1.9.1 Относительный покой жидкости, перемещаемой вместе с сосудом по вертикали вверх или вниз с ускорением

Рассмотрим движение жидкости по вертикали вверх или вниз с ускорениема(рисунок 1.11).

Если сила инерции направлена вниз, то вниз же направлено и ускорение силы инерции (–а), которое складывается с ускорением силы тяжести (–g). В этом случае суммарное ускорение равно (–g–а). Если ускорение силы инерции положительно (действует вверх), то суммарное ускорение равно (–g+а). Тогда проекции единичных массовых сил на оси координат запишутся

X=0;Y=0;Z=–(gа) (1.32)

и уравнение

Xdx+Ydy+Zdz=0

напишется так

–(gа)dz=0, откуда (gа)z=const, иz=const.

Отсюда следует, что поверхности уровня в сосуде, перемещающемся вертикально, как и в неподвижном сосуде, представляют собой горизонтальные плоскости.

Закон распределения давления для рассматриваемого случая определим используя уравнение

dр=(Xdx+Ydy+Zdz),

которое, учитывая, что X=0,Y=0 иZ=–(gа) принимает вид

dр=–(gа)dz.

После интегрирования, получим

р=–(gа)Z+С. (1.33)

Постоянную интегрирования Сопределим из условия, что приZ=Z₀давлениер=р₀

С= р₀+(gа)Z₀.

Подставляя в ранее полученное уравнение значение С, получим формулу для определения полного гидростатического давления в любой точке жидкости, находящейся в вертикально перемещаемом сосуде

р=–(gа)Z+ р₀+(gа)Z₀= р₀+(gа)(Z₀–Z).

Учитывая, что Z₀–Z=h– глубина погружения данной точки жидкости под свободной поверхностью

р=р₀+(gа)h. (1.34)

1.9.2 Сосуд с жидкостью движется горизонтально с ускорением  а

Начало координатных осей поместим на свободной поверхности жидкости (рисунок 1.12), вид которой нам пока неизвестен.

Определим проекции ускорений единичных массовых сил, сообщаемых жидкости этими силами. Ускорение силы тяжести направлено по оси Z и отрицательно, ускорение инерционной силы  а направлено по оси Х. При этом (–а) соответствует ускорению сосуда, направленному вправо, а (+а) – ускорению его, направленному влево.

Следовательно, Х= а;Y=0 иZ=–g.

В этом случае уравнение

dр=(Xdx+Ydy+Zdz),

напишется так

dp=(аdx–gdz). (1.35)

Интегрируя это выражение получим

р=–( gZаX)+C.

Постоянную интегрирования Сопределим из условия, что приX=0,Z=0 давление равно внешнему, т.е.р=р₀

С= р₀+(g0а0), т.е.С= р₀.

Тогда полное гидростатическое давление в любой точке жидкости может быть определено как

р= р₀–(gZаX). (1.36)

Вид свободной поверхности жидкости определим, приняв в уравнении (1.36) р=р₀

р₀= р₀–(gZаX), т.е.(gZаX)=0.

Так как 0, тоgZаX=0, откудаgZ=аXили

,

т.е. свободная поверхность жидкости представляет собой плоскость с углом наклона к горизонтальной плоскости.

1.9.3 Равновесие жидкости в цилиндрическом сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью сосуда

При вращении сосуда, наполненного жидкостью, вокруг его вертикальной оси с постоянной угловой скоростью (рисунок 1.13) жидкость постепенно вследствие вязкости увлекается во вращение и движется с некоторой угловой скоростью, которую можно принять также равной.

На частицу жидкости массы m, находящуюся на расстоянииrот оси вращения, действует центробежная сила, равная по величинеC=m²r, и с ила тяжести, равнаяmg.

Действующая на частицу жидкости центробежная сила находится в горизонтальной плоскости.

Разложив эту силу по осям x и y, получим

и .

Здесь косинусы углов между направлениями r и x, а такжеrиyравныи .

Тогда

.

Ускорения, создаваемые этими силами, получим путем деления последних на массу m.

Проекции ускорений единичной массовой силы по осям координат, следовательно, будут

X=²x;Y=²y;Z=–g.

Подставим эти значения в уравнение

dр=(Xdx+Ydy+Zdz)

и получим

dр=(²xdx+²ydy–gdz).

Интегрируя, получим

Так как центр координат лежит на свободной поверхности жидкости, где р=р₀, постоянную интегрированияСопределим из условия, что приr=0 иz=0р=р₀; тогда

С=р₀.

Окончательно

. (1.37)

Уравнение свободной поверхности жидкости получим, приняв р=р₀, т.е.

, (1.38)

откуда

или

. (1.39)

Это уравнение параболоида вращения с вершиной в центре координат.

Свободную поверхность жидкости можно построить, получая из уравнения (1.39) величины rдля различных значений координатыz.

Придадим уравнению свободной поверхности (1.39) несколько иную форму, учитывая, что

.

Отсюда, после сокращения на 

. (1.40)

Проведем горизонтальную плоскость 1-1 через вершину параболоида свободной поверхности. Для всех ее точек z_o=0. если теперь взять на свободной поверхности любую точку с координатойz, то возвышение ее над плоскостью 1-1

, (1.41)

где r- радиус точки.

Уравнение (1.41) дает нам возвышение любой точки свободной поверхности над плоскостью 1-1 или, что то же самое, глубину погружения любой точки плоскости 1-1 под свободной поверхностью жидкости – Δh.