9.1.Понятие арифметической задачи. Роль задач в начальном курсе математики. Основные этапы работы над задачами и их содержание.

В начальном курсе обучения математике велика роль текстовых задач, так как решение задач – это работа несколько необычная, а именно умственная деятельность. А чт.научиться к.–л.работе, нужно предвар-но изуч.необх.мат-л, те инструменты, с пом.кот.вып-ся деятть.

Значит, для того, чтобы науч.реш.з-чи, надо разобр-ся в том, что они собой предст-т, как устроены, из каких составн.частей состоят.

Прежде ответим на вопрос, что же такое задача? Как считает Н.Б. Истомина, задача – это может быть любое математическое задание, где есть условие и требование.

По Свечникову А.А., «математическая задача – это связный лаконичный рассказ, в который введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии». [15, С.5]

Л.П. Стойлова дает такое определение: «текстовая задача – это описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого – либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между компонентами, или определить вид этого отношения».

Из данных определений видим, что Истомина вкладывает в понятие «задача» более широкий смысл. [16, С. 43]

Сделаем оговорку и скажем, что в дальнейшем мы будем работать только с текстовой задачей.

Какова же структура любой текстовой задачи? Свечников А.А выделяет такие составные элементы [15, С.5]:

• «словесное изложение сюжета, в котором явно или в завуалированной форме указана функциональная зависимость между величинами, числовые значения которых входят в задачу;

• числовые значения величин или числовые данные, о которых говорится в тексте задачи;

• задание, обычно сформулированное в виде вопроса, в котором предлагается узнать неизвестные значения одной или нескольких величин (эти значения называются искомыми).»

Прежде всего задача включает числа данные и искомые. Каждая задача имеет условие и требование. В условии задачи указываются связи между данными числами, а также меду данными и искомыми. Эти связи и определяют выбор соответствующих арифметических действий. Если в составной задаче возможно устанав. различные связи между этими данными, то можно решить задачу разными способами.

Чтобы понять задачу, увидеть взаимосвязь, надо выявить её условие и требование, отбросив всё лишнее, не влияющее на структуру.

Далее разберемся в термине «решение задач». Н.Б.Истомина утверждает, что «это понятие можно рассматривать с различных точек зрения: решение как результат, т.е. как ответ на вопрос, поставленный в задаче, и решение как процесс нахождения результата.» [5;44]

Решение задачи – это работа несколько обычная, а именно умств.работа. Так считает Л.М. Фридман. Значит, решение задачи – это процесс. Под процессом реш-я задачи понимается процесс, начинающийся с момента получения задачи до полного завершения её реш-я. Очевидно, что эт.проц.состоит не только из изложения уже найденного решения, а из ряда этапов, одним из которых и явл. излож-е мат-ла.

Разные ученые – методисты предлагают различ. этапы решения задачи в зависимости от кол-ва шагов. Представим этапы в таблице.

Таблица 1. Этапы решения задачи

Л.М.Фридман	Н.Б. Истомина	Л.П.Стойлова
Этапы решения задачи
1 - анализ задачи; 2-построение схематической записи; 3-нахождение способов решения задач; 4 – осуществление решения; 5-проверка решения; 6-исследование задачи; 7-четкое формулирование ответа задачи.	ознакомление с содержанием задачи; поиск решения задачи; составление плана решения задачи; запись решения и ответа; проверка решения.	анализ задачи; поиск плана решения; осуществление плана решения; проверка решения задачи.

Анализируя таблицу, можно сказать, что у Л.П. Стойловой этапов меньше, но они более обширные, чем у Н.Б. Истоминой. Она не разделяет этапа поиска решения задачи (для нашего случая этот этап вообще отсутствует), как у Н.Б.Истоминой. Л.П.Стойлова подчеркивает, что в реальном процессе решения задачи, отмеченные этапы не имеют четких границ и не всегда выполняются одинаково полно. Приведенная схема Л.М.Фридман является примерной. При практическом решении указанные этапы обычно не отделены друг от друга, а переплетаются между собой. Порядок этапов также может иногда меняться. Из указанных семи этапов, пять этапов явл. обязатель-ными и они имеются в процессе реш-я любой задачи. Это этапы анализа задачи, поиска способов её решения, осуществление её решения, проверка решения и формулировка ответа. Остальные два этапа являются необязательными и в процессе решения многих задач не имеются. Н.Б. Истомина и Л.П. Стойлова последние 2этапа не выд-т отдельно. Т.о, Л.М.Фридман дает более подробную стр-ру реш-я задачи. Добавим, что она же выделяет такой этап, как нахождение способов реш-я задачи,тогда как у других этого нет. Но мы можем предположить, что на этапе проверки реш.задачи, для проверки правильности решения, может быть предложено решить задачу разн.способами.

