Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы
.pdf
Ãëàâà 3.
Êðàòíûå ïðåäñòàâления è
âíóòренние степени ñâîáîäû
частиц
3.1. Диракîïîдобные уравнения, ïîëÿ ñ ïåðå-
менным спиноì
Ïîñêîëüêó ñóùåñòâîâàíèå äîïîлнительных (ïîìèìî спина) âíóòðåí-
íèõ êâàíòîâûõ ÷èñåë ó ôундаментàльных частиц ÿâëÿåòñÿ â íàñòîÿùåå
время òâåðäî óñòàíîâленным ôàêòîì, âозникàåò âîïðîñ î âîçìîæíîñòè
применения теории ÐÂÓ â ïîäõîäå ÃельфандаЯгëîìà ê îïèñàíèþ ñòå-
пеней ñâîáîäû, ñâязанных ñ âíóòренними, â òîì числе êàлибровîчными,
симметриями. Òрадиционные êàлибровî÷íûå теории ôундаментàльных
частиц è èõ взаимодействий базирóþòñÿ, êàê правило, íà уравнении Äè-
ðàêà, âîëíîâàÿ ôункция êîòîðîãî ñíàáæàåòñÿ ñâîáîäíûì нелоренцевñêèì
индекñîì, играющим â данноì случае ðîëü âíóòренней переменной. Ñ
òî÷êè зрения теории ÐÂÓ òàêîé ïîäõîä îçíà÷àåò ôàêòè÷åñêè èñïîëüçîâà-
íèå распадающихñÿ ïî ãðóïïå Ëоренца уравнений. Íà ýòîé îñíîâå ðåà-
ëèçîâàíû èçâåстные ìîäåëè ýëåêòðîслабых è сильных взаимодействий,
ñòандарòíàÿ
SU(3) ⊗ SU (2) ⊗ U (1)
-ìîäåëü.
Îäíàêî данный ïîäõîä íå â ñîñòîÿíèè решить ðÿä ïðîáëåì, â ÷àñò-
íîñòè, îí îêàçûâàåòñÿ ìàëîýôôåêтивным ïðè âêëþчении â общую ñõåìó
91
92 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
гравитационногî взаимодействия. Ðешение ýòîé è многих äðóãèõ ïðî-
áëåì â íàñòîÿùåå время ñâÿçûâàåòñÿ, ãлавным образîì, ñ èñïîëüçîâàíè-
åì ãðóïï симметðèè, преобразîâàíèÿ êîòîðûõ ñîдержаëè áû íà равных
ïðîñòранственно-временные è âíóòренние переменные. Èíà÷å ãîâîðÿ,
ðå÷ü èäåò î âîçìîæíîñòè ãåîìåòðèçîâанногî ââåдения âíóòренних ñòå-
пеней ñâîáîäû. Íàïîìíèì âêðàòöå наибоëåå èçâåстные ñïîñîáû òàêîãî
îïèñàíèÿ.
1) Òеории òèïà ÊàлуцыКлейна (ñì., íàпример, îáçîð [78] è ïðèâå-
денные â íåì ссылки), â êîòîðûõïðîñòранствовремя имеет ðàçмерноñòü,
áîльшую четыреõ, причем äîïîлнительные èçмерения рассмàòðèâàþòñÿ
êàê равноправные ñ четырьмя íàáëþдаемыми.Êîìïàêтификàöèÿ лишних
èçмерений ïðèâîäèò ê выделению âíóòренних степеней ñâîáîäû, ñîõðà-
íÿÿ èõ ãåîìåòðè÷åñêèé ñòàòóñ.
2) Ñуперсимметðèÿñупергравитàöèÿ, îáúåдиняющая частицы ñ ðàç-
íûì спиноì è ñòàтистикîé â åдиные ñóïåðìóëüтиплеты. Îäíà èç èñõîä-
íûõ èäåé çäåñü заклю÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñóùåñòâóåò íîâàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ
ñòðóêòóðà преобразîâàíèÿ ñуперсимметðèè, êîòîðûåперемешивàþò áî-
çонные è ôåðмионные ïîëÿ. Â частноñòè, имеетñÿ êаноничеñêîåрасшире-
íèå ãðóïïû Ïóàíêàðå ñупергрóïïà Ïóàíêàðå, ïîçâîляющая ñòроить ñâî-
áîäíûå ñуперсимметричные теории ïî образцу классичеñêèõ, ïðåîäîëåâ
ñòàðûå ðåçóëüòàòû [79, 80] î íåâîçìîæíîñòè íåòривиальногî îáúåäèíå-
íèÿ ïðîñòранственно-временных è âíóòренних симметðèé. Â ðåçóëüòàòå
òî÷íî òàê æå, êàê преобразîâàíèÿ Ëоренца, обнарóæèâàþò ñâÿçü между
ïðîñòранствîì è временем, преобразîâàíèÿ ñуперсимметðèè ñâÿçûâàþò
â îäíî öåëîå ïðîстранствовремя è âíóòренние степени ñâîáîäû частиц.
