Системы дифференциальных уравнений

1

Системы линейных дифференциальных уравнений

Система n дифференциальных уравнений называется нормальной, если она имеет вид

x0n = fn(t, x1, . . . , xn),

где аргумент обозначен буквой t, а неизвестные функции x1, x2, ..., xn. Решением системы (1) называется совокупность n функций x1, x2, ..., xn,

удовлетворяющая всем уравнениям системы. Общее решение системы (1) имеет вид:

xn = ϕn(t, C1, . . . , Cn).

Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеют вид

где aij постоянные; x1 = x1(t), x2 = x2(t), ..., xn = xn(t) неизвестные функции. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами решаются с помощью метода исключения переменных

или матричным методом.

Метод исключения переменных

1. Дифференцируем первое уравнение системы (3) по переменной t:

x001 = a11x01 + a12x02 + . . . + a1nx0n.

2. В правой части полученного уравнения заменяем x01, x02, ..., x0n их выражениями из системы (3). Тогда имеем

x001 = b21x1 + b22x2 + . . . + b2nxn.

3

Пр и м е р 1. Решить систему

x0 = 3x −y + z,

Решение. 1. Дифференцируем первое уравнение системы x0 = 3x−y+z по

переменной t:

x00 = 3x0 −y0 +z0.

2. В правой части полученного уравнения заменяем x0, y0, z0 их выражениями из системы. Тогда имеем

x00 = 3(3x −y +z) −(x + y +z) + (4x −y + 4z).

Раскрываем скобки

x00 = 9x −3y + 3z −x −y −z + 4x −y + 4z,

и приводим подобные

x00 = 12x −5y + 6z.

3. Дифференцируем полученное уравнение по переменной t. Тогда

x000 = 12x0 −5y0 + 6z0.

4. В правой части полученного уравнения заменяем x0, y0, z0 их выражениями из системы. Тогда имеем

x000 = 12(3x −y + z) −5(x + y + z) + 6(4x −y + 4z).

Раскрываем скобки

x000 = 36x −12y + 12z −5x −5y −5z + 24x −6y + 24z,

и приводим подобные

x000 = 55x −23y + 31z.

5. Получаем систему линейных уравнений относительно неизвестных x,

y, z

Из первых 2 уравнений выражаем функции y, z

5

1. Корни характеристического уравнения действительные и различные. Обозначим через k1, k2, ..., kn корни характеристического уравнения. Для каждого корня найдем собственные векторы

(2−k)(4−k) −1 ·3 =0

или

k2 −6k + 5= 0.

k1 = 1, k2 = 5 корни характеристического уравнения.

Найдем собственные векторы, соответствующие собственным числам.

6

Для k1 = 1:

−

Если α1(2) = C2, то α2(2) = 3C2.

Тогда общее решение системы дифференциальных уравнений (16) будет иметь вид

x = C1et + C2e5t,

y = −C1et + 3C2e5t.

Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

и подставляем во второе уравнение. В результате получаем линейное неоднородное уравнение 2-го порядка относительно функции x.