Необходимо также дать определение понятию «обучение решению задач».

«Обучение реш-ю задач – это специально организ-е взаимодей-е учителя и уч-ся, целью кот.явл.формир-е умения решать задачи». [1, С. 174]

«Умение – это качество человека, его готовность и возможность успешно осуществлять определенные действия». [9, С. 497]

В методической литературе принято выделять два основных типа умения решать задачи:

- общее умение решать задачи;

-умение решать задачи определенного вида (частное умение решать задачи). [25;103]

Общее умение решать задачи проявляется у человека при решении им незнакомой задачи.

Чтобы выявить наличие или уровень умения решать задачи определенного вида, учащимся нужно предложить несколько задач, среди кот.есть задачи тех видов, умение решать кот.нас интересует. Если ученик выполнит эти задачи, то он владеет соответ-ми умениями.

ЭТАПЫ РАБОТЫ НАД ЗАДАЧАМИ

Решение задачи арифметическим методом – это сложная деятельность, содержание которой зависит от конкретной задачи, так и от умений решающего. Тем не менее в ней можно выделить несколько этапов:

• Восприятие и анализ содержания задачи.

• Поиск и составление плана решения.

• Выполнение плана решения. Формулировка вывода о выполнении требования задачи (ответ на вопрос задачи).

• Проверка реш-я и исправ-е ошибок, если есть.Формулировка окончат.вывода о выполнении треб-я з-чи или ответа на вопр.з-чи.

Следует подчеркнуть, что «в реальном процессе решения задач отмеченные эти этапы не имеют четких границ и не всегда выполняются полно. Так, иногда уже при восприятии з-чи решающий может обнаружить, что з-ча – известного ему вида, и он знает, как ее решать. В этом случае поиск реш-я не вычленяется в отд.этап и обоснование каждого шага при выполнении первых трех этапов делает необяз-ой проверку после вып-я реш-я. Однако полное, логически завершенное реш-е обязательно содержит все этапы. А знание возможных приемов вып-я кажд. из этапов делает процесс реш-я любой з-чи осознанным и целенаправленным, а значит, и более успешным». [22, С. 49]

Рассмотрим каждый этап.

I. Основная цель первого этапа – понимание решающего в целом ситуации, описанной в задаче, понимание условия задачи, ее требования или вопроса, смысл всех терминов и знаков, имеющихся в тексте.

Известно несколько приемов, применение которых способствует пониманию содержания задачи.

• Разобраться в содерж-и задачи, вычленить условие и требование ее можно, если задать спец.вопр. по тексту и ответить на них.

• Большую помощь в осмыслении содерж-я задачи и осознании основы для поиска решения задачи оказывает переформулировка текста задачи – замена данного в нем описания ситуации другим, сохраняющим все отношения, связи и количественные характеристики, но более явно их выражающим. Особенно эффективно использование этого средства в сочетании с разбиением текста на смысловые части.

Направления переформулировки могут быть следующие: отбрасывание несущественной, излишней информации; замена описания некоторых понятий соответствующими терминами и, наоборот, замена некоторых терминов описанием смысла соответствующих понятий; переорганизация текста задачи в форму, удобную для поиска решения. Результатом переформулировки должно быть выделение основных ситуаций. Переформулированный текст часто бывает полезно записать схематически (в виде таблицы, краткой записи, чертежа).

II. Одним из наиболее распростр.приемов поиска плана решения задачи арифметич. способами является разбор задачи по тексту.

Разбор задачи по тексту проводится в виде цепочки рассуждений, кот.может начинаться как от данных задачи, так и от ее вопроса.

