- •Навчальне видання Вітлінський Вальдемар Володимирович Наконечний Степан Ількович терещенко Тетяна Опанасівна математичне програмування
- •03680, М. Київ, просп. Перемоги, 54/1
- •Рекомендована література 245
- •1.1. Предмет курсу «математичне програмування»
- •Тема 1. Предмет, особливості та сфери застосування математичного програмування в економіці. Класифікація задач
- •Тема 9. Задачі динамічного програмування
- •Розділ 2
- •2.1. Загальна математична модель лінійного програмування
- •Приклад 2.1.
- •2.2. Форми запису задач лп
- •2.3. Геометрична інтерпретація злп
- •2.5. Графічний метод розв’язування задач лінійного програмування
- •Задача 2.1.
- •Задача 2.2.
- •Задача 2.3.
- •Задача 2.4.
- •2.5.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 2.5.
- •Задача 2.6.
- •Задача 2.7.
- •Задача 2.8.
- •Задача 2.9.
- •Задача 2.35.
- •Задача 2.36.
- •§ 2.6. Симплексний метод розв’язування задач лп
- •Задача 2.41.
- •Задача 2.42.
- •Задача 2.43.
- •Задача 2.44.
- •2.6.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 2.45.
- •Задача 2.46.
- •Задача 2.47.
- •Задача 2.48.
- •Задача 2.49.
- •2 .8. Контрольні запитання
- •2.9. Теми рефератів
- •2 .10. Основні терміни та поняття
- •Тема 10. Моделі та методи стохастичного програмування
- •Тема 11. Елементи теорії ігор
- •Розділ 3 двоїстість у лінійному програмуванні
- •3.2. Теореми двоїстості
- •3.3. Навчальні завдання
- •Задача 3.1.
- •Задача 3.2.
- •Задача 3.3.
- •3 .6. Контрольні запитання
- •3 .7. Теми рефератів
- •4.1. Економічна інтерпретація двоїстої задачі
- •4.2. Навчальні завдання
- •Задача 4.1.
- •Задача 4.2.
- •Задача 4.3.
- •Задача 4.4.
- •Задача 4.5.
- •Задача 4.6.
- •Задача 4.7.
- •Задача 4.8.
- •Задача 4.9.
- •Задача 4.10.
- •Задача 4.11.
- •Задача 4.12.
- •Задача 4.13.
- •Задача 4.20.
- •Задача 4.21.
- •4.4. Заключні зауваження
- •5.2. Метод потенціалів
- •5.3. Навчальні завдання
- •Задача 5.1.
- •Задача 5.2.
- •Задача 5.3.
- •Задача 5.4.
- •Задача 5.37.
- •Задача 5.38.
- •Задача 5.39.
- •Задача 5.40.
- •5.5. Заключні зауваження
- •5.6. Контрольні запитання
- •5 .7. Теми рефератів
- •5 .8. Основні терміни та поняття
- •4.5. Контрольні запитання
- •4 .6. Теми рефератів
- •4 .7. Основні терміни та поняття
- •Розділ 6
- •6.1. Цілочислове програмування
- •6.1.1. Постановка задачі
- •6.1.2. Метод Гоморі
- •Задача 6.1.
- •6.1.3. Метод «віток і меж»
- •6.1.4. Приклади цілочислових економічних задач
- •Задача 6.2.
- •Задача 6.3.
- •Задача 6.4.
- •Задача 6.5.
- •Задача 6.6.
- •6.1.5. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.7.
- •Задача 6.8.
- •Задача 6.9.
- •Задача 6.10.
- •Задача 6.11.
- •Задача 6.11.
- •Задача 6.11.
- •2) Максимізації комплектів, до яких деталі входять відповідно 6.2. Дробово-лінійне програмування
- •6.2.1. Постановка задачі та алгоритм розв’язування
- •6.2.2. Приклади дробово-лінійних задач
- •Задача 6.14.
- •Задача 6.15.
- •Задача 6.16.
- •6.2.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.17.
- •Задача 6.18.
- •6.3. Нелінійне програмування
- •6.3.1. Постановка задачі
- •6.3.2. Труднощі розв’язування задач нелінійного програмування
- •6.3.3. Метод множників Лагранжа
- •Задача 6.19.
- •6.3.4. Приклади задач нелінійного програмування
- •Задача 6.20.
- •6.3.5. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.21.
- •Задача 6.22.
- •6.4. Динамічне програмування
- •6.4.2. Методика розв’язування динамічних задач
- •6.4.3. Приклади розв’язування динамічних задач
- •Задача 6.23.
- •Задача 6.24.
- •6.4.4. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.25.
- •Задача 6.26.
- •Задача 6.27.
- •Задача 6.28.
- •Задача 6.29.
- •Задача 6.30.
- •Задача 6.31.
- •Задача 6.32.
- •Задача 6.33.
- •6.5 Теорія ігор
- •6.5.1. Основні поняття теорії ігор
- •Задача 6.34.
- •Задача 6.35.
- •6.5.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.36.
- •6.6. Стохастичне програмування
- •6.6.1 Постановка задач і методи розв’язування
- •6.6.2. Приклади стохастичних економічних задач
- •Задача 6.37.
- •Задача 6.38.
- •Задача 6.39.
- •Задача 6.40.
- •Задача 6.41.
- •Задача 6.42.
- •Задача 6.43.
- •6.6.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.44.
- •Задача 6.45.
- •Задача 6.46.
- •Задача 6.45.
- •Задача 6.46.
- •6.7. Заключні зауваження
- •6.8. Контрольні запитання
- •6 .9. Теми рефератів
- •6 .10. Основні терміни та поняття
Задача 6.24.
