Вопросы и задачи к главе 1
Какие из следующих процессов относятся к колебательным: смена времён года, смена настроения у девушки, потепление климата, взросление, старение, дыхание, речь, письмо, чтение? Когда капли падают с крыши? Когда юноша сбегает по лестнице,прыгает со ступеньки на ступеньку; когда он прыгает на одной ступеньке?
Приведите примеры свободных, вынужденных и автоколебаний в организме человека.
Как изменилась масса пружинного маятника, если его период увеличился в два раза, а жёсткость пружины уменьшилась в четыре раза? Силой трения, сопротивления пренебречь.
Могут ли возникнуть колебания пружинного маятника массой- 1кг, жёсткостью пружины -1 Н/м, если коэффициент трения, сопротивления-1 Нс/м ?
Как изменилась амплитуда гармонического колебания, если его энергия возросла в сто раз при увеличении частоты в тысячу раз?
Как изменится резонансная амплитуда вынужденных колебаний, если амплитуда вынуждающей силы уменьшится в два раза, а коэффициент затухания в сто раз?
Начертите гармонический спектр гармонического колебания.
Графически сложите два гармонических колебания с одинаковыми амплитудами, но с частотами, отличающимися в два раза. Начертите гармонический спектр результирующего колебания.
Глава 2. Механические волны
2.1 Механические волны, продольные и поперечные волны
Волна - процесс распространения возмущения в пространстве. Это может быть и волна новой моды, и волна эпидемии, и волна массового увлечения бегом или гимнастикой по системе Мюллера, и волна распространения возбуждения по мембранам нервной или мышечной ткани. Возмущение - любое отклонение от среднего состояния.
Механическая волна - процесс распространения механических колебаний в упругой среде. В вакууме в отличие, например, от электромагнитной волны механическая волна распространяться не может. Распространение механической волны - это передачи колебаний от одних частиц упругой среды к другим при их взаимодействии. Упругость - это сопротивление внешним воздействиям при сжатии и растяжении или при сдвиге одних слоёв вещества относительно других. Упругость при сжатии и растяжении - упругость по отношению изменения объёма проявляют вещества и в газообразном, и в жидком, и твёрдом состоянии, а упругость по отношению к сдвигу - упругость по отношению к изменению формы проявляется только в твёрдых телах.
Поэтому продольные механические волны, когда колебания частиц среды происходят вдоль направления распространения волны, (см. рис.2.1 а) могут распространяться и в твёрдых, и в жидких, и в газообразных состояниях. А поперечные, когда колебания перпендикулярны направлению распространения волны, (см. рис.2.1 б) - только в твёрдом.
Рис.2.1. Продольные – а и поперечные – б механические волны.а:1-сгущение, 2- растяжение;б: 1- гребень, 2- впадина
2.2. Уравнение и график плоской незатухающей гармонической волны
На рисунке 2.2 волна распространяется в одном направлении вдоль оси х. Такие волны называются плоскими. В точке х = 0 - источник волны, посылающий в упругую среду гармонические колебания, а на расстояние х от источника волны, в точке с координатой х = х вследствие упругих связей между частицами среды создаются колебания
,
где
-
время запаздывания, за которое колебания
от точки х = 0 распространяются до точки
х = х,v-
скорость распространения волны. И
получаем уравнение плоской гармонической
волны:
(2.1)
Смещения от положения равновесия частиц среды, через которую проходит волна, зависят не только от времени t ,но и от координаты x .
Графиком волны
называют зависимость смещения s
от координаты в данный фиксированный
момент времени t
(см. рис. 2.2 сплошная кривая), в последующиё
момент времени (см. рис. 2.2 штрих) картина распределения
смещений в среде, через которую проходит
волна, сдвинется по оси х со скоростью
распространения волныv.
Рис.2.2. График плоской, незатухающей, гармонической волны (объяснения в тексте).
Длина волны – кратчайшее расстояние между двумя
точками волны, колеблющимися в одной
фазе( см. рис. ). Уравнение плоской
бегущей волны можно преобразовать,
учтя, что
,
где Т – период колебаний к виду
Если точка с
координатой х+λ - ближайшая к точке с
координатой х, в которой колебания в
той же фазе, что и в х, то есть:,
,
то
откуда
длина волны
Таким образом, длина волны равна расстоянию, на которое волна распространится за период, а так как период Т связан с частотой ν соотношением
,
то
(2.4)
(2.5)
2.3. ЭНЕРГИЯ ВОЛНЫ. ПОТОК ЭНЕРГИИ. ИНТЕНСИВНОСТЬ.
Механическая волна возбуждает колебания частицам среды, через которую проходит, сообщает им энергию, Волна переносит энергию. Иногда волна может переносить огромную энергию. Например, гигантские океанские волны - цунами наделали много бед на островах Полинезии, и в прибрежных американских городах и в Японии.
Найдём формулу
для объёмной плотности энергии волны
.
-
величина, численно равная энергии
возбуждённых волной колебаний в единице
объёма среды.
Для простоты
примем, что массы всех колеблющихся частиц среды одинаковы
и все они колеблются с одинаковыми
частотами
,
и амплитудами А. Энергия колебания
одной частицы
,
а энергия колебания всех частиц в объёме V :
Где m
= -
суммарная масса всех частиц в объёмеV.
Для плотности энергии волны получим:
,
где - плотность среды.
Поток энергии Ф – это величина, численно равная энергии E, перенесённой волной за единицу времени t через некоторую площадь поверхности S.
(2.6)
Интенсивность
волны I
– это величина, численно равная средней
энергии ,
переносимой волной за единицу времениt
через единицу площади S
поверхности, перпендикулярной направлению
распространения волны.
(2.7)
Нередко пользуются другой единицей измерения интенсивности волны:
Рис.2.3. Перенос волной энергии через поверхность S. (объяснения в тексте).
На рисунке 2.3 изображён прямоугольный параллелепипед с площадью основания S и боковой стороной vt - это расстояние, на которое распространится волна за время t со скоростью v.
В объёме этого
параллелепипеда волна возбуждает за времяt
колебания, с совокупной энергией
,
отсюда интенсивность волны
(2.8)
Подставив в (2.8)
полученное нами ранее выражение
,
получим
Выражение (2.8) в векторном виде
Называется соотношением Умова, а вектор интенсивности - вектором Умова.