1.3 Смещение, скорость и ускорение гармонически колеблющегося тела

На рисунке 1.3 представлены временные зависимости смещения

_,

скорости

_,

и ускорения гармонически колеблющегося тела

Колебания этих величин сдвинуты относительно друг друга по фазе. Начальную фазу для простоты приняли = 0 .

Рис. 1.3 Временные зависимости смещения от положения равновесия s , скорости v и ускорения a гармонически колеблющегося тела.

1.4. ЭНЕРГИЯ ГАРМОНИЧЕСКИ КОЛЕБЛЮЩЕГОСЯ ТЕЛА

Энергия пружинного маятника складывается из его кинетической энергии движения шарика и потенциальной энергии сжатой или растянутой пружины.

Кинетическая энергия =

так как v = mA, то

= t,

a потенциальная энергия деформированной пружины

= t,

,

так как ,k = m.

Тогда полная энергия колеблющегося тела

E = +=(t + t) = ,

потому что t + t = 1

На рисунке 1.4 представлены временные зависимости кинетической Е_к, потенциальной Е_п, и полной энергии Е тела, совершающего гармонические колебания.

Рис. 1.4. Временные зависимости кинетической Е_к, потенциальной Е_п и полной энергии Е тела, совершающего гармонические колебания.

Воспользовавшись известными тригонометрическими соотношениями

t = +t

t = -t,

получаем

Кинетическая и потенциальная энергии колеблющегося тела меняются в противофазе с частотой, в два раза большей частоты колебания тела.

В положении равновесия

,

a в амплитудном положении

Таким образом, кинетическая энергия превращается периодически в потенциальную и наоборот

На самом деле мы рассмотрели только идеальный случай консервативной системы, когда сохраняется механическая энергия, каких в природе не бывает. Вследствие того, что система всегда должна совершать работу против сил трения, сопротивления, она теряет свою механическую энергию, которая переходит во внутреннюю. Все реальные свободные колебания - затухающие.

1.5. СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ

На рисунке 1.5 показана сила трения F_тр действующая на движущийся шарик. Она прямо пропорциональна скорости шарика и направлена в сторону, противоположную скорости:

k - коэффициент трения, сопротивления.

Рис.1.5. Затухающие колебания пружинного маятника.

II закон Ньютона для этого случая будет выглядеть так

или

(1.4)

Получили дифференциальное уравнение для свободного затухающего колебания

Перенеся все его члены в левую часть и, разделив обе части уравнения (1.4) на массу m, получим

(1.5)

Обозначим

где β - называется коэффициентом затухания

Тогда уравнение (1.5) примет вид:

(1.6)

Если , решение этого дифференциального уравнения будет выглядеть так

(1.7)

Здесь - частота свободных затухающих колебаний.

Амплитуда уменьшается со временем, её временная зависимость на рисунке 1.6 показана штриховой линией.

Рис.1.6 . Временные зависимости амплитуды A ( штриховая линия) и смещения s для свободных затухающих колебаний , когда.

Рис 1.7 а) и б). Временные зависимости смещения s для свободных затухающих колебаний, когда (объяснения в тексте).

На рисунках 1.7а и 1.7б показаны временные зависимости смещения для случаев, когда в этих случаях просто не будет колебаний

Коэффициент затухания можно рассчитать, воспользовавшись экспериментально полученным графиком затухающих колебаний, измерив по нему три величины: амплитуду в момент времени t - A_t , амплитуду через период - A_t+T и период колебаний T. .

Надо рассчитать декремент затухания

и логарифмический декремент затухания:

Подставив сюда выражения для амплитуд в момент времени t

и в момент времени t + T:

, получим:

И коэффициент затухания рассчитаем по формуле

1.6 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС

Все свободные колебания - затухающие. Незатухающими могут быть: 1) вынужденные колебания, 2)автоколебания.

Вынужденные колебания - это колебания под воздействием внешней переменной вынуждающей силы. Рассмотрим случай, когда на пружинный маятник (рис. 1.1) воздействует вынуждающая сила, меняющаяся во времени по гармоническому закону

(1.8)

Где - амплитуда вынуждающей силы,- круговая частота вынуждающей силы

Закон Ньютона для этого случая будет выглядеть так:

где сила упругости , сила трения, а ускорение

Получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

А после преобразований:

Как и выше, обозначим:

Получаем:

Как показывает математический анализ, после некоторых переходных процессов, через некоторое время после начала действия вынуждающей силы в колебательной системе установятся незатухающие колебания с частотой изменения вынуждающей силы (рис. 1.8)

(1.9)

Рис 1.8. Вынужденные колебания (объяснения в тексте).

На рисунке 1.9 показана зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силыпри разных значениях коэффициента затухания β.

Когда частота вынуждающей силы приближается к резонансному значению, наблюдается возрастание амплитуды вынужденных колебаний и при резонансной частоте=амплитуда максимальна .

Рис.1.9. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силыпри разных значениях коэффициента затухания β: β₂ > β₁, β₀ = 0/ ( 0 - β₀ , 1 - β₁ , 2 - β₂ ).

Резонанс - это явление достижения амплитудой вынужденных колебаний максимального значения, когда частота вынуждающей силы равна резонансной частоте колебательной системы, определяемой свойствами этой колебательной системы:

Где - собственная круговая частота незатухающих колебаний системы, если бы в ней не было сил трения, сопротивления, а β -коэффициент затухания в системе.

Значение резонансной амплитуды зависит от амплитуды вынуждающей силыи от свойств колебательной системы: её массыm , собственной частоты и коэффициента затухания β :

(1.10)

При коэффициенте затухания, равном нулю β=0 резонансная амплитуда теоретически должна стремиться к бесконечности при любых амплитудах вынуждающей силы. Если коэффициент затухания велик, резонанс слабо выражен.

Резонанс может быть как вредным, так и полезным явлением. Так, все человеческие органы и части его опорно-двигательного аппарата - колебательные системы со своими резонансными частотами и они могут резонировать на внешние воздействия. Но к счастью колебательным процессам в организме присущи большие коэффициенты затухания и поэтому чаще всего резонансные амплитуды невелики.

Но воздействия внешних переменных сил с большими амплитудами и на резонансных частотах человеческих органов могут привести к патологиям и даже к летальному исходу, о чём будет рассказано в следующей главе. Известны случаи технических и природных катастроф, вызванных резонансными явлениями.

В качестве примеров применения резонанса как полезного явления можно привести различные методики лечебной и гигиенической гимнастики, физиотерапии, вибромассаж.

.