Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Системы дифференциальных уравнений

.pdf
Скачиваний:
33
Добавлен:
09.06.2015
Размер:
149.13 Кб
Скачать

1

Системы линейных дифференциальных уравнений

Система n дифференциальных уравнений называется нормальной, если она имеет вид

x10

= f1(t, x1,

. . . , xn),

 

x20

= f2(t, x1,

. . . , xn),

(1)

. . . . . . . . . . . . . . .

 

 

 

 

 

 

 

 

x0n = fn(t, x1, . . . , xn),

где аргумент обозначен буквой t, а неизвестные функции x1, x2, ..., xn. Решением системы (1) называется совокупность n функций x1, x2, ..., xn,

удовлетворяющая всем уравнениям системы. Общее решение системы (1) имеет вид:

x2

= ϕ2

(t, C1

, . . . , Cn),

 

x1

= ϕ1

(t, C1

, . . . , Cn),

(2)

. . . . . . . . . . . . . . .

xn = ϕn(t, C1, . . . , Cn).

Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеют вид

x10 = a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn,

 

x20

= a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn,

(3)

. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

 

 

 

 

 

 

xn0

=an1x1 + an2x2 + . . . + annxn,

 

 

 

 

где aij постоянные; x1 = x1(t), x2 = x2(t), ..., xn = xn(t) неизвестные функции. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами решаются с помощью метода исключения переменных

или матричным методом.

Метод исключения переменных

1. Дифференцируем первое уравнение системы (3) по переменной t:

x001 = a11x01 + a12x02 + . . . + a1nx0n.

2. В правой части полученного уравнения заменяем x01, x02, ..., x0n их выражениями из системы (3). Тогда имеем

x001 = b21x1 + b22x2 + . . . + b2nxn.

2

3. Дифференцируем полученное уравнение по переменной t. Тогда x0001 = b21x01 + b22x02 +. . . + b2nx0n.

4. В правой части полученного уравнения заменяем x01, x02, ..., x0n их выражениями из системы (3). Тогда имеем

x0001 = b31x1 + b32x2 +. . . + b3nxn.

5. Действуя таким образом, получаем системы линейных уравнений от-

носительно неизвестных x1, x2, ..., xn

 

 

 

 

 

 

 

x100

= b21x1

+ b22x2 + . . . + b2nxn,

 

 

 

 

 

x10

= a11x1

+ a12x2 + . . . + a1nxn,

(4)

 

 

 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n)

= bn1x1 + bn2x2 + . . . + bnnxn.

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из первых

n

1 уравнений выражаем функции x

, ..., x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

n

 

 

 

 

 

 

 

(n 1)

 

 

 

 

 

 

x2 = ϕ2 x1, x0

, . . . , x(n−1)

 

,

 

 

 

 

x3

= ϕ3 x1, x10

, . . . , x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5)

 

 

 

xn n x1, x10 , . . . , x1(n−1) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя полученные выражения для функций x2, ..., xn в последнее уравнение системы (4), получим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка

x(1n) + d1x(1n−1) +. . . + dnx1 = 0.

Решая это уравнение, определим x1:

x1 = ψ(t, C1, C2, . . . , Cn).

Дифференцируя последнее выражение n −1 раз, найдем производные x01, x001, . . . , x(1n−1).

Подставляя эти функции в уравнения (5), определяем x2, x3, . . . , xn:

x2 = ψ2 (t, C1, C2, . . . , Cn) ,

x3 = ψ3 (t, C1, C2, . . . , Cn) ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

xn n (t, C1, C2, . . . , Cn) .

(6)

(7)

3

Пр и м е р 1. Решить систему

x0 = 3x −y + z,

z00

= 4x

 

y + 4z.

(8)

y = x + y + z,

 

 

 

 

 

Решение. 1. Дифференцируем первое уравнение системы x0 = 3x−y+z по

переменной t:

x00 = 3x0 −y0 +z0.

2. В правой части полученного уравнения заменяем x0, y0, z0 их выражениями из системы. Тогда имеем

x00 = 3(3x −y +z) −(x + y +z) + (4x −y + 4z).

Раскрываем скобки

x00 = 9x −3y + 3z −x −y −z + 4x −y + 4z,

и приводим подобные

x00 = 12x −5y + 6z.

3. Дифференцируем полученное уравнение по переменной t. Тогда

x000 = 12x0 −5y0 + 6z0.

4. В правой части полученного уравнения заменяем x0, y0, z0 их выражениями из системы. Тогда имеем

x000 = 12(3x −y + z) −5(x + y + z) + 6(4x −y + 4z).

Раскрываем скобки

x000 = 36x −12y + 12z −5x −5y −5z + 24x −6y + 24z,

и приводим подобные

x000 = 55x −23y + 31z.

5. Получаем систему линейных уравнений относительно неизвестных x,

y, z

x0 = 3x −y + z,

 

x00 = 12x

5y + 6z,

(9)

x000 = 55x23y + 31z.

 

 

 

Из первых 2 уравнений выражаем функции y, z

y = x00

−6x0

+ 6x,

(10)

z = x00 −5x0 + 3x.

