3.2. Применение первого начала термодинамики к равновесным изопроцессам идеального газа

1. Работа газа при его расширении

Рис.3.3.

На рис.3.3 газ, заключённый в цилиндре под поршнем с площадью S ,совершает работу, перемещая поршень вверх на dx. Изменение объёма газа при этом dV=Sdx считаем столь малым что изменением давления газа p можно пренебречь и можно считать его постоянным

р = const

Тогда элементарное количество работы, произведённой газом при его расширении:

потому что силу давления газа на поршень при таком его малом расширении F=pS можно считать постоянной.

Так как Sdx=dV, элементарное количество работы при изменении объёма газа на dV равно давлению газа, помноженному на элементарное изменение объёма dV:

(3.4)

При больших изменениях объёма работу можно вычислить по формуле:

(3.5)

где - начальный объём- конечный объёмы газа ,а давлениеp- функция объёма, вид которой определяется типом процесса перехода газа из первого состояния во второе.

На графиках, изображающих процесс в координатах p иV, работа газа равна площади под графиком. (рис.3.4)

Рис. 3.4. Нахождение работы газа при его расширении по площади под графиком зависимости его давления р от объема V

2. Теплоёмкость

Теплоёмкость тела численно равна количеству теплоты, которое нужно подвести к телу для его нагревания на единицу температуры.

(3.6)

Удельная теплоёмкость численно равна количеству теплоты, нужного для нагревания единицы массы тела на единицу температуры

(3.7)

Молярная теплоёмкость вещества численно равна количеству теплоты, необходимому для нагревания одного моля вещества на единицу температуры

(3.8)

Из 3.7 и 3.8 видно, что

Так как теплота - функционал процесса, то и теплоёмкость зависит от условий, при которых протекает процесс. Теплоёмкость данного вещества в разных процессах разная.

В дальнейшем будем оперировать только молярными теплоёмкостями и будем их обозначать строчной буквой c.

3. Изопроцессы в идеальных газах

Изопроцессы– процессы, протекающие при постоянстве какого-нибудь параметра.

Для простоты будем рассматривать один моль идеального газа. Для этого случая уравнение состояния идеального газа - уравнение Клапейрона- Менделеева

примет вид:

так как

(Здесь и дальше V- объём одного моля газа при температуре T и давлении p).

А. Изохорный процесс- при котором объём постоянен:

(рис.3.5)

Рис.3.5 Изохорный процесс

Так как V=const, dV=0,то, согласно 3.4 и 3.5, газ при этом процессе работы не совершает

и вся теплота, подводимая к газу, идёт на увеличение его внутренней энергии

(3.9)

Молярная теплоёмкость при постоянном объёме:

(3.10)

Отсюда элементарное изменение внутренней энергии:

(3.11)

Изменение внутренней энергии:

(3.12)

а количество теплоты

Согласно молекулярной физике внутренняя энергия одного моля идеального газа U определяется температурой T и числом степеней свободы молекулы i:

и поэтому молярная теплоёмкость при постоянном объёме идеального газа:

(3.13)

Б.Изобарный процесс -при постоянном давлении (рис.3.6):

Рис.3.6 Изобарный процесс

В этом случае элементарное количество работы

Количество работы

Поэтому первое начало термодинамики записывается для этого случая так:

и , подставив сюда выражение для , запишем

(3.14)

Так как согласно (3.11),dU=,

(3.15)

Из уравнения Клапейрона-Менделеева для одного моля

pV=RT

Продифференцировав обе части этого равенства при p=const, получим:

pdV=RdT

И тогда первое начало термодинамики для идеальных газов при постоянном давлении запишется так:

А молярная теплоёмкость идеального газа при постоянном давлении будет

Это уравнение

(3.16)

носит название уравнения Майера. Оно получило блестящее подтверждение опытными данными ,что в своё время сыграло большую роль в утверждении первого начала термодинамики.

Теплоёмкость при изобарическом нагревании газа больше его теплоёмкости при постоянном объёме, потому что при постоянном давлении газ расширяется, и теплота идёт не только на увеличение внутренней энергии газа, но и ещё на совершение работы против сил внешнего давления.

Согласно 3.13 и 3.16

(3.17)

а отношения теплоёмкостей и

(3.18)

В.Изотермический процесс - процесс при постоянной температуре:

T=const,dT=0 (рис. 3.7)

Рис 3.7 Изотермический процесс 1- T ₁ , 2- T₂ T₁ .

