1.5 Основное уравнение гидростатики

Пусть жидкость находится в сосуде и на ее свободную поверхность действует давление р_о. Возьмем в массе жидкости произвольную точкуА, имеющую координатуZ, и определим в ней гидростатическое давлениер(рисунок 1.5). При этом координату свободной поверхности обозначимZ_о.

Рисунок 1.5

На жидкость, находящуюся в сосуде, действует единственная массовая сила – сила тяжести, ускорение которой gнаправлено вниз. Следовательно, проекции ускорения силы тяжести на координатные осиx, y, zравныX=0;Y=0;Z=–g.

Для вывода основного уравнения гидростатики воспользуемся уравнением (1.12)

dр=(Xdx+Ydy+Zdz),

которое, после подстановки в него проекций ускорения g, примет вид

dр=–gdz,

а так как g=, то

dр=–dz.

Интегрируя, получим

р=–Z+C. (1.17)

Постоянную интегрирования Сопределим из условия, что приZ=Z_o, т.е. на свободной поверхностир=р_о. Тогда

р_о=–Z_о+C, откудаC = р_о +Z_о.

Подставляя значение постоянной Св уравнение (1.17), получим

р= р_о –Z +Z_о. (1.18)

Для выбранных точек А, находящейся в общем объеме жидкости, иВ– на свободной поверхности жидкости, уравнение (1.18) можно записать

. (1.19)

Для любых двух точек данного объема жидкости

. (1.20)

Это уравнение выражает закон распределения гидростатического давления и называется основным уравнением гидростатики. Постоянная величинаНназывается гидростатическим напором.

Значение гидростатического давления в любой точке жидкости можно получить из формулы (1.18), подставляя в нее глубину погружения точки Апод свободную поверхностьh=Z₀–Z:

р= р_о +Н. (1.21)

Следовательно, полное гидростатическое давление в любой точке жидкости равно сумме внешнего давления р₀, действующего на свободной поверхности, и веса столба жидкости с площадью основания, равной единице, и высотой, равной глубине погружения точки под свободной поверхностью жидкости, т.е. давление обусловлено весом вышележащих слоев жидкости.

Основное уравнение гидростатики (1.21) может быть выведено и без использования дифференциальных уравнений равновесия жидкости.

Для этого рассмотрим жидкость, находящуюся в сосуде (рисунок 1.6) когда на ее поверхность действует давление р_о. Определим величину гидростатического давлениярв произвольно взятой точкеА, расположенной на глубинеh. Для этой цели выделим около точкиАгоризонтальную площадкуи построим на ней вертикальный цилиндрический объем высотойh. Рассмотрим условия равновесия этого объема жидкости. На выделенный нами цилиндрический объем жидкости действуют: поверхностные силы Р_о=р_о, Р= р,F₁иF₂, а также массовая силаG=h(сила тяжести). Так как выделенный объем находится в равновесии, то все действующие на него силы взаимно уравновешены и сумма проекций этих сил на вертикальное направление равна нулю. Запишем сумму проекций этих сил, учитывая направление их действия

р_о+h– р=0.

Сокращая на и решая уравнение относительноРполучим основное уравнение гидростатики

р=р_о+h.