3) Ñòðунные è ñуперстðунные ìîäåëè, âêëþчающие â ñåáÿ èäåè Êà-
луцыКлейна è ñуперсимметðèè, êàлибровî÷íîãî ïîäõîäà è теории îò-
íîсительноñòè.
Îäíàêî ìîæíî ïðåäëîæèòü è èíîé ñïîñîá ãåîìåòðèçîâанногî îïèñà-
íèÿ âíóòренних степеней ñâîáîäû, îñíîâанный íà èñïîëüçîâàíèè êðàò-
íûõ ïðåäñòàâлений â ðàìêàõ теории ÐÂÓ. Åñòåñòâенной âîçìîæíîñòüþ â
ýòîì плане ÿâëÿåòñÿ рассмоòрение íå распадающихñÿ ïî ïîëíîé ãðóïïå
Ëоренца уравнений äëÿ частиц (ïîëåé) ñ набороì спиновых ñîñòîÿíèé,
âîëíîâàÿ ôункция êîòîðûõ îáладает òðàíñôîðìационными ñâойствàìè
прямогî произвåдения (ïîëíîãî èëè óñåченногî) диракîâñêèõ биспино-
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 93
ðîâ, à ìàòðèöû
Γµóäîâëåòâîðÿþò ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîтношениям àë-
ãåáðû ìàòðèö Диракà (â äàльнейшем òàêèå уравнения áóäåì назывàòü
диракîïîдобными, èëè уравнениями диракîâñêîãî òèïà).
 данноì ðàçäåëå ñôîðìóëèðóåì è äîêàæåì äâå теоремы. Îäíà èç íèõ
óñòàíàâëèâàåò спиновóþ ñòðóêòóðó уравнений диракîâñêîãî òèïà, âòîðàÿ
èõ минимàльную ðàçмерноñòü äëÿ случая целогî спина. Ñîдержание
данной ãëàâû îñíîâàíî íà ðåçóëüòàòàõ ðàáîò [45, 8183].
Òеоремà 1.
P
-èíâариантное è íå распадающååñÿ â смыслå ñîáствен-
íîé ãðóïïû Лоренцà ÐÂÓ диракîâñêîãî òèïà äëÿ частицы ñ
ìàêсимальным спиноì
1
0 (
)äîs0.
2
s0ñîäåðæèò âñå çíàчения спина îò
Äîêазательствî.
Рассмоòðèì äëÿ îïðåделенноñòè случай целогî спина. Ñõåìà зацеп-
лений непривîдимых ïðåäñòàâлений ãðóïïû Ëоренца, íà îñíîâå êîòîðîé
ñòðîèòñÿ обозначенноå â условиях теоремы ÐÂÓ, ôîðìèðóåòñÿ èç ïðåä-
ñòàâлений, фигурирующих â (2.1), ãäå êаждая êîмпонентà ìîæåò иметь
произвîльную êðàòíîñòü. Ïðè ýòîì äîëæíû âûïîлняться условия:
à) любые äâà ïðåäñòàâления èç ýòîé ñõåìû äîëæíû ñîåдиняться öå-
ïî÷êîé èç äðóãèõ âõîдящих â íåå зацепляющихñÿ êîмпонент, èíà÷å ðàñ-
ñìàòðèâàåìîå уравнение áóäåòраспадаòüñÿ â смысле собственной ãðóïïû
Ëоренца;
á) наряду ñ êаждым непривîдимым ïðåäñòàâлением
íî ñîдержаòüñÿ сопряжåííîå ïðåäñòàâление˙τ ∼ (l2, l1)
τ ∼ (l1, l2)
äîëæ-
, òî åñòü ñõåìà
зацеплений äîëæíà áûòü симметричной îòíîсительно îñåâîé линии
(0, 0) − (
1
,
) − (1, 1) − ... − (
2
2
s
s
0
0
,
)
2
2
(3.1)
1
ñõåìû (2.1) (данноå условие, íàïîìíèì, вытекàåò èç òребовàíèÿP-èíâà-
риантноñòè ÐÂÓ);
â) â èñêîìóþ ñõåìó зацеплений íå ìîæåò âõîäèòü менее äâóõ непри-
s
âîдимыхïðåäñòàâлений, ôîðìèðующих спиновый áëîê
случае частица íå áóäåò îáëàäàòü спиноì
s0.
