- •Навчальне видання Вітлінський Вальдемар Володимирович Наконечний Степан Ількович терещенко Тетяна Опанасівна математичне програмування
- •03680, М. Київ, просп. Перемоги, 54/1
- •Рекомендована література 245
- •1.1. Предмет курсу «математичне програмування»
- •Тема 1. Предмет, особливості та сфери застосування математичного програмування в економіці. Класифікація задач
- •Тема 9. Задачі динамічного програмування
- •Розділ 2
- •2.1. Загальна математична модель лінійного програмування
- •Приклад 2.1.
- •2.2. Форми запису задач лп
- •2.3. Геометрична інтерпретація злп
- •2.5. Графічний метод розв’язування задач лінійного програмування
- •Задача 2.1.
- •Задача 2.2.
- •Задача 2.3.
- •Задача 2.4.
- •2.5.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 2.5.
- •Задача 2.6.
- •Задача 2.7.
- •Задача 2.8.
- •Задача 2.9.
- •Задача 2.35.
- •Задача 2.36.
- •§ 2.6. Симплексний метод розв’язування задач лп
- •Задача 2.41.
- •Задача 2.42.
- •Задача 2.43.
- •Задача 2.44.
- •2.6.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 2.45.
- •Задача 2.46.
- •Задача 2.47.
- •Задача 2.48.
- •Задача 2.49.
- •2 .8. Контрольні запитання
- •2.9. Теми рефератів
- •2 .10. Основні терміни та поняття
- •Тема 10. Моделі та методи стохастичного програмування
- •Тема 11. Елементи теорії ігор
- •Розділ 3 двоїстість у лінійному програмуванні
- •3.2. Теореми двоїстості
- •3.3. Навчальні завдання
- •Задача 3.1.
- •Задача 3.2.
- •Задача 3.3.
- •3 .6. Контрольні запитання
- •3 .7. Теми рефератів
- •4.1. Економічна інтерпретація двоїстої задачі
- •4.2. Навчальні завдання
- •Задача 4.1.
- •Задача 4.2.
- •Задача 4.3.
- •Задача 4.4.
- •Задача 4.5.
- •Задача 4.6.
- •Задача 4.7.
- •Задача 4.8.
- •Задача 4.9.
- •Задача 4.10.
- •Задача 4.11.
- •Задача 4.12.
- •Задача 4.13.
- •Задача 4.20.
- •Задача 4.21.
- •4.4. Заключні зауваження
- •5.2. Метод потенціалів
- •5.3. Навчальні завдання
- •Задача 5.1.
- •Задача 5.2.
- •Задача 5.3.
- •Задача 5.4.
- •Задача 5.37.
- •Задача 5.38.
- •Задача 5.39.
- •Задача 5.40.
- •5.5. Заключні зауваження
- •5.6. Контрольні запитання
- •5 .7. Теми рефератів
- •5 .8. Основні терміни та поняття
- •4.5. Контрольні запитання
- •4 .6. Теми рефератів
- •4 .7. Основні терміни та поняття
- •Розділ 6
- •6.1. Цілочислове програмування
- •6.1.1. Постановка задачі
- •6.1.2. Метод Гоморі
- •Задача 6.1.
- •6.1.3. Метод «віток і меж»
- •6.1.4. Приклади цілочислових економічних задач
- •Задача 6.2.
- •Задача 6.3.
- •Задача 6.4.
- •Задача 6.5.
- •Задача 6.6.
- •6.1.5. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.7.
- •Задача 6.8.
- •Задача 6.9.
- •Задача 6.10.
- •Задача 6.11.
- •Задача 6.11.
- •Задача 6.11.
- •2) Максимізації комплектів, до яких деталі входять відповідно 6.2. Дробово-лінійне програмування
- •6.2.1. Постановка задачі та алгоритм розв’язування
- •6.2.2. Приклади дробово-лінійних задач
- •Задача 6.14.
- •Задача 6.15.
- •Задача 6.16.
- •6.2.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.17.
