2.5 Дифференциальное уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера)

Как показано выше, основной задачей гидродинамики является изучение движения жидкости, характеризующегося скоростями частиц и давлением. Для решения этой задачи необходимо составить уравнения, связывающие между собой ускорения с силами, действующими на движущиеся частицы жидкости

Рассмотрим движущуюся невязкую жидкость, у которой плотность . Выделим в ней элементарный параллелепипед с ребрами dx, dу, dz, параллельными осям координат (рисунок 2.4).

Составим уравнение движения вдоль оси х. Обозначим давление, приложенное в центре тяжести грани АВСD. Тогда сила давления на эту грань равна В силу сплошности жидкости и непрерывности функции давления на грани ЕGFN давление будет равно сила давления на эту грань составит

На параллелепипед действует массовая сила, проекция которой, а ось х равна

Рисунок 2.4 Схема для вывода уравнения Эйлера равновесия движущейся жидкости

В случае движения жидкости алгебраическая сумма проекций действующих сил должна равняться проекции сил инерции, равной произведению массы частицы на проекцию ускорения её движения

С учётом этого получим

После сокращений и делений наполучим

.

Аналогично получим подобные уравнения и для осей у и z. Тогда

^(2.6)

Эти уравнения являются дифференциальными уравнениями движения жидкости (уравнениями Эйлера). В уравнениях (2.6) четыре неизвестных величины: , ,,.Для решения этой системы уравнений необходимо еще одно уравнение. Таким уравнением является уравнение неразрывности.

2.6 Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости

Рассмотрим элементарную струйку невязкой жидкости, находящуюся в установившемся движении. Для исследования воспользуемся дифференциальными уравнениями движения в форме Эйлера (2.6)

^(2.7)

Из указанных уравнений мы можем получить зависимость между u, p и , что важно для практической гидравлики. Умножим первое из уравнений (2.7) наdx, второе наdy, а третье наdzи сложим их, тогда будем иметь

(2.8)

Так как то подставляя указанные значения в левую часть уравнения (2.8), получим

(2.9)

Полную скорость uчерез её составляющие можно выразить в виде

(2.10)

Тогда правая часть уравнения (2.9) примет вид

. (2.11)

В правой части уравнения (2.8), выражение Хdх+Уdу+Zdz является полным дифференциалом некоторой силовой потенциальной функции V=f(х, у, z),

Кроме того, в правой части уравнения (2.8) выражение представляет собой полный дифференциал давления р, так как при установившемся движении давление р не зависит от времени. Следовательно,

(2.12)

Учитывая сказанное и подставляя приведенные значения выражений (2.10), (2.11), (2,12) в уравнение (2.8), имеем

или

Интегрируя вдоль элементарной струйки, получим

(2.13)

В практике самым распространенным случаем является тот, когда на жидкость действует только сила тяжести. Для такого случая силовая потенциальная функция будет

и уравнение (2.13) примет вид

(2.13)

Учитывая, что левая часть уравнения (2.13) постоянна вдоль элементарной струйки, мы можем написать это уравнение для любых сечений, например, для сечений 1 – 1 и 2 – 2. Тогда будем иметь

(2.14)

Все члены уравнения (2.14) отнесены к единице массы жидкости. Отнесём все члены уравнения (2.14) к единице веса, для чего разделим левую и правую части уравнения на ускорение силы тяжести g.

Имея в виду, что получим

(2.15)

где H– гидродинамический напор.

Уравнение (2.15) и есть уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости, полученное им в 1738 г. и являющееся важнейшим уравнением движения жидкости. Согласно уравнению Бернулли сумма трёх величин – z,и, равная гидродинамическому напоруH, есть величина постоянная вдоль струйки, причёмzесть расстояние данного сечения элементарной струйки над плоскостью 0 – 0, называемой плоскостью сравнения,p– гидродинамическое давление в этом сечении иu– скорость течения.

Даниил Бернулли уравнение (2.15) вывел, применив к элементарной струйке закон живых сил, а что касается вывода, изложенного выше, то он был получен Эйлером после вывода им в 1755 г. дифференциальных уравнений движения жидкости.