Задача 6.15.

Розв’язати графічно задачу дробово-лінійного прог­рамування:

за умов

Розв’язання. Побудуємо на площині область допустимих роз­в’язків задачі — трикутник АВС.

Цільова функція задачі являє собою пряму, яка обертатиметься навколо початку системи координат залежно від змінюваних параметрів х₁, х₂ так, що точки А і С будуть точками максимуму і мінімуму функції. Виразимо х₂ із цільової функції:

.

Кутовий коефіцієнт цільової функції

.

Розглянемо похідну

.

Оскільки при будь-якому значенні Z вона від’ємна, то функція R_Z є спадною (зі зростанням Z кутовий коефіцієнт R_Z зменшується), а графік цільової функції обертатиметься навколо початку координат за годинниковою стрілкою. Отже, точка С є точкою максимуму, а точка А — мінімуму досліджуваної задачі.

Знайдемо координати цих точок.

Точка А:

Звідси

Точка А має координати (6/7; 24/7).

Точка С:

Звідси

Точка С має координати (9/2; 1).

Знайдемо значення цільової функції в цих точках:

Результати (Z_C > Z_A) підтверджують, що оптимуми знайдено правильно: максимум досягається в точці С, а мінімум — у точці А.

Задача 6.16.

Розв’язати задачу дробово-лінійного програмуван­ня симплексним методом:

за умов

Розв’язування. Зведемо початкову задачу до задачі лінійного програмування згідно з розглянутими раніше правилами.

Позначимо .

Введемо нові змінні:

, .

Дістанемо задачу лінійного програмування:

за умов

Розв’яжемо задачу симплексним методом. У перше та останнє обмеження введемо штучні змінні y₆, та y₇.

Маємо оптимальний розв’язок перетвореної задачі:

, , , .

Знайдемо оптимальний розв’язок початкової задачі, враховуючи, що :

; ; ;

; .

Отже, ,

.

6.2.3. Приклади та завдання для самостійної роботи

Задача 6.17.

Розв’язати графічно задачі дробово-лінійного програмування.

1. за умов	2. за умов
3. за умов	4. за умов
5. за умов	6. за умов
7. за умов	8. за умов
9. за умов	10. за умов

Задача 6.18.

Розв’язати задачі дробово-лінійного програмування симплексним методом.

1. за умов	2. за умов
3. за умов	4. за умов
5. за умов	6. за умов
7. за умов	8. за умов

6.3. Нелінійне програмування

6.3.1. Постановка задачі

Розв’язуючи задачі оптимального управління (планування), дово­диться враховувати нелінійний характер взаємозв’язків між економічними показниками. У загальному вигляді нелінійна економіко-математична модель має вигляд:

за умов

,

де і — нелінійні функції.