2.9 Уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости

Рассмотрим элементарную струйку реальной жидкости с осью S - S и изобразим графически для сечений 1 - 1 и 2 - 2 все члены, входящие в уравнение Бернулли (рисунок 2.7). Если сравнить графическое изображение уравнения Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости (рисунок 2.6) с графическим изображением этого уравнения для идеальной жидкости (рисунок 2.7), то легко заметить, что на рисунке 2.6 сумма , равная гидродинамическому напору Н₁ в первом сечении, равна величине гидродинамического напора Н₂ во втором сечении, т. е.

Для реальной жидкости гидродинамический напор Н₁ в первом сечении не равен гидродинамическому напору Н₂ во втором сечении, т. е.

причем, на рисунке 2.7 видно, что Н₂ меньше Н₁ на величину h_w.

Следовательно, при движении элементарной струйки от сечения 1-1 до сечения 2-2 произошли потери удельной энергии (напора), равные величинеh_w. Дело в том, что при движении элементарной струйки реальной жидкости возникают гидравлические сопротивления от сил трения, на преодоление которых часть энергии элементарной струйки расходуется, превращаясь в тепловую энергию, невозвратимую для рассматриваемой движущейся жидкости. Поэтому, если в сечении 1 - 1 мы имеем полную удельную энергию, равную напору Н₁то при движении элементарной струйки реальной жидкости от сечения 1 - 1 до сечения 2 - 2 часть напора Н₁ теряется на преодоление гидравлических сопротивлений трения и напор Н₂должен быть меньше напора Н₁. Потерянная удельная энергия элементарнойструйки равна разности напоров

Рисунок 2.7

Так как

и

то потери напора при движении элементарной струйки от сечения 1 - 1 до сечения 2 - 2

или

(2.18)

Итак, мы получили уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости. В правой части этого уравнения появился четвертый член, представляющий собой потери напора при движении элементарной струйки на участке между сечениями 1 - 1 и 2 - 2. Да это и вполне естественно, ведь мы рассматривали вначале элементарную струйку идеальной жидкости, при движении которой силы трения отсутствуют, и получили уравнение (2.17). Затем мы рассмотрели элементарную струйку реальной жидкости, при движении которой возникают силы трения, вызывающие потери напора, что и обусловило в уравнении (2.18) появление четвертого члена h_w.

2.10 Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

Уравнение Бернулли, составленное для элементарной струйки, можно распространить на поток с сечением конечных размеров (в таком потоке скорость в различных точках сечения будет различной) в случае плавноизменяющегося течения. Течение называется плавноизменяющемся, если угол расхождения между соседними элементарными струйками настолько мал, что можно пренебречь поперечными составляющими скоростей. В этих условиях распределение давления по поперечному сечению следует закону гидростатики

(для сечения).

Поток будем рассматривать как совокупность элементарных струек. Энергия отдельных струек с расходом dQ

Энергия потока

Первое слагаемое выражает потенциальную энергию потока. С учётом принятия течения плавноизменяющемся, эта энергия

. (2.19)

Второе слагаемое выражает кинетическую энергию.

(2.20)

Представим местную скорость в виде

где V - средняя скорость, а есть где может принимать значения меньшие, большие и равные нулю.

Сделав подстановку (2.20) в (2.19), получим

или

Здесь учтено, что так как.

Кроме того, (так как малая величинадля разных точекимеет различные знаки).

Обозначив выражение в фигурных скобках а, получим для кинетиче­ской энергии потока

В результате энергия всего потока жидкости

откуда удельная энергия потока

Таким образом, уравнение Бернулли для потока отличается от такого для элементарной струйки тем, что здесь скоростной напор, определяемый средней скоростью, дополненный коэффициентом , носящим название коэффициента Кориолиса.

Величина этого коэффициента зависит от степени неравномерности распределения скорости по сечению и изменяется в пределах .

Во многих случаях, например при расчёте трубопроводов, принимается .

Для реальной жидкости уравнение Бернулли для потока дополнено потерями напора и записывается в виде

(2.21)

где - коэффициенты, учитывающие неравномерное распределение скоростей по живому сечению потока 1 - 1 и 2 - 2;

- потери напора между сечениями 1 - 1 и 2 - 2. С физической стороны есть отношение кинетической энергии потока, подсчитанной при действительных скоростях течения в данном сечении к кинетической энергии, подсчитанной при средней скорости течения .

Все остальные члены уравнения Бернулли для потока жидкости имеют те же названия, что и для элементарной струйки реальной жидкости. Графическое изображение членов уравнения Бернулли для потока реальной жидкости показано на рисунке 2.7 Уравнение Бернулли (2.21) является важнейшим уравнением гидродинамики, дающим возможность установить связь между гремя основными элементами движущейся жидкости (, P, z). Важно подчеркнуть здесь же, что уравнение Бернулли справедливо лишь для установившегося движения и его можно применять для тех живых сечений, где выполняются условия медленно изменяющегося движения.