Смысл действия умножения

Из курса математики вам известно, что если и Ь целые неотрицательные числа, то

а) аЬ=а+а+а+...+а, при Ь>1; Ь слагаемых

б) а ' 1=а, при Ь=1;

в) а ' 0=0, при Ъ=0.

Теоретико-множественная трактовка этого определения лежит в основе разъяснения младшим школьникам смысла умножения. Необходимость введения нового действия осознается ими в процессе рассмотрения различных реальных ситуаций. Например, учащимся предлагается схематический чертеж поля прямоугольной формы, которое разбито на равные участки (квадраты). Нужно определить на сколько участков (квадратов) разбито данное поле (рис. 34).

Рис. 34

Они самостоятельно приходят к выводу, что достаточно посчитать число квадратов в одном ряду (их 11) и повторить это число слагаемым 4 раза (11+11+11+11). Можно также предложить ситуации с величинами: цена, количество, стоимость. Например: один батон стоит 10 р. Сколько нужно заплатить денег за два батона? (10+10). За три батона? (10+10+10). За 12 батонов? (10+10+10+...). Такую длинную запись можно выполнить иначе: 10x12. Определяя умножение как сложение одинаковых слагаемых и показывая новую математическую запись учитель, используя действия с предметами разъясняет детям значение каждого числа в этой записи. Особенно важно обратить их внимание на то, что число, на которое мы умножаем, показывает, сколько раз первое число повторяется слагаемым.

Задание 34. Найдите в учебниках М2 (1-111, 1-1У) страницы, на которых вводится понятие «умножение». Сравните их между собой. В чем их сходство и различие? Какое отличие вы можете отметить в иллюстрациях, предлагаемых в одном и другом учебнике? Какие из них целесообразнее предложить детям и почему?

Для усвоения учащимися смысла умножения можно использовать упражнения различных видов:

а) выполнение рисунка по данной математической записи (Выполни рисунок, который соответствует записи 2x5, 3x4 и т.д.)

б) выполнение математической записи, соответствующей рисунку.

в) соотнесение математической записи и рисунка. (Установи соответствие между рисунком 36 и записанными выражениями.)

Так же, как и при сложении полезно при разъяснении смысла умножения предлагать ученикам задания, в процессе выполнения которых у них может возникнуть догадка о закономерности, связанной с переместительным свойством умножения.

г) замена произведения суммой (Замени примеры на умножение при мерами на сложение и вычисли результат: 5x3, 3x2, 10x5, 24x3);

д) замена суммы произведением (Вычисли результаты и, где возможно, замени сложение умножением: 8+8+8+8; 5+5+5+5; 7+4+28; 12+12+12 28+82 8+5+5.);

е) сравнение числовых выражений (Поставь знак >, <, =, чтобы пол училась верная запись: 5x3...5x4, 12x9...12x11, 24x7...24x8.);

ж) сравнение двух произведений, значение одного из которых известно (Используя первое равенство, найдите значение второго произведения

14x3=42 18x4=72

14x4= 18x5=

Задание 35. Изучите учебники М2 (1-1И, 1-1У) и найдите в них упражнения различных видов. Придумайте упражнения, которые могли бы предложить учащимся при формировании у них представлений о смысле умножения.

Смысл умножения тесно связан с понятием «увеличить в несколько раз». Действительно, анализируя рисунок 37 и соотнося его с записью 2x5, которая выражается суммой 2+2+2+2+2, ученик не может не видеть, что умножение связано с увеличением данной совокупности. Поэтому целесообразно при введении умножения познакомить его не только с формулировкой «по 2 взять 5 раз», но и с такими формулировками, как: «2 повторить 5 раз», «2 увеличить в 5 раз».

оо оо оо оо оо

Для решения, например, такой задачи: «На каждой тарелке 5 яблок. Сколько яблок на трех тарелках», ученик должен отчетливо представлять, что на трех тарелках яблок будет больше. Так как мы «5 повторяем 3 раза», то яблок будет «в 3 раза больше». Значит мы «5 увеличиваем в 3 раза».

Задание 36. Найдите в учебнике М2 (1-111) страницы с записями: Ох Г ] и 1х| | . Нужно ли специально выделять умножение нуля и единицы на число? Могут ли ученики найти произведение этих чисел, пользуясь определением умножения?

Задание 37. Найдите в учебниках М2 (1-П1, 1-1У) страницы, которые связаны и с изучением случаев умножения на 1 и на 0. Затем рассмотрите два варианта объяснения темы «Умножение на 1». Один учитель предложил:

а) заменить умножение сложением и решить пример: 1x5= ;

б) переставить множители и найти результат, применяя перемести- тельное свойство умножения: 1x5=5x1;

в) составить аналогичные примеры 1x6=6; 1x8=8; 6x1=6; 8x1=8. Далее делается вывод: при умножении числа на единицу получаем то

число, которое умножаем.