0
C
, â ïðîтивноì
94 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Ïîñêîëüêó рассмàòðèâàåòñÿ ÐÂÓ диракîâñêîãî òèïà, åãî ìàòðèöà
Γ
óäîâëåòâоряет минимàëüíîìó уравнению
2
Γ
− I = 0.
4
(3.2)
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ó ýòîé ìàòðèöû, à çíà÷èò è ó åå спиновых áëîêîâ
Csíå ìîæåò áûòü íóлевых êорней. Ïîñëåäíåå, â ñâîþ î÷åðåäü, îçíà÷àåò,
÷òî ó уравнения, описывающегî частицу ñ ìàêñèìàльным спиноì
ñòðóêòóðå (1.4) ìàòðèöû
Γ4íå äîëæíî áûòü áëîêîâ
Csñ
s > s0. Èíà÷å ãî-
s0, â
âîðÿ, óäîâëåòâоряющая условию теоремы ñõåìà зацеплений обрывàåòñÿ
íà ïðåäñòàâлениях
(0, s0) − (
1
, s0−
2
1
) − ... − (
2
s
s
0
0
,
) − ... − (s0−
2
2
1
1
,
) − (s0, 0),
2
2
(3.3)
образующих òåì ñàìûì åå îñíîâàíèå.
 ñîîòâåòствии ñ (1.5) спиновый áëîê
ниями, íàõîдящимися íà îñåâîé линии (3.1); áëîêó
C0ôîðìèðóåòñÿ ïðåäñòàâëå-
C1ñîïîñòàâëÿþòñÿ
ïðåäñòàâления, принадлежащие прямоóãîльникó ñ âершинами
(0, 1), (1, 0), (
s0− 1
2
,
s0+ 1
2
), (
s0+ 1
2
s0− 1
,
);
2
4
ñïèí 2 ассоциирóåòñÿ â óêазанноì смысле ñ прямоóãîльникîì
(0, 2), (2, 0), (
è ò. ä. Íàêîíåö, áëîê
s0− 2
s
0
C
ôîðìèðóåòñÿ ïðåäñòàâлениями, îòíîсящимися
s0+ 2
,
2
2
), (
s0+ 2
2
s0− 2
,
)
2
ê îñíîâàíèþ пирамиды (3.3).
Учитывàÿ âñå âûøåñêазанноå, íåòðóäíî óñòановить, ÷òî êàêîé áû öå-
ïî÷êîé èç зацепляющихñÿ ïðåäñòàâлений ìû íè ñîåдиняли любые äâà
симметрично распоëîæенные îòíîсительно îñåâîé линии (3.1)P-ñîï-
ðÿæенные ïðåäñòàâленияτè
äåò ñîдержаòü êîмпоненты, ôîðìèðующие è áëîê
s
îñòàльные áëîêè äî
0
C
âêëþчительно. Â ñèëó минимàльногî уравнения
˙
τ
èç (3.3), îíà (öåïî÷êà) îáÿçàтельно áó-
C0, è áëîê
C1, è âñå
(3.2) ýòè áëîêè могут иметь òîëüêî îòличные îò íóëÿ êîðíè±1. Îòñþ-
äà ñëåäóåò, ÷òî, действительно, óäîâëåòâоряющие условию теоремы ÐÂÓ
îáÿçàтельно ñîдержаò âñå çíàчения спина îò0äî
s0.
Àíàлогичным образîì ïðîâîäèòñÿ äîêàçàтельствî è äëÿ случая ïîëó-
целогî спина.
