6.1.3. Метод «віток і меж»

Ефективнішим за метод Гоморі розв’язування задач цілочислового програмування є метод «віток і меж». Спочатку, як і в разі методу Гоморі, розв’язується послаблена (відкиданням умови цілочисловості) задача.

З цією метою застосовується симплексний метод.

Нехай потрібно знайти х_j — цілочислову змінну, значення якої в оптимальному плані послабленої задачі є дробовим. Тоді можна стверджувати, що в інтервалі цілих значень немає.

Наприклад, якщо дістаємо інтервал (2,3), де, очевидно, немає х_j, яке набуває цілого значення.

Значенню відповідає інтервал (–3; –2), де також не існує цілого значення х_j. Отже, допустиме ціле значення x_j має задовольняти одну з нерівностей

або .

Приписавши кожну з цих умов до задачі з послабленими обмеженнями, дістанемо дві не пов’язані між собою задачі. Тобто початкову задачу цілочислового програмування (6.1)—(6.4) розіб’ємо на дві задачі з урахуванням умов цілочисловості змінних, значення яких в оптимальному плані послабленої задачі є дробовими. Це означає, що симплекс-методом розв’язуватимемо дві такі задачі:

(6.5)

за умов

(6.6)

,

, (6.7)

— цілі, (6.8)

; (6.9)

(6.10)

за умов

(6.11)

,

, (6.12)

— цілі, (6.13)

, (6.14)

де — компонент розв’язку задачі (6.1)—(6.4).

Далі симплекс-методом розв’язуємо послаблені задачі (6.6)—(6.9) і (6.10)—(6.14), тобто з відкиданням обмежень (6.8) і (6.13). Якщо знайдені оптимальні плани задовольняють умови цілочисловості, то ці плани є розв’язками задачі (6.1)—(6.4). Інакше пошук розв’язку задачі триває. Для подальшого розгалуження беремо задачу з найбільшим значенням цільової функції, якщо йдеться про максимізацію, і навпаки — з найменшим значенням цільової функції в разі її мінімізації. Подальше розгалуження виконується доти, доки не буде встановлено неможливість поліпшення роз­в’язку. Здобутий план — оптимальний.

Розв’язування цілочислових задач методом «віток і меж» можна значно прискорити, приєднавши обмеження виду (6.9) і (6.14) до останньої симплекс-таблиці не початкової (6.1)—(6.4), а відповідних задач.

Розв’яжемо методом «віток і меж» задачу 6.1.

Відкинувши умову цілочисловості, дістанемо розв’язок х₁ = 1, х₂ =  . Отже, допустиме ціле значення х₂ має задовольняти одну з нерівностей або . Далі приєднуємо до задачі кожне з обмежень, нехтуючи умовою цілочисловості, і розв’язуємо по черзі обидві утворені задачі. Для першої (з обмеженням ) оптимальним буде розв’язок , , , а для другої (з обмеженням ) — розв’язок , , . Оскільки цілочислового плану не знайдено, процес необхідно продовжити, узявши для наступного розгалуження першу задачу, оптимальний план якої дає більше значення функціоналу. Далі розв’язуємо задачу, приєднуючи до неї обмеження і , звідки й знаходимо оптимальний план , , що збігається з розв’язком, здобутим за методом Гоморі.

6.1.4. Приклади цілочислових економічних задач

Задача 6.2.

Задача лінійного розкрою. У цеху розрізують пру­ти завдовжки 6 м на заготівки 1,4; 2 і 2,5 м. Усього в цеху мають 200 прутів. Потрібно дістати не менше як 40, 60 і 50 заготівок завдовжки відповідно 1,4; 2 і 2,5 м.

Побудувати загальну і числову модель лінійного розкрою. За критерій оптимізації є сенс узяти мінімум відходів.

Розв’язування. Нехай — вид заготівки. Кожний прут можна розрізати різними способами.

Скористаємося такими позначеннями:

— вихід заготовок і-го виду в разі розрізування прута j-м способом;

c_j — відходи в разі розрізування прута j-м способом;

А — кількість наявних прутів;

B_i, D_i — відповідно нижня і верхня межі потреби в і-й заготівці;

x_j — кількість прутів, які розрізані за j-м варіантом.

Запишемо загальну економіко-математичну модель лінійного розкрою.

Критерій оптимальності:

за умов

,

,

,

— цілі .

Побудуємо числову економіко-математичну модель розрізування прутів, розглянувши можливі варіанти такого розрізування:

Довжина заготівки, м	Варіанти розрізування прутів
1,4	4	—	—	1	1	2	2
2	—	3	—	1	2	1	—
2,5	—	—	2	1	—	1	1
Довжина відходів, м	0,4	0	1	0,1	0,6	1,2	0,7

Бажано, щоб у множину ввійшли всі можливі варіанти, навіть такі, які на перший погляд здаються неефективними, наприклад x₆.

Запишемо числову економіко-математичну модель розрізування прутів:

за умов

а) щодо кількості заготівок завдовжки 1,4 м:

;

2 м:

;

2,5 м:

;

б) щодо кількості наявних прутів:

;

в) щодо невід’ємності змінних:

;

г) щодо цілочисловості змінних:

— цілі числа.

Пропонуємо розв’язати цю задачу одним із методів цілочислового програмування.