Теоретическая основа – свойство «От перестановки мест слагаемых сумма не меняется».

Это правило практически во всех програм. изучается в 1 кл, так как служит теоретической основой примерам таблицы сложения.

Цель фрагмента урока – познакомить детей с переместительным свойством сложения.

Ход урока:

1. Постановка проблемной ситуации.

У: Что видите на доске? Д: Примеры на карточках: 1+1= 3+1= 2-1= 4+3= 6-3= 3+2=

У: Какое задание можно задать? Д: Решить их.

У: Решите. (Дети решают.)

У: Проверим.

У: Теперь расположите примеры в порядке возрастания их результата. И переверните карточки. (Один ученик раскладывает.)

У: Если вы сделали все верно, мы перевернем карточки и узнаем тему урока.

У: Какая тема урока? Д: Переместительный закон сложения.

У: Кто-то знает этот закон? Д: Нет, так как еще не учили.

У: На этом роке мы с ним познакомимся.

2. Знакомство с новой темой.

У: Посмотрите суммы, которые записаны в столбики. Чем они похожи по парам и чем отличаются?

3+2 4+3 6+3

2+3 3+4 3+6 Д: У них одинаковые слагаемые, но во вторых примерах они поменяны местами.

У: Найдите значения сумм.

У: Что интересного заметили? Д: В столбиках получились одинаковые результаты.

У: Почему, как вы думаете, получились такие результаты? Д: В примерах одинаковые слагаемые, поменяли их только местами.

У: Какое правило можно сформулировать? Д: Если слагаемые поменять местами, сумма не меняется.

У: Кто уже догадался, как называется это правило? Д: Переместительный закон сложения.

У: Запишите это в тетради.

3. Закрепление нового материала.

У: Запишите в тетради две суммы, в которых одинаковые слагаемые стоят в разном порядке, и при помощи рисунка покажите, что их значения одинаковые.

Д: 4+5=9

5+4=9

□□□□ OOOOO = OOOOO□□□□

9 9

У: Что мы нового узнали? Д: Переместительный закон сложения.

У: О чем гласит этот закон? Д: Если слагаемые поменять местами, сумма не поменяется.

У: Как вы думаете, такое рав-во будет правильным: 354+546=546+354? Д: Будет правильным, т.к. поменяли местами слагаемые.

7.1 Общие вопросы методики обучения устным вычислениям. Формир-е вычислит.Навыков у учащихся.

Формирование у школьников 1-4 классов вычислительных навыков остается одной из главных задач начального обучения математике, поскольку вычислительные навыки необходимы как в практической жизни каждого человека, так и в учении.

Действующая сейчас программа по математике предусматривает «формирование вычислительных навыков на основе сознательного использования приемов вычислений. Последнее становится возможным благодаря тому, что в программу включено знакомство с некоторыми важнейшими свойствами арифметических действий и вытекающими из них следствиями».

Прежде всего, рассмотрим по Бантовой М.А., что такое прием вычисления (вычислительный прием). Прием вычисления над числами складывается из ряда последовательных операций (системы операций), выполнение которых приводит к нахождению результата требуемого арифметического действия над этими числами; причем выбор операции в каждом приеме определяется теми теоретическими положениями, которые используются в качестве ее теоретической основы.

В большинстве случаев уже в начальных классах школы для нахождения результата арифметического действия можно использовать в качестве теоретической основы различные теоретические положения, что приводит к разным приемам вычислений. Операции, составляющие прием вычисления, имеют разный характер. Многие из них сами являются арифметическими действиями. Эти операции играют особую роль в процессе овладения вычислительными приемами: выполнение приема в свернутом плане сводится к выделению и выполнению именно операций, являющихся арифметическими действиями. Поэтому операции, являющиеся арифметическими действиями, можно назвать основными. Все другие операции (замена числа суммой, произведением и т.д.)- вспомогательные, хотя в приеме они все одинаково важны.

Число операций, составляющих прием, определяется прежде всего выбором теоретической основы вычислительного приема. Число операций зависит также от чисел, над которыми выполняются арифметические действия.

Так, при использовании одной и той же теоретической основы - свойства прибавления суммы к сумме - прием сложения чисел 57 и 25 содержит меньше операций, чем прием сложения чисел 257 и 425. №

Число операций, выполняемых при нахождении результата арифметического действия, может сокращаться по мере овладения приемом. Например, для случаев вида 8+2 на начальной стадии формирования навыка ученик выполняет три операции: замена числа 2 суммой чисел 1 и 1 (хотя в явном виде эта операция не дается), прибавление числа 1 к 8, прибавление числа 1 к результату, к 9; однако после заучивания таблицы сложения ученик выполняет одну операцию - он сразу связывает числа 8 и 2 с числом 10. Как видим, здесь один прием как бы перерастает в другой.