При разборе задачи от данных к вопросу нужно выделить в тексте задачи 2 данных и на основе знания связи между ними определить, какое неизвестное может быть найдено по этим данным и с помощью какого арифметического действия. Считая это неизвестное данным, надо выделить вновь 2 взаимосвязанных данных, определить неизвестное, которое может быть найдено по ним, а так же соответствующее арифметическое действие и так далее, пока не будет выяснено дей-е, выполнение кот.приводит к получению искомого.

При разборе задачи от вопроса к данным нужно обратить вн-е на вопрос задачи и установ., что дост-но узнать для ответа на вопрос задачи. Обратиться к усл-ю и выявить, есть ли для этого необх.данные. Если таких данных нет, и есть только одно данное, то установить, что нужно знать, чт.найти недостающ.данное (недостающ.данные) и т.д. Потом сост. план. Рассуждения при этом проводятся в обрат.поряд.

Поиск решения может проводиться по чертежу или по схематической записи, составленном на первом этапе.

III. Реализация намеченного плана. Выполнение плана может проводиться как в устной форме, так и в письменной. Известны следующие формы записи решения задачи:

1. по действиям: а) с пояснениями б) без пояснений в) с вопросами

2. выражением: а) выражение записывается сразу б) выражение составляется постепенно.

IV. Этап, в результате которого устанавливается правильность или ошибочность выполнения решения - проверка решения задачи.

Известно несколько приемов, помогающих установить, правильно ли решена задача:

• Прикидка. Суть этого приема закл.в прогнозировании с некот.степенью точности и прав-ти результата решения. Применение этого приема дает точный ответ на вопрос только в том случае, если полученный при решении результат не соответствует прогнозируемому.

• Соотнесение полученного результата и условия задачи. Суть данного приема заключается в том, что найденный результат вводится в текст задачи и на основе рассуждений устанавливается, не возникает ли при этом противоречия.

• Решение задач различными способами. Пусть при решении задачи каким-либо способом получен результат. Если ее решение другим способом приводит к такому же результату, то можно сделать вывод о том, что задача решена правильно.

«Не следует думать, что без проверки нет решения текстовой задачи. Правильность ее обеспечивается, прежде всего, четкими и логичными рассуждениями и на всех других этапах работы над задачей». [22, С. 59]

Смолеусова Т.В. [20, С. 63] удобно и наглядно упорядочила знания об этапах решения задач в виде таблицы, в которой выделены 4 этапа, цель и приемы выполнения каждого из них. Так же в таблице она показала связь общего и частного подхода к решению задач.

Таблица 2. Цель и приемы выполнения этапов работы над задачей

Название этапа	Цель этапа	Приемы выполнения этапа
Восприятие задачи	Понять задачу, то есть выделить все множества и отношения, величины и зависимости между ними, числовые данные, лексические значения слов	драматизация, обыгрывание задачи; разбиение текста задачи на смысловые части; постановка специальных вопросов; переформулировка; перефразирование (заменить термин сод-ем; заменить описание термином, словом; заменить синонимом, убрать несущественные слова; конкретизировать, добавив не меняющие смысл подробности); построение модели (схема, рисунок, таблица, чертеж, предметная модель, выражение); опред-е вида задачи и выполнение соотв-ей схемы – краткой записи (частный подход).
Поиск плана решения	«Связать» вопрос с условием	рассуждения: от условия к вопросу; от вопроса к условию; по модели; по словесному заданию отношений; составление уравнения; знания о решении «таких» задач, название вида, типа задач (частный подход).
Выполнение плана	Выполнить операции, соответствующей математической области (арифметика, алгебра, геометрия и так далее) устно или письменно	арифметические действия оформляем: выражением, по действиям (без пояснений, с пояснениями, с вопросами); измерение, счет на модели; решение уравнений; логические операции; выполнение алгоритма решения «таких» задач, название типа, вида задачи (частный подход).
Проверка	Убедиться в истинности выбранного плана или выполненных действий, после чего сформировать ответ задачи	до решения: прикидка ответа или установление границ с точки зрения здравого смысла, без математики; во время решения: по смыслу полученных выражений; осмысление хода решения по вопросам; после решения задачи: решение другим способом; решение другим методом; подстановка результата в условие; сравнение с образцом; решение на малых числах; составление и решение обратной задачи.

Важнейшим этапом решения задачи является первый этап – восприятие задачи, так как от этого зависит его понимание.

Второй этап – поиск плана решения – требует рассуждений, но если их осуществлять устно, то многие дети не освоят умение искать план решения задачи. Нужны приемы графической фиксации подобных рассуждений.