Підприємство
розробляє стратегію поповнення запасів
деякої продукції для заданого періоду
часу, який складається з N
етапів (підперіодів). Для кожного з них
відомий розмір попиту, причому він не
є однаковим для всіх етапів. Щоб
задовольнити попит, підприємство може
придбати необхідну кількість продукції,
замовивши її у виробника, або виготовити
її самостійно. Передбачається, що запаси
поповнюються миттєво, запізнення
поставки та дефіцит неприпустимі.
Залежно від ринкової кон’юнктури
підприємству може бути вигідно створювати
запаси продукції для задоволення попиту
в майбутні періоди часу, що пов’язано,
проте, з додатковими витратами на
зберігання запасів.
Розробити програму управління запасами підприємства, тобто визначити обсяги замовлення й період його розміщення, щоб загальні витрати на постачання та зберігання продукції були мінімальними, а попит задовольнявся повністю й своєчасно.
Дані задачі вміщено в таблиці:
Період часу (квартал року) |
Попит на продукцію, тис. од. |
Витрати на розміщення замовлення, тис. грн. |
Витрати на зберігання, тис. грн. |
1 |
4 |
7 |
2 |
2 |
5 |
8 |
3 |
3 |
3 |
6 |
1 |
4 |
2 |
9 |
0 |
Відомо, що на початку планового періоду запас становить 2 тис. од., а під час купівлі продукції діє система оптових знижок. Витрати на придбання 1 тис. од. продукції становлять 15 тис. грн., а коли розмір замовлення перевищує 3 тис. од., витрати знижуються на 12% і становлять 12 тис. грн.
Нехай — кількість етапів планового періоду. Тоді для і-го етапу застосуємо такі позначення: хі — запас продукції на початок етапу; yi — обсяг замовленої продукції (розмір замовлення); hi — витрати на зберігання 1 тис. од. продукції запасу; kі — витрати на розміщення замовлення; — попит на продукцію; Ciyi — витрати, що пов’язані із купівлею (виробництвом) продукції yi.
Визначимо f (xi, yi) як мінімальні витрати на етапах , якщо рівень запасів хі.
Рекурентні залежності, що відповідають схемі зворотного прогону, набирають вигляду:
за умов
, , .
Для N-го етапу маємо:
за умов
, .
Розглянемо покроковий розрахунок оптимальної стратегії управління запасами.
Етап 4. Маємо
за умов
.
Можливі варіанти розв’язків ілюструє таблиця:
|
|
Оптимальний розв’язок |
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
39 |
2 |
1 |
|
|
|
24 |
1 |
2 |
|
|
|
0 |
0 |
Етап 3. Маємо
за умов
.
Результати розрахунків подамо у вигляді таблиці:
|
Доходи |
Оптимальний розв’язок |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
66 |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
55 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
53 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
39 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
25 |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
0 |
Розрахунки виконуємо так. Наприклад, обчислимо і . Оскільки за умовою , то може набувати значень 0, 1, 2, 3, 4, 5, а — відповідно значень 0, 1, 2, 3, 4, 5. Тепер знайдемо і для і . Для і маємо:
.
Аналогічно:
,
.
Далі обчислюємо:
Отже, при .
Так само виконуємо розрахунки для х = 1, 2, 3, 4, 5, а результати вміщуємо у відповідну таблицю.
Етап 2. У таблицю записуємо лише остаточні результати:
Маємо 3 = 5.
за умов
.
Етап 1. Діємо так, як і на етапі 2, складаючи таблицю результатів:
|
|
Оптимальні розв’язки |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
134 |
135 |
145 |
143 |
141 |
133 |
133 |
10 |
|
|
|
|
|
125 |
126 |
136 |
134 |
132 |
124 |
|
124 |
9 |
|
|
|
|
125 |
117 |
127 |
125 |
123 |
115 |
|
|
115 |
8 |
|
|
|
113 |
117 |
118 |
116 |
114 |
106 |
|
|
|
106 |
7 |
|
|
101 |
105 |
118 |
107 |
105 |
97 |
|
|
|
|
97 |
6 |
|
81 |
93 |
106 |
107 |
96 |
88 |
|
|
|
|
|
81 |
0 |
|
73 |
94 |
95 |
96 |
79 |
|
|
|
|
|
|
73 |
0 |
|
74 |
83 |
74 |
79 |
|
|
|
|
|
|
|
74 |
0 або 2 |
|
63 |
72 |
67 |
|
|
|
|
|
|
|
|
63 |
0 |
|
52 |
55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52 |
0 |
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
0 |
|
|
Оптимальні розв’язки |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
174 |
180 |
174 |
177 |
180 |
176 |
180 |
193 |
194 |
195 |
180 |
174 |
2 або 4 |
Маємо 1 = 4.
за умов
.
Отже, дістали два оптимальні плани управління запасами підприємства, яким відповідають мінімальні сумарні витрати на постачання та зберігання продукції.
Інформацію про перший оптимальний план містить таблиця:
Етап |
Запас |
Розмір замовлення |
Попит |
Залишок продукції на кінець етапу |
Витрати на придбання продукції та її зберігання |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
Разом |
|
|
|
|
174 |
Інформація про другий оптимальний план:
Етап |
Запас |
Розмір замовлення |
Попит |
Залишок продукції на кінець етапу |
Витрати на придбання продукції та її зберігання |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
Разом |
|
|
|
|
174 |
Порівнюючи ці два плани, бачимо, що відрізняються вони першими двома етапами і дають можливість маневрувати фінансовими ресурсами підприємства, що водночас вирішує ще низку проблем.
в кількості 4, 2 і 3.