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 95
Ñóùåñòâåííî èíà÷å îáñòîèò äåëî, åñëè òребовàíèå нераспадения ÐÂÓ
ïî собственной ãðóïïå Ëоренца заменить íà áîëåå слабоå условие нерас-
падения â смысле ïîëíîé ãðóïïû Ëоренца. Â ýòîì случае ñõåìà зацеп-
лений ìîæåò ñîñòîÿòü, íàпример, èç äâóõP-сопряженных äðóã äðóãó
íåзацепляющихñÿ ôðàãìåíòîâ, è íàличие âñåõ спиновых áëîêîâ îò
1/2
(
C
)äî
s
0
C
â ìàòðèöå
Γ4(1.4) ÿâëÿåòñÿ òîãäà íåîáÿçàтельным. Îäíàêî
C
ñëåäóåò îтметить, ÷òî è ïðè òàêîì слабоì условии ïîñòðîåíèå ÐÂÓ äèðà-
êîâñêîãîòèïà ñ îäíèì åдинственнымöåëîчисленнымспиноìsíåâîçìîæ-
íî, òàê êàê â ñõåìå зацеплений (2.1) нельзя выделить òàêèå зацепляющи-
åñÿ непривîдимые ïðåäñòàâления, êîòîðûå участвîâàëè áû â ôîðмировà-
íèè ëèøü îäíîãî спиновîãî áëîêà
Cs. Äðугими ñëîâàìè, íå ñóùåñòâóåò
диракîïîдобных ÐÂÓ, описывающих частицу ñ îäíèì целым çíàчением
спина. Äëÿ ïîлуцелогî спина åдинствåííîå исключение èç ýòîãî правила
ñîñòàâëÿåò уравнение Диракà.
Òеоремà 2.
0
 ñëó÷àå öåëîãî спина минимально âîçìîæíàÿ ðàçìåð-
ностьP-èíâариантного ÐÂÓ диракîâñêîãî òèïà равна 16 è
ñоответствуеòñõåìåçàöåïëåíèé непривîдимых ïðåäñòàâëå-
íèé ãðóïïû Лоренцà
2(0, 0)
|
1
(0, 1) − 2(
1
,
) − (1, 0).
2
2
(3.4)
Äîêазательствî.
Êàê îòìå÷àëîñü âûøå ïðè äîêàçàтельствå теоремы 1, ìàòðèöà
спиновые áëîêè
CsÐÂÓ диракîâñêîãî òèïà óäîâëåòâîðÿþò минимàëüíî-
Γ4è åå
ìó уравнению (3.2). Ñëåäîâàтельно, îíè èìåþò òîëüêî íåíóлевые êîðíè
±1
, причем êðàòíîñòü òåõ è äðóãèõ â êàæäîì áëîêå îдинакîâà (îдинакîâî
число ïîëîжительно- è îòðèöàтельно-частîòíûõрешений). Ýòî îçíà÷àåò,
÷òî спиновые áëîêè
Csèìåþò четную ðàçмерноñòü, ò. å. ôîðìèðóþòñÿ
четным числоì непривîдимых ïðåäñòàâлений. Îòñþäà вытекàåò, ÷òî äëÿ
96 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
äîêàçàтельствà теоремы äîñòàòî÷íî проанализировàòü äâà диракîïîäîá-
íûõ уравнения: îäíî äëÿ переменногî спина
спинов
1, 2
. Âñå îñòàльные âарианты
(s = 2 , 3; s = 0, 1, 2
0, 1
, âòîðîå äëÿ набора
è ò. ï.) ñîîòâåò-
ñòâóþò ðàçмерноñòÿì ÐÂÓ, áîльшим 16.
Рассмоòðèì ñíà÷àëà случай, êîãäà
íàÿ ðàçмерноñòü ìàòðèöû
Γ4äëÿ òàêîãî ÐÂÓ равна
(2 минимàльная ðàçмерноñòü áëîêîâ
ничных êëåòîê
I
2s+1
ïðè
s = 1
è 2). Единствåííî âîçìîæíûå ñõåìû çà-
цеплений, ïðèâîдящие ê данной ðàçмерноñòè è переменноìó спину
s = 1, 2
. Минимàëüíî âîçìîæ-
2 · 3 + 2 · 5 = 16
C1è
C2; 3 è 5 ðàçмерноñòè åäè-
1, 2
èìåþò âèä
1
(0, 1) − (
(1, 0) − (
3
,
2
2
3
1
,
2
2
) − (0, 2),
) − (2, 0).
