5.4. Решение уравнения шрёдингера для частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками

Из волновых свойств микрочастиц вытекает их удивительное свойство – дискретность (квантование) их энергии при ограниченных в пространстве (финитных) движениях. Покажем это на простейшем случае. Частица совершает одномерное движение по оси х от х = 0 до х = l.

При х0 и при хl потенциальная энергия частицы Е_п = , при 0хl Е_п = 0 (см. рис. 5.3).

Рис. 5.3. Частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

Для этого одномерного случая для 0 хl уравнение Шрёдингера (5.4) записывается так:

(5.5)

Обозначим =,

Уравнение (5.5) примет вид:

+_{= 0}

Решением этого уравнения будет:

Ψ = ∙ +)

При х=0 =0, так как при этом Е_п = 0, и вероятность обнаружить частицу на этой бесконечно высокой стенке равна 0. Отсюда

sin₀ = 0 и ₀ = k₁ (k₁ = 0, 1, 2, 3 …)

При х = ℓ по той же причине =0, и поэтому

sin (ℓ +₀) = 0 и ℓ +₀ = k₂ ,

или ℓ +k₁= k₂ ,

ℓ= k₂ - k₁ = k,где k = k₂ –k₁ = 0, 1,2,3…

K = 0 исключаем, потому что тогда =0 при всех значениях х и означало бы отсутствие частицы в потенциальной яме.

Получим:

=,²=, гдеk = 1, 2, 3 …

Отсюда

И, наконец, получили формулу для квантования энергии

где k = 1, 2, 3 … (5.6)

Из формулы (5.6) видно, что энергия частицы в потенциальной яме меняется дискретно (рис.5.4), может принимать только ряд определённых значений, частица может быть только на определённых энергетических уровнях: Е₁ , Е₂ , Е₃ … , соответствующих целочисленным значениям k.

Рис. 5.4.Квантоваиие энергии частицы в потенциальной яме.

5.5. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АТОМА

В уравнение Шрёдингера для стационарного случая подставляется выражение для потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром. Наиболее простое выражение для потенциальной энергии одного электрона на внешнем слое атома водорода или водородоподобного атома или иона, когда на внешнем электронном уровне один электрон:

Е_п =,где z – порядковый номер элемента, число протонов в ядре; е = 1,6. 10^-19 Кл – элементарный электрический заряд – заряд протона или модуль заряда электрона, ₀ = 8,85 10^-12 Ф / м – электрическая постоянная; r – расстояние электрона от ядра.

Решая уравнение Шрёдингера, получаем в высшей степени интересную информацию о поведении электрона с атоме:

1. Вероятностный характер решения. Электрон может находиться в разных местах пространства вокруг атомного ядра. Говорят об электронном облаке. Но вероятность попадания электрона в одни места больше, чем в другие. Плотность электронного облака в разных местах разная. Точки, вероятность попадания в которые электрона максимальна, образуют поверхности – орбитали. Разные формы орбиталей соответствуют разным состояниям электрона: s-орбитали – сферы, р-орбитали – гантели и т. д. ( рис.5.5).

2. Дискретность (квантование) энергии - Е_n , момента импульса - L, проекции момента импульса на ось z - L_z , проекции спина электрона на направление L – S_z.

Состояние электрона в атоме определяется набором значений четырёх квантовых чисел:

1. Главное квантовое число – n = 1,2,3….

Определяет квантование энергии:

E_n =, h =

2. Орбитальное квантовое число - l = 0, 1, 2…n-1.

Определяет квантование момента импульса:

( Момент импульса электрона в атоме L = v r – призведение его скорости на расстояние до ядра).

3. Магнитное квантовое число – m_l = 0, 1,2, …l.

Определяет квантование проекции момента импульса на направление внешнего магнитного поля:

L_z = m_l h

4. Спиновое квантовое число m_s =

Определяет квантование проекции спина на направление момента импульса:

S = m_s h

( если S L, S=; если S L, S=).

В многоэлектронных атомах много электронов. И у всех электронов разные квантовые состояния, определяемые разными наборами значений квантовых чисел. Согласно принципу швейцарского физика В. Паули ( 1925 год ) в атоме не может быть больше одного электрона в одном и том же квантовом состоянии, определяемом набором четырёх квантовых чисел. Поэтому электроны последовательно занимают квантовые состояния по мере возрастания квантовых чисел. Правда, для атомов с большим количеством электронов это правило нарушается из-за взаимодействия между электронами. .

Рис. 5.5. Разные формы орбиталей, соответствующие разным состояниям электрона.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 5

1. Какие явления подтверждают волновые, а какие корпускулярные свойства электромагнитного излучения?

2. Почему волновые свойства проявляются только у микрочастиц?

3. Чему равна длина волны дё Бройля велосипеда с велосипедистом? Их скорость 18 км/ч, масса велосипедиста вместе с велосипедом 100 кг.

4. Чему равна длина волны дё Бройля электрона, разогнанного разностью потенциалов 10⁵ В?

5.Как было доказано, что электроны обладают волновыми свойствами?

6. В чём различие идеи, положенной в основу электронного микроскопа от идеи, положенной в основу электронографии?

7. В чём преимущества электронографии перед методом рентгеноструктурного анализа, а в чём недостатки электронографии?

8. Почему при помощи электронного микроскопа можно получить огромные полезные увеличения?

9. Рассчитайте предел разрешения электронного микроскопа, в котором электроны разгоняются электрическим полем с разностью потенциалов 10⁵ В и числовая апертура равна 10^-3 .

10. Неопределённость координаты микрочастицы 0,5 нм. Найдите неопределённость проекции её импульса.

11. Как изменятся расстояния между энергетическими уровнями частицы в потенциальной яме при увеличении массы частицы?

12. Почему в многоэлектронном атоме электроны не скапливаются на нижнем энергетическом уровне?