5.2. Обслуживание вызовов простейшего потока при постоянной длительности занятия

Теория Кроммелина. Исходные данные задачи такие же, как и задачи, подробно рассмотренной в парагр. 5.1. На полнодоступный пучок емкостью (1) линий, работающий по системе с ожиданием, поступает простейший поток вызовов с параметром . Сохраняются предположения предыдущей задачи: вызовы, находящиеся на ожидании, обслуживаются в порядке очереди; поступающая на пучок из  линий нагрузка у должна иметь значение, меньшее емкости пучка – y<. Отличие заключается только в законе распределения длительности обслуживания: вместо показательного распределения полагаем длительность обслуживания каждого вызова постоянной и равной h. Длительность занятия h примем за единицу времени – h=1. Требуется определить функцию распределения длительности ожидания начала обслуживания для любого поступающего вызова p(>t).

Определим вначале вероятность р(<t). имея в виду, что p(>t)=1–p(<t). Пусть в момент t₀ система находится в состоянии k, т. е. в таком состоянии, при котором в системе на обслуживании и ожидании находится точно k вызовов. Если k< то за единицу времени, равную h, коммутационная система обслужит все эти вызовы, т. е. все вызовы, находящиеся в системе в момент t₀, к моменту (t₀+1) покинут систему. Если же k>, то за каждую единицу времени (рис. 5.3) коммутационная система обслуживает точно  вызовов; за время [t₀, t₀+1) будет обслужено v вызовов, за время [t₀, t₀+2)–2 вызовов,..., за время [t₀, t₀+t)–t вызовов (в данном случае t – целое число).

Нас интересует вероятность того, что вызов, поступивший в момент t₀, попадет на обслуживание в течение времени , меньшего t. В момент t₀ система находится в состоянии k, рассматриваемый вызов переводит систему в состояние (k+1). Значит для того, чтобы <t необходимо выполнение условия k+1t+, при этом имеется в виду, что из всех (k+1) вызовов, находящихся в системе непосредственно после момента t₀, t_ вызовов за время t

окажутся обслуженными и покинут систему, а остальные  вызовов к моменту (t₀+t) попадут на обслуживание. Отсюда kt+–1.

Введем обозначения: p_i(t₀) –вероятность того, что в момент t₀ система находится в состоянии i и a_k(t₀) –вероятность того, что в момент t₀ система находится в состоянии, не превышающем k:

Аналогичными рассуждениями можно показать, что ф-ла (5.23) справедлива и в случае, если t – нецелое число.

Определим вероятность p_k(t₀) того, что в момент t₀ система находится в состоянии k. Искомую вероятность можно представить состоящей из двух слагаемых: из вероятности p_k(t₀)₁ того, что в моменты t₀ система находится в состоянии k, если в момент (t₀–1) в системе нет очереди (k), и из вероятности p_k(t₀)₂ того, что в момент t₀ система находится в состоянии k, если в момент (t₀–1) в системе на обслуживании находятся и и на ожидании r вызовов (k=+r). Рассматриваемые в момент t₀ события взаимно независимы. Поэтому p_k(t₀)=p_k(t₀)₁+p_k(t₀)₂.

Определяем вероятность p_k(t₀)₁. В момент (t₀–1) в системе находится не более  вызовов, вероятность этого события a(t₀–1). Так как длительность обслуживания каждого вызова h=1, то к моменту t₀ все эти вызовы будут обслужены и покинут систему. Ни один из вызовов, поступивших, в систему после момента (t₀–1), к моменту t₀ не завершится обслуживанием и останется в системе. Для того чтобы в момент t₀ система находилась в состоянии k, необходимо поступление за время [t₀–1, t₀) точно k вызовов. Согласно формуле Пуассона вероятность этого есть

Тогда

Аналогично определяем вероятность р_k(t₀)₂. В момент (t₀–1) в системе находится +r вызовов; вероятность этого p_+r(t₀–1). К моменту t₀ за единицу времени систему покинут  обслуженных вызовов. Для того чтобы в момент t₀ система оказалась в состоя-

И спользуя (5.23), находим вероятность того, что любой поступивший вызов попадет на ожидание и будет ожидать начала обслуживания больше времени t:

Система (5.24) решается методом производящих функций. Формула (5.25) для практических расчетов трудоемка. Поэтому на практике используются построенные Кроммелином семейства кривых р(>t)=f(t) для ряда значений  и (=y/=/). На рис. 5.4 приведено семейство кривых для =1. Эти кривые показывают, что характер зависимости p(y>t)=f(t) такой же, как и при показательном распределении длительности занятия: с увеличением времени ожидания  свыше заданного t уменьшается вероятность p(>t). Однако количественные оценки рассматриваемой зависимости при постоянной и показательно распределенной длительностях занятия существенно отличаются.

Однолинейная система; произвольное распределение длительности занятия. Полячек и Хинчин, независимо друг от друга, исследовали однолинейную систему с ожиданием, на которую поступают вызовы простейшего потока с параметром , и произвольным распределением длительности занятия. Вызовы обслуживаются в порядке очереди. Формула Полячека – Хинчина для среднего времени ожидания начала обслуживания любого вызова имеет следующий вид:

где t – среднее значение длительности занятия; _t – среднеквадратическое отклонение длительности занятия; у – интенсивность нагрузки, поступающей на однолинейную систему: y=t<1. Принимая значение t за единицу времени (t=1), получаем

где  – среднеквадратическое отклонение длительности занятия в условных единицах. За единицу времени принята средняя длительность занятия t.