Другой учитель представил случай умножения числа на 1 как особый, когда нельзя заменить произведение суммой и найти результат, нужно запомнить, что при умножении любого числа на 1 получаем то число, которое умножаем. Затем он предложил ученикам самостоятельно найти значение произведения 1x6; 1x7 и сравнить примеры в каждой паре:

6x1=6; 7x1=7; 12x1=12;

1x6=6; 1x7=7; 1x12=12,

в результате которого они должны сделать вывод о том, какое свойство выполняется для случая умножения с 1. Какое объяснение вы считаете правильным? Ответ обоснуйте. Как вы думаете, будет ли зависеть объяснение случая умножения на 1 от того, когда этот случай рассматривается? Продумайте объяснение случая умножения на нуль и ответьте на все поставленные в задании вопросы по отношению к этому случаю.

СМЫСЛ ДЕЙСТВИЯ ДЕЛЕНИЯ

Основа формирования у младших школьников представлений о смысле деления — теоретико-множественный подход к трактовке частного, суть которого сводится к разбиению конечных множеств на равночисленные множества, не имеющих общих элементов.

Выбор этого подхода обусловлен тем, что он позволяет опираться на жизненный опыт ребенка при введении новой терминологии и математической записи. Действительно, большинство учащихся легко справляются с таким практическим заданием: «Раздай 10 яблок по 2 каждой девочке. Сколько девочек получат яблоки?».

Наглядное изображение выполняемых действий помогает ребенку осознать их математический смысл (рис. 38).

оо оо оо оо о о

Он сводится к разбиению конечного множества яблок на равночисленные множества (по 2 яблока). В результате — получаем число частей в этом разбиении. На языке, доступном младшему школьнику, это означает, что он разделил яблоки на части, по 2 в каждой, т.е. узнал, «сколько раз по 2 содержится в 10». Выполнен.дей-е в мат-ке принято записывать так: 10:2=5 (десять разделить на 2 — получится 5).

Доступно им и такое задание: «Раздай 10 яблок поровну двум девочкам. Сколько яблок получит каждая?».

В данной ситуации учащиеся могут действовать по-разному:

а) Одни будут брать по одному яблоку и раздавать их по очереди, сначала одной девочке, потом другой, пока все яблоки не раздадут.

б) Другие могут сразу взять два яблока, так как девочек две и разде лить между ними эти яблоки, затем также поступить со второй парой яблок, с третьей и т.д., пока все не раздадут.

В результате выполнения описанных действий множество всех яблок будет разделено на 2 равные части, численность каждой из которых равна пяти.

Процесс деления на равные части довольно трудно изобразить на рисунке, но когда деление выполнено практически и определена численность каждой части, рисунок можно использовать для того, чтобы учащиеся осознали результат выполненного предметного действия (рис. 39).

Таким образом, частное может обозначать число частей, на которые разделили данное количество яблок (при этом делили поровну, по 2 яблока в каждой части). Этот случай деления в методике математики принято называть «делением по содержанию», но частное может обозначать количество яблок в каждой части (при этом делили опять же поровну, на 2 равные части). Этот случай называют «делением на равные части».

В практике начального обучения принято сначала рассматривать ситуации, связанные только с первым случаем деления, затем уже со вторым. Некоторые учителя вводят даже термины «деление по содержанию» и «деление на равные части», требуя от школьников узнать каждый случай деления и назвать его, употребляя при этом соответствующие термины.

При этом, когда выполняется деление «по содержанию», требуется говорить, что «10 разделили по 2», когда выполнено «деление на равные части», то требуется говорить, что «10 разделили на 2».

Но при чтении числовых равенств (10:2=5; 8:4=2) целесообразно пользоваться формулировкой (10 разделить на 2; 8 разделить на 4).

Термин «разделить по» употребляется тогда, когда речь идет о конкретных предметах и связан с особенностями русского языка. Например, по-русски не говорят: «10 яблок разделить на 2 яблока», говорят так: «10 яблок разделить по 2 яблока». Так как при чтении числового равенства мы не называем предметы, поэтому можно сказать: «десять разделить на 2, получим 5». Поэтому не следует вводить термины «деление по содержанию» и «деление на равные части», так как математический смысл одного и другого случая деления сводится к разбиению данного множества на равночисленные подмножества. Но учителю необходимо знать эти термины, чтобы учитывать оба эти случая при подборе практических заданий и ситуаций, нацеленных на формирование представлений о смысле деления. Также следует иметь в виду, что прочное сравнение двух чисел, связанное с ответом на вопрос: «Во сколько раз одно число больше (меньше) другого?» фактически сводится к делению по содержанию.

Рассмотрим, например, такую ситуацию: «У Коли 10 тетрадей, у Пети — 2. Во сколько раз у Коли тетрадей больше, чем у Пети?» Представим эту ситуацию на рисунке 40.

Для того, чтобы ответить на вопрос: «Во сколько раз у Коли тетрадей больше, чем у Пети?» нужно узнать — сколько раз 2 содержится в 10, для этого необходимо выполнить деление по содержанию: 10:2=5 (раз).

Число 5 означ.,что 2 содержится в 10 пять раз, значит 10 больше двух в пять раз, и 2 меньше 10 в пять раз. Это хорошо видно на рис.

