- •Навчальне видання Вітлінський Вальдемар Володимирович Наконечний Степан Ількович терещенко Тетяна Опанасівна математичне програмування
- •03680, М. Київ, просп. Перемоги, 54/1
- •Рекомендована література 245
- •1.1. Предмет курсу «математичне програмування»
- •Тема 1. Предмет, особливості та сфери застосування математичного програмування в економіці. Класифікація задач
- •Тема 9. Задачі динамічного програмування
- •Розділ 2
- •2.1. Загальна математична модель лінійного програмування
- •Приклад 2.1.
- •2.2. Форми запису задач лп
- •2.3. Геометрична інтерпретація злп
- •2.5. Графічний метод розв’язування задач лінійного програмування
- •Задача 2.1.
- •Задача 2.2.
- •Задача 2.3.
- •Задача 2.4.
- •2.5.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 2.5.
- •Задача 2.6.
- •Задача 2.7.
- •Задача 2.8.
- •Задача 2.9.
- •Задача 2.35.
- •Задача 2.36.
- •§ 2.6. Симплексний метод розв’язування задач лп
- •Задача 2.41.
- •Задача 2.42.
- •Задача 2.43.
- •Задача 2.44.
- •2.6.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 2.45.
- •Задача 2.46.
- •Задача 2.47.
- •Задача 2.48.
- •Задача 2.49.
- •2 .8. Контрольні запитання
- •2.9. Теми рефератів
- •2 .10. Основні терміни та поняття
- •Тема 10. Моделі та методи стохастичного програмування
- •Тема 11. Елементи теорії ігор
- •Розділ 3 двоїстість у лінійному програмуванні
- •3.2. Теореми двоїстості
- •3.3. Навчальні завдання
- •Задача 3.1.
- •Задача 3.2.
- •Задача 3.3.
- •3 .6. Контрольні запитання
- •3 .7. Теми рефератів
- •4.1. Економічна інтерпретація двоїстої задачі
- •4.2. Навчальні завдання
- •Задача 4.1.
- •Задача 4.2.
- •Задача 4.3.
- •Задача 4.4.
- •Задача 4.5.
- •Задача 4.6.
- •Задача 4.7.
- •Задача 4.8.
- •Задача 4.9.
- •Задача 4.10.
- •Задача 4.11.
- •Задача 4.12.
- •Задача 4.13.
- •Задача 4.20.
- •Задача 4.21.
- •4.4. Заключні зауваження
- •5.2. Метод потенціалів
- •5.3. Навчальні завдання
- •Задача 5.1.
- •Задача 5.2.
- •Задача 5.3.
- •Задача 5.4.
- •Задача 5.37.
- •Задача 5.38.
- •Задача 5.39.
- •Задача 5.40.
- •5.5. Заключні зауваження
- •5.6. Контрольні запитання
- •5 .7. Теми рефератів
- •5 .8. Основні терміни та поняття
- •4.5. Контрольні запитання
- •4 .6. Теми рефератів
- •4 .7. Основні терміни та поняття
- •Розділ 6
- •6.1. Цілочислове програмування
- •6.1.1. Постановка задачі
- •6.1.2. Метод Гоморі
- •Задача 6.1.
- •6.1.3. Метод «віток і меж»
- •6.1.4. Приклади цілочислових економічних задач
- •Задача 6.2.
- •Задача 6.3.
- •Задача 6.4.
- •Задача 6.5.
- •Задача 6.6.
- •6.1.5. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.7.
- •Задача 6.8.
- •Задача 6.9.
- •Задача 6.10.
- •Задача 6.11.
- •Задача 6.11.
- •Задача 6.11.
- •2) Максимізації комплектів, до яких деталі входять відповідно 6.2. Дробово-лінійне програмування
- •6.2.1. Постановка задачі та алгоритм розв’язування
- •6.2.2. Приклади дробово-лінійних задач
- •Задача 6.14.
- •Задача 6.15.
- •Задача 6.16.
- •6.2.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.17.
- •Задача 6.18.
- •6.3. Нелінійне програмування
- •6.3.1. Постановка задачі
- •6.3.2. Труднощі розв’язування задач нелінійного програмування
- •6.3.3. Метод множників Лагранжа
- •Задача 6.19.
- •6.3.4. Приклади задач нелінійного програмування
- •Задача 6.20.
- •6.3.5. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.21.
- •Задача 6.22.
- •6.4. Динамічне програмування
- •6.4.2. Методика розв’язування динамічних задач
- •6.4.3. Приклади розв’язування динамічних задач
- •Задача 6.23.
- •Задача 6.24.
- •6.4.4. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.25.
- •Задача 6.26.
- •Задача 6.27.
- •Задача 6.28.
- •Задача 6.29.
- •Задача 6.30.
- •Задача 6.31.
- •Задача 6.32.
- •Задача 6.33.
- •6.5 Теорія ігор
- •6.5.1. Основні поняття теорії ігор
- •Задача 6.34.
- •Задача 6.35.
- •6.5.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.36.
- •6.6. Стохастичне програмування
- •6.6.1 Постановка задач і методи розв’язування
- •6.6.2. Приклади стохастичних економічних задач
- •Задача 6.37.
