Задача 2.4.

На меблевій фабриці зі стандартних листів фанери потрібно вирізати 24, 28 і 18 заготовок трьох роз­мірів. Лист фанери можна розрізати двома способами. Кількість отриманих заготовок та площу відходів за кожного способу роз­різування одного листа фанери наведено в таблиці:

Заготовка	Кількість отриманих заготовок, шт., за способами
	першим	другим
1	2	6
2	4	4
3	2	3
Площа відходів, см2	12	18

Скільки листів фанери та за яким способом слід розрізати, щоб отримати потрібну кількість заготовок з мінімальними відходами.

Побудова математичної моделі. Нехай х₁, х₂ — кількість лис­тів фанери, які необхідно розрізати відповідно першим і другим способом.

Цільова функція — мінімізація відходів під час розрізування листа фанери. Математично це записується так:

Z = 12х₁ + 18х₂  max.

Обмеження математичної моделі враховують кількість заготовок кожного виду, які потрібно отримати:

для заготовки 1 2х₁ + 6х₂ ≥ 24;

для заготовки 2 4х₁ + 4х₂ ≥ 28;

для заготовки 3 2х₁ + 3х₂ ≥ 18;

Отже, економіко-математична модель задачі має вигляд

Z = 12х₁ + 18х₂  min (2.27)

за обмежень

(2.28) (2.29) (2.30) (2.31)

Розв’язування. Графічне розв’язування задачі оптимального розрізування ілюструє рис. 2.13. Область допустимих розв’язків цієї задачі необмежена. Вектор = (12; 18) можна змінити згідно з масштабом графіка, наприклад = (6; 9).

Рис. 2.13

Із рис. 2.13 бачимо, що пряма 12х₁ + 18х₂ = min Z збігаєть- ся зі стороною ВС многокутника розв’язків. Це означає, що задача має альтернативні оптимальні плани: координати будь-якої точки відрізка BC є оптимальним планом, причому для цих координат цільова функція Z досягає свого наймен­шого значення. Визна­чимо лише два оптимальних плани, що відповідають кінцям відріз- ка BC.

Точка В утворюється перетином прямих (2.29) і (2.30); її координати визначаємо із системи рівнянь

звідки .

Точка С лежить на перетині прямих (2.28) і (2.30); її координати визначаємо із системи рівнянь

отже, .

Повертаючись до економічного змісту розв’язаної задачі, маємо такі результати. Якщо розрізати 7 листів фанери, з яких 3 листи — першим способом, а 4 — другим, то матимемо найменшу площу відходів — 108 см². Але такі самі мінімальні втрати будуть і в разі розрізування шести листів першим способом і двох — другим.

Будь-який інший альтернативний оптимальний план задачі можна записати як опуклу лінійну комбінацію отриманих двох крайніх розв’язків:

,

де .

Наприклад, нехай ₁ = ₂ = 0,5. Тоді ще один оптимальний план задачі визначається так:

Х ^* = 0,5 (3; 4) + 0,5 (6; 2).

Х ^* = (4,5; 3).

Цільова функція Z має таке саме мінімальне значення: min Z = 12 · 4,5 + 18 · 3 = 108.

2.5.3. Приклади та завдання для самостійної роботи