- •Навчальне видання Вітлінський Вальдемар Володимирович Наконечний Степан Ількович терещенко Тетяна Опанасівна математичне програмування
- •03680, М. Київ, просп. Перемоги, 54/1
- •Рекомендована література 245
- •1.1. Предмет курсу «математичне програмування»
- •Тема 1. Предмет, особливості та сфери застосування математичного програмування в економіці. Класифікація задач
- •Тема 9. Задачі динамічного програмування
- •Розділ 2
- •2.1. Загальна математична модель лінійного програмування
- •Приклад 2.1.
- •2.2. Форми запису задач лп
- •2.3. Геометрична інтерпретація злп
- •2.5. Графічний метод розв’язування задач лінійного програмування
- •Задача 2.1.
- •Задача 2.2.
- •Задача 2.3.
- •Задача 2.4.
- •2.5.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 2.5.
- •Задача 2.6.
- •Задача 2.7.
- •Задача 2.8.
- •Задача 2.9.
- •Задача 2.35.
- •Задача 2.36.
- •§ 2.6. Симплексний метод розв’язування задач лп
- •Задача 2.41.
- •Задача 2.42.
- •Задача 2.43.
- •Задача 2.44.
- •2.6.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 2.45.
- •Задача 2.46.
- •Задача 2.47.
- •Задача 2.48.
- •Задача 2.49.
- •2 .8. Контрольні запитання
- •2.9. Теми рефератів
- •2 .10. Основні терміни та поняття
- •Тема 10. Моделі та методи стохастичного програмування
- •Тема 11. Елементи теорії ігор
- •Розділ 3 двоїстість у лінійному програмуванні
- •3.2. Теореми двоїстості
- •3.3. Навчальні завдання
- •Задача 3.1.
- •Задача 3.2.
- •Задача 3.3.
- •3 .6. Контрольні запитання
- •3 .7. Теми рефератів
- •4.1. Економічна інтерпретація двоїстої задачі
- •4.2. Навчальні завдання
- •Задача 4.1.
- •Задача 4.2.
- •Задача 4.3.
- •Задача 4.4.
- •Задача 4.5.
- •Задача 4.6.
- •Задача 4.7.
- •Задача 4.8.
- •Задача 4.9.
- •Задача 4.10.
- •Задача 4.11.
- •Задача 4.12.
- •Задача 4.13.
- •Задача 4.20.
- •Задача 4.21.
- •4.4. Заключні зауваження
- •5.2. Метод потенціалів
- •5.3. Навчальні завдання
- •Задача 5.1.
- •Задача 5.2.
- •Задача 5.3.
- •Задача 5.4.
- •Задача 5.37.
- •Задача 5.38.
- •Задача 5.39.
- •Задача 5.40.
- •5.5. Заключні зауваження
- •5.6. Контрольні запитання
- •5 .7. Теми рефератів
- •5 .8. Основні терміни та поняття
- •4.5. Контрольні запитання
- •4 .6. Теми рефератів
- •4 .7. Основні терміни та поняття
- •Розділ 6
- •6.1. Цілочислове програмування
- •6.1.1. Постановка задачі
- •6.1.2. Метод Гоморі
- •Задача 6.1.
- •6.1.3. Метод «віток і меж»
- •6.1.4. Приклади цілочислових економічних задач
- •Задача 6.2.
- •Задача 6.3.
- •Задача 6.4.
- •Задача 6.5.
- •Задача 6.6.
- •6.1.5. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.7.
- •Задача 6.8.
- •Задача 6.9.
- •Задача 6.10.
- •Задача 6.11.
- •Задача 6.11.
- •Задача 6.11.
- •2) Максимізації комплектів, до яких деталі входять відповідно 6.2. Дробово-лінійне програмування
- •6.2.1. Постановка задачі та алгоритм розв’язування
- •6.2.2. Приклади дробово-лінійних задач
- •Задача 6.14.
- •Задача 6.15.
- •Задача 6.16.
- •6.2.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.17.
- •Задача 6.18.
- •6.3. Нелінійне програмування
- •6.3.1. Постановка задачі
- •6.3.2. Труднощі розв’язування задач нелінійного програмування
- •6.3.3. Метод множників Лагранжа
- •Задача 6.19.
- •6.3.4. Приклади задач нелінійного програмування
- •Задача 6.20.
- •6.3.5. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.21.
- •Задача 6.22.
- •6.4. Динамічне програмування
- •6.4.2. Методика розв’язування динамічних задач
- •6.4.3. Приклади розв’язування динамічних задач
- •Задача 6.23.
- •Задача 6.24.
- •6.4.4. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.25.
- •Задача 6.26.
- •Задача 6.27.
- •Задача 6.28.
- •Задача 6.29.
- •Задача 6.30.
- •Задача 6.31.
- •Задача 6.32.
- •Задача 6.33.
- •6.5 Теорія ігор
- •6.5.1. Основні поняття теорії ігор
- •Задача 6.34.
- •Задача 6.35.
- •6.5.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.36.
- •6.6. Стохастичне програмування
- •6.6.1 Постановка задач і методи розв’язування
- •6.6.2. Приклади стохастичних економічних задач
- •Задача 6.37.
