4.1.Формирование понятия натурального числа и числа нуль у детей.
Числа возникли в результате деятельности людей: делать измерения, считать. Соответствие понятия числа связана с этими видами деятельности. При 1-м подходе натур, число рассматривается как результат измерения величины. Измерить величины - значит сравнить с некоторой однородной величиной принятой за единицу и результат выразить числом. При 2-м подходе натуральное число рассматривается как количественная характеристика класса непустых конечных множеств.
Число 0 рассм-ся как конечная характеристика пустого множества (если нет предметов, то в математике говорят так: 0 предметов).
Оба подхода к понятию числа реализуются в начальных классах. 1 подход -
Эльконин и Давыдов; 2 подход - во всех системах.
В математике есть ещё один подход к понятию числа - натуральное число рассматривается как член натурального ряда чисел, а сам натуральный ряд определяется с помощью аксиом Пиано.
Толкования числа: (функции)
1. количественная функция числа: число позволяет ответить на вопрос «сколько», ответ выделяется с помощью числа.
Счёт - операция уставов взаимно - однозначного соответствия между элементами множества и началом отрезком натур ряда.
порядковая: число отвечает на вопрос «который по счёту» и определяет номер в ряду предмета.
измерительная: число позволяет отразить результат измерения величины.
4. операторная (вычислительная): число является результатом арифметических действий.
Изучая числа в начальных классах дети одновременно знакомятся с записью и чтением чисел.
Учащиеся должны осознать количественное и порядковое значение числа. Они должны научиться пользоваться усвоенным ими отрезком натур.ряда чисел для получения ответа на вопрос, сколько элементов входит в состав предложенного им множества, понять, что с помощью той же числовой последовательности можно расположить элементы этого множества в определенном порядке, перенумеровав их.
На примере первых десяти чисел натурального ряда дети знакомятся с принципами его построения. Они осознают и усваивают, что для получения числа, следующего за данным, достаточно прибавить единицу к данному числу и что поэтому числа в натуральном ряду возрастают (каждое число ряда больше всех чисел, встречающихся при счете раньше этого числа, и меньше любого числа, которое называется при счете после него). Эти знания они применяют для сравнения чисел. Они узнают далее, что каждое число (кроме единицы) может быть представлено в виде суммы двух или нескольких слагаемых. Уже здесь, при первом знакомстве с числами, выясняется, что каждое число может быть не только названо, по и записано, что для записи чисел существуют специальные знаки — цифры.
Наряду с упражнениями, при выполнении кот. дети получают число в результате счета предметов, довольно скоро вкл-ся и такие упр-я, кот. должны показать детям получение числа в результате измерения. Первым шагом в этом направлении явл. ознак-е с сантиметром и измерением отрезка с пом. разделенной на сантиметры линейки (модель такой линейки имеется в приложении к учеб. для 1 кл).
Уже в теме «Десяток» происходит знакомство с числом и цифрой нуль. Таким образом, уже с первых шагов обучения дети имеют дело с расширенным натуральным рядом, хотя и знакомы еще с очень коротким его отрезком.
Нуль с самого начала вводится как характеристика пустого множества (т. е. множества, которое не содержит ни одного элемента. Например, нуль будет служить ответом на вопрос: «Сколько холодильников учится в нашем первом классе?» Нуль будет ответом при решении задачи: «У мальчика было 1 яблоко. Он его съел. Сколько яблок осталось у мальчика?»).
При ознакомлении с линейкой специальное внимание должно быть уделено осознанию нуля как начала отсчета: цифра 1 на линейке обозначает конец отрезка длиной 1 см, а начало этого отрезка обозначено цифрой нуль.
Знакомство с линейкой, разбитой на сантиметры, дает возможность использовать ее в качестве наглядного пособия при сравнении чисел, а в дальнейшем и при выполнении сложения вычитания.
Этапы изучения чисел. Выделяют 2 этапа: Дочисловой и Числовой.
Дочисловой затрагивает дет. сад и подготовит этап в школе. Дети работают над понятиями: один и много, учатся выделять элементы множества. Дети постепенно учатся вести счёт, идёт работа над получением числа с опорой на предметы.
Числовой, направления в работе: 1. число сначала рассматривают как член натурального ряда. О как число, которое стоит перед числом 1; 2. вводятся операторная функция числа - именованные числа 5 см; 3. работа над записью чисел и его чтения.
Исторические сведения в различных программах при изучении нумерации (анализ учебников и учебных программ).
Традиционная программа по математике (автор М.И.Моро)
Основу начального курса математики составляют представление о натуральном числе и нуле, о четырех арифметических действиях с целью неотрицательными числами и важнейшее их свойства, а также основанное на этих знаниях осознанное и прочное усвоение приемов устных и письменных вычислений.
В трад. программе по математике (авторы: М.И.Моро, Ю.М.Колягин, М.А.Бантова, С.И.Волкова, С.В.Степанова) нет конкретных указаний на то, какие сведения из истории математики следует сообщать учащимся, в каких классах, в каком объеме и по каким темам.
