1.3 Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (Уравнения л. Эйлера)

В жидкости, находящейся в состоянии покоя, выделим бесконечно малый прямоугольный параллелепипед с ребрами dx, dy иdz(рисунок 1.4), параллельными осям прямоугольных координат. Давление жидкости на грани параллелепипеда объемомdxdydzвыразим соответствующими величинами гидростатических давлений. На граньdzdyбудет действовать среднее гидростатическое давлениер_х. На грань, противоположную ей, будет действовать гидростатическое давление

,

где др_х/дх- частная производная отр_хпоХ, характеризующая изменение давления на единицу длины в направлении осиХ, т.е. выражениепоказывает приращение среднего давленияр_хна длинеdx.

На другие грани соответственно будут действовать средние гидростатические давления:

р_y и;р_z и.

Помимо сил гидростатического давления на каждую единицу объема параллелепипеда действуют массовые силы. Равнодействующую этих сил выразим через G, а ее проекции, отнесенные к единице массы, на соответствующие оси координат обозначим черезX,Y иZ. Сумму проекций всех сил на соответствующие координатные оси можно представить в виде:

–+ dxdydzX=0;

–+dxdydzY=0; (1.9)

–+ dxdydzZ=0,

где ρ - плотность жидкости.

Преобразуя уравнения (1.9), получаем:

–+X=0;

–+Y=0; (1.10)

–+Z=0.

Перепишем уравнения (1.10), разделив их на ρ:

.(1.11)

Уравнения (1.11) являются уравнениями равновесия жидкости в общем виде, описывающими закон распределения гидростатического давления и называются уравнениями гидростатики Л. Эйлера.

Умножая в системе уравнений (1.11) первое уравнение на dx,а последующие – наdyиdzи складывая их, получим

. (1.12)

Выражение в скобках левой части уравнения (1.12) представляет собой полный дифференциал. Поэтому это уравнение можно записать в виде:

(1.13)

Это уравнение называется дифференциальным уравнением равновесияжидкостей илихарактеристическим уравнением.

1.4 Поверхность уровня, поверхность равного давления, свободная поверхность

Характеристическое уравнение (1.13) позволяет определить поверхности уровня. Поверхностью уровня называются такие поверхности, в каждой точке которых данная функция координат (параметр) имеет одинаковое значение.К поверхностям уровня относятся поверхности равной температуры, равного давления, равной плотности и др. В гидромеханике наиболее часто требуется определить поверхности равного давления.

Составим уравнение поверхности равного давления. Так как в этом случае p = const,тоdp= 0 и из (1.13) получим дифференциальное уравнение поверхности равного давления для общего случая:

. (1.14)

Поверхности, на которых гидростатическое давление в отдельных точках имеет одинаковое значение, называют поверхностями равного давления или поверхностями уровня.

Определим уравнение поверхностей равного давления, когда на жидкость из массовых сил действует только сила тяжести. При этом условии в уравнение (1.14) войдет единичная массовая сила, равная ускорению свободного падениям/с².

Направим координатную ось zвертикально вверх. Проекции ускоренияgна оси координат

X=0; Y=0; Z= – g.(1.15)

Подставив данные значения в дифференциальные уравнения поверхностей уровня, получим

откуда имеем

z=const.(1.16)

Уравнение (1.16) описывает семейство плоскостей (горизонтальных), параллельных плоскости xO y. Следовательно, для любой горизонтальной плоскости в покоящейся жидкости, находящейся в абсолютной системе координат, давление является величиной постоянной.

Свободной поверхностью жидкости (капельной) называется поверхность, ограничивающая ее от соседней среды(обычно от окружающего воздуха).