- •Задача 6.38.
- •Задача 6.39.
- •Задача 6.40.
- •Задача 6.41.
- •Задача 6.42.
- •Задача 6.43.
- •6.6.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.44.
- •Задача 6.45.
- •Задача 6.46.
- •Задача 6.45.
- •Задача 6.46.
- •6.7. Заключні зауваження
- •6.8. Контрольні запитання
- •6 .9. Теми рефератів
- •6 .10. Основні терміни та поняття
Задача 6.34.
Маємо гру гравців А і В, яка
задана платіжною матрицею. Визначити
ціну гри та оптимальні стратегії дій
гравців А і В. Оптимізацію гри починають,
як правило, визначенням домінуючих
стратегій для кожної зі сторін, а також
відкиданням невигідних і дублюючих
стратегій.
За умови існування такої матриці розв’язок задачі — сідлову точку, ціну та оптимальні стратегії гри — можна знайти значно ефективніше:
Гравець A |
Гравець В
|
Розв’язування. Насамперед визначають домінуючу стратегію. Перша стратегія гравця А домінує над третьою, оскільки всі значення його виграшів за будь-яких дій суперника є не гіршими, ніж у разі вибору третьої стратегії, тобто всі елементи першого рядка платіжної матриці не менші за відповідні елементи її третього рядка. Тому третя стратегія гірша за першу й може бути вилучена з платіжної матриці.
Аналізуючи далі можливі дії гравця B, зауважимо, що його перша стратегія домінує над четвертою, яку можна відкинути як більш збиткову, а тому невигідну для цього гравця. Отже, маємо таку платіжну матрицю:
.
У разі вибору гравцем А першої стратегії, залежно від дій гравця В він може отримати 6, 3, 8 або 9 одиниць. Але завжди його виграш буде не меншим за , тобто незалежно від поведінки гравця В. Якщо розглянути можливі наслідки вибору гравцем А другої стратегії, то аналогічно його гарантований виграш становитиме . Для третьої стратегії відповідно маємо: .
Отже, нижня ціна гри: , а гравець А для максимізації мінімального виграшу має обрати другу з трьох можливих стратегій. Така стратегія є максимінною в цій грі.
Гравець В, який намагається мінімізувати свій програш, обираючи першу стратегію, може програти 6,6 або 4 одиниці. Але за будь-яких варіантів дій гравця А він може програти не більш як . Для другої стратегії маємо , для третьої — , для четвертої — . Отже, верхня ціна гри .
І гравцю В доцільно вибирати другу стратегію, яка є мінімаксною у грі.
Оскільки , ця гра має сідлову точку, ціна гри дорівнює 5. Оптимальною максимінною стратегією гравця А є друга з трьох можливих стратегій його дій. Для гравця В оптимальною є також друга з чотирьох можливих.
6.5.2. Зведення матричної гри до задачі лінійного програмування
Якщо матрична гра не має сідлової точки, то знаходження її розв’язку, особливо за великої кількості стратегій, — доволі складна задача, яку можна ефективно розв’язати методами лінійного програмування.
Задача розглядається в такому формулюванні: знайти вектори ймовірностей і з метою визначення оптимального значення ціни гри та оптимальних стратегій.
Зауважимо, що доведено основну теорему теорії ігор: кожна скінчена гра має принаймні один розв’язок, який можливий в області змішаних стратегій.
Отже, нехай маємо скінченну матричну гру з платіжною матрицею
.
Оскільки оптимальні стратегії гравців А і В дозволяють отримати виграш
,
то використання оптимальної змішаної стратегії гравцем А має забезпечувати виграш не менший за ціну гри в разі вибору гравцем В будь-яких стратегій. Математично ця умова записується так:
. (6.23)
Відповідно використання оптимальної змішаної стратегії гравцем В має за будь-яких стратегій гравця А забезпечувати програш В, що не перевищує ціни гри :
. (6.24)
Ці два співвідношення застосовують для знаходження розв’язку гри.
Отже, потрібно знайти , щоб
за умов
,
,
.
Зауважимо, що ціна гри невідома і має бути визначена під час розв’язування задачі.
Модель ігрової задачі може бути спрощена.
З (6.23) маємо:
Поділивши всі обмеження на , дістанемо:
Нехай , тоді
Згідно з умовою , звідки .
Отже, цільова функція початкової задачі набирає такого вигляду:
.
У результаті задача лінійного програмування:
(6.25)
за умов
(6.26)
. (6.27)
Розв’язавши цю задачу симплексним методом, знайдемо значення , а також і , тобто визначимо змішану оптимальну стратегію для гравця А.
За аналогією запишемо задачу лінійного програмування для визначення оптимальної стратегії гравця В. Нехай
.
Тоді маємо таку лінійну модель:
за умов
.
Очевидно, що задача лінійного програмування для гравця В є двоїстою до задачі гравця А, а тому оптимальний розв’язок однієї з них визначає оптимальний розв’язок спряженої.
Розглянемо приклад на застосування методів лінійного програмування до знаходження оптимального розв’язку гри.