Общеизвестно, что теоретической основой вычислительных приемов служат определения арифметических действий, свойства действий и следствия, вытекающие из них. Имея это в виду и принимая во внимание методический аспект, Бантова М.А. выделила следующие группы приемов в соответствии с их общей теоретической основой, предусмотренной действующей программой по математике для начальных классов. Назовем эти группы приемов:

• Приемы, теоретическая основа которых – конкретный смысл арифметических действий. К ним относятся: приемы сложения и вычитания в пределах 10 для случаев вида а+2, а+3, а+4, а+0; прием табличного сложения и вычитания с переходом через десяток в пределах 20; прием нахождения табличных результатов умножения (деления – только на начальной стадии), и деления с остатком, прием умножения единицы и нуля. Названные приемы вводятся на основе выполнения операций над множествами.

• Прием, теоретической основой которых служат свойства арифметических действий. К этой группе относится большинство вычислительных приемов. Это приемы вида 2+8, 54+20, 27+3, 40-6, 45+7, 50+23, 67+32, 74+18, аналогичные приемы для случаев сложения и вычитания чисел больше чем 100, а также приемы письменного сложения и вычитания; приемы умножения и деления для случаев вида 14*5, 5*14, 81:3, 18*40, 180:20, аналогичные приемы умножения и деления для чисел, больших ста и приемы письменного умножения и деления.

Общая схема введения этих приемов одинакова: сначала изучаются соответствующие свойства, а затем на их основе вводятся приемы вычислений.

• Приемы, теоретическая основа которых – связи между компонентами и результатом арифметических действий. К ним относятся приемы для случаев вида 9-7, 21:3, 60:20, 54:18, 9:1, 0:6.

При введении этих приемов сначала рассматриваются связи между компонентами и результатом соответствующего арифметического действия, затем на этой основе вводится вычислительный прием.

• Прием, теоретическая основа которых – изменение результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов. Это приемы округления при выполнении сложения и вычитания чисел (46+19, 512-298) и приемы умножения и деления на 5, 25, 50.

• Приемы, теоретическая основа которых – вопросы нумерации чисел. Это приемы для случаев вида а+1, 10+6, 16-10, 16-6, 57*10, 1200:100; аналогичные приемы для больших чисел.

Введение этих приемов предусматривается после изучения соответствующих вопросов нумерации (натуральной последовательности, десятичного состава чисел, позиционного принципа записи чисел).

6) Приемы, теоретическая основа которых – правила. К ним относятся приемы для двух случаев: а*1, а*0.

Целый ряд случаев может быть отнесен не только к указанной группе приемов, но и к другой. Например, случаи вида 46+19 можно отнести не только к четвертой группе, но и ко второй. Это зависит от выбора теоретической основы вычислительного приема.

Мы рассмотрели такие понятия, как «вычислительный прием», «теоретическая основа вычислительного приема», а теперь непосредственно переходим к рассмотрению понятия «вычислительный навык» и его показатели.

Сначала мы рассмотрим понятие «вычислительный навык» с точки зрения П.Я. Гальперина. Гальперин П.Я. говорит, что навык не есть самостоятельное явление, как оно часто изображается, а есть только одна из характеристик действия и очень важная.

Внутренний процесс образования навыков состоит в том, что от развернутого и сначала пооперационного выполнения действия учащиеся переходят к образованию более широких, так называемых высших единиц. Потом действия соединяются, и в результате этого обучаемый переходит к выполнению действия такого рода: ситуация действия узнается, а выполнение протекает по принципу согласования текущего действия с заложенной моделью этого действия. Физиологически оно называется акцептором действия, психологически – это сложившаяся модель действия. Благодаря этому действие начинает протекать сплошным, непрерывным потоком, все меньше и меньше оно разделялось на отрезки. Сначала при этом устанавливается заданный ритм действия (т.е. различия в скорости выполнения на отдельных участках), различия в усилиях, которые применяются на отдельных участках, и только потом происходит усиление темпа этого действия.

Важно подчеркнуть, что образование навыков вовсе не представляет собой процесса заучивания одной и той же структуры, с самого начала установление и в дальнейшем прикладывающей все более глубокую нервную колею. Это очень примитивное механистическое представление, которое довлело над сознанием исследователей и обычных наблюдателей до тех пор, пока не стала известна более тонкая структура этого процесса. Это означает, что когда задаются так называемые упражнения, во время их выполнения происходило не заучивание одного и того же, а наоборот, непрерывное изменение строения формируемого действия. Для этого изменения нужно предоставить учащемуся время и возможность. Самое вредное – пытаться заданный образец (а он задается с самого начала) сразу закрепить окончательно. Это ложное представление, которое мешает реальному образованию навыков. Заданный образец достигается только в результате довольно длительных процессов качественного изменения действия в процессе его усвоения.

