8.8. Априорные методы определения потерь в неполнодоступных схемах

Постановка задачи. При проектировании объема коммутационного оборудования исходными данными являются интенсивность телефонной нагрузки, подлежащей обслуживанию, и допустимая величина потерь, определяющая качество обслуживания. По этим данным требуется определить число соединительных устройств, которые могут обслужить заданную нагрузку с требуемым качеством, и построить схему соединения, т. е. найти значения структурных параметров схемы. Выбранная структура схемы должна обеспечивать обслуживание нагрузки с заданным качеством при минимальном числе соединительных устройств.

Обе задачи, возникающие при проектировании коммутационного оборудования, – выбор схемы включения и определение числа соединительных устройств – взаимно связаны между собой и являются частями одной общей задачи определения минимального объема оборудования. Сложность решения этой общей задачи заставляет делить ее на две отдельные, из которых первая рассмотрена в парагр. 8.3 и 8.4. Решение второй задачи обычно ищут в виде р=f(у, , d, g, СП), т. е. стремятся определить вероятность потерь р как функцию интенсивности нагрузки у, числа приборов , доступности d, числа нагрузочных групп g и других структурных параметров (СП).

Для облегчения задачи считают структурные параметры схемы заданными. В этом случае отыскивается соотношение типа

Точное решение данной задачи имеется лишь для идеально симметричных НС и малых неполнодоступных схем, когда возможно решение системы уравнений для вероятностей состояний. Можно получить также приближенную оценку вероятности с требуемой степенью точности, если воспользоваться методом статистического моделирования на ЭВМ или моделированием на специализированных машинах телефонной нагрузки. Для инженерной практики проектирования перечисленные способы подсчета потерь в большинстве случаев неудобны.

Для подсчета потерь в неполнодоступном пучке имеются достаточно простые приближенные способы, которые отражают лишь основные закономерности функции (8.24), учитывая структуру с помощью только одного параметра d. Данные методы основаны на априорных предположениях о распределении вероятностей занятия линий в неполнодоступном пучке, поэтому назовем их априорными. Основным недостатком таких методов является тот факт, что оценить погрешность результатов, полученных с их помощью, можно только экспериментальной проверкой или применением точных методов расчета.

Рассмотрим несколько приближенных априорных методов определения вероятности потерь в неполнодоступном пучке.

Упрощенный метод Эрланга. Если у–интенсивность нагрузки, поступающей на неполнодоступный пучок соединительных устройств,  – число соединительных устройств, обслуживающих эту нагрузку, d – доступность и р – вероятность потерь, то при малой вероятности потерь средняя величина интенсивности нагрузки, обслуженной одним соединительным устройством, будет примерно равна у/.

Вероятность Н₁ занятости определенного (точно указанного) соединительного устройства можно принять равной средней величине интенсивности нагрузки, обслуженной этим устройством, т. е. H₁=y/. Если события занятости приборов в неполнодоступном пучке считать независимыми, то вероятность занятости d определенных устройств будет равна H_d=H^d₁=(y/)^d. Эта вероятность принимается за вероятность потерь, т. е.

Соотношение (8.25) является весьма простой зависимостью типа (8.24). Из него в явном виде можно получить выражения для у и :

Приведенные рассуждения равносильны априорному утверждению справедливости распределения Бернулли для описания процесса занятия соединительных устройств в неполнодоступном пучке. Формулы (8.25) и (8.26) могут дать лишь грубое приближение для искомых величин и представляют интерес только в случае качественной оценки основных зависимостей между р, , у и d.

Метод Лотце – Бабицкого. Предположим, что процесс занятия соединительных устройств в неполнодоступном пучке можно описать с помощью распределения Эрланга, полученного им для вероятности занятия любых i линий в полнодоступном пучке. Для полнодоступного пучка, состоящего из  линий, при интенсивности поступающей нагрузки у оно имеет вид

В этом случае вероятность занятия i фиксированных соединительных устройств в полнодоступном пучке при тех же значениях числа приборов и нагрузки будет равна

Тогда, считая, что вероятность потерь в неполнодоступном пучке равна вероятности занятия d определенных устройств, получим для нее следующее соотношение:

Формула (8.28) была предложена К. Пальмом в 1943 г. и использовалась К. Якобеусом в 1947 г. для определения потерь в двухзвеньевых схемах. И. А. Бабицкий в 1956 г. использовал эту формулу для определения потерь в ступенчатых НС и привел таблицы для некоторых значений параметров ступенчатых схем.