- •Задача 6.18.
- •6.3. Нелінійне програмування
- •6.3.1. Постановка задачі
- •6.3.2. Труднощі розв’язування задач нелінійного програмування
- •6.3.3. Метод множників Лагранжа
- •Задача 6.19.
- •6.3.4. Приклади задач нелінійного програмування
- •Задача 6.20.
- •6.3.5. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.21.
- •Задача 6.22.
- •6.4. Динамічне програмування
- •6.4.2. Методика розв’язування динамічних задач
- •6.4.3. Приклади розв’язування динамічних задач
- •Задача 6.23.
- •Задача 6.24.
- •6.4.4. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.25.
- •Задача 6.26.
- •Задача 6.27.
- •Задача 6.28.
- •Задача 6.29.
- •Задача 6.30.
- •Задача 6.31.
- •Задача 6.32.
- •Задача 6.33.
- •6.5 Теорія ігор
- •6.5.1. Основні поняття теорії ігор
- •Задача 6.34.
- •Задача 6.35.
- •6.5.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.36.
- •6.6. Стохастичне програмування
- •6.6.1 Постановка задач і методи розв’язування
- •6.6.2. Приклади стохастичних економічних задач
- •Задача 6.37.
- •Задача 6.38.
- •Задача 6.39.
- •Задача 6.40.
- •Задача 6.41.
- •Задача 6.42.
- •Задача 6.43.
- •6.6.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.44.
- •Задача 6.45.
- •Задача 6.46.
- •Задача 6.45.
- •Задача 6.46.
- •6.7. Заключні зауваження
- •6.8. Контрольні запитання
- •6 .9. Теми рефератів
- •6 .10. Основні терміни та поняття
Задача 2.43.
Грошові кошти фірми
можуть використовувати-
ся для
фінансування двох проектів. Проект А
гарантує отримання через рік прибутку
в розмірі 60 центів на кожний вкладений
долар. Проект В гарантує отримання
прибутку в розмірі 2 дол. на кожний
інвестований долар, але через два роки.
При фінансуванні проекту В період
інвестицій має бути кратним двом рокам.
Визначити, як потрібно розпорядитися
капіталом у сумі 100 000 дол., щоб
максимізувати загальний прибуток, який
можна отримати через три роки після
початку ін-
вестицій.
Розв’язування. Нехай xij — розмір вкладених коштів у і-му році в проект j (i = 1, 3; j = 1, 2). Побудуємо умовну схему розподілу грошових коштів протягом трьох років.
|
|
Проект А |
Проект В |
1-й рік |
Початок року |
100 000 |
|
Дохід на кінець року |
х11 1,6х11 |
х12 — |
|
2-й рік |
Початок року |
100 000 – (х11 + х12) +1,6х11 |
|
Дохід на кінець року |
х21 1,6х21 |
х22 3х12 |
|
3-й рік |
Початок року |
100 000 – (х11 – х12) + 1,6х11 – (х21 + х22) + 1,6х21 |
|
Дохід на кінець року |
х31 1,6х31 |
— 3х22 |
Згідно з наведеною схемою можна записати математичну модель задачі.
Цільова функція: дохід фірми після трьох років інвестицій
Обмеження моделі сформулюємо згідно з такою умовою: розмір коштів, інвестованих у поточному році, не може перевищувати залишку коштів минулого року та прибутку за минулий рік:
для 1-го року ;
для 2-го року ;
для 3-го року .
Виконавши елементарні перетворення, дістанемо систему обмежень:
Отже, математична модель сформульованої задачі має такий вигляд:
Очевидно, що ця задача є задачею лінійного програмування і її можна розв’язати симплекс-методом. Згідно з алгоритмом необхідно звести систему обмежень задачі до канонічної форми. Це виконується за допомогою додаткових змінних х1, х2, та х3, які вводять зі знаком «+» до лівої частини всіх відповідних обмежень. У цільовій функції задачі ці змінні мають коефіцієнт, що дорівнює нулю.