В этом процессе очень важны следующие обстоятельства: сначала задается внешний образец действия, потом он разделяется на отдельные части, и в результате освоения расчлененного образца происходит образование новых, вторичных структур, т.е. структур, построенных на выделении характерных, отличительных признаков, происходит переход к узнаванию сначала частных ситуаций, а потом всей ситуации действия и его автоматического выполнения.

Мы рассмотрели понятие «навык» в общем виде, как он образуется, из чего состоит навык. А теперь рассмотрим понятие «вычислительный навык» - это высокая степень овладения вычислительными приемами. Приобрести вычислительные навыки – значит для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия и выполнять эти операции достаточно быстро.

Полноценный вычислительный навык характеризуется правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщенностью, автоматизмом и прочностью. Определим суть этих понятий.

Правильность – ученик правильно находит результат арифметического действия над данными числами, т.е. правильно выбирает и выполняет операции, составляющие прием.

Осознанность – ученик осознает, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения. Это для ученика своего рода доказательство правильности выбора системы операций. Осознанность проявляется в том, что ученик в любой момент может объяснить, как он решал пример и почему можно так решать. Это, конечно, не значит, что ученик всегда должен объяснять решение каждого примера. В процессе овладения навыком объяснение должно постепенно свертываться.

Рациональность – ученик, сообразуясь с конкретными условиями, выбирает для данного случая более рациональный прием, т.е. выбирает те из возможных операций, выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия. Разумеется, что это качество навыка может проявляться тогда, когда для данного случая существуют различные приемы нахождения результата, и ученик, используя различные знания, может сконструировать несколько приемов и выбрать более рациональный. Рациональность непосредственно связана с осознанностью навыка.

Обобщенность – ученик может применить прием вычисления к большему числу случаев, т.е. он способен перенести прием вычисления на новые случаи. Обобщенность так же, как и рациональность, теснейшим образом связана с осознанностью вычислительного навыка, поскольку общим для различных случаев вычисления будет прием, основа которого – одни и те же теоретические положения.

Автоматизм (свернутость) – ученик выделяет и выполняет операции быстро и в свернутом виде, но всегда может вернуться к объяснению выбора системы операций.

Программа предусматривает разную степень автоматизации различных случаев выполнения арифметических действий. Высокая степень автоматизации должна быть достигнута по отношению к табличным случаям (5+3, 8-5, 9+6, 15-9, 7*6, 42:6). Здесь должен быть достигнут уровень, характеризующийся тем, что ученик сразу же соотносит с двумя данными числами третье число, которое является результатом арифметического действия, не выполняя отдельных операций. По отношению к другим случаям арифметических действий происходит частичная автоматизация вычислительных навыков: ученик предельно быстро выделяет и выполняет систему операций, не объясняя, почему выбрал эти операции и как выполнял каждую из них. В этом смысле и говорят об автоматизации вычислительных навыков.

Заметим, что осознанность и автоматизм вычислительных навыков не являются противоречивыми качествами. Они всегда выступают в единстве: при свернутом выполнении операций осознанность сохраняется, но обоснование выбора системы операций происходит свернуто в плане внутренней речи. Благодаря этому ученик может в любой момент дать развернутое обоснование выбора системы операций.

Прочность – ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время.

Формирование вычислительных навыков, обладающих названными качествами, обеспечивается построением начального курса математики и использованием соответствующих приемов.

В целях формирования осознанных, обобщенных и рациональных навыков начальный курс математики строится так, что изучение вычислительного приема происходит после того, как учащиеся усвоят материал, являющийся теоретической основой этого вычислительного приема.

Как видим, все вычислительные приемы строятся на той или иной теоретической основе, причем в каждом случае учащиеся осознают сам факт использования соответствующих теоретических положений, лежащих в основе вычислительных приемов. Это – реальная предпосылка овладения учащимися осознанными вычислительными навыками. Общность подходов к раскрытию вычислительных приемов каждой группы – есть залог овладения учащимися обобщенными вычислительными навыками. Возможность использования различных теоретических положений при конструировании различных приемов для одного случая вычисления (например, для случая сложения 46+19) является предпосылкой формирования рациональных гибких вычислительных навыков. (12, с.46)

В принятой сейчас системе изучения арифметических действий приемы предусматривается такой порядок введения приемов, при котором постепенно вводятся приемы, включающие большое число операций, а ранее усвоенные включаются в качестве основных операций в новые приемы. Выполняя операции, составляющие новый прием, ученик не только усваивает этот прием, но и совершенствует навыки вычислений ранее рассмотренных случаев. Такая система включения приемов создает благоприятные условия для выработки у учащихся прочных и автоматизированных навыков.