Третий этап решения задачи – выполнение плана – наиболее существенный этап, особенно при арифметическом решении задачи.

Четвертый этап – проверка. Это самый нелегальный этап. Большинство учителей убеждено в том, что если дети во время решения задачи проверяли себя, то в другой проверке задачи они не нуждаются.

Разнообразие приемов выполнения кажд.этапа реш-я з-чи позволяет всякому, кто ее решает, сделать выбор в зав-ти от вкусов и особенностей з-чи.

Роль задачи в начальном курсе математики.

Начальный курс математики раскрывается на системе целесообразно подобранных задач. Значительное место занимают в этой системе текстовые задачи. При рассмотрении смысла арифметических действий, связи существующей между действиями, и взаимосвязи между компонентами и результатами действий непременно используются соответствующие простые текстовые задачи (задачи, решаемые одним арифметическим действием). Текстовые задачи служат также одним из важнейших средств ознакомления детей с математическими отношениями, выражаемыми словами «быть на столько-то больше (меньше)», «быть на столько-то раз больше (меньше)». Они используются и в целях уяснения понятия доли (задачи на нахождение доли величины и искомого значения величины по доле). Текстовые задачи помогают и при формировании ряда геометрических понятий, а также при рассмотрении элементов алгебры.

Если мы хотим сформировать у школьников правильное понятие о сложении, необходимо, чтобы дети решили достаточное количество простых задач на нахождение суммы, практически выполняя каждый раз операцию объединения множеств без общих элементов. Выступая в роли конкретного материала для формирования знаний, задачи дают возможность связать теорию с практикой, обучение с жизнью. Решение задач формирует у детей практические умения, необходимые каждому человеку в повседневной жизни. Например, подсчитать стоимость покупки, вычислить в какое время надо выйти, чтобы не опоздать на поезд и т.п.

Использование задач в качестве конкретной основы для ознакомления с новыми знаниями и для применения уже имеющихся у детей знаний играет исключительно важную роль в формировании у детей элементов материалистического мировоззрения. Решая задачи, ученик убеждается, что многие математические понятия, имеют корни в реальной жизни, в практике людей.

Через решение задач дети знакомятся с важными в познавательном и воспитательном отношении фактами. Так, содержание многих задач, решаемых в начальных классах, отражает труд детей и взрослых, достижения нашей страны в области народного хозяйства, техники, науки, культуры.

Сам процесс решения задач при определенной методике оказывает весьма положительное влияние на умственное развитие школьников, поскольку он требует выполнения умственных операций: анализа и синтеза, конкретизации и абстрагирования, сравнения, обобщения. Так, при решении любой задачи ученик выполняет анализ: отделяет вопрос от условия, выделяет данные и искомые числа; намечая план решения, он выполняет синтез, пользуясь при этом конкретизацией (мысленно рисует условие задачи), а затем абстрагированием (отвлекаясь от конкретной ситуации, выбирает арифметические действия); в результате многократного решения задач какого-либо вида ученик обобщает знания связей между данными и искомым в задачах этого вида, в результате чего обобщается способ решения задач этого вида.

Задачи выполняют очень важную функцию в начальном курсе математики – они являются полезным средством развития у детей логического мышления, умения проводить анализ и синтез, обобщать, абстрагировать и конкретизировать, раскрывать связи, существующие между рассматриваемыми явлениями.

Решение задач – упражнения, развивающие мышление. Мало того, решение задач способствует воспитанию терпения, настойчивости, воли, способствует пробуждению интереса к самому процессу поиска решения, дает возможность испытать глубокое удовлетворение, связанное с удачным решением.

Овладение основами математики немыслимо без решения и разбора задачи, что является одним из важных звеньев в цепи познания математики, этот вид занятий не только активизирует изучение математики, но и прокладывает пути к глубокому пониманию её. Работа по осознанию хода решения той или иной математической задачи даёт импульс к развитию мышления ребенка. Решение задач нельзя считать самоцелью, в них следует видеть средство к углублённому изучению теоретических положений и вместе с тем средство развития мышления, путь осознания окружающей действительности, тропинку к пониманию мира.

Кроме того, нельзя забывать, что решение задач воспитывает у детей многие положительные качества характера и развивает их эстетически.