 

4

Подставляя полученные выражения для функций y, z в последнее уравнение системы (8), получим линейное дифференциальное уравнение 3-го порядка

x000 = 55x −23(x00 −6x0 + 6x) + 31(x00 −5x0 + 3x).

 

Раскрываем скобки и приводим подобные

 

x000 −8x00 + 17x0 −10x = 0.

 

Решая это уравнение, определим x = x(t):

 

x = C1et + C2e2t + C3e5t.

(11)

Дифференцируя последнее выражение 2 раза, найдем производные x0, x00:

x0 = C1et + 2C2e2t + 5C3e5t;

x00 = C1et + 4C2e2t + 25C3e5t.

Подставляя эти функции в уравнения (10), определяем y, z:

y =C1et + 4C2e2t + 25C3e5t −6(C1et + 2C2e2t + 5C3e5t) + 6(C1et + C2e2t + C3e5t), z =C1et + 4C2e2t + 25C3e5t −5(C1et + 2C2e2t + 5C3e5t) + 3(C1et + C2e2t + C3e5t)

или

(12)

 

y = C1et −2C2e2t + C3e5t,

(13)

z = −C1et −3C2e2t + 3C3e5t.

 

Ответ: x = C1et+C2e2t+C3e5t, y =C1et−2C2e2t+C3e5t, z = −C1et−3C2e2t+ 3C3e5t.

Матричный метод

Пусть дана система линейных однородных дифференциальных уравнений

спостоянными коэффициентами

x01 = a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn,

 

x0

= a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn,

(14)

. .2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

 

 

 

 

xn0

=an1x1 + an2x2 + . . . + annxn,

 

 

 

 

 

где aij постоянные; x1 = x1(t), x2 = x2(t), ..., xn = xn(t) неизвестные функции. Решаем характеристическое уравнение

 

a21

a22

k . . .

a2n

 

 

a11 −k

a12

. . .

a1n

 

. . .

. .. . . .

. . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an1

an2

. . . ann

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0. (15)

5

1. Корни характеристического уравнения действительные и различные. Обозначим через k1, k2, ..., kn корни характеристического уравнения. Для каждого корня найдем собственные векторы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α 1 = α1(1), α2(1), . . . , αn(1)

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.→−. .2. . . . . .1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→−

 

 

 

 

 

 

 

(2)

, α

(2)

, . . . , α

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α = α

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→− n =

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

α(n), α(n), . . . , α(n) .

 

 

 

 

 

Тогда частные решения будут иметь вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для корня k1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

 

 

 

(1)

e

k1t

 

 

 

 

(1)

 

 

 

(1)

k1t

 

 

 

 

 

 

(1)

 

(1)

k1t

;

 

 

 

x1

 

= α1

 

 

, x2

 

2

 

 

e

 

 

, . . . , xn

= αn

 

e

для корня k2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

(2)

= α

(2)

e

k2t

, x

(2)

(2)

e

k2t

, . . . , x

(2)

= α

(2) k2t

и т. д.

1

 

1

 

 

2

 

2

 

 

 

n

n

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда общее решение системы дифференциальных уравнений (14) будет

иметь вид

 

x2

=C1

α2(1)ek1t +C2

α2(2)ek2t

+ . . . +Cnα2(n)eknt,

 

 

 

x1

=C1

α1(1)ek1t +C2

α1(2)ek2t

+ . . . +Cnα1(n)eknt,

 

 

 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n)

eknt.

 

 

xn = C1αn

 

 

ek1t + C2αn

 

ek2t + . . . + Cnαn

П р и м е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

2. Решить систему

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y00 = 3x + 4y.

 

 

 

 

 

 

 

 

(16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = 2x + y,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Составляем характеристическое уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

4

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

−k

 

 

 

 

 

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

(17)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решаем характеристическое уравнение

 

(17):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2−k)(4−k) −1 ·3 =0

или

k2 −6k + 5= 0.

k1 = 1, k2 = 5 корни характеристического уравнения.

Найдем собственные векторы, соответствующие собственным числам.

6

Для k1 = 1:

 

 

3

3

 

α2(1)

!

 

 

 

1

1

 

 

α1(1)

 

= 0

(18)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

(

 

1(1)

+ 3α2(1)

= 0.

 

 

 

 

 

α1(1) + α2(1)

= 0,

 

(19)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если α1(1) = C1, то α2(1) =−C1.

 

 

 

 

 

 

 

Для k2 = 5:

3

 

−1

 

α2(2)

!

 

 

 

 

 

−3

1

 

 

α1(2)

= 0

(20)

или

(

1(2)

 

α2(2) = 0.

 

 

 

 

 

−3α1(2)

+ α2(3)

= 0,

(21)

Если α1(2) = C2, то α2(2) = 3C2.

Тогда общее решение системы дифференциальных уравнений (16) будет иметь вид

x = C1et + C2e5t,

y = −C1et + 3C2e5t.

Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

x0 = a11x +a12y + f1(t),

 

y0 =a21x + a22y + f2(t).

(22)

Данную систему будем решать методом исключения переменных.

 

Из первого уравнения системы (22) выражаем y

 

1

x0

 

a11

1

 

 

y =

 

 

x −

 

f1

 

a12

a12

a12

 

и подставляем во второе уравнение. В результате получаем линейное неоднородное уравнение 2-го порядка относительно функции x.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.