Таким образом мы можем сделать выводы, что изучение вычислительных приемов в курсе начальной школы является важной темой изучения в математике. При этом, чтобы у учащихся сформировались прочные вычислительные навыки, учителю нужно целенаправленно работать над этим качеством.

7.2.Методика формирования навыков устных вычислений «+» «-» в пределах 100.

Вычислительный навык - это полностью или частич] автоматизированное выражение действия.

В начальной школе большое внимание уделяется формированию вычислительного навыка как устного, так и письменного.

Хар-ка устных вычислений: промежуточный результат запис-тся; не имеет строго алгоритма; входит в состав приёмов вычисления.

В основе формирования в.н. в начальной школе - теория поэтапного формирования умственных действий (Гальперин, Талызина). Бантова М.А. , опираясь на эту теорию, разработала теорию формирования в.у. и н. у детей нач.кл., она выделила 3 этапа формирования в.у. и н., которые мы рассмотрим непосредственно при введении в.п.

Вычислительный приём - это система операций, которую надо выполнить над числами, чтобы получить результат примера.

Задачи изучения темы: 1. Сформировать прочные, доведённые до автоматизма навыки +- в пределах данного концентра.

2. сформировать навык вне табличных вычислений в пределах данного концентра.

3. ввести необходимые теоретические знания.

4. формировать самоконтроль и самооценку.

Анализ различных подходов к изучению темы: Различия в программах:

• +-изучаются раздельно

• имеются различия в отдельных вводимых приёмах вычислений, что обуславливается различными теоретическими знаниями (Н, 12-5=(12-2)-3=10-3=7 или 12-5=(Ю-5)+2=7 или 12-5=7, т.к. 12=5+7) (т.о. вычитание суммы из числа, вычитание числа из суммы, опора на таблицу сложения, метод подбора)

- различия в используемых моделях

• различия в вводимых таблицах(вводятся разные таблицы в различном порядке: на «-» не вводится (Аргинская), по частям, сразу вся таблица)

• различия в методике введения таблиц (различные знания для введения таблиц: «-»Аргинская на основе таблицы «+»)

- использование прямого или косвенного (Аргинская) пути формирования навыка

Методика изучения устных случаев вычитания в пределах 100 по программе Петерсон.

Порядок изучения темы: - разрядный состав двузначного числа; табличные случаи -+ (40+20, 50-30)

• прибавление числа к сумме (34+20 34+2 26+4)

• вычитание числа из суммы (48-30 48-3 30-6)

• прибавление суммы к числу (47+5)

• вычитание суммы из числа (42-25)

• прибавление суммы к числу; вычитание суммы из числа (40+16 40-16)

- прибавление суммы к числу; вычитание суммы из числа (45+12 45-12)

1 класс с. 82 введение приёма «12-7» тема в учебнике звучит «Таблица сложения»

1 класс с.82 введение приёма «12-7» тема в учебнике звучит «Таблица сложения»

Целеполагание Решение примера на модели Запись способа решения примера(знаковая модель «длинный пример») Внешнеречевое проговаривание Анализ вида примера с распространением его на новые случаи. Закрепление

12-7 - Быстро дайте ответ. Кто не смог быстро? Как умеете? (по таблице) Если нет таблицы + и вы её забыли? Какой возникает вопрос? (можно ли без ТС быстро решать примеры такого вида?) Сегодня познакомимся с новым способом решения. Как предложите? (по модели) 12 – это и : - десяток и две единицы 7 – это :::. – семь единиц 12 – 7 = : - :::.= - - ::.= :::::-::.= ::. - Как удобно вычесть сначала? - Что обозначает , почему : обвела 2 раза? -Что получили? (в уменьшаемом треугольник, а в вычитаемом 5 единиц) - Дальше как вычесть? (треугольник – это 1 десяток- это 10 единиц, из 10 единиц – 5 единиц получим 5 единиц) - Как вычисляли? Запишите числами. А как в учебнике? 12-7=10-5=5 2 5 7 представили в виде чисел 2 и 5. Почему 2? (удобно вычесть до 10) - Какой вопрос ставили в начале урока? Можно ответить на этот вопрос? - Опираясь на нашу запись, кто может рассказать как мы решали пример? (мы вычитали количество единиц, получив круглое, затем из круглого вычли другое число). Сформулируйте тему урока. Сравните мою тему со своей. - Какие примеры вы можете решить, используя такой способ решения? 14-3 Этот пример подойдёт? Почему? - Составьте свои примеры с вычитанием до 10 (единиц) Проговариваем по цепочке, к каждому примеру делаем длинную запись.