Розв’язування задачі наведено у вигляді симплексної таблиці:
Базис |
Сбаз |
План |
0 |
0 |
0 |
3 |
1,6 |
0 |
0 |
0 |
θ |
х11 |
х12 |
х21 |
х22 |
х31 |
х1 |
х2 |
х3 |
||||
← х1 |
0 |
100 000 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
100 000 |
х22 |
3 |
0 |
–1,6 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
— |
х31 |
1,6 |
0 |
0 |
–3 |
–1,6 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
— |
Zj – Cj ≥ 0 |
0 |
–4,8 |
–4,8 |
0,44 |
0 |
0 |
0 |
3 |
1,6 |
|
|
← х11 |
0 |
100 000 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
х22 |
3 |
160 000 |
0 |
1,6 |
1 |
1 |
0 |
1,6 |
1 |
0 |
|
х31 |
1,6 |
0 |
0 |
–3 |
–1,6 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
Zj – Cj ≥ 0 |
480 000 |
0 |
0 |
0,44 |
0 |
0 |
4,8 |
3 |
1,6 |
|
Тоді
Але задача має ще один оптимальний план, який можна дістати, вибравши розв’язувальний елемент у стовпчику «х12» останньої симплексної таблиці. Це може бути або число 1, або 1,6. Виконавши один крок симплекс-методом, дістанемо таку симплексну таблицю:
Базис |
Сбаз |
План |
0 |
0 |
0 |
3 |
1,6 |
0 |
0 |
0 |
х11 |
х12 |
х21 |
х22 |
х31 |
х1 |
х2 |
х3 |
|||
х12 |
0 |
100 000 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
х22 |
3 |
0 |
–1,6 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
х31 |
1,6 |
300 000 |
3 |
0 |
–1,6 |
0 |
1 |
3 |
0 |
1 |
Zj – Cj ≥ 0 |
480 000 |
0 |
0 |
0,44 |
0 |
0 |
4,8 |
3 |
1,6 |
Звідси
Розглянемо, як використовуються грошові кошти фірми за першим оптимальним планом задачі.
|
|
Проект А |
Проект В |
||
1-й рік |
Початок року |
100 000 дол. |
|||
Дохід на кінець року |
х11 = 100 000 |
х12 = 0 160 000 дол |
|||
2-й рік |
Початок року |
160 000 дол. |
|||
Дохід на кінець року |
х21 = 0 |
х22 = 160 000 0 дол. |
|||
3-й рік |
Початок року |
0 дол. |
|||
Дохід на кінець року |
х31 = 0 |
480 000 дол. |
Згідно з розглянутою схемою перший оптимальний план інвестицій передбачає на перший рік усі кошти в розмірі 100 000 дол. вкласти в проект А, що принесе в кінці року дохід 160 000 дол. На другий рік усі кошти в розмірі 160 000 дол. передбачається витратити на фінансування проекту В. Наприкінці другого року фірма доходу не отримає. На третій рік фінансування проектів не передбачається, але в кінці року дохід фірми від минулорічних інвестицій проекту В становитиме 480 000 дол.
Аналогічний максимальний дохід можна також дістати, провівши інвестиції за такою схемою.
|
|
Проект А |
Проект В |
||
1-й рік |
Початок року |
100 000 дол. |
|||
Дохід на кінець року |
х11 = 0 |
х12 = 100 000 0 дол. |
|||
2-й рік |
Початок року |
0 дол. |
|||
Дохід на кінець року |
х21 = 0 |
х22 = 0 300 000 дол. |
|||
3-й рік |
Початок року |
300 000 дол. |
|||
Дохід на кінець року |
х31 = 300 000 |
480 000 дол. |
Згідно з другим оптимальним планом на перший рік фірма спрямовує весь капітал у розмірі 100 000 дол. на фінансування проекту В. Це принесе фірмі дохід лише наприкінці другого року в розмірі 300 000 дол., які на третій рік в повному обсязі інвестуються в проект А. Дохід фірми за три роки діяльності становитиме 480 000 дол.