(3.5)
(3.6)
Очевидно, ÷òî íè îäíà èç íèõ íå îáåñïå÷èâàåò âûïîлнения условия
P
-èíâариантноñòè теории. ×òîáû óäîâëåòâорить óêазанноìó условию,
ñõåìû зацеплений (3.5), (3.6) íàäî рассмàòðèâàòü ñîâìåñòíî, íî òîãäà
ïîлучаетñÿ óæå 32-êîмпонентная системà.
Îñòàåòñÿ âариант набор спинов
ðèöû
Γ4äëÿ данногî случая равна
0, 1
. Минимàльная ðàçмерноñòü ìàò-
2 · 1 + 2 · 3 = 8
. Ê ïðåäñòàâлениям,
описывающим òîëüêî спины 0 è 1, îòíîñÿòñÿ
,
1
(0, 0), (
1
,
), (0, 1), (1, 0).
2
2
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ диракîïîдобногî ÐÂÓ â ðàìêàõ ýòîãî набора ïðåäñòàâ-
лений åдинствåííî âîçìîжными ÿâëÿþòñÿ ñõåìû зацеплений
1
(0, 0) − (
(0, 0) − (
1
,
2
2
1
1
,
2
2
) − (0, 1),
) − (1, 0).
(3.7)
(3.8)
Íî опять-тàêè ÐÂÓ, ïîñòðîенные íà îñíîâå ïðåäñòàâлений (3.7),(3.8)
ïî îòдельноñòè, íå могут áûòüP-èíâариантными. Äëÿ äîñòèæåíèÿP-
èíâариантноñòè ìîæíî добавить ê ñõåìå (3.7) ïðåäñòàâление
ê (3.8) ïðåäñòàâление
(2.36), êîòîðàÿ ïðèâîäèò ê спиновîìó áëîêó
(0, 1)
. Â ðåçóëüòàòå ïîлучитñÿ ñõåìà зацеплений
C1íåчетной ðàçмерноñòè
(1, 0)
èëè
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 97
3 × 3
. Âîññòановить четную ðàçмерноñòü ýòîãî áëîêà ìîæíî, âêëþ÷èâ â
ñõåìó(2.36) êðàòíîåïðåäñòàâление
íîé ðàçмерноñòü áëîêà
(1/2, 1/2)
, ïðèõîäèì ê ñõåìå зацеплений (3.4), допускающей â принципе
C0. Добавëÿÿ æå â (2.36) îáà ïðåäñòàâления
(1/2, 1/2)
. Íî òîãäàñòановитñÿ íå÷åò-
(0, 0)
âîçìîæíîñòü óäîâëåòâорить âñåì òребованиям теоремы.
3.2. ÓравнениеДиракàÊýëåðàêàêÐÂÓ ñêðàò-
íûìè ïðåäñòàâлениями
Êàê áûëî óñòàíîâëåíî âûøå, ñõåìà зацеплений (3.4), êîòîðàÿ ñî-
держит äâухкраòíûå ñêàлярноå è âåêòîðíîå ïðåäñòàâления, ïîçâîëÿåò
ïîñòðîåíèåP-èíâариантногî ÐÂÓ диракîâñêîãî òèïà ñ òî÷êè зрения ïîä-
õîдящих ðàçмерноñòåé спиновых áëîêîâ ìàòðèöû
íå îçíà÷àåò, ÷òî òàêîå уравнение действительно ñóùåñòâóåò. Êðîìå òîãî,
îñòàåòñÿ îткрытым âîïðîñ î âîçìîæíîñòè лагранжåâîé ôîðìóлировки
теории.
