14

Содержание

1. Постановка задания 3

2. Описание математической модели 4

3. Расчет характеристик сети массового обслуживания 6

3.1. Построение графа СтМО 6

3.2. Вычисление λ_max 7

3.4. Расчет сетевых характеристик 12

4. Выводы 13

5. Библиографический список 14

1. Постановка задания

Открытая экспоненциальная стохастическая сеть массового обслуживания задана в виде графа из 9 узлов. Узел S₀ является источником заявок и характеризуется интенсивностью λ_i потока заявок. Остальные узлы S_i являются системами массового обслуживания (СМО) и характеризуется каждый двумя параметрами: средним временем υ_i облуживания заявки и числом К_i обслуживающих каналов. Каждая СМО является системой типа М/М/К_i . Связь между СМО сети отображается на графе в виде дуги между узлами S_i и S_j с весом p_ij – вероятностью передачи заявки из S_i в S_j .

Требуется:

1. Изобразить сеть в виде графа;

2. Вычислить интенсивность λ_max источника, при которой в сети еще возможен стационарный режим обслуживания заявок;

3. Полагая λ₀ = 0,8 λ_max , определить узловые и сетевые характеристики, а именно: среднюю длину очереди, среднее время пребывания заявки в очереди (в очередях), среднее число заявок в узле (в сети), среднее время пребывания заявок в узле (в сети) – для всех СМО и для сети в целом.

Проанализировать ситуацию в сети на предмет выявления наиболее загруженных узлов и дать рекомендации по уменьшению среднего времени пребывания заявки в сети.

Номер варианта:

1. № зачетной книжки: S = 022008;

2. Номер варианта задания: N = S mod 5; N = 8;

3. K = N mod 5; K = 3;

4. M = ] N/5 [ ; M = 2;

Таблица 1 - Вариант графа сети (K = 3)

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8
К=3	1, 2, 3	4, 5, 6	4, 5, 6	4, 5, 6	4, 7	5, 7, 8	6, 8	0	0

Таблица 2 - Вариант параметров узлов сети (M = 2)

	i	1	2	3	4	5	6	7	8
M=2	υi , с	2	6	2	3	1	4	2	4
	Кi	1	4	1	2	1	2	1	4

2. Описание математической модели

2.1. Система массового обслуживания (смо):

Входной поток – последовательность моментов поступления заявок в СМО. В теории СМО входной поток – случайный поток.

Накопитель – хранит предварительные заявки

Очередь – совокупность заявок, ждущих обслуживания.

Порядок поступления заявки из очереди СМО называется дисциплиной обслуживания.

Канал обслуживания – совокупность приборов обслуживания.

Характеристика канала обслуживания:

1. Среднее время обслуживания

2. Дисперсия времени обслуживания

3. Интенсивность обслуживания

2.2. Сети массового обслуживания (СтМо)

Сети массового обслуживания (СтМО) – совокупность СМО, обменивающихся между собою заявками.

СтМО можно изобразить в виде графа с (n+1) узлом, где узел (0) источник заявок, а все остальные n-узлов – это СМО.

В СтМО все узлы характеризуются параметрами

а) для источника – интенсивность λ₀ потока заявок, которые он генерирует;

б) для узла СМО - K_i количество каналов обслуживания в СМО; υ_i - среднее время обслуживания в одном канале.

Связи между узлами устанавливаются матрицей ,

где – вероятность того, что заявка из узла i попадет в узел j, причем .

Полагается, что в СтМО , что означает, что заявка, выпущенная источником, никогда сразу в него не возвращается.

Стационарный режим в СтМО – такой режим, когда характеристики сети становятся независимыми от времени.

В любой сети необходимым признаком стационарности является: интенсивность входного потока = интенсивности выходного потока из узла.

Входной поток i-го узла: , где – коэффициент передачи – среднее число пребываний заявки в i-м узле до того как она покинет СтМО..

Рода СтМО по методу регулирования входного потока:

1. Открытые (разомкнутые) СтМО – сети, в которых интенсивность λ₀ источника не зависит от числа заявок в сети.

2. Закрытые (замкнутые) СтМО – сети, в которых λ₀ зависит от числа заявок, находящихся в сети.

Условия существования стационарного режима:

1. Стационарный режим в СтМО существует, если он существует одновременно во всех n-узлах СМО сети.

2. СМО_j находится в стационарном режиме, если R_j < K_j ;

j = 1..n.

где R_j – загрузка j-го узла (среднее число занятых каналов), K_j – число каналов.

, значит: , при j = 1..n .

Следовательно, условие существования стационарного режима:

.

Стохастическая сеть называется экспоненциальной, если поток заявок от источника – простейший, и время обслуживания в каждом из узлов сети – экспоненциальное.

Джексон установил, что в экспоненциальной СтМО каждый узел ведет себя как независимая от других узлов СМО, типа M/M/K_i .

Узловые характеристики разомкнутой СтМО (система M/M/N):

1. Многоканальные СтМО:

1.1. Средняя длина очереди в узле:

,

где .

1.2. Среднее время однократного пребывания в узле:

1.3. Среднее число заявок в узле:

1.4. Среднее время однократного ожидания в очереди узла: .

2. Одноканальные СтМО:

2.1. Среднее время однократного ожидания в очереди узла:

2.2. Средняя длина очереди в узле:

2.3. Среднее время однократного пребывания в узле:

2.4. Среднее число заявок в узле:

Сетевые характеристики разомкнутой СтМО:

1. Средняя длина очереди в сети: .

2. Среднее число заявок в сети: .

3. Среднее время ожидания в очередях сети: , .

4. Среднее время пребывания в сети: , .