2.16 Ламинарный режим движения жидкости

2.16.1 Распределение скорости по сечению трубы

Определим закон, по которому распределяются скорости по поперечному сечению трубы при установившемся ламинарном режиме движения жидкости.

Как отмечалось, ламинарное движение имеет слоистый характер и происходит без перемешивания частиц. Один слой движется по другому и между ними возникает сила трения, напряжение которой определяется законом внутреннего трения Ньютона:

(2.45)

где местная скорость.

С другой стороны для слоя жидкости на расстоянии yот стенки трубы касательное напряжение может быть определено из уравнения равномерного движения

(2.46)

Приравнивая правые части уравнений (2.45) и (2.46) и, решая их относительно du, будем иметь

.

Проинтегрируем это уравнение:

или

. (2.47)

Постоянную интегрирования снайдем из пограничных условий. Так как приr₀=rскоростьu=0, то

.

Подставляя полученное значение св уравнение (2.47), получим

или

. (2.48)

Формула (2.48) описывает закон Стокса. Она представляет собой уравнение параболы, поэтому заключаем, что изменение скоростей течения по живому сечению потока происходит по параболической закономерности. Задаваясь разными значениями rв пределах от 0 доr₀и подсчитывая скорости по формуле (2.48), можно построить эпюру скоростей (рисунок 2.14).

Рисунок 2.14

Из формулы (2.48) следует, что на оси потока при r=0, будем иметь максимальную скорость течения:

, (2.49)

или, имея в виду, что ,

. (2.50)

2.16.2 Определение расхода и средней скорости течения жидкости в трубе

Определим расход и среднюю скорость течения в трубе, для чего выделим кольцо элементарной толщины dr(рисунок 2.14). элементарный расход через выделенное кольцо будет

.

Тогда расход через все живое сечение трубы

Окончательно расход жидкости в трубе определяется по формуле

(2.51)

Средняя скорость потока в трубе

,

или

. (2.52)

Сравнивая формулу (2.50) с (2.52), мы видим, что при ламинарном движении потока средняя скорость в трубе в 2 раза меньше макисмальной:

(2.53)

2.16.3 Потери напора при ламинарном режиме течения

Для определения потерь напора воспользуемся формулой средней скорости оп живому сечению в трубе (2.52).

Известно, что гидравлический уклон . Заменяя в формуле (2.49) значение гидравлического уклонаI,и решая уравнение (2.49) относительно потерь напораh_, получим

. (2.54)

Так как

.

Тогда, умножая числитель и знаменатель на 2, в результате получим

.

Учитывая, что , и обозначив

, (2.55)

окончательно получим формулу для определения потерь напора при ламинарном режиме движения жидкости, которую называют формулой Дарси,

. (2.56)

Коэффициент называется коэффициентом гидравлических сопротивлений трения.

Из формулы (2.54) видно, что потери при ламинарном движении пропорциональны скорости в первой степени. Заметим, что в формуле (2.50) в числители стоит скорость во второй степени, но в коэффициент для ламинарного движения входит скорость в степени минус единица, так как

.

Таким образом, в конечном результате из формулы (2.56) видно, что потери напора при ламинарном режиме течения пропорциональны скорости потока в первой степени.

Формулу Дарси (2.50) для определения потерь напора можно применять и при турбулентном движении, но коэффициент будет иметь другое значение, определяемое по другим зависимостям.