П ри показательном распределении времени занятия =1 ф-лы (5.27) и (5.28) соответственно совпадают с (5.18) и (5.20), так как для однолинейного пучка p(>0)=y. При постоянной длительности занятия =0

Таким образом, при постоянной длительности занятия среднее время ожидания в очереди любого вызова  и задержанного вызова _з вдвое меньше, чем при показательно распределенной длительности занятия.

Сравнение систем с ожиданием при постоянной и показательна распределенной длительностях занятия. При постоянной длительности занятия время ожидания начала обслуживания существенно меньше. Так, например, с вероятностью р(>t) =0,005 при =0,5 Эрл и =5 время t принимает значения 0,73 и 1,33, соответствующие постоянной и показательно распределенной длительностям занятия, т. е. время ожидания сокращается почти в 2 раза.

Среднее время ожидания начала обслуживания для любого поступающего вызова при постоянной длительности занятия также меньше, чем при показательном распределении длительности занятия. Формула Полячека – Хинчина показывает, что в однолинейной системе среднее время пребывания вызова в очереди при постоянной длительности занятия в 2 раза меньше. С увеличением емкости пучка  это соотношение уменьшается, но оно всегда больше единицы. Так, при =1 и =0,9 Эрл отношение среднего времени пребывания в очереди при показательно распределенной и постоянной длительностях занятия составляет 1,74.

П ропускная способность систем с ожиданием при рассматриваемых распределениях длительности занятия иллюстрируется рис. 5.5, на котором показаны кривые =f() при р(>t) =0,005 для значений t=1; 2. Сплошными линиями показаны кривые, соответствующие постоянной, и пунктирными – показательно распределенной длительностям занятия. Из рисунка видно, что системы с ожиданием при постоянной длительности занятия обладают более высокой пропускной способностью – использование приборов значительно выше. Так, задаваясь вероятностью р(>t)=0,005 того, что время ожидания начала обслуживания превышает t=1, интенсивность удельной поступающей нагрузки при =3 повышается с ₁=0,25 Эрл при показательно распределенной до ₂=0,45 Эрл при постоянной длительности занятия, т. е. на 80%, и при t=2 – с ₁=0,43 Эрл до ₂=0,65 Эрл, т. е. на 50%.

Однолинейная система; обслуживание ожидающих вызовов в случайном порядке. Выше были рассмотрены системы с ожиданием, в которых обслуживание ожидающих вызовов производится в порядке очереди. В автоматических системах коммутации находят более широкое применение системы с ожиданием, в которых обслуживание ожидающих вызовов производится при случайном выборе их из очереди.

Однолинейная система с постоянной длительностью занятия и случайным выбором из очереди ожидающих вызовов исследована Берком. Распределение времени ожидания p(>t)=f(t) в такой системе при =0,5; 0,7 и 0,9 Эрл приведено на рис. 5.6. Эти кривые показаны сплошными линиями. Для сравнения пунктирными линиями для тех же значений интенсивности поступающей нагрузки  показано распределение времени ожидания в однолинейной системе с постоянной длительностью занятия и обслуживанием ожидающих вызовов в порядке очереди. Из рисунка видно, что для небольших значений t качественные характеристики обслуживания ожидающих вызовов выше при случайном выборе их из очереди– при заданном времени t вероятность р(>1) меньше или при заданной вероятности p(>t) значение t меньше. Так, например, при =0,9 Эрл и t=5 случайный выбор из очереди обеспечивает вероятность р(>5)=0,26, а обслуживание в порядке очереди увеличивает эту вероятность до р₂(>5) =0,33.

Отмеченные закономерности справедливы для небольших значений t. Заметим, что именно эта область значений t имеет практический интерес для существующих систем коммутации, в которых используются релейные и электронные управляющие устройства (маркеры) с близкой к постоянной длительностью обслуживания и значениями этой длительности в пределах h=0,05l с.

П ри больших значениях t значения вероятностей р(>t) при случайном выборе из очереди существенно превышают соответствующие значения при обслуживании ожидающих вызовов в порядке очереди – с увеличением t по сравнению с обслуживанием в порядке очереди случайный выбор приводит к росту вероятности длительного ожидания. В перспективных системах коммутации (квазиэлектронных и электронных) длительности занятия управляющих устройств значительно уменьшаются (h<0,005 с), что позволяет без заметного ухудшения качества обслуживания вызовов допускать для некоторой доли вызовов ожидание до t=100 и более. В таких системах коммутации также сохраняется дисциплина выбора из очереди, близкая к случайной. В связи с этим важным является тот факт, что дисциплина выбора из очереди (в порядке поступления, в случайном порядке или любая другая дисциплина) не влияет на среднее время пребывания_> вызова на ожидании.

Дисциплина выбора из очереди в случайном порядке в области небольших значений t, как и дисциплина обслуживания вызовов в порядке очереди, приводит к более высоким качественным показателям обслуживания вызовов в системах с ожиданием при постоянной длительности занятия. Сравнение распределения времени ожидания (p(>t)=f(t)) в однолинейной системе при постоянной и показательно распределенной длительностях занятия и случайном выборе ожидающих вызовов из очереди (=0,5; 0,7 и 0,9 Эрл) приведено на рис. 5.7.