∂ψ
∂x
= 0.
4
det Γ0= 0
опираòüñÿ íà ðåçóëüòàòû ðàáîò [5, 10].
Òребовàíèå èíâариантноñòè îòíîсительно преобразîâàíèé собствåí-
íîé ãðóïïû Ëоренца ïðèâîäèò ê условиям
,
V ΓµT−1= LµνΓν,
V Γ0T−1= Γ0.
(7.98)
(7.99)
Çäåñü преобразîâàíèåVзадает íåêîòîðîå ïðåäñòàâление собственной
ãðóïïû Ëоренца, действующее â ïðîñòранствåRçíàчений ôункцииψ,
íî, âообще ãîâîðÿ, íå совпадающее ñT.
Ìàòðèöà
Γ0ÿâëÿåòñÿ äëÿ рассмàòðèâаемогî классà ÐÂÓ ïðîåêтивной
ìàòрицей
2
Γ
= Γ0, Γ0(Γ0− 1) = 0,
0
âûðåзающей èç èñõîäíîé ôункцииψчасть åå êîмпонент è ñâязанной ñ
ìàòрицами
Γµñîîтношениями [36]:
ΓµΓ0+ Γ0Γµ= Γµ, Γ0ΓµΓ0= 0, ΓµΓνΓ0= Γ0ΓµΓν.
Óсловие (7.99) ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ìàòðèöà
Γ0äîëæíà áûòü äèàãî-
íàльной è ñîñòîÿòü èç íåзависимых ñêàлярных áëîêîâ, îòâåчающих ðàç-
личным непривîдимым ïðåäñòàâлениямτсобственной ãðóïïû Ëоренца.
300 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Обозна÷èì ýлементы ìàòðèöû
Γ0÷åðåç
α
. Èíâариантноñòü ÐÂÓ (1.1)
τ
îòíîсительно ïîëíîé ãðóïïû Ëоренца âëå÷åò çà собой êîììóòàтивноñòü
Γ0ñ преобразîâаниями ïðîñòранственногî îòðàæåíèÿ, îòêóäà ñëåäóåò ñî-
îтношение
ατ= α
.
˙
τ
(7.100)
Óсловие âîçìîæíîñòè лагранжåâîé ôîðìóлировки теории òðåáóåò,
÷òîáû ñóùåñòâîâàëà лоренц-инвариантная билинейная ýðìèòîâà è ÷òî-
áû
(Γ0ψ1, ψ2) = (ψ1, Γ0ψ2).
(7.101)
Èç (7.101) äëÿ êîíå÷íîмерных ÐÂÓ ñëåäóåò
ατ= α
Åñëè, êðîìå òîãî, ìàòðèöà
Γ0âåùåñòâåííà, òî (7.102) ñâîäèòñÿ ê (7.100).
Óìíîæàÿ базисные âåêòîðû
õîдящие числа
сделаòü âñå
÷àþò òîëüêî, ÷òî числа
b(τ) = b(˙τ)
α(τ) = 0
, ìîæíî, íå íàðóøàÿ условий (7.100) è (7.102),
равными åдинице. Â òàêîì случае ýòè условия îçíà-
α(τ)èα(˙τ)
íóëþ, ëèáî åдинице, ò. å. ìàòðèöà
Γ0=
∗
.
˙
τ
τ
ξ
непривîдимых ïðåäñòàâлений íà ïîä-
sk
äîëæíû îдновременно равняться ëèáî
Γ0ïðèâîäèìà ê âèäó
0
.
(7.102)
(7.103)
I
 ñîîòâåòñòâующем (7.103) базисå ìàòðèöûVèTèìåþò áëî÷íî-
äèàãîíàльную ñòðóêòóðó
V
V =
ãäå ïðåäñòàâления
1
V1è
T1действóþò â îäíîì è òîì æå ïîäïðîñòранствå,
íî могут íå совпадаòü.Ïðè ýòîì êаждая непривîäèìàÿ êîмпонентà
äîëæíà зацепляться õîòÿ áû ñ îäíîé èç непривîдимых êîмпонент
T
. Óсловие (7.98) îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ýлементîâ ìàòðèö
выражåíèÿ (1.7) è (7.29), ãäåτè
T
0
, T =
T
1
,
T
0
Γµèìåþò ìåñòî
′
τ
зацепляющиеñÿ êîмпоненты èç
(7.104)
τ ∈ V
τ′∈
V
èT. Ñîхраняюò ñèëû è ôîðìóëû (1.8)(1.10), (1.12)(1.14) ñ ó÷åòîì òîãî
îáñòîятельствà,÷òî зацепляющиеñÿ êîмпонентыτè
′
τ
îòíîñÿòñÿ, âообще
ãîâîðÿ, ê разным ïðåäñòàâлениямVèT.
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]