9.10. Метод вероятностных графов

Метод основывается на представлении коммутационной схемы в виде графа, конфигурация которого зависит не только от структуры схемы, но и от режима искания, в котором используется схема. Переход от коммутационной схемы практически любой сложности к графу не представляет принципиальных трудностей. Граф, представляющий собой картину всевозможных путей между заданным входом схемы и заданным выходом (или одним из выходов заданной группы), может принадлежать к классу параллельно-последовательных графов или к классу непараллельно-последовательных (мостиковых) графов.

Дальнейшая процедура метода вероятностных графов заключается в том, чтобы записать функцию для вероятности потерь при установлении соединений в рассматриваемом графе между его входными и выходными полюсами, аргументами которой являются вероятности занятости отдельных дуг графа. Для определения вероятностей занятости дуг обычно используют значение средней интенсивности нагрузки, обслуженной каждой из них. Записанная таким образом функция позволяет определить вероятности потерь или оптимизировать структуру по числу точек коммутации или другим показателям.

Для того чтобы уяснить соответствие между коммутационной схемой и представляющим ее графом и способ перехода от схемы к графу, рассмотрим графы отдельных типовых коммутационных схем. Трехзвеньевая коммутационная схема, приведенная на рис. 9.4б, в зависимости от режима искания будет соответствовать одному из вероятностных графов, изображенных на рис. 9.11. При построении этих графов считаем, что коммутационная схема – односвязная (одна промежуточная линия между каждой парой коммутаторов соседних звеньев), а структурные параметры схемы удовлетворяют следующим соотношениям: k₂=m₁; п₂=k₁; k₃=m₂; n₃=k₂=m₁.

Н а рис. 9.11а приведен вероятностный граф трехзвеньевой коммутационной схемы, используемой в режиме индивидуального искания (определенный вход должен быть подключен к точно указанному выходу). Дуги A_i, соединяющие входной полюс А и вершины _i, изображают промежуточные линии между звеньями 1 и 2, дуги _i, соединяющие вершины _i с вершиной , изображают промежуточные линии между звеньями 2 и 3, а дуга В, соединяющая вершину  с выходным полюсом В, изображает выход коммутационной схемы, к которому должен быть подключен заданный вход при использовании схемы в режиме индивидуального искания (режим И).

При такой конфигурации графа совокупность всех путей награфе, содержащих дуги, лежащие между входным и выходнымполюсами (полюса A и В), является совокупностью всех возможных путей установления соединения анализируемой коммутационной схемы в рассматриваемом режиме искания.

На рис. 9.11б приведен вероятностный граф той же трехзвенье-вой коммутационной схемы, используемой в режиме группового искания (определенный вход должен быть подключен к одному из свободных выходов в заданной группе – направлении). Граф изображен для случая, когда рассматриваемая группа выходов (направление) содержит только по одному выходу в каждом коммутаторе третьего звена.

На этом рисунке, как и на предыдущем, дуги A_i изображают промежуточные линии между звеньями 1 и 2, дуги _i_i– промежуточные линии между звеньями 2 и 3, а дуги _jB – выходы рассматриваемого направления, к одному из которых должен быть подключен заданный вход в режиме группового искания (режиме Г).

Рассматриваемый граф, как и в предыдущем случае (рис. 9.11а), изображает совокупность всех возможных путей установления соединения в анализируемой схеме (см. рис. 9.4б) в режиме группового искания.

На рис. 9.11б приведен вероятностный граф трехзвеньевой коммутационной схемы в режиме свободного искания (режим С), в котором определенный вход должен быть подключен к одному из свободных выходов всей схемы. Этот граф отличается от предыдущего только тем, что между каждой вершиной _i и полюсом В имеется не одна, а m₃ дуг, изображающих тз выходов из каждого коммутатора третьего звена.

Если в режиме Г для рассматриваемого направления в каждом из коммутаторов третьего звена используется q выходов, то структура графа будет такой же, как показано на рис. 9.11в, a между вершинами _j и полюсом В будет q дуг вместо m₃.

Приведенные на рис. 9.11 три вероятностных графа трехзвеньевой схемы рис. 9.4б соответствуют, как указано выше, трем режимам искания. В режиме И трехзвеньевая схема имеет граф параллельно-последовательного типа (тип П), а в режимах Г и С – граф непараллельно-последовательного типа (тип Н).

Рассмотренные принципы построения графов трехзвеньевой коммутационной схемы позволяют построить вероятностный граф для схемы с любым числом звеньев, учитывая закономерность построения, подмеченную в рассмотренных примерах. Увеличение числа звеньев схемы приводит к возрастанию числа звеньев графа, однако принцип построения сохраняется тот же.