Моро М.И, математика 1 класс (1 - 41 2003 г.)
Десяток
Числа от 1 до 10 и число О
1. Знакомство с числом 1 «Как люди научились считать». 20-21
Знакомство с числом 2 «Из истории учебника «Арифметика». 22-23
Знакомство с числом 3 «О числе и цифре 3. 24-25
Знакомство с числом 4 «Магия чисел» 26-27
Знакомство с числом 5 «Знакомство с монетами» 32-33
Знакомство с числом 6 «Магия чисел» 48-49
Знакомство с числом 7 «Из истории цифры 7» 50-51
Знакомство с числом 8 «Беседа о нумерации чисел». 52-53
Знакомство с числом 9 «История линейки» 54-55
Знакомство с числом 10 «Магия чисел» 56-57
11. Число0 «Открытие 0» 64-65
ДОПОЛНЕНИЕ
Проблема формирования понятия числа у детей.
Числа возникли в результате практической деятельности людей – эта деятельность была связана как с оперированием предметными множествами, так и с измерением величин. В результате этой деятельности появляется первые представления о числах, позднее появляются первые формы записи.
К 19 в. сложились 2 методических подхода к изучению чисел: вычислительный и монографический.
Монографический метод – обосновал методист Грубе. Согласно ему, изучение арифметики должно идти «от числа к числу». Грубе считал, что понятие числа в каждом человеке заложено изначально.
Каждое число, на основе зрительного наблюдения, сравнивалось со всеми предыдущими. Арифметические действия специально не изучались, таблицы заучивались на память. Для лучшего восприятия числа вводили специальные пособия, например, числовые фигуры:
Вычислительный метод – основатель Гольденберг. Цель начального обучения по нему – научить детей вычитать и понимать вычитание, учить детей счету, нумерации, свойствам действий, обеспечить усвоение таблиц и вычислительных приемов.
Оба этих подхода сыграли позитивную роль в развитии математики, в современном мире за основу идет вычислительный метод, однако сохраняются и положения монографического метода.
Дополнение из книги Истоминой
Число и цифра 0.
Число нуль является характеристикой пустого множества, т. е. множества, не содержащего ни одного элемента. Для того, чтобы учащиеся представили себе такое множество, можно использовать различные методические приемы. Рассмотрим некоторые из них.
Один прием связан с установлением соответствия между числовой фигурой и цифрой, обозначающей количество предметов.
Этим подходом можно воспользоваться до изучения сложения и вычитания, на этапе формирования у учащихся представлений о количественном числе.
Другой методический прием знакомит младших школьников с нулем как результатом вычитания.
Для этой цели учащимся предлагаются предметные ситуации, которые они сначала описывают (рассказывают, что нарисовано на картинке), а затем записывают свой рассказ числовыми равенствами.
Например, в учебнике М1М дана серия картинок. На первом рисунке веточка, на которой три листочка. На втором рисунке на веточке два листочка, а на третьем — один. Дети комментируют рисунок: «На веточке три листочка. Один листочек сорвали, осталось:
3 – 1 = 2. Затем сорвали еще один листочек, осталось: 2 – 1 = 1. Еще один листочек сорвали, осталось: 1 – 1». Для записи полученного результата в математике используется число: 1 – 1 = 0. Следует иметь в виду, что при таком введении числа нуль у детей может сложиться неправильное представление о числе нуль как результате вычитания 1 – 1.
Чтобы этого не случилось, необходимо рассмотреть как можно больше различных ситуаций, связанных с получением числа нуль. В частности: на тарелке лежало 2 яблока. Нина и Таня съели их. Сколько яблок осталось на тарелке? Для записи 2 – 2 также используется число нуль: 2 – 2 = 0. Аналогично 3 – 3 = 0, 4 – 4 = 0.
Можно предложить и такое задание: «Что изменилось?»
Возможно познакомить детей с числом нуль как с компонентом арифметического действия (сложения и вычитания). Для этой цели предлагается задание: «Что изменилось?»
Дети обычно отвечают: «Ничего не изменилось».
— Может быть, кто-нибудь догадается, какую математическую запись можно использовать для этого случая,— говорит учитель. Обычно дети сами предлагают записать равенства:
5 + 0 = 5, 5 – 0 = 5.
Для введения числа нуль можно придумать другие ситуации, связанные с изменением количества. Например, на фланелеграфе 3 зайца. Ученики закрывают глаза, учитель в это время изменяет количество зайцев (добавляя одного). Математическая запись выполненного предметного действия выглядит так:. 3 + 1 = 4. Затем рассматриваются ситуации, соответствующие записям: 4 + 2 = 6, 6 – 2 = 4, 4 + 3 = 7 и т. д. Наконец, дети закрывают глаза, но учитель оставляет картинку без изменения. Возникает вопрос — как записать такое «изменение» математическими знаками? Для этой цели можно использовать число нуль: 4 + 0 = 4, 4 – 0 = 4