Внутренняя энергия идеального газа при постоянной температуре не меняется

, U=const

И вся теплота идёт на совершение работы:

Q=A=

Учитывая, что для одного моля идеального газа

,

(3.19)

При расширении газа:

,

Газ совершает работу и для сохранения постоянной температуры и, следовательно, внутренней энергии к нему надо подводить энергию извне в процессе теплопередачи.

При сжатии газа работа совершается над газом и полученную при этом энергию он отдаёт назад в окружающую среду в процессе теплопередачи.

Теплоёмкость при изотермическом процессе

При расширении газа (dT)

При сжатии газа ()

Г. Адиабатический процесс - когда отсутствует теплообмен системы с окружающей средой:

Следовательно, теплоёмкость при адиабатическом процессе

Равновесный адиабатический процесс тоже относится к изопроцессам и вот почему.

Согласно второму началу термодинамики, элементарное изменение функции состояния - энтропии при равновесных процессах равно элементарному количеству теплоты, обмененному системой с окружающей средой, делённой на температуру системы.

Так как в равновесных адиабатических процессах система не обменивается теплотой с окружающей средой, , также иdS=0 , а S=const

Таким образом, равновесный адиабатический процесс протекает при неизменной энтропии, это изоэнтропийный процесс.

Первое начало термодинамики для этого изопроцесса записывается так:

Или

Вся работа совершается системой только за счёт расхода её внутренней энергии.

Первое начало для идеального газа в дифференциальном виде для этого случая имеет вид:

так как и,

Откуда для элементарного изменения температуры получим:

(3.20)

При адиабатическом расширении газа, когда , газ охлаждаетсяЭто применяется, например, для получения низких температур.

При адиабатическом сжатии, когда , газ нагревается.

Это используется, в частности, в двигателях Дизеля, где в длинном толстостенном цилиндре рабочей камеры двигателя сильно сжимается воздух. Так как это происходит быстро, газ не успевает отдать энергию в окружающую среду в процессе теплообмена и нагревается до высокой температуры. Затем в раскалённый воздух впрыскивается топливо, возгорающееся от соприкосновения с горячим воздухом. Освобождённая при химической реакции внутренняя энергия топлива резко повышает температуру и давление в рабочей камере и толкает поршень - совершается рабочий ход.

А теперь, проведя ряд несложных математических преобразований, выведем уравнение адиабаты - связывающее параметры p и V идеального газа при равновесном адиабатическом процессе.

Согласно уравнению Клапейрона-Менделеева для одного моля идеального газа:

RT= pV

Продифференцируем обе части уравнения:

RdT = pdV + Vdp

Откуда:

(3.21)

Приравняв правые части уравнений 3.20и 3.21, получим:

или

и

Так как согласно уравнению Майера

получим

где

Продолжим математические преобразования. Разделив переменные в полученном дифференциальном уравнении, запишем

А теперь обе части уравнения проинтегрируем в пределах: от параметров начального состояния

до параметров конечного состояния

Получаем

-

и отсюда

После потенцирования:

или

И наконец

Или (в силу произвольно выбора состояний 1 и 2)

(3.22)

и

(3.23)

Давление при адиабатическом расширении уменьшается, а при сжатии увеличивается быстрее, чем при изотермических условиях, так как газ при адиабатическом расширении охлаждается, а при сжатии нагревается, что приводит к большему, нежели при изотермических процессах изменению давления. Адиабата идёт круче, чем изотерма (см. рис.3.8)

Рис. 3.8, Изотерма – 1 и адиабата – 2.

Показатель адиабаты определяется числом степеней свободы молекулы

(3.24)

Определяя экспериментально показатель адиабаты и число степеней свободы молекулы, можно установить к каким газам: одноатомным, двухатомным, или многоатомным относится исследуемый образец - один из методов качественного химического анализа.

4. ПОЛИТРОПНЫЕ ПРОЦЕССЫ - процессы с постоянной теплоёмкостью.

Все рассмотренные нами изопроцессы - политропные. В переводе с греческого, «политропические» - разнонаправленные.

Уравнения всех политропных процессов имеет вид:

(3.25)

Где n - показатель политропы разный для разных процессов.

При изотермичесом процессе T=const теплоёмкость , уравнение процесса

Следовательно, показатель политропы n=1

При адиабатическом (изоэнтропийном) процессе S=const теплоёмкость С=0 уравнение процесса

При изобарическом процессе: p=const теплоёмость , уравнение процесса

p=const

или

Наконец, при изохоричесом процессе V=const теплоёмкость , уравнение процесса:

V=const

или

V=const

Поэтому

Графики различных политропных процессов представлены на рис.3.9

Рис.3.9. Графики различных политропных процессов.

