2.11. Длительность обслуживания

В теории телетрафика длительность обслуживания поступивших вызовов обычно принимается либо постоянной, либо случайной величиной. Постоянная длительность принимается, например, в моделях обслуживания вызовов управляющими устройствами систем распределения информации. Случайная длительность обслуживания задается функцией распределения вероятностей F(t)=P(T<t), t.

Наиболее простой и распространенной функцией распределения вероятности случайной длительности обслуживания является показательная:

где =1/M(T) – параметр длительности обслуживания; М(Т) – математическое ожидание длительности обслуживания.

Дифференцируя (2.38) по t, найдем плотность распределения вероятностей

Закон распределения вероятностей с такой плотностью называется показательным законом (отрицательным экспоненциальным). Основные числовые характеристики случайной длительности обслуживания, распределенной по показательному закону, по аналогии с (2.24)-(2.26): M(T)=1/; D(T)=l/²; (T)=1/. С целью упрощения математических выражений часто за единицу измерения длительности обслуживания принимается математическое ожидание длительности обслуживания, т. е. М(Т)=1 и, следовательно, =1.

Во многих случаях показательный закон хорошо описывает реальные законы распределения длительности обслуживания. Так, наблюдениями установлено, что длительность разговора на телефонных сетях достаточно хорошо описывается показательным распределением.

2.12. Поток освобождений

Потоком освобождений называется последовательность моментов окончания обслуживания вызовов. В общем случае свойства и характеристики потока освобождений зависят от поступающего потока вызовов, качества обслуживания этих вызовов, закона распределения длительности обслуживания. При обслуживании поступающего потока вызовов без потерь при постоянной длительности обслуживания h свойства потока освобождений совпадают со свойствами поступающего потока вызовов. Происходит только сдвиг по времени на величину h между моментом поступления вызова и моментом окончания его обслуживания.

При показательном законе распределения длительности обслуживания в силу свойства этого распределения моменты окончания обслуживания не зависят от моментов поступления вызовов. Покажем, что в момент времени t параметр потока освобождений (t) зависит только от параметра показательного закона распределения длительности обслуживания и числа вызовов, которые находятся «а обслуживании в данный момент временя. Пусть в коммутационной системе в момент t занято k приборов (k вызовов находятся на обслуживании). Вероятность освобождения i устройств за промежуток времени  можно рассматривать как i успешных испытаний при общем числе k независимых испытаний и по теореме о повторении опытов записать

где р – вероятность освобождения одного прибора за промежуток времени .

При показательном законе распределения длительности обслуживания

Подставляя (2.41) в (2.40), получим

Вероятность того, что за промежуток времени  не освободится ни один из k занятых приборов, а вероятность того, что освободится хотя бы один прибор, равна

По определению параметра потока

Вероятность ₁() запишем с учетом разложения функции в ряд:

Подставляя (2.45) в (2.44), получим что и требовалось доказать. Можно показать, что в рассматриваемом случае поток освобождений обладает свойством ординарности.

Задача.

Определить: 1. Вероятность p_k(t) поступления точно k=6 вызовов и вероятность р_ik(t) поступления не более k=6 вызовов простейшего потока с интенсивностью =250 вызовов в час за промежуток времени t=72 с. 2. При каком значении k имеет место наибольшее значение вероятности p_k(t)?

Решение. 1. Для простейшего потока ==250; t=(0=5. При наличии только таблицы для определения вероятностей р_ik(t) отыскиваем в таблице значения этих вероятностей для k=6 и k=7: p_i6=0,3840, р_i7=0,2378. Отсюда вероятность р₆(t)=р_i6(t)–p_i7(t)=0,1462. Вероятность p_i6(t)= 1– p_i7(t) =0,7622.

2. Для определения наибольшего значения вероятности р_k(t) получим рекуррентное соотношение формулы Пуассона (2.17): p_k(t)/p_k-1(t)=t/k. В области t>k с возрастанием k вероятности p_k(t) увеличиваются, так как p_k(t)=p_k-1(t) (t/k), а последний множитель больше единицы. И, наоборот, в области t<k с возрастанием k вероятности p_k(t) уменьшаются. Отсюда согласно рекуррентному соотношению рассматриваемая вероятность имеет наибольшие значения: p_k-1(t)=p_k(t) при k=t, если t – целое число; p_k(t) при k=[t], где [t] – наибольшее целое число, меньшее t, если t – нецелое число.

В нашей задаче t=5, поэтому наибольшее значение вероятности p_k(t) имеют при k=4 и k=5. В этом легко убедиться, определив значения вероятностей с помощью таблиц [29]: p₄(t)=p₅(t)=0,1755; p₃(t)=0,1403; p₆(t)=0,1462 (значения вероятностей p₃(t) и р₆(t) меньше p₄(t)=p₅(t).