- •Задача 6.38.
- •Задача 6.39.
- •Задача 6.40.
- •Задача 6.41.
- •Задача 6.42.
- •Задача 6.43.
- •6.6.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.44.
- •Задача 6.45.
- •Задача 6.46.
- •Задача 6.45.
- •Задача 6.46.
- •6.7. Заключні зауваження
- •6.8. Контрольні запитання
- •6 .9. Теми рефератів
- •6 .10. Основні терміни та поняття
Задача 2.44.
Продукція
фабрики випускається у вигляді паперових
рулонів стандартної ширини — 2 м. За
спеціальним замовленням споживачів
фабрика постачає також рулони інших
розмірів, розрізуючи стандартні рулони.
Типові замовлення на рулони нестандартних розмірів наведено в таблиці:
Замовлення |
Потрібна ширина рулонів, м |
Потрібна кількість рулонів |
1 |
0,8 |
150 |
2 |
1,0 |
200 |
3 |
1,2 |
300 |
Визначити оптимальний варіант розкрою стандартних рулонів, за якого спеціальні замовлення, що надходять, задовольняють повністю з мінімальними відходами паперу.
Розв’язування. Аби виконати спеціальні замовлення, які надійшли, розглянемо п’ять можливих варіантів розкрою стандартних рулонів, що можуть використовуватися в різних комбінаціях. Варіанти розкрою наведено в таблиці:
Потрібна ширина рулона, м |
Кількість нестандартних рулонів за варіантами |
||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
0,8 |
2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1,0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
0 |
1,2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Кількість відходів, м |
0,4 |
0 |
0,2 |
0 |
0,8 |
Нехай xj — кількість стандартних рулонів паперу, які буде розрізано j-способом, .
Обмеження задачі безпосередньо пов’язані з вимогою забезпечити повністю необхідну кількість нестандартних рулонів за спеціальними замовленнями. Якщо використовуватимуться всі подані в таблиці способи розкрою, дістанемо такі результати.
Кількість рулонів шириною 0,8 м
2х1 + х2 + х3 = 150.
Кількість рулонів шириною 1 м
х3 + 2х4 = 200.
Кількість рулонів шириною 1,2 м
х2 + х5 = 300.
Цільова функція задачі — це мінімальні загальні втрати паперу під час розрізування стандартних рулонів на рулони нестандартної ширини. Математично вона має такий вигляд:
Математична модель задачі в загальному вигляді записується так:
Для розв’язування цієї задачі застосуємо процедуру симплекс-методу. Оскільки задачу сформульовано в канонічній формі, запишемо її відразу у векторній формі:
де
У системі векторів маємо лише один одиничний вектор . Тому в перше та друге обмеження введемо штучні змінні х6 та х7. Розширена задача матиме вигляд:
Процес розв’язування задачі симплекс-методом подано у вигляді таблиці:
Базис |
Сбаз |
План |
0,4 |
0 |
0,2 |
0 |
0,8 |
М |
M |
θ |
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
х7 |
|||||
х6 |
М |
150 |
2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
— |
|
← х7 |
M |
200 |
0 |
0 |
1 |
2 |
0 |
0 |
1 |
100 |
|
х5 |
0,8 |
300 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
— |
|
Zj – Cj ≥ 0 |
240 |
–0,4 |
0,8 |
–0,2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
||
350 M |
2 M |
M |
2 M |
2 M |
0 |
0 |
0 |
|
|||
← х6 |
M |
150 |
2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
75 |
|
х4 |
0 |
100 |
0 |
0 |
1/2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
— |
|
х5 |
0,8 |
300 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
— |
|
Zj – Cj ≥ 0 |
240 |
–0,4 |
0,8 |
–0,2 |
0 |
0 |
0 |
|
|
||
150 M |
2 M |
M |
M |
0 |
0 |
0 |
|
|
|||
← х1 |
0,4 |
75 |
1 |
1/2 |
1/2 |
0 |
0 |
|
|
150 |
|
х4 |
0 |
100 |
0 |
0 |
1/2 |
1 |
0 |
|
|
— |
|
х5 |
0,8 |
300 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
300 |
|
Zj – Cj ≥ 0 |
270 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
||||
х2 |
0 |
150 |
2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|||
х4 |
0 |
100 |
0 |
0 |
1/2 |
1 |
0 |
|
|||
х5 |
0,8 |
150 |
–2 |
0 |
–1 |
0 |
1 |
|
|||
Zj – Cj ≥ 0 |
120 |
–2 |
0 |
–1 |
0 |
0 |
|
Згідно з останньою симплексною таблицею запишемо оптимальний план задачі:
Х * = (0; 150; 0; 100; 150), min Z = 120.
Визначений оптимальний план передбачає таке: щоб у повному обсязі виконати спеціальні замовлення, які надходять на паперову фабрику, необхідно розрізати 150 стандартних рулонів другим способом, 100 рулонів — четвертим і 150 — п’ятим. За такого оптимального варіанта розкрою величина відходів паперу буде найменшою і становитиме 120 м.