3. 3.МОЛЯРНЫЕ ТЕПЛОЁМКОСТИ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ

Согласно выводам, полученным при применении первого начала термодинамики к процессам в идеальном газе, теплоёмкость идеального газа при постоянном объёме (3.10):

а при постоянном давлении (3.16.):

Воспользовавшись результатами молекулярной физики, получили

(3.13, 3,17)

и

В таблице 3.1 представлены значения числа степеней свободы , а также теплоёмкости при постоянном объёме , при постоянном давлениии показатели адиабатыразличных идеальных газов.

ТАБЛИЦА 3.1. ТЕПЛОЁМКОСТИ И ПОКАЗАТЕЛИ АДИАБАТЫ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ

газ	i				Соответствие эксперимен-тальным данным
одноатомный	3пост				хорошее
двухатомный	5=3пост+2вр				Удовлетвори -тельное
трёхатомный	6=3пост+3вр	3R	4R		неважное
Многоатом-ный	6=3пост+3вр	3R	4R		плохое

Недостаточно хорошее соответствие экспериментальным данным результатов молекулярной физики и термодинамики, для не одноатомных газов объясняется тем, что модели "жёстких" молекул с определённым числом степеней свободы, принятые в молекулярной физике, которая основывается на классической механике, более или менее применимы в достаточно узком температурном интервале при средних температурах. Они не применимы при низких и высоких температурах. Дело в том, что классическая механика, основанная на законах динамики Ньютона, мало применима к микроскопическим объектам - атомам и молекулам. В микромире действуют другие законы- законы квантовой механики. А согласно квантовой механике число степеней свободы молекулы меняется при изменении температуры.

Так теплоёмкость двухатомных газов при постоянном объёме только при средних температурах

.

R

Согласно классическим представлениям у молекулы двухатомного газа число степеней свободы постоянно (5 степеней свободы: 3 -поступательных и 2- вращательных), и его теплоёмкость R

,а на самом деле при низких температурах теплоёмкость уменьшается до и двухатомный газ ведёт себя как одноатомный. Две вращательных степени свободы молекулы "замораживаются". При дальнейшем понижении температуры теплоёмкость продолжает уменьшаться и при стремлении к абсолютному нулю, тоже стремится к нулю. А вот при повышении температурыT увеличивается до . "Размораживается" колебательная степень свободы колебаний атомов двухатомной молекулы относительно друг друга. На колебательную степень свободы молекулы приходится не только средняя кинетическая энергия, но и равная ей средняя потенциальная энергия, всегоkT.

И, таким образом, колебательная степень свободы вносит в теплоёмкость газа такой же вклад, как и две поступательные или вращательные.

На рис.3.10 схематически показано изменение теплоёмкости при постоянном объёме двухатомного идеального газа при изменении температуры и модели его молекулы, применимые при разных температурах: при некоторых средних температурах – это «гантели» – два маленьких, жёстко соединённые друг с другом шарика», при более низких – «одиночные шарики», при более высоких – «два шарика, соединённые пружинкой».

Рис. 3.10. Температурная зависимость теплоёмкости при постоянном объёме двухатомного идеального газа и и модели его молекулы, применимые при разных температурах: «гантели» – 2, «одиночные шарики» - 1, «два шарика, соединённые пружинкой» - 3.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 3

1.Идеальный газ переходит из состояния 1 в состояние 2 (рис.3.11) по двум путям: 1а2 и 1в2. В каком случае больше количество работы A и количество теплоты Q , какого они знака?

Каковы A и Q ,если совершаются циклические процессы: 1а2в1 и 1в2а1?

Рис.3.11. К задаче 2.

2.Идеальный газ совершает циклический процесс 123416541 (рис.3.12)

Рис.3.12. К задаче 3.

Найдите количества теплоты Q и работы A в этом процессе. Чему равны ,Q и A в процессах12341 и 16541?

3. Найдите изменение внутренней энергии и количество теплотыQ при изохорическом нагревании 1 м³ воздуха от 20^о С до 30^о С. Начальное давление р = 10³ Па. Считать воздух двухатомным газом с молярной массой М=29г/моль.

4.Найдите удельные теплоёмкости воздуха при изохорическом и изобарическом процессах, считая воздух двухатомным идеальным газом с молярной массой М = 29 г/моль.

5.Феном - называется тёплый ветер на средиземноморском побережье, дующий с высоких и, часто, заснеженных гор. Почему ветер тёплый?

6.Почему обитатели Арктики вынуждены потреблять много животной пищи, богатой белками и жирами, а жители некоторых жарких стран обходятся жареными бананами?