Результаты вычислений потерь, полученные по формуле Пальма– Якобеуса [см. (8.28)], хорошо согласуются с результатами статистического моделирования при малых значениях потерь. Для более точного соответствия значений потерь, вычисленных по данной формуле в широком диапазоне, в том числе и при больших потерях, А. Лотце предложил модификацию указанной формулы. В модифицированной формуле Пальма – Якобеуса (сокращенно формуле МПЯ) взамен реально поступающей на неполнодоступ-ную схему нагрузки у используется некоторая фиктивная поступающая нагрузка у_ф, которая обеспечивает имеющую место в НС обслуженную нагрузку у₀ при потерях, характерных для полнодоступного пучка.

Формула МПЯ, таким образом, имеет вид

Для заданных  и у₀ фиктивная нагрузка у_ф определяется следующим соотношением:

Реально поступающая на НС нагрузка у может быть получена из соотношения

Таким образом, реально поступающая нагрузка у обеспечивает обслуженную нагрузку у₀ в неполнодоступной схеме, состоящей из  линий при доступности d, а фиктивная поступающая нагрузка у_ф создает ту же обслуженную нагрузку у₀ в полнодоступном пучке из  линий (d=).

Формула МПЯ совместно с соотношениями (8.30) и (8.31) обеспечивает достаточную точность при определении потерь в НС в широком диапазоне потерь. Это подтверждено многочисленными результатами статистического моделирования в работах А. Лотце и его сотрудников. Ими получены таблицы значений потерь по формуле МПЯ для диапазона значений доступности d=260, числа приборов =1200 и потерь р=0,0010,5.

М етод О'Делла. По этому методу нагрузка у₀, обслуженная неполнодоступным пучком из  соединительных устройств при вероятности потерь р, определяется как сумма нагрузок, обслуженных полнодоступным пучком, состоящим из d устройств, и неполнодоступным пучком, содержащим –d соединительных устройств.

Считается, что каждая линия полнодоступного пучка обслужит нагрузку

где у_d – нагрузка, обслуженная всеми d линиями полнодоступного пучка при заданных потерях р.

Относительно второго (неполнодоступного) пучка предполагается, что каждая из –d его линий пропустит нагрузку, лежащую между y_min в соответствии с соотношением (8.32) и у_тах, определяемой (8.25), т. е.

Отметим, что средняя пропускная способность каждой линии, определяемая (8.33), является предельной величиной удельной пропускной способности в идеально симметричной НС при неограниченно большом числе линий (). В соответствии со сказанным

Коэффициент Kl в (8.34) определяет величину надбавки пропускной способности линий второго (неполнодоступного) пучка по сравнению с первым (полнодоступным).

И змерения, проведенные Британским почтовым ведомством, показали, что для ступенчатых НС в случае, когда поступающая нагрузка образуется простейшим потоком, для которого отношение дисперсии к среднему значению равно единице (²/y)=1), следует принимать значение K=0,53. При поступлении выровненной нагрузки, т. е. нагрузки, образуемой потоками вызовов, для которых (²/y)<1, можно полагать К=1. В этом случае

Из соотношения (8.35) можно получить выражения для  и р в следующем виде:

Формулами (8.35) – (8.37) рекомендуется пользоваться для расчета числа соединительных устройств на всех ступенях искания, кроме IГИ. Рекомендация мотивируется тем, что в этих случаях приборы обслуживают поток вызовов, преобразованный (выровненный) на предыдущих ступенях искания, для которого справедливы полученные формулы. Для IГИ, обслуживающих непреобразованный поток вызовов (простейший поток), предлагается использование формул, получающихся из соотношения (8.34) при K=0,53.