Исслеäóåì ïîдробно â ðàìêàõ ïîäõîäà ÃельфандаЯгëîìà ñõåìó çà-
цеплений (3.4) ñ óêазанных позиций. Ìàòðèöà
Γ4ÐÂÓ, базирующегîñÿ íà
ñõåìå зацеплений (3.4), имеет âèä (2.39), ãäå
Γ4. Îäíàêî ýòî åùå
è
C0=
0 0 c
0 0 c
0
c
31
0
c
41
0
13
0
23
0
c
0 0
32
0
c
0 0
42
0
c
14
0
c
24
, C1=
0 0 c
0 0 c
1
c
53
1
c
63
1
35
1
45
1
c
0 0
54
1
c
0 0
64
1
c
36
1
c
46
(3.9)
èèñïîëüçîâàíàñëåдующая íóмерация непривîдимыхñîñòàâляющих (3.4):
(0, 0) ∼ 1, (0, 0)′∼ 2, (
,
2
1
) ∼ 3, (
2
1
1
,
)′∼ 4, (0, 1) ∼ 5, (1, 0) ∼ 6;
2
2
1
çäåñü, êàê è ранее, øòðèõîâîé индекñ èñïîëüçóåòñÿ äëÿ различения êðàò-
íûõ ïðåäñòàâлений.
Рассмоòðèì ñíà÷àëà спиновый áëîê
C1. ÓсловияP-èíâариантноñòè
(1.8) íàлагаюò íà åãî ýлементы ограничения:
1
c
35
= ±c
1
, c
36
1
45
= ±c
1
, c
46
1
53
= ±c
1
, c
63
1
54
= ±c
1
64
.
(3.10)
98 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
Ïðè ýòîì выбор çíàêîâ
(+)
èëè
(−)
â (3.10) зависит îò îïðåделения
операòîðà ïðîñòранственногî îòðàæåíèÿ ñîãласно ôîðìóëàì (1.9) ëèáî
(1.10). Применительно ê данноìó случаю ñêазанноå îçíà÷àåò, ÷òî знаки
(+)
(ëèáî
(−)
) îдновременно âî âñåõ ñîîтношениях (3.10) èìåþò ìåñòî
ïðè истинно âåêòîðíîì (ïñåâäîâåêòîðíîì) õàðàêòåðå обоих ïðåäñòàâëå-
íèé
(1/2, 1/2)è(1/2, 1/2)′. Òîãäà äëÿ áëîêà
0 0 c
0 0 c
C1=
c
±c
1
53
1
53
c
±c
1
54
1
54
C1ïîлучаетñÿ выражåíèå
±c
±c
1
35
1
45
,
1
35
1
45
0 0
0 0
(3.11)
ãäåâñå âерхние (êàê è нижние) знаки êоррелирóþòмежду собой. Ìàòðèöà
(3.11) имеет пропорциональные òретий è ÷åòâåðòûé ñòîëáöû è òàêèå æå
òретью è ÷åòâåðòóþ ñòðîêè. Çíà÷èò,
çíàчений áëîêà
C1ïðèñóòñòâóþò íóлевые. Íî ìàòðèöà ñ íóлевыми êîð-
det C1= 0
, ò. å. ñðåäè собственных
íÿìè íå ìîæåò óäîâëåòâорять минимàëüíîìó уравнению (3.2). Îòñþäà
ñëåäóåò âûâîä î íåâîçìîæíîñòè ïîñòðîåíèÿ íà îñíîâå ñõåìû зацеплений
(3.4), â êîòîðîé îáà ïðåäñòàâления
(1/2, 1/2)è(1/2, 1/2)′ÿâëÿþòñÿ îä-
новременно âåêòорными èëè ïñåâäîâåêòорными,P-èíâариантногî ÐÂÓ
диракîâñêîãî òèïà.
Îñòàåòñÿ âариант,êîãäà îäíî èç ïðåäñòàâлений
à âòîðîå ïñåâäîâåêòîðíîå (áóäåì именно åãî обозна÷àòü
(1/2, 1/2)
âåêòîðíîå,
(1/2, 1/2)′).
Òîãäà ñîîтношения (3.10) принимàþò âèä
1
35
= c
1
, c
36
C1имеем
c
è äëÿ áëîêà
Îáðàтимся теперь ê спиновîìó áëîêó
C1=
1
45
= −c
1
, c
46
0 0 c
0 0 c
1
53
1
53
c
−c
1
54
1
54
c
c
1
53
1
= c
63
1
c
35
1
−c
45
0 0
, c
1
35
1
45
1
54
= −c
1
64
,
.