Деление же на равные части связано с понятием «уменьшить в». Поэтому при выполнении деления на равные части важно обратить их внимание на то, что если мы делим данное множество на равные части, например, на два, то численность множеств, полученных в результате разбиения, в 2 раза меньше, чем численность того множества, которое мы делили. Если мы делили на 3 равные части, то численность множеств, полученных в результате разбиения, меньше в 3 раза.

Задание 38. Найдите в учебниках М2 (1-Ш, 1-1У) иллюстрации, которыми можно воспользоваться при разъяснении смысла деления (по содержанию и на равные части).

Задание 39. Используя простые задачи на деление по содержанию и на равные части М2 (1-111, 1-1У), составьте практические задания и опишите, как дети будут их выполнять.

Для обобщения смысла деления полезно применять следующие упражнения:

а) соотнесение рисунка с математической записью;

б) выполнение математической записи по рисунку;

в) выполнение рисунка по математической записи.

Работая с рисунком 41 и записью 8:4 = [ |

8:2= учитель задает вопрос: «Что может означать первая запись 8:4= [ [ ?»

Возможны следующие ответы учеников:

а) 8 кружков разделили на 4 равные части, получили в каждой части по 2 кружка

б) 8 кружков разделили по 4 в каждый ряд, получили 2 ряда (рис. 43,а).

Что может означать вторая запись: 8:2=[_] ?

Возможны следующие ответы учеников:

а) 8 разделили на 2 равные части. В каждой части получили 4 кружка

б) 8 кружков разделили на части по 2 в каждой, получили 4 части (рис. 42, б).

Работая с рисунком 44, полезно выяснить его математический смысл, отвечая на вопрос: «Что означает запись: 6:2= [ |?» (2 кружка содержится в шести 3 раза; 6 кружков больше,чем 2 кружка в 3 раза; 2 кружка меныне,чем 6 в 3 раза.)

ИЗ ЛЕКЦИЙ:

Арифметические действия в н.кл. идет по 2 линиям:

• Формирование знаний об арифметических действиях:

-знания конкретного смысла арифметического действия;

-знания терминологии и символики арифметических действий;

-знания свойств арифметических действий;

-знания связи между взаимообратными действиями;

-зависимость между результатом и компонентом арифметических действий;

-знание отношений между компонентами арифметических действий, а так же между компонентами и результатом;

-знание правил

-знание алгоритмов арифметических действий.

2. Формирование вычислительных умений и навыков:

- вычислительный прием;

- теоретическая основа вычислительного приема;

- классификация вычислительного приема по теоретической основе.

Рассмотрим 1 линию. По каждому арифметическому действию (А.Д.) в начальной школе вводятся такие знания:

• Знание конкретного смысла арифметических действий (К.С.А.Д.) – это оперирование действий на теоретико-множественной основе. Изучить К. С. А. Д. – это значит установить связь между операциями над множествами и соответственными операциями над числами. Например, сложение связано с объединением конечных непересекающихся множеств.

• Знание терминологии и символики (чтение и запись примеров) Например: 4+3, 8-4 – числовые выражения.

• Знание свойств А.Д.: свойства А.Д. – это математическое предложение о тождественном преобразовании выражений.

(а+б)+с=а+(б+с)

В начальной школе изучаются следующие свойства: переместительное свойство «+» и «*», сочетательное свойство «+» и «*» свойства умножения суммы на число и числа на сумму, свойство деления суммы на число.

• Знание связи между взаимообратными действиями. Существуют разные формулировки этого знания:

-взаимосвязь между компонентами и результатом арифметических действий

-формулировка через обратное действие (действие «–» обратно действию «+»

-связь между действиями может быть выбрана в формулировке предложений о проверке одного арифметического действия другим (например, «-» проверяется «+»).

• Знание зависимости между результатом и компонентами арифметических действий – это математическое предложение о том, как изменяется результат действий в зависимости от изменения одного из компонентов.

• Знание правил – к правилам относятся аксиомы арифметических действий – а*1=а, а*0=0, а делить на 0 нельзя.

• Знание алгоритмов выполнения арифметических действий.

Каждое знание может изучаться на разном уровне, в психологии выделяют эмпирический и понятийный уровни.

Эмпирический уровень отмечается тем, что от детей не требуется обобщения формулировки знаний в виде определения или правила (понятий как раз это требует), а требуется знания на конкретном примере.

Рассмотрим 2 линию.

Вычислительное умение – это развернутое осуществление А.Д., в котором каждая операция осуществляется и контролируется.

Вычислительный навык – характеризуется свернутым, в значительной мере автоматизированным выполнением А.Д. с пропуском промежуточных результатов, когда контроль переносится на конечный результат. Так, вычислительный навык – это полостью или частично автоматизированное выполнение А.Д.

Вычислительный прием – система операций, которые необходимо выполнить над числами, чтобы найти результат А.Д. Другими словами, вычислительный прием – это способ решения примера.

Все вычислительные приемы можно разделить на группы в зависимости от их теоретической основы.