Запись функции потерь вида p=f(_, ₂,... ,_i,... ,_s), где p – вероятность потерь, a _i – вероятность занятости каждой дуги i-ro звена, сводится для графов параллельно-последовательного типа к умножению и суммированию вероятностей _i, так как предполагается независимость событий, происходящих в различных звеньях графа (коммутационной схемы). При этом в случае параллельного включения нескольких дуг, образующих некоторую общую ветвь, для получения вероятности занятости всей ветви вычисляют произведение вероятностей занятости отдельных дуг. Если ветвь образуется последовательным включением (цепочкой) дуг, то вероятность занятости всей ветви определяется как дополнительная вероятность к вероятности свободности всей ветви, а вероятность свободности всей ветви, в свою очередь, определяется как произведение вероятностей свободности отдельных последовательно включенных дуг.

Обозначим вероятность занятости дуг для параллельно-последовательного графа, приведенного на рис. 9.11a, соответственно ₁ (для дуг A_), ₂ (для дуг _i) и ₃ (для дуги B), а вероятности свободности этих же дуг через q₁=1–₁, q₁=1–₂ и q₃=1–₃. Тогда вероятность того, что один из путей между полюсом А и вершиной , состоящий из двух дуг, будет свободен, составит а вероятность занятости этого пути

Вероятность занятости всех т₁ путей между полюсом А и вершиной р будет равна

Для того чтобы подсчитать вероятность потерь р, равную вероятности занятости всех возможных путей между полюсами А и В (_ab) , определим вероятность свободности хотя бы одного пути между полюсами А и В как произведение вероятностей свободности ветви A и дуги B:

В свою очередь, вероятность потерь будет равна

Таким образом, функция вероятности потерь для графа по рис. 9.11а будет определяться (9.48). Следовательно, для вероятности потерь трехзвеньевой схемы (см. рис. 9.4б) в режиме индивидуального искания по методу вероятностных графов также будет справедлива ф-ла (9.48).

В о многих случаях графы коммутационных схем относятся к классу непараллельно-последовательных. Так, коммутационной схеме, приведенной на рис. 9.5б, в зависимости от режима искания соответствует один из графов рис. 9.12. На рис. 9.12а приведен граф для режима индивидуального искания. В режиме группового искания схема рис. 9.5б будет иметь один из графов, приведенных на рис. 9.12б, в, г. Первый из этих графов соответствует случаю, когда к выходам одной группы относятся по одному выходу из каждого коммутатора только одного двухзвеньевого блока. Второй граф соответствует случаю, когда все выходы этого двухзвеньевого блока образуют искомую группу выходов. Третий граф справедлив для случая, когда группа выходов образуется путем использования по одному из выходов от каждого коммутатора всей схемы.

В режиме свободного искания рассматриваемая схема будет соответствовать графу на рис. 9.12д

Как видно из рис. 9.12, все графы, за исключением первого (рис. 9.12а), принадлежат к классу непараллельно-последовательных графов и в их структуре существенную роль играет простейший непараллельно-последовательный (мостиковый) граф, показанный на рис. 9.11б. Формула для вычисления вероятности потерь такого мостикого графа будет иметь вид

где ₁ ₂ и ₃ – вероятности занятости дуг графа на рис. 9.11б.

Во многих случаях вычисление вероятности потерь для более сложных непараллельно-последовательных графов сводится к приемам, применимым для параллельно-последовательных графов в сочетании с ф-лой (9.49). В тех случаях, когда вычисление потерь для непараллельно-последовательного графа слишком громоздко, можно пользоваться методом оценочных графов.

Для рассматриваемого графа из класса непараллельно-последовательных схем подбирают два параллельно-последовательных графа, причем таким образом, чтобы вероятность потерь для одного из них была оценкой сверху вероятности потерь в рассматриваемом графе, а вероятность потерь для другого графа – оценкой снизу. Тогда искомая вероятность потерь для исследуемого графа будет заключена между двумя значениями потерь, выражения для которых легко записать.

Получение оценочных графов осуществляется с помощью некоторых операций. Граф для получения оценки по потерям сверху получают путем использования операций выбрасывания отдельных дуг и разделения одной вершины на две или несколько, что приводит к заведомому увеличению потерь. Для получения графа, пригодного для оценки вероятности потерь снизу, используются противоположные операции добавления дуг и объединения вершин, которые приводят к уменьшению потерь.