0 0
C0(3.9). Ïîñêîëüêó âåêòîðíîå
(3.12)
(3.13)
ïðåäñòàâление âP-èíâариантîì ÐÂÓ íå ìîæåò зацепляться ñ ïñåâäî-
ñêàлярным, à ïñåâäîâåêòîðíîå ñî ñêàлярным, òî â случаях, êîãäà îáà
Ðелятивистñêèå âîлновые уравнения ... 99
ïðåäñòàâления
(0, 0)è(0, 0)′â (3.4), íàпример, ñêàлярные, ïîлучаем ðà-
âенствà
0
è âèä áëîêà
C
14
= c
0
24
c
0
C0=
0
= c
41
0 0 c
0 0 c
0
0
c
c
31
32
= c
0
42
0
13
0
23
0 0
= 0
0
0
(3.14)
,
(3.15)
0 0 0 0
êîòîðûé íå ñîãëàñóåòñÿ ñ условием диракîïîдобноñòè ÐÂÓ. Àíàлогичная
ñèòóàöèÿ имеет ìåñòî, åñëè îáà ïðåäñòàâления
ïñåâäîñêàлярные. È ëèøü êîãäà îäíî èç ïðåäñòàâлений
à âòîðîå (èñïîëüçóåì äëÿ íåãî обозначение
(0, 0)è(0, 0)′â (3.4)
(0, 0)
ñêàлярноå,
(0, 0)′) ïñåâäîñêàлярноå,
áóäåì иметь условия
0
è áëîê
C
14
= c
0
23
c
0
C0=
c
0
41
= c
0
13
0
32
= c
0 0 c
0 0 0 c
0
0 0 0
31
0
0 c
42
0 0
= 0
0
0
24
(3.16)
,
(3.17)
ñòðóêòóðàêîòîðîãî допускàåò âîçìîæíîñòü óäîâëåòâорения минимàëüíî-
ìó уравнению
(C0)2− I = 0
. Очевидно, ÷òî ïðè выборе (3.16) èñõîäíàÿ
ñõåìà зацеплений (3.4) òðàíñôîðìèðóåòñÿ ê âèäó
(0, 1)
(0, 0)′− (
1
′
,
)
2
2
1
(
,
2
1
) − (0, 0),
2
(3.18)
1
(1,0)
100 Â.À. Плетюõîâ, Â.Ì. Ðåäüêîâ, Â.È. Ñòðàæåâ
ãäåнепривîдимыеêîмпоненты
íî истинные ñêàëÿð è âåêòîð, à
(0, 0), (1/2, 1/2)
описывàþòñîîòâåòñòâåí-
(0, 0)′, (1/2, 1/2)′ ïñåâäîñêàëÿð è ïñåâ-
äîâåêòîð.
Ìàòðèöà билинейной ôîðìûη(1.12) ñîдержит â данноì случае áëîêè
1
η0, η
:
η = η0⊕ (η1⊗ I3),
η0=
η1=
0
η
0 0 0
11
0
0 η
22
0 0 η
0 0 0 η
1
η
0 0 0
33
1
0 η
0 0
44
0 0 0 η
0 0 η
0 0
0
33
1
0
65
,
0
0
44
1
56
,
(3.19)
ãäå
1
η
33
= −η
0
, η
33
1
44
= −η
0
, η
44
1
65
= ±η
1
56
.
Óсловия (1.14) âîçìîæíîñòè ïîлучения èñêîìîãî ÐÂÓ èç èíâариант-
íîé ôункции Лагранжа ñîâìåñòíî ñ ðàâенствàìè (3.12) ïðèâîäÿò ê ñîîò-
ношениям
0
η
=
=
33
0
(c
)∗, c
13
0
η
11
1
η
56
1
(c
)∗, c
35
1
η
33
0
42
1
54
0
c
31
1
c
53
Выбирая теперь äëÿ îñòавшихñÿ íåзависимых ýлементîâ ìàòðèö
η
çíàчения
=
=
0
η
44
0
(c
)∗,
24
0
η
22
1
η
56
1
(c
)∗.
45
1
η
44
(3.20)
Γ4è
0
η
0
11
c
13
= −η
= c
0
22
0
= 1, c
24
0
= η
33
= −η
0
44
1
= c
35
= −η
1
56
1
45
=
= −η
ïîлучаем ÐÂÓ ñî спиновыми áëîêàìè ìàòðèöû
0 0 1 0
C0=
0 0 0 1
1 0 0 0
, C1=
√
1
2
0 1 0 0
1
√
,
2
1
= 1,
65
Γ
4
0 0 1 1
0 0 1 −1
1 1 0 0
1 −1 0 